矩阵的秩的相关不等式的归
纳小结
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
林松
（莆田学院数学系，福建，莆田）
摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。
关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换
引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。
一基本的定理
1 设A是数域P上n m
⨯矩阵，于是
⨯矩阵，B是数域上m s
秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩
2设A与B是m n
⨯矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）
二常见的秩的不等式
1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n
证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。
当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。
当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，
从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n
2设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n
证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于
000S E
B A AB A E E E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
而 0S E
B E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭
可逆，故
r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ⎛⎫
⎪
⎝⎭ =秩 0A AB E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩 0
0AB E ⎛⎫
⎪⎝⎭
=r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n
3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）
证：因为0A E B E B E --⎛⎫
⎪
-⎝⎭00B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭00AB E B E -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤秩0A E B E B E --⎛⎫
⎪-⎝⎭
=秩（A-E ）+秩（B-E ） 因此 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）
4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ⨯⨯⨯的矩阵，证明
r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)
证：设 ,s t E E 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于
0AB ABC B ⎛⎫
⎪⎝⎭0s
t E C E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭
且0
s t E C E ⎛⎫
⎪-⎝⎭
是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)≤秩0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0AB
ABC B ⎛⎫
⎪⎝⎭=秩0
0ABC B ⎛⎫
⎪⎝⎭
= r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) ≥r(AB) + r(BC) - r(B)
5 设A ，B 都是n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) ≤ r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二
≤r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ≤r( A ) + r( B )
6 设A ，C 均为m n ⨯矩阵，B ，D 均为n s ⨯矩阵，证明 r （ A B – C D ）≤ r （ A-C ） + r （ B - D ）
证明：根据分块矩阵的乘法可知
000m
n E C A C E B D -⎛⎫⎛⎫
⎪⎪-⎝⎭⎝⎭0n s E B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0A C AB CD B D --⎛⎫
⎪-⎝⎭
由此易知r （A-C ）+r （B-D ）=r 0A C
AB CD B D --⎛⎫
⎪-⎝⎭
≥r(AB-CD)
从而得r （AB-CD ） ≤ r （A-C ） + r （B-D ）
三 不等式等号成立的探讨
1 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分条件为：
A 0A 0r =r E
B 0B ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
证明：由
E -A A 0E -B 0-AB E -B 0-AB ==0E E B 0E E B 0E E 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
得：A 00-AB r =r E B E
0⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()0-AB A 0r =r AB +n r =r A +r B E 0E B ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
又
， ∴()()()r AB =r A +r B -n
2 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分
必要条件为存在矩阵X 、Y ，使得n
XA +BY =E
证明：根据题三 1，只需要证明
n
XA +BY =E A 0A 0r =r X Y E B 0B ⎡⎤⎡⎤
⇔⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
存在、，使得
m n n n n
m m n E 0A 0E 0E 0A 0=-X E E B -Y E -Y E -AX B A 0E -XA -BY B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⇐⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡
⎤=⎢⎥⎣⎦
由
当 n XA +BY =E 时，A 0A 0r =r E B 0B ⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∴()()()r AB =r A +r B -n
