关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记
摘要本文给出了实矩阵的若干行列式不等式的证明，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。针对实矩阵，主要给出了五个命题阐述其行列式不等式，同时对有些命题作出了引申与进一步说明；针对复正定矩阵，给出了三个命题，在这三个命题的证明过程中用到了Schur定理和Holder不等式。
关键词实矩阵；复正定矩阵；行列式；不等式
Several Notes for “Inequalities on the Determinant of Matrix”
Abstract In this paper, several determinantal inequalities on real matrix are proved. As applications, some inequalities on determinants of positively definite matrices are established in complex number field. For the real matrix, five propositions are given to explain its determinantal inequalities, and some time, extensions and further states are made for some propositions. For the complex positively definite matrix, three propositions are given, in the process of the proof of the three propositions, the Schur theorem and Holder inequality are used.
Key words real matrix; complex positively definite matrix; determinant; inequality
目录
1 引言与记号....................................................................... .. (1)
2 实矩阵的若干行列式不等式及证明 (1)
3 复数域中矩阵的若干行列式不等式 (5)
4 结论（结束语） (9)
5 参考文献 (9)
6 致谢 (10)
一 引言与记号
复（实）矩阵是数学理论中的一个重要知识点，无论是对其应用上还是在进修考察中，都具有重要地位。而矩阵的行列式、矩阵的行列式不等式是矩阵理论的基础知识。基于此文中给出了实矩阵的若干行列式不等式，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。关于文中的符号，矩阵M 的转置记为'M ；方阵
M 的共轭转置记为'M ；方阵M 的行列式记为M 或M det ，其模记为M det ；()M t j 表示矩阵M 的特征值。
二 实矩阵的若干行列式不等式及证明
命题1 对于实数域上的n n ⨯阶矩阵P 、Q ，若他们是正定矩阵，则
Q P Q P +≥+.
为了方便证明命题1，我们先证明命题（*）：
在实数域上，对于n n ⨯阶矩阵M 、N ，若M 是正定矩阵，N 是对称矩阵，
则存在可逆矩阵T ，满足()T N M T +'是对角阵。
证明 由M 的正定性知，M 与单位矩阵E 合同，则有
MA A E '= （1） 成立，这里A 是实可逆矩阵。又由于N 是对称矩阵，则NA A '是对称阵。从而存在正交矩阵B ，满足
()⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=''n t t t B NA A B 21 （2） 这里i t 是NA A '的特征值，n i ,,2,1 =. 下令AB T =，则有
()⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+++=+'n t t t T N M T 11121 （3） 证毕。
下面证明命题1：
证明 根据（3）式可知，在实数域上存在可逆矩阵T ，满足
()⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+++=+'n t t t T Q P T 11121 ， 这里i t 是Q P +的特征值，且0>i t ，n i ,,2,1 =.则
()()()n t t t T Q P +++=+111212
由命题（*）的（1）式知 12
=A P 由命题（*）的（2）式知 n t t t A Q 212
= 又因为AB T =,B 是正交矩阵，所以
1±=B ,且2
222A B A T
==
由Q 的正定性知，QA A '正定；又因为0>i t ，那么
()()()n t t t A Q P +++=+111212
n t t t 211+≥ （4） 而 []n t t t A Q P 2121+=+ （5） 结合（4）（5）两式，得
Q P Q P +≥+
例1 在实数域上，对于n n ⨯阶矩阵P 、Q ，如果P 是正定矩阵，Q 是半正定矩阵，则P Q P ≥+当且仅当0=Q 时取等。
证明 由题设可知Q P +正定，()P Q P -+半正定，P 正定，则根据命题1可知P Q P ≥+.
)i 当0=Q 时，P Q P =+;
)ii 当0≠Q 时，Q 的秩不小于1，而P 是正定矩阵，那么，存在实可逆矩阵T ，
满足
PT T E '= （6） ()QT T E T Q P T '+=+' （7） 记QT T A '=,则秩1≥A .
记A 的特征值为n t t t ,,,21 ，因为A 的秩不小于1，QT T A '=是半正定矩阵，则
