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极限的性质和运算法则

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03极限的运算法则与性质

03极限的运算法则与性质

解
x2
x 2 x 2
lim
lim
x2 x 2 x2 x 2 x 2
x 2 x 2
lim
2 2.
x2
x2
上例给出了无理函数求极限的一般方法: 有理化.
13
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铃
例8 求 lim 4x 1 3. x2 x 2 2
解
lim
4x 1 3
x2 x 2 2
4x 1 3 4x 1 3 x 2 2 lim
x2 x 2 2 x 2 2 4x 1 3
4 x 2
lim
x 2 2 8.
x2 x 2 4x 1 3 3
14
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铃
二、极限的性质
1. 收敛数列的有界性
定理 收敛数列必有界.
x1 x3
【
M1
(
xN+1 xN+3
xN+2
)
a
xN
a 1
a 1
推论: 无界数列必发散.
x2 】 M2 x
注意, 该定理不是充分必要条件.
例如数列 xn 1 n1 是有界数列但是发散的.
15
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铃பைடு நூலகம்
与数列的有界性定理平行的是:
定理 （局部有界性）如果极限 lim f (x)存在 , 那么
x2
x2
x2
2 22 4 2 31 13.
3
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铃
由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式:

极限的性质及运算法则

极限的性质及运算法则
= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 Q lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2
2 x→2
= ( lim x ) 2 −Байду номын сангаас3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
3
x→2
lim x 3 − lim 1
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
极限的运算法则
设 lim f (x) = A, lim g(x) = B,则
x→X x→X
(1) lim[ f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) = A± B;
x→X x→X x→X
(2) lim[ f (x) ⋅ g(x)] = lim f (x) ⋅ lim g(x) = A⋅ B;
练习题答案
一 、 1、 -5； 5、 0； 二 、 1、 2； 1 5、 ； 2 2 、 3； 6、 0； 2、 2 x ； 6、 0 . 3、 2；

性质与极限运算法则

性质与极限运算法则

且 g( x) A，lim f ( x) B, 则 lim f [g( x)] B.
xA
xX
这一性质是用变量替换求极限的理论基础，
lim f [ g( x)] lim f ( y ) B.
xX
y A
注意条件 g( x) A 不能省去.
例1. lim sin x 1 x0 x
例如：lim sin x ? 0 x x
lim sin x x x
?
2

2
2、在lim sin x中，若x是一个其他的变量，(例如是x的函数)， x x0
记作* 那么如果满足下列两点，则lim sin* 1仍成立。 * *0
(1)三个* 处是相同的；
(2) * 表示的变量必须是趋于0的。
第2.3节
第二章
函数极限的性质与运算法则
一 、极限的性质与四则运算法则 二、 极限四则运算法则的应用
一、极限的性质与四则运算法则
定义2.3 函数 f ( x) 称为在 x x0 下是有界的, 如果 有一个 x0 的去心邻域 O ( x0 ) \ { x0 }, f ( x) 在其中是有 界的, 即存在 M 0, 使得 x O ( x0 ) \ { x0 } 时
(3)
lim

e
1 x2
y

1 x2
lim e y
x0
y

1
lim
y
e
y
0.
2、极限四则运算的应用 利用极限四则运算法则求极限时，必须满足定理的条件：
参加求极限的函数应为有限个，每个函数的极限都必须存在 考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。
例1、求极限 lim 2x2 x 5 (直接代入法) x2 3x 1

_极限的性质与四则运算法则

_极限的性质与四则运算法则

二、四则运算法则
根据极限的定义, 只能验证某个常数 A是否为某个函数 ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的计 算问题, 下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些 已知结果来求函数极限。 定理 设 lim f ( x ) A , lim g( x ) B, 则
备忘 a0b0 0时，
an x n an 1 x n 1 a0 lim x b x m b x m 1 b0 m m 1
0 an bm
nm nm nm
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例
注
(2) n 3 n 求极限 lim 。 n 1 n 1 n ( 2) 3

当x→-∞时结果为-(a+b)，故x→∞ 时极限不存在
x 2 2x 例7 求 lim . x 2 x2
解
x 2 2x x 2 2x 原式 lim x 2 x 2 2x
x 2
lim
x 2 2x
x 2
x 2
1 x
1 x
x 0
。
提 示
答案 不存在。
取t满足xt=1，则 x→0-时t→-∞； x→0+时t→+∞。
7、其他
必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。
例
答案 练习 答案
1 1 1 求极限 lim 1 2 2 3 n(n 1) 。 n
推论3 如果 lim f i ( x)存在(i 1,2,, n), 则 lim[ f1 ( x) f 2 ( x) f n ( x)]
lim f1 ( x) lim f 2 ( x) lim f n ( x)

2.3极限性质、法则

2.3极限性质、法则
x →0
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1） ：（ ）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1： 、推论 ：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理： 若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明： 、 证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,

极限的性质及运算法则

极限的性质及运算法则

去心邻域 在该邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 定理3 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)
而且 lim f(x)=A 那么 A0(或 A0)
x x0
推论 如果j(x)f(x) 而limj(x)=a limf(x)=b 那么ab
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2x3 x2 5 lim = 2 2x 1 x 3x
•讨论
有理函数的极限 lim
a0 x n a1x n 1 an b0 xm b1 x m 1 bm
x
=?
•提示
0 0 a0 x n a1x n 1 an a0 a0 x n a1x n 1 an a0 lim lim = = m b x m 1 b m b x m 1 x b x x b x bm b b 0 0 1 1 m 0 0
当 Q ( x 0 ) = 0 且 P ( x 0 ) 0 时
lim
当Q(x0)=P(x0)=0时 约去分子分母的公因式(xx0)
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3x3 4x2 2 例5 例 5 求 lim 3 5x 2 3 x 7 x
解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
二、极限的四则运算法则
定理5 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 则 lim[f(x)g(x)] 存在 并且 lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB lim [c f(x)]=c lim f(x) (c 为常数)
x 1 x 1 x 1 x 1

极限的运算法则与性质


解
( 型 ) x 时 , 分子 , 分母 .
3
先用 x 去除分 , 再求 .
3 5 2 3 3 2 2 x 3 x 5 2 x x . lim 3 lim 2 x 7 4 1 7 x 4 x 1 x 7 3 x x
7
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小结:当 a 0 , b 0 , m 和 n 为非 0 0
解
n 时 , 是无限 ．
先变形再求极限.
12 n 1 2 n lim ( ) lim 2 2 2 2 n nn nn n
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
2 2 (x h ) x ( 5 ) lim ; h 0 h
1 1 1 ( 6 )lim . n 1 22 3 n n 1
23
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4 、 计 算 下 列 极 限
( 1 ) lim e x 1 ;
3. 函数极限的唯一性
定理 若 lim f ( x )存在, 则极限唯一.
17
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铃
4. 函数极限的局部保号性
x x 0
如 果 lim f( x ) A ,且 A 0 ( 或 A 0 ), 那 么 f( x ) 0 ( 或 f( x ) 0 ).
存 在 常 数 0 ,使 得 0 当 x x 时 ， 有 0
n n 1 lim f ( x ) a ( lim x ) a ( lim x ) a 0 1 n x x 0 x x 0

1.3极限的运算法则和性质


例如,
lim sin x 0 , 函数 sin x 是当 x 0时的无穷小
x 0
.
lim
1 x
x
0,
n
函数
1 x
是当 x 时的无穷小
n
.
lim
( 1) n
n
0 数列 { ,
( 1) n
}是当 n 时的无穷小
.
又如： 当 x 1时 ， x 1是 穷 量 无 小 ；
3
) lim
x x 1 3
2
x 1
2
1 x
x 1
3
3
( x 1) ( x 2)( x 1) lim 2 x 1 ( x x 1)( x 1) x2 1. lim 2 x 1 x x 1
x 1 3
lim
x x2
lim
x
m n

a0 b0
lim x
x
mn
x
x
b0 0,
,
n m; n m; n m.
,
总结：(1)有理函数在无穷远的极限
—无穷小因子分出法
a0
lim
Pm( x ) Qn( x )
x
lim
a0 x a1 x b0 x b1 x
n
m
m 1 n 1
22/22
2
函数极限的性质
定理4(唯一性定理) 如果函数在某一变化过程中
有极限，则其极限是唯一的．
定理5(有界性定理) 若函数f (x)当x→ x0时极限存在，
则必存在x0的某一邻域，使得函数f (x)在该邻域内有界． 定理6(保号性定理) 若函数f (x)当x→ x0时极限为A， 且A>0(或A<0),则在x0的某一去心邻域内，恒有

1.3极限的性质与运算法则

ESC
一.一. 极限的四则运算法则 极限的性质与四则运算法则
例1 求 lim(5 x 2 + 3 x − 1) .
x →1
解 由极限的四则运算法则 原式 = lim 5 x
x →1 2
+ lim 3x − lim1
x →1 x →1
和的极限 = 5 lim x 2 + 3 lim x − 1 = 5(lim x) 2 + 3 × 1 − 1 =极限的和 极限的和 x →1 x →1 x →1 常数因子可提到 极限符号之前
ESC
课堂练习
1.求下列函数的极限 . (1) xlim sin x (2) xlim arctan x x →∞ x →∞
(3) lim(x2 + x)cos 1 x
设 lim f (x) = A ,
lim g ( x) = B , 则
f (x) (3) 若 limg( x) = B ≠ 0 ,商的极限 lim 存在, 商的极限 存在 且 g(x)
f (x) lim f (x) A lim = = . g(x) lim g(x) B
要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！ 法则使用的前提条件！
= 5 × 12 + 3 × 1 − 1 = 7.
由该题计算结果知， 由该题计算结果知，对多项式
有
Pn(x) = a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an (a0 ≠ 0) ,
x → x0
lim P (x) = a0 x0 + a1 x0 n
n
n−1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 x0 + an

函数极限的性质及运算法则


=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解 因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限
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解． 例7 求． 解 因为， 所以． 一般地，当时，有理分式的极限有以下结果：
（1.4.3） 例8 求下列极限： （1）； （2）； （3）． 解 （1）因为m>n，所以．
（2）因为 n>m，所以． （3）因为n =m，所以极限值应为分子、分母最高 次项系数之比．即．
方法归纳： 1.初等函数定义域内某点处的极限值 2.：先求倒数的极限为0，再应用无穷小量和无穷
(2) ．
在使用这些法则时，必须注意两点：
(1)法则要求每个参与运算的函数的极限存在．
(2)商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的
极限不能为零．
例1 求．
（初等函数定义域内某点的极限）
解
（）
． 例2 求． 解
． 可见多项式当时的极限值就是多项式在处的函数值， 即．（1.4.1）
例3 求． 解 先求分母极限． 因为，
所以
． 一般地，当时，有． （1.4.2）
例4 求．
解 先求分母的极限． , 先考虑原来函数倒数的极限.
即是时的无穷小．由无穷小量与无穷大量的倒数关系， 得到．
例5 求．
解 先求分限． ．
消去公因子，再求极限． 注意：因为，所以不能写成． 例6 求．
1.4 极限的性质与运算法则 教学目标: 1.掌握极限的性质及四则运算法则。
2.会应用极限的性质及运算法则求解极限 教学重点：极限的性质及四则运算法则； 教学难点：几种极限的种类及求解方法的归纳 教学课时：2学时 教学方法：讲授法、归纳法、练习法 教学过程： 1.4.1 极限的性质 性质1.5（唯一性） 若极限存在，则极限值唯 一． 性质1.6（有界性） 若极限存在，则函数在的某 个空心邻域内有界． 性质1.7（保号性） 若，且（或），则在的某空 心领域内恒有（或）． 若，且在的某空心邻域内恒有（或）,则（或）． 1.4.2 极限的四则运算法则 定理1.3 若，，则 (1) ；
大量的关系，得无穷大 3.：A.分子分母为多项式的先分解因式约分再求极
限 4.：A分子分母同除以分母的最高次幂
课堂练习：P46 12（2、4、6、8、10、12、14、16） 课后作业：P46 12（1、3、5、7、9、11、13、15） 课后反思：
(2) ； (3)当时， 证 我们只证(1)． 因为，，由定理1.2有，，其中α，β是同一极限 过程的无穷小量，于是．根据无穷小量的性质，仍是无 穷小量，再由定理1.2的充分性可得．． 上述运算法则，不难推广到有限多个函数的代数和 及乘法的情况． 推论 设存在，c为常数，n为正整数，则有 (1) ；