无穷小量极限运算法则
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极限的计算
(2)
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
1 n 1 n Q xn = (1 + ) 单调递增 且 lim (1 + ) = e , n→∞ n n
设 n ≤ x ≤ n + 1,
1 n 1 x 1 n+1 则 (1 + ) ≤ (1 + ) ≤ (1 + ) , n+1 x n
x与n同时趋向 ∞ 与 同时趋向 同时趋向+∞
x → x0
lim f [ϕ( x )] = lim f ( u) = A.
u→ l
说明: 说明
1. lim f [ϕ( x )]
x → x0
lim = ( x ) u→ l f ( u ) = A 令u = ϕ
令 =ϕ
又称变量代换法
2. 幂指函数的极限运算
设 lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B , 则 lim f ( x ) g ( x ) = A B .
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
3
3
x→2
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型 ) 0 先约去趋向于零的因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
第四、五节 无穷大与无穷小 极限运算法则
M0,0,使得 0x 当 x0时 恒f有 (x)1,
M
当xx0时, f(1x)为无穷 . 大 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
16
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; ∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
过程；
5
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证: lim f(x)A
xx0
0,0,当 0xx0 时,有
f(x)A
f(x)A
lim
0
xx0
注： 对自变量的其它变化过程类似可证 . 6
f(2n)0.
所以 x时,f (x)不是无穷大!
13
y
例 证明lim 1
x1 x1
解出 | x1|
y 1 x1
证
M0,
要使 1 x1
M,
O •1
x
只要 x1 1, M
取
1, M
1
铅直渐近线
当 0x1时 ,有 1 M. lim 1 .
x1
x1 x1
结 如x l 果 ix0m f(x) ,则直 xx0是 线函 yf(数 x) 论 的图形的铅直渐近线(vertical asymptote).
14
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证 设lim f(x). x x0 0,0,使得 0x 当 x0时 恒f有 (x)1, 当xx0时, f(1x)为无穷 . 小 15
M
当xx0时, f(1x)为无穷 . 大 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
16
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; ∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
过程；
5
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证: lim f(x)A
xx0
0,0,当 0xx0 时,有
f(x)A
f(x)A
lim
0
xx0
注： 对自变量的其它变化过程类似可证 . 6
f(2n)0.
所以 x时,f (x)不是无穷大!
13
y
例 证明lim 1
x1 x1
解出 | x1|
y 1 x1
证
M0,
要使 1 x1
M,
O •1
x
只要 x1 1, M
取
1, M
1
铅直渐近线
当 0x1时 ,有 1 M. lim 1 .
x1
x1 x1
结 如x l 果 ix0m f(x) ,则直 xx0是 线函 yf(数 x) 论 的图形的铅直渐近线(vertical asymptote).
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三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证 设lim f(x). x x0 0,0,使得 0x 当 x0时 恒f有 (x)1, 当xx0时, f(1x)为无穷 . 小 15
1_4无穷小无穷大 极限运算法则
定理 4 . 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 则有
lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = AB
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[ C f ( x)] = C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x)]n = [ lim f ( x) ] n ( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
x → x0
lim Pn ( x) = Pn ( x0 ).
x → x0
例2. 设 n 次多项式 Pn ( x) = a0 + a1 x + + an x n , 试证
n a lim a x 证: lim Pn ( x) = 0 + a1 lim x + + n
= Pn ( x0 )
x → x0
x →1
1 1 lim = 0 , 函数 当 x → ∞ 时为无穷小; x→ ∞ x x 1 1 lim = 0 , 函数 当 x → −∞ 时为无穷小. x→ − ∞ 1 − x 1− x
定义1. 若 x → x0 (或 x → ∞ ) 时 , 函数 f ( x) → 0 , 则 则称函数 f ( x ) 为 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小 . 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为
1 1 1 lim + + + = 1 n →∞ n n n
n
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 ∀ x ∈ ( x0 , δ 1 ) , u ( x ) ≤ M
高中数学教案极限的运算法则与无穷小量
高中数学教案极限的运算法则与无穷小量高中数学教案：极限的运算法则与无穷小量一、引言数学中的极限是一种重要的概念，在高中数学中也是一个重要的内容。
本教案将重点介绍极限的运算法则与无穷小量的相关知识。
通过深入了解这些内容，学生将能够更好地理解和应用极限的概念。
二、极限的运算法则与无穷小量的定义1. 无穷小量的定义及性质无穷小量是指当自变量趋于某一确定值时，函数值也趋于零的量。
常见的无穷小量有极限为零的数列和极限为零的函数。
2. 极限的四则运算法则在计算极限时，可以利用四则运算法则简化计算过程。
四则运算法则包括：- 两个极限的和等于极限的和；- 两个极限的差等于极限的差；- 两个极限的积等于极限的积；- 两个极限的商等于极限的商（其中除数极限不为零）。
三、极限的运算法则的应用1. 极限的运算示例通过具体的例子来演示极限的运算法则的应用，例如计算以下极限：- lim(x→2) [3x^2 + 2x - 1]- lim(x→1) [√(2x+1) + 4]2. 极限的运算法则的推理在应用极限的运算法则时，有时需要进行推理和证明。
通过给出一些列的推理步骤和相应的证明过程，学生可以更好地理解极限的运算法则的原理。
四、极限的运算法则与函数的性质1. 连续函数的性质连续函数在定义域内具有连续性的特点，具体包括：- 在定义域内无间断点；- 函数值与自变量在定义域内的微小变化成正比。
2. 极限的运算法则与连续函数的关系利用极限的运算法则，可以更好地理解和证明连续函数的性质。
通过给出一些典型的连续函数和相应的极限运算，学生可以加深对连续函数性质的理解。
五、总结通过学习本教案，我们对极限的运算法则与无穷小量有了更深入的了解。
极限的四则运算法则为我们计算极限提供了方便，而无穷小量的概念则帮助我们更好地理解函数的趋势。
希望同学们通过本教案的学习，能够在高中数学中更加熟练地运用极限的运算法则与无穷小量的概念。
2.无穷小量、无穷大量、极限的四则运算
lim x
2
1
1
2 x2
1
例1-21
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大. ( 型 )
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
[ f (x) g(x)] (A B) (A )(B ) AB (A B) 0. (2)成立.
推论1 若lim f (x)存在,而c为常数,则
lim cf (x) c lim f (x)
即:常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 若lim f (x)存在,而n为正整数,则
1．无穷大量 2．无穷小量 ３．极限的四则运算
作业 P14-P15
➢ 1、 3(2，3，8，12，14) ➢ 2、 6
0
222
由夹逼法则
limsin x 0, limcos x 1
x0
x0
3．无穷小量的比较与阶
在自变量 x 的同一变化过程中，两个无穷小趋于零的
快慢可能会有所不同．
如：函数x和x2，当x 0时x2变化比x快.
两个无穷小趋于零的快慢，可根据两个无穷小的商是否 会有极限来判断．
例如 lim x 2 0 x0 x
即:若函数 f ( x)以为A极限,则函数 f ( x) A是无穷小; 反之,若 f ( x) A 是无穷小,则 f ( x)以A为极限. 因此,通常将
lim f ( x) A 表达为 f ( x) A (lim 0).
无穷小运算法则
1 x
lim sin x 0, 函数 sin x是当x 0时的无穷小. x0
1 lim 0,
x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
(1)n lim n n
0,
数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数. (3) 必须指出自变量的趋势
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f ( x) g( x) 有极限， f ( x)有极限，
由极限运算法则可知：
g( x) f ( x) g( x) f ( x) 必有极限，
与已知矛盾，
故假设错误．
练习题
一、填空题:
1、 lim x3 3 __________ . x2 x 3
2、
lim
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是
无界变量未必是无穷大.
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是 无界变量未必是无穷大.
例如, 函数 f ( x) x cos x , x ( , )
f (2n ) 2 n (当 n )
但 f (2 n ) 0
所以 x 时 ,f (x) 不是无穷大 !
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
推论3: 若lim f ( x) A, lim g( x) B, 且 f ( x) g( x), 则 A B .
f (x)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小量与无穷大量极限运算法则
9
性质3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 1 例如： lim 0. 2 x x (1 x ) 三、无穷大量
1.定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函 数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过 程中的无穷大量。记作limf(x)=。
1 1 例如： lim ， 是x 0时的无穷大. x 0 x x x lim e ， ∵ e x是x 时的正无穷大量.
把求一般的极限问题转化为求特殊极限(无穷小)的问题;
n2 2 2 n2 如： 1 , lim 0, lim 1. n n n n n n
3、无穷小的运算性质: 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 性质1： 注意：无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
1 1 1 例如： lim ... 1 0 n lim f ( x) A.
x x
2
2.
x x0 时， f ( x ) 的极限.
注： x x0包含了x x0 和 x x0 两个极限过程.
定理： lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x
10
注意:
(1)记号limf(x)没有指明自变量的变化过程，指的
是任意一种变化过程。
(2)无穷大是函数(变量),不能与很大的常数混淆; (3)切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此 谈及无穷大,一定指明 自变量的变化趋势. 1 1 1 不是无穷大. . 而x 2 呢？ 例 lim x 1 x 1 x 1
4
注意 (1)无穷小是函数(变量),不是一个很小的常数;
性质3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 1 例如： lim 0. 2 x x (1 x ) 三、无穷大量
1.定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函 数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过 程中的无穷大量。记作limf(x)=。
1 1 例如： lim ， 是x 0时的无穷大. x 0 x x x lim e ， ∵ e x是x 时的正无穷大量.
把求一般的极限问题转化为求特殊极限(无穷小)的问题;
n2 2 2 n2 如： 1 , lim 0, lim 1. n n n n n n
3、无穷小的运算性质: 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 性质1： 注意：无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
1 1 1 例如： lim ... 1 0 n lim f ( x) A.
x x
2
2.
x x0 时， f ( x ) 的极限.
注： x x0包含了x x0 和 x x0 两个极限过程.
定理： lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x
10
注意:
(1)记号limf(x)没有指明自变量的变化过程，指的
是任意一种变化过程。
(2)无穷大是函数(变量),不能与很大的常数混淆; (3)切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此 谈及无穷大,一定指明 自变量的变化趋势. 1 1 1 不是无穷大. . 而x 2 呢？ 例 lim x 1 x 1 x 1
4
注意 (1)无穷小是函数(变量),不是一个很小的常数;
第四节极限的运算
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数值
f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) ,
那么 称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷小, 记作
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
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4x 1 . 例6 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
x 1
多项式与分式函数 带入法求极限
LOGO
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
LOGO
y 1 1 sin x x
无界，
但 y( xk ) 2k sin 2k 0 M .
不是无穷大．
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1 例2 证 明lim . x 1 x 1
证 M 0. 要使 1 M , x 1
1 1 只要 x 1 , 取 , M M
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) M , 则称函数 f ( x ) 当 x x 0 ( 或 x ) 时为无穷小 , 记作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
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特殊情形：正无穷大，负无穷大．
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16
1.4无穷小、无穷大、极限运算法则
返回 返回
三、无穷小的比较
引例 . x →0时, 1 Y=x Y=x2 1 1 2 0.1 0.01
x, x2 都是无穷小, 但
3 0.01 4 0.001 …… –> 0 –>0
0.000 0.0001 …… 001
所以无穷小趋于零的速度不一样， 所以无穷小趋于零的速度不一样，因此引入阶的概念
返回 返回
例如： − 是很小的数， 穷小量。 例如： 1010000000000 是很小的数，但不是无 穷小量。
2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的 3.分析 f (x) 是否为无穷小一定要考虑自变 分析 变化过程.如 量 x 的 变化过程 如 x → 2时 x − 2 是无穷 不是无穷小。 小，但 x → 3时，则 x − 2 不是无穷小。 返回 返回
定义: 定义:设α, β是同一过程中的两个无 , 且α ≠ 0. 穷小 β (1) 如果lim = 0, 就说β是比α高阶的无穷小 , α 记作β = o(α); β β α低阶的无穷小. (2)如果lim = ∞, 就说 是比 低阶的无穷小. α β (3) 如果lim = C(C ≠ 0),就说β与α是同阶的无穷小 ; α β ; 特殊地如果lim = 1, 则称β与α是等价的无穷小 α 记作α ~ β;
β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim β ′ . β′ α′ α α′
返回 返回
tan 2x . 例5 求lim x→0 1 − cos x
1 2 解 当x →0时, 1 − cos x ~ x , tan2x ~ 2x. 2 2 (2x) 原式= lim = 8. x→0 1 → 2 x 2
三、无穷小的比较
引例 . x →0时, 1 Y=x Y=x2 1 1 2 0.1 0.01
x, x2 都是无穷小, 但
3 0.01 4 0.001 …… –> 0 –>0
0.000 0.0001 …… 001
所以无穷小趋于零的速度不一样， 所以无穷小趋于零的速度不一样，因此引入阶的概念
返回 返回
例如： − 是很小的数， 穷小量。 例如： 1010000000000 是很小的数，但不是无 穷小量。
2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的 3.分析 f (x) 是否为无穷小一定要考虑自变 分析 变化过程.如 量 x 的 变化过程 如 x → 2时 x − 2 是无穷 不是无穷小。 小，但 x → 3时，则 x − 2 不是无穷小。 返回 返回
定义: 定义:设α, β是同一过程中的两个无 , 且α ≠ 0. 穷小 β (1) 如果lim = 0, 就说β是比α高阶的无穷小 , α 记作β = o(α); β β α低阶的无穷小. (2)如果lim = ∞, 就说 是比 低阶的无穷小. α β (3) 如果lim = C(C ≠ 0),就说β与α是同阶的无穷小 ; α β ; 特殊地如果lim = 1, 则称β与α是等价的无穷小 α 记作α ~ β;
β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim β ′ . β′ α′ α α′
返回 返回
tan 2x . 例5 求lim x→0 1 − cos x
1 2 解 当x →0时, 1 − cos x ~ x , tan2x ~ 2x. 2 2 (2x) 原式= lim = 8. x→0 1 → 2 x 2
第三次课 无穷小与无穷大 极限运算法则
x 1
解：原式 lim3x 2 lim 2 x3
x 1 x 1
2 3 3 （lim x ） 2 （lim x ） x 1 x 1
如果f(x)连续，极限 值等于函数值。
3 12 2 13 1
14
x 1 例2.求 lim 2 x 1 2 x 3
解：原式
推论1 推论2
性质3
有限个无穷小的积是无穷小.
性质4 lim f ( x) A f ( x) A
4
1 例1.求 lim x sin x 0 x 1 又 lim x 0, 解： | sin | 1, x 0 x arctan x 例2.求 lim x x
解： | arctan x |
0
19
2x 1 例7. lim x 5 x 2
3
( 型)
1 2 3 3 2x 1 x 解： lim lim x 5 x 2 x 5 2 3 2 x x
20
m m 1 a x a x 小结: lim 0 n 1 n1 am x b x b x bn 0 1
( 型)
a0 b , 当n m , 0 0, 当n m , , 当n m .
(a0 0, b0 0, m, n为非负整数)
21
x 2 例8. 求 lim x 4 x 4
0 ( 型) 0
( x 2)( x 2) 解 : 原式= lim x 4 ( x 4)( x 2)
2.5 极限的运算
12
一、极限的四则运算法则
设在同一极限过程中，lim f ( x ) A, lim g ( x ) B
解：原式 lim3x 2 lim 2 x3
x 1 x 1
2 3 3 （lim x ） 2 （lim x ） x 1 x 1
如果f(x)连续，极限 值等于函数值。
3 12 2 13 1
14
x 1 例2.求 lim 2 x 1 2 x 3
解：原式
推论1 推论2
性质3
有限个无穷小的积是无穷小.
性质4 lim f ( x) A f ( x) A
4
1 例1.求 lim x sin x 0 x 1 又 lim x 0, 解： | sin | 1, x 0 x arctan x 例2.求 lim x x
解： | arctan x |
0
19
2x 1 例7. lim x 5 x 2
3
( 型)
1 2 3 3 2x 1 x 解： lim lim x 5 x 2 x 5 2 3 2 x x
20
m m 1 a x a x 小结: lim 0 n 1 n1 am x b x b x bn 0 1
( 型)
a0 b , 当n m , 0 0, 当n m , , 当n m .
(a0 0, b0 0, m, n为非负整数)
21
x 2 例8. 求 lim x 4 x 4
0 ( 型) 0
( x 2)( x 2) 解 : 原式= lim x 4 ( x 4)( x 2)
2.5 极限的运算
12
一、极限的四则运算法则
设在同一极限过程中，lim f ( x ) A, lim g ( x ) B
极限的运算法则无穷小与无穷大两个重要极限
定 理 在 自 变 量 的 同 一 变 化 过 程 中 , 如 果 f( x )为 无 穷 大 , 则
1为 无 穷 小 ; 反 之 , 若 f(x )为 ( 非 零 ) 无 穷 小 , 则 1为 无 穷 大 .
f(x )
f(x )
如 lim x 0 lim 1
x0
x 0 x
8
二、函数的极限运算法则
1、定理 设 lim u A ,lim v B ,则 ( 1 )li u m v ) li u ( m li v m A B ; ( 2 )liu m ) l v i u ( l m i v m A B ; u lim u A (3) lim (B0) v lim v B
9
说明：
例如, 当 x 0 时 ,3 x ,x 2 ,s in x ,都 是 无 穷 小 .
观
x2
lim 0, x0 3 x
下节证
x2比3x要快得;多
察
sin x
各 lim
1,
极 x0 x
sinx与x大致相;同
限
lim
x0
x x2
，
x比x2要 慢 得 多.
比值极限不同, 反映了两者趋向于零的
“快慢”程度不同.
limsinx0. x x
4
例2 limarctanx x x
解 Q lim 1 0 x x
arctan x
2
limarctanx 0 x x
5
2、无穷大(量)
定义 如果变量u在其变化过程中|u|无限增大，则 称u为无穷大(量)，记作
u 或 liu m
注: 1. 无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数 混为一谈；
记作 a~;
极限的四则运算法则
x→x0
( C 为常数 ) ( n 为正整数 ) 试证
lim P (x) = P (x0 ). n n
证: lim P (x) = n
x→x0
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定理 5 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有
n(n +1) 1 1 1 解: 原式 = lim = lim (1+ ) = 2 n→∞ 2n n→∞ 2 n 2
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3. 求 解法 1
1 1 = lim 原式 = lim = 2 x→+∞ x→+∞ x +1+ x 1 2 1+ 2 + 1 x 解法 2 令 t = 1 , 则 t →0+ x 1 1 1 1+ t 2 1 原式 = lim [ 2 +1 ] = lim t →0+ t t →0+ t t t2 1 1 = lim = 2 2 t→0+ 1+ t +1
f (x) = A+α , g(x) = B + β , 其中α , β 为无穷小
设
A+ A+α A 1 = = (Bα Aβ) B + β B B(B + β ) 无穷小
有界
γ 为无穷小, f (x) = A +γ 因此
1 2 = < 由极限与无穷小关系定理 , 得 g(x) B+ β B
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提示: 提示 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
( C 为常数 ) ( n 为正整数 ) 试证
lim P (x) = P (x0 ). n n
证: lim P (x) = n
x→x0
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定理 5 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有
n(n +1) 1 1 1 解: 原式 = lim = lim (1+ ) = 2 n→∞ 2n n→∞ 2 n 2
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3. 求 解法 1
1 1 = lim 原式 = lim = 2 x→+∞ x→+∞ x +1+ x 1 2 1+ 2 + 1 x 解法 2 令 t = 1 , 则 t →0+ x 1 1 1 1+ t 2 1 原式 = lim [ 2 +1 ] = lim t →0+ t t →0+ t t t2 1 1 = lim = 2 2 t→0+ 1+ t +1
f (x) = A+α , g(x) = B + β , 其中α , β 为无穷小
设
A+ A+α A 1 = = (Bα Aβ) B + β B B(B + β ) 无穷小
有界
γ 为无穷小, f (x) = A +γ 因此
1 2 = < 由极限与无穷小关系定理 , 得 g(x) B+ β B
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提示: 提示 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
五节极限运算法则
取 min{ 0 ,1} ，则当0 x x0 时,
就有 0 ( x) a 因而有
f [ ( x)] A
按定义得 lim f [( x)] A x x0
注 在定理6的条件下有
令 u (x)
lim f [( x)]
lim f (u) A
x x0
ua
例13 求lim 2x 1 x4
g(x) B (x)
(6)
其中 lim (x) 0 x x0
(5) (6)得
f ( x) g( x) ( A B) [( x) ( x)]
lim[( x) ( x)] 0 x x0
由函数极限与无穷小的关系,得
lim[ f ( x) g( x)] A B
x x0
(约去零因子)
x3 64 例4 lim
x4 x 2
解 x 4时, 分子, 分母的极限都是零.
x3 64
( x3 64)( x 2)
lim
lim
x4 x 2 x4 ( x 2)( x 2)
( 0型) 0
( x 4)( x2 4x 16)( x 2)
lim
x4
x4
lim( x2 4x 16)( x 2) x4
解 lim 2x 1 令u 2x 1 lim u 9 3
x 4
u9
注1 将a换为时,也有类似的结果成立 . 注2 将x0换为时,也有类似的结果成立.
xx0 g( x)
lim
f (x) A
lim f ( x)
x x0
xx0 g( x) B lim g( x)
x x0
证 [1]
lim f (x) A x x0
由函数极限与无穷小的关系,得
就有 0 ( x) a 因而有
f [ ( x)] A
按定义得 lim f [( x)] A x x0
注 在定理6的条件下有
令 u (x)
lim f [( x)]
lim f (u) A
x x0
ua
例13 求lim 2x 1 x4
g(x) B (x)
(6)
其中 lim (x) 0 x x0
(5) (6)得
f ( x) g( x) ( A B) [( x) ( x)]
lim[( x) ( x)] 0 x x0
由函数极限与无穷小的关系,得
lim[ f ( x) g( x)] A B
x x0
(约去零因子)
x3 64 例4 lim
x4 x 2
解 x 4时, 分子, 分母的极限都是零.
x3 64
( x3 64)( x 2)
lim
lim
x4 x 2 x4 ( x 2)( x 2)
( 0型) 0
( x 4)( x2 4x 16)( x 2)
lim
x4
x4
lim( x2 4x 16)( x 2) x4
解 lim 2x 1 令u 2x 1 lim u 9 3
x 4
u9
注1 将a换为时,也有类似的结果成立 . 注2 将x0换为时,也有类似的结果成立.
xx0 g( x)
lim
f (x) A
lim f ( x)
x x0
xx0 g( x) B lim g( x)
x x0
证 [1]
lim f (x) A x x0
由函数极限与无穷小的关系,得
2.3-2.4无穷小与无穷大、极限运算法则
第三节无穷小与无穷大一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系基本要求： 1. 理解无穷小与无穷大的定义。
2. 掌握无穷小与无穷大的相关关系。
一、无穷小 1. 定义 定义1 定义 如果函数 f ( x) 当 x → x0 (或 x → ∞ )时的 极限为零，那么 称函数 f ( x ) 为当 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小。
1 x = 0 lim cos x = 0, = 0 limsin 例：lim x →0 π x →∞ x x→ 2 1 故 , sin x, cos x是相应过程的无穷小量 x注1：无穷小与极限过程分不开, 不能脱离极限 过程谈无穷小。
如：f (x)=sinx 当x →∵ lim sin == 1≠ ∵ lim sinx x 00 πx→ →0 x 2当x→0时，f (x)=sinx为无穷小π2时，f (x)=sinx不是无穷小.注2：0是任何极限过程的无穷小. 即 lim 0 = 0 注3： 由于limC = C(常数), 所以, 除0外的任何 常数不是无穷小量. 注4： 不能将无穷小与很小的数混淆; 如： 数10-10 ≈0，但不是无穷小。
定理lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x ). 其中α ( x )是该极限过程中的无穷小量. A为常数. (省去x→xo , x→∞的极限符号“lim” 表示任一极限过程).2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质： 性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小 注1：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.。
1 例. 求 lim x sin x →0 x解: 因为 x → 0 时， x为无穷小, sin 1 ≤ 1 x 1 sin 为有界函数, x 1 。
由定理1.4 2 , 得到 lim x sin = 0 x →0 x2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质： 性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
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f (x) a (x) (x x 你可得出 什么结论 ?
定理
lim f (x) a f (x) a (x) ,
xx0 ( x)
其中, (x) 0 (x x0 , (x )) .
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
例1
(1) lim x2 0, x 0 时, x2 是一个无穷小量. x0
(2) limsin x 0, x 0 时, sin x 是一个无穷小量. x0
(3) lim 1 0, x 时, 1 是一个无穷小量.
x x
x
(4) limcos x 0, x 时, cos x 是一个无穷小量.
3.无穷小量的运算法则
同一个极限过程中的有限个 无穷小量之和仍是一个无穷小量.
同一个极限过程中的有限个 无穷小量之积仍为无穷小量.
常数与无穷小量之积仍 为无穷小量.
在某一极限过程中, 无穷小量 与有界量之积仍是一个无穷小量.
在某极限过程中, 以极限不 为零的函数除无穷小量所得到商 仍为一个无穷小量.
当 x 时,
函数 sinx、cosx, 是否为无穷大量 ？
因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量.
2. 无穷大量与无穷小量的关系
定理 在某一极限过程中
若 f (x) 是一个无穷大量,
则 1 为无穷小量. f (x)
若 f (x) 是一个无穷小量且 f (x) 0, 则 1 为无穷大量. f (x)
显然, n 时, xn , yn . 此时
{xn yn}: 0, 0, , 0,
不是无穷大量
{xn yn}: 2, 4, 6, 8,
是无穷大量
证明：在某极限过程中, 两个无穷小量之 和仍是一个无穷小量.
证 设 , 为 x x0 时的两个无穷小量, 则
0 ,
1
0,
当
0 |
x
x0
| 1
时,
|
|
,
2
2
0,
当
0 | x x0 | 2
时,
|
| ,
2
取 min{1, 2} , 则当 0 | x x0 | 时, 有
| || || | ,
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（1）
—— 一元微积分学
第五讲 无穷小量与无穷大量 极限的运算
授课教师：王利平
主 要 内容
一.无穷小量及其运算性质 二. 无穷大量 三. 极限的运算法则
一、无穷小量及其运算性质
简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限 的量称该极限过程中的一个无穷小量.
f (x) (x x0 (或x ) ).
( x)
换成 f (x) M , 则
lim f (x) , x x0 ( x)
称为正无穷大量. .
换成 f (x) M , 则
lim f (x) , x x0 ( x)
称为负无穷大量. .
例4
(i) y x 2 ,
(ii) y x3 ,
22
即 x x0 时, 是一个无穷小量.
证明: 在某一极限过程中, 无穷小量与 有界量的积仍是一个无穷小量.
证 设 f (x) 是 x x0 时的有界量, 即 M 0 和1 0,
使当 x U( x0,1) 时, | f (x) | M .
又设 (x) 0 (x x0) , 则 0, 2 0, 使当
证 因为 lim 1 0 , ( 无穷小量 ) x x
| sin x | 1 x (,) , ( 有界量 )
故 lim 1 sin x 0 . x x
例3
求
lim
x0
x3 x2
4
.
解 由于 lim x3 0 , ( 无穷小量 ) x 0
lim(x2 4) 4 ,
x 0
故
lim
x0
x3 x2
x2
2
(5) lim 0 0,
在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量.
1.无穷小量的定义
定义 0, 若 0 (X 0) , 使当 0 | x x0 | (| x | X ) 时, | f (x) |
成立, 则称 f (x) 当 x x0 (x ) 时,
4
0
.
( 极限不为零 )
二. 无穷大量
1.无穷大量的定义
定义
M 0, 若 0 (或X 0), 当 x U (x0, )
(或 | x | X ) 时, 有
| f (x) | M
成立, 则称 f (x) 为 x x0 (或x ) 时的无穷大量, 记为
lim f (x) 或
x x0
0 | x x0 | 2
时,
|(x) | .
M
令 min{1,2}, 则当 0 | x x0 | 时,
| f (x) (x) | | f (x) | |(x) | M
M
故当 x x0 时, f (x) (x) 为无穷小量 .
例2
证明 lim 1 sin x 0 x x
lim x2 .
x
lim x3 .
x
(iii) y ln x, lim ln x , lim ln x .
x0
x
(iv) y tan x, lim tan x , lim tan x .
x
x
2
2
例5
在某极限过程中,
无穷大量是否一定是无界量 ?
无界量是否一定是无穷大量 ? (iii), (iv) 自己画 画图会更清楚.
3.无穷大量的运算性质
若 lim f (x) , 则 lim | f (x) | .
无穷大量一定是同一 极限过程中的无界量.
反之不真
在某极限过程中, 无穷大量与 有界量之和仍为无穷大量.
在某极限过程中, 两个无穷大量之积 仍是一个无穷大量.
例7 两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?
考察 {xn}: 1, 2, 3, 4, , (1)n n, {yn}: 1, 2, 3, 4, , (1)n1n,
为无穷小量.
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 lim xx0
f
(x)
a,
则
0,
当
0 | x x0
|
时,
| f (x) a | | ( f (x) a) 0 | ,
即当 x x0 时 , f (x) a 是一个无穷小量.
令 (x) f (x) a , 则 (x) 0 (x x0) , 且