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a0 0,
,
b0 ,当n m, 当n m, 当n m.
14
例8 求 lim x 1 . x1 x 1
共扼因子法
解 原式 lim ( x 1)( x 1) lim( x 1) 2 . x1 ( x 1)( x 1) x1
例9 求 lim 3 1 x 1 . x0 1 x 1
2
性质3 有极限函数的局部保号性
定理 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), 则 0, x x0 当0 x x0 时, f ( x) 0 (或f ( x) 0) .
推论1 若 0, 当0 x x0 时, f ( x) 0
(或 f ( x) 0), 且 lim f ( x) A,则 A 0 (或 A 0) . x x0
(3) lim u lim u A (B 0) v lim v B
证略
4
说明：
1. lim( u v) lim u lim v 有两层意思:
(1) 在lim u和lim v都存在的前提下，lim(u+v)也存在； (2) lim (u+v)的数值等于 lim u+ lim v.
2. lim (u+v)存在, 不能倒推出lim u和lim v 都存在. 3. 若lim u存在,而 lim v不存在,则lim (u+v)必不存在.
lim un (lim u)n .
前已证
lim
x x0
x
x0
,
所以
lim
x x0
xn
x0n
.
例1 lim( x2 3x 1) lim x2 lim 3x 1
x2
x2
x2
(2)2 3 (2) 1 1 .
6
例2
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解
lim
x2
x2
x3 1 3x
2x
3
lim
x1
(
x
3)( x
1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
8
例4
求lim x1
2x2 1 3x2 5x
a
,其中a为常数.
解 lim(2x2 1) 1, lim(3x2 5x 2） a 2
x1
x1
因此,当a≠2 时,分母的极限的不为零,但有
lim
x1
2x2 1 3x2 5x
11
(2)分子、分母同除以x3,可得
2x3 x2 x 1
lim
x
x3
2x2
x
4
lim
2
1 x
1 x2
1 x3
x
1
2 x
1 x2
4 x3
2
上述题直接用下面结果也可以：
12
一般, 当a0 0,b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 x m1 b1 x n1
am bn
1 2
.
16
例11 已知 lim( x2 2 ax b) 0,求常数a,b. x x 1
解 由于
lim( x2 2 ax b) lim x2 2 (x 1)(ax b)
x x 1
x
x 1
lim (1 a)x2 (a b)x 2 b
x
x 1
0 上式中，分子多项式二次及一次式的系数应
§2.4 极限性质与运算法则
1
一、极限基本性质
以 lim f ( x) 为代表 . x x0
性质1 函数极限的唯一性
定理 若 lim f ( x) 存在,则极限唯一. x x0
性质2 有极限函数的局部有界性 定理 如果 lim f ( x) A ，那么存在常数M 0 和
x x0
0 ，使得当 0 x x0 时，有 f ( x) M .
注意 即使f ( x) 0, 也只能得到A 0 .
推论2 若f ( x) g( x) , 且 lim f ( x) A, lim g( x) B,
x x0
x x0
则必有A B .
3
二、 极限的四则运算法则
定理 设 lim u A, lim v B, 则 (1) lim( u v) lim u lim v A B ; (2) lim( uv) lim u lim v A B ;
a
a
1
2
(a
2）
当a=2时,分母极限为零,但有
lim
x1
3x2 5x 2x2 1
a
0 1
0
于是,又无穷大与无穷小的关系,有
2x2 1
lim
9
x1 3x2 5x a
例5
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
(型)
解
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
反证: v (u v) u
若 lim (u+v) 存在, 已知 lim u 存在, 由定理知 lim v 存在, 矛盾
4. 可推广到有限多项.
5
(2) lim( uv) lim u lim v A B ;
推论1 如果lim u存在,而c为常数,则
lim( cu) c lim u . 推论2 如果lim u存在,而n是正整数,则
5
lim( x3 1)
x2
lim( x2 3x 5)
x2
23 1 7. 33
7
例3
求
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
.
消零因子法
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1
( x 1)( x 1)
lim
x1
x2
a0 0, ,
b0 ,当n m, 当n m, 当n m.
13
例7
求
lim
x
x2 arctan 2x2 x
x
.
解
x2 arctan x
x2
lim
x
2x2 x
lim
x
2x2
x
lim arctan x
x
1 .
22 4
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 x m1 b1 x n1
am bn
为零,故有1+a=0,a+b=0,由此得 a=-1,b=1
17
练习：
P66 习题二
18
;
(2)
lim
x
2x3 x2 x3 2x2
x x
1 4
.
解 (1)分子、分母同除以x4,可得
lim
x
x4 x3 2x 5 2x3 x2 3x 6
所以
lim x
2 x
1 x2
3 x3
6 x4
1
1 x
2 x2
5 x4
0
lim
x
x4 x3 2x 5 2x3 x2 3x 6
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
一般,当a0 0,b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 x m1 b1 x n1 Nhomakorabeaam bn
a0 0, ,
b0 ,当n m, 当n m, 当n m.
10
例6 求下列极限:
(1)
lim
x
x4 x3 2x 5 2x3 x2 3x 6
变量代换法
解 令 x 1 t6 , x 0, t 1,
原式
lim
t 1
t2 t3
1 1
lim
t 1
t 1 t2 t 1
2 3
.
15
例10
求
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无穷多项之和．先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2 n2
n
lim
n
n(n 1) 2n2
