极限的性质及运算法则

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第3节_极限的四则运算法则及函数极限的基本性质

解
令 x + 1 = t6 , x → 0 , ⇒ t → 1 ,
3
t2 −1 t +1 2 = lim 原式 = . = lim 2 t →1 t 3 − 1 t →0 t + t + 1 3
例 6 求 lim (
n→∞
1 2 n + 2 +Λ + 2 ). 2 n n n
和式中的每一项都有极限, ,且极限为0. 且极限为0. 分析和式中的每一项都有极限但求极限时, 但求极限时,里面有无穷多项, 里面有无穷多项,极限四则运算法则不再适用. 法则不再适用. 解
推论二推论二如果 lim f ( x ) 存在, 存在,而 n 是正整数, 是正整数,则
lim[ f ( x )]n = [lim f ( x )]n .
求极限方法举例: 求极限方法举例:
x3 − 1 例 1 求 lim 2 . x→2 x − 3x + 5
解
3 −1 7 2 x→2 x→2 = . = 原式 = 2 3 3 lim x − lim 3 x + lim 5
存在,而 lim g ( x ) 不存在, 不存在, 一个结论: 若 lim f ( x ) 存在, 则 lim[ f ( x ) + g ( x )] 一定不存在. 一定不存在.
证 (反证法) 反证法) 假设 lim[ f ( x ) + g ( x )] 存在, 存在,则
lim g ( x ) = lim{[ f ( x ) + g ( x )] − f ( x )} = lim[ f ( x ) + g ( x )] − lim f ( x )
o
u → u0

极限性质与运算法则

a0 0,
,
b0 ,当n m, 当n m, 当n m.
14
例8 求 lim x 1 . x1 x 1
共扼因子法
解原式 lim ( x 1)( x 1) lim( x 1) 2 . x1 ( x 1)( x 1) x1
例9 求 lim 3 1 x 1 . x0 1 x 1
2
性质3 有极限函数的局部保号性
定理若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), 则 0, x x0 当0 x x0 时, f ( x) 0 (或f ( x) 0) .
推论1 若 0, 当0 x x0 时, f ( x) 0
(或 f ( x) 0), 且 lim f ( x) A,则 A 0 (或 A 0) . x x0
(3) lim u lim u A (B 0) v lim v B
证略
4
说明：
1. lim( u v) lim u lim v 有两层意思:
(1) 在lim u和lim v都存在的前提下，lim(u+v)也存在； (2) lim (u+v)的数值等于 lim u+ lim v.
2. lim (u+v)存在, 不能倒推出lim u和lim v 都存在. 3. 若lim u存在,而 lim v不存在,则lim (u+v)必不存在.
lim un (lim u)n .
前已证
lim
x x0
x
x0
,
所以
lim
x x0
xn
x0n
.
例1 lim( x2 3x 1) lim x2 lim 3x 1
x2
x2
x2
(2)2 3 (2) 1 1 .

2.5极限运算法则

(3) lim[Cf ( x)] C lim f ( x) CA ( C 是与x 无关的常数);
xX
xX
lim
f (x)

lim
xX
f (x)

A
(这里要求 B 0).
xX g( x) lim g( x) B
xX
注意：利用极限四则运算法则求极限时，必须满足定理的条件：参加求极限的函数应为有限个，每个函数的极限都必须存在，在考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。
例1、求极限 lim(3x2 2x 1) x1
解: lim(3x2 2x 1) lim 3x2 lim 2x lim 1
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2lim x lim 1
x1
x1
x1
31 21 1 2
例2、求极限 lim 2x2 x 5 x2 3x 1
xX
x X
lim[ f ( x) g( x)] 是否存在 ? 为什么 ?
xX
答: 不存在 . 否则由
g(x) [ f (x) g(x)] f (x)
利用极限四则运算法则可知 lim g( x) 存在 , 与已知条件 x X
矛盾.
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2. 试确定常数 k 使
lim x
8x2

7x

总结例4可得：
a0
lim
x
a0 xn b0 xm

a1 x n1 b1 x m1

an bm

b0 0

03极限的运算法则与性质

解
x2
x 2 x 2
lim
lim
x2 x 2 x2 x 2 x 2
x 2 x 2
lim
2 2.
x2
x2
上例给出了无理函数求极限的一般方法: 有理化.
13
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铃
例8 求 lim 4x 1 3. x2 x 2 2
解
lim
4x 1 3
x2 x 2 2
4x 1 3 4x 1 3 x 2 2 lim
x2 x 2 2 x 2 2 4x 1 3
4 x 2
lim
x 2 2 8.
x2 x 2 4x 1 3 3
14
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二、极限的性质
1. 收敛数列的有界性
定理收敛数列必有界.
x1 x3
【
M1
(
xN+1 xN+3
xN+2
)
a
xN
a 1
a 1
推论: 无界数列必发散.
x2 】 M2 x
注意, 该定理不是充分必要条件.
例如数列 xn 1 n1 是有界数列但是发散的.
15
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铃பைடு நூலகம்
与数列的有界性定理平行的是:
定理（局部有界性）如果极限 lim f (x)存在 , 那么
x2
x2
x2
2 22 4 2 31 13.
3
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铃
由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式:

1-5 极限的运算法则

则
x x0
0
0
lim f ( x ) lim g( x ) .
x x0
例1
则
对于有理函数
只要
就有
例2 计算下列极限
2x 3 (1) lim 3 x 1 x x 2 x 2
2

lim( 2 x 2 3) lim( x x 2 x 2)
x 1 x 1 3
x 1
解先通分得原式=
原式=
说明：分母有理化或通分后，不一定都是约去零因子法
如
x
lim ( x 1 x) lim
2
1 x2 1 x
x
0
例3 计算下列极限
3x 2 x 7 (1) lim 2 x 2 x x 4 x5 2 x 1 (3) lim x x3 1

lim2 x 3
2 x 1
limx limx limx 2
3 2 x 1 x 1 x 1

2 3 111 2

5 5
1.
1 1 2 2 2 2x x 1 x x lim (2) lim 2 x x 3 x 5 x 2 5 2 3 2 x x 1 1 1 1 lim( 2 2 ) lim2 lim lim 2 x x x x x x x x 5 2 5 2 lim( 3 2 ) lim3 lim lim 2 x x x x x x lim g( x ) A B ;
x x0
( 2) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) A B ;
x x0 x x0 x x0

2.3极限性质、法则

x →0
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1）：（）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1：、推论：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理：若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明：、证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,

04极限的运算法则与性质综述

第一章
第四节
函数与极限
极限的运算法则与性质
主要内容：
一、极限的运算法则
二、极限的性质
内容回顾
xn 1. 数列极限 lim x
；
2.
lim （ f x）； x x0 自变量趋向有限值时函数的极限（ f x）； xlim x0 f x）； lim （ x x 函数极限 0 lim （ f x）； x 自变量趋向无穷大时函数的极限 lim （ x f x）； lim （ f x）. x
例4
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和．
解
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
2x3 3x2 5 例3 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .( 型 )
3
先用x 去除分子分母 , 再求极限 .
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x 5 x3 2. 1 7 x3
y
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
2 x 0
1
左右极限存在且相等,
o
x
故 lim f ( x ) 1.

极限的四则运算

极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。

性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。

保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。

若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。

和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。

其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。

极限的运算法则与性质

解
( 型 ) x 时 , 分子 , 分母 .
3
先用 x 去除分 , 再求 .
3 5 2 3 3 2 2 x 3 x 5 2 x x . lim 3 lim 2 x 7 4 1 7 x 4 x 1 x 7 3 x x
7
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小结:当 a 0 , b 0 , m 和 n 为非 0 0
解
n 时 , 是无限．
先变形再求极限.
12 n 1 2 n lim ( ) lim 2 2 2 2 n nn nn n
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
2 2 (x h ) x ( 5 ) lim ; h 0 h
1 1 1 ( 6 )lim . n 1 22 3 n n 1
23
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4 、计算下列极限
( 1 ) lim e x 1 ;
3. 函数极限的唯一性
定理若 lim f ( x )存在, 则极限唯一.
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4. 函数极限的局部保号性
x x 0
如果 lim f( x ) A ,且 A 0 ( 或 A 0 ), 那么 f( x ) 0 ( 或 f( x ) 0 ).
存在常数 0 ,使得 0 当 x x 时，有 0
n n 1 lim f ( x ) a ( lim x ) a ( lim x ) a 0 1 n x x 0 x x 0

1.3极限的性质与运算法则

ESC
一.一. 极限的四则运算法则极限的性质与四则运算法则
例1 求 lim(5 x 2 + 3 x − 1) .
x →1
解由极限的四则运算法则原式 = lim 5 x
x →1 2
+ lim 3x − lim1
x →1 x →1
和的极限 = 5 lim x 2 + 3 lim x − 1 = 5(lim x) 2 + 3 × 1 − 1 =极限的和极限的和 x →1 x →1 x →1 常数因子可提到极限符号之前
ESC
课堂练习
1.求下列函数的极限 . (1) xlim sin x (2) xlim arctan x x →∞ x →∞
(3) lim(x2 + x)cos 1 x
设 lim f (x) = A ,
lim g ( x) = B , 则
f (x) (3) 若 limg( x) = B ≠ 0 ,商的极限 lim 存在, 商的极限存在且 g(x)
f (x) lim f (x) A lim = = . g(x) lim g(x) B
要注意极限的四则运算法则使用的前提条件！法则使用的前提条件！
= 5 × 12 + 3 × 1 − 1 = 7.
由该题计算结果知，由该题计算结果知，对多项式
有
Pn(x) = a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an (a0 ≠ 0) ,
x → x0
lim P (x) = a0 x0 + a1 x0 n
n
n−1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 x0 + an

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= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 Q lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2
2 x→2
= ( lim x ) 2 −Байду номын сангаас3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
3
x→2
lim x 3 − lim 1
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
极限的运算法则
设 lim f (x) = A, lim g(x) = B,则
x→X x→X
(1) lim[ f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) = A± B;
x→X x→X x→X
(2) lim[ f (x) ⋅ g(x)] = lim f (x) ⋅ lim g(x) = A⋅ B;
练习题答案
一、 1、 -5； 5、 0；二、 1、 2； 1 5、； 2 2 、 3； 6、 0； 2、 2 x ； 6、 0 . 3、 2；
1 7、； 2 3、 -1； 1 4、； 5 3 30 8、 ( ) . 2 4、 -2；
练习题
一、填空题: 填空题 x3 − 3 1、 lim = __________ . x→2 x − 3 x −1 2、 lim 3 = __________ . x →1 x −1 1 1 1 3、 lim (1 + )( 2 − 2 + ) = __________ . x →∞ x x x ( n + 1)( n + 2)( n + 3) 4、 lim = __________ . 3 n→ ∞ 5n 1 2 5、 lim x sin = __________ . x→0 x cos x 6、 lim x = __________ . −x x → +∞ e + e
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限 .
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 = lim x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
(无穷小因子分出法无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
a n x n + La 1 x + a 0 (an , bm ≠ 0) ∴ lim m x → ∞ b x + Lb x + b m 1 0
x→X x→X x→X
lim f (x) x→X f (x) A (3) lim = = , 其 B ≠ 0. 中 x→X g(x) lim g(x) B
x→X
, 结论: 如果limf (x)存在而n是正整数,则
x→X n
lim[f (x)] = [limf (x)] .
n x→X x→X
例1 求下列极限 x3 − 1 (1) lim 2 . x→ 2 x − 3x + 5
思考题
在某个过程中，有极限，在某个过程中，若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限，是否有极限？无极限，那么 f ( x ) + g ( x ) 是否有极限？为什么？什么？
思考题解答
没有极限．没有极限．有极限，有极限，假设 f ( x ) + g ( x ) 有极限， Q f ( x ) 有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限， g ( x ) = [ f ( x ) + g ( x )] − f ( x ) 必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误．故假设错误．
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法消去零因子法) 消去零因子法
2x3 + 3x2 + 5 例4 求 lim . 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1
解
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
an b m = ∞ 0 n=m n>m n<m
小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 极限的四则运算法则及其推论 2.极限求法极限求法; 极限求法
a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限
4x4 − 2x2 + x 7、 lim = __________ . 2 x →0 3x + 2x
( 2 x − 3) 20 ( 3 x + 2) 30 8、 lim = __________ . 50 x →∞ ( 2 x + 1)
二、求下列各极限: 求下列各极限
1 1 1 1、 lim(1 + + + ... + n ) n→ ∞ 2 4 2
( x + h) 2 − x 2 2、 lim h→ 0 h
1 3 3、 lim( ) − 3 x →1 1 − x 1− x
1− x − 3 4、 lim x → −8 2 + 3 x
5、 lim ( x +
x → +∞
x + x − x)
2x − 1 6、 lim x x → +∞ 4 + 1