2020届一轮复习人教版 二项式定理 学案

§12.4二项分布与正态分布最新考纲考情考向分析1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念．2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.以理解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用．识别概率模型是解决概率问题的关键．在高考中，常以解答题的形式考查，难度为中档.1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB)P(A)(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB)n(A).(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．事件的独立性(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)．这时，称两个事件A，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．(2)概率公式：条件公式A，B相互独立P(A∩B)＝P(A)×P(B)A1，A2，…，A n相互独立P(A1∩A2∩…∩A n) ＝P(A1)×P(A2)×…×P(A n)3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中k＝0,1,2，…，n.于是得到X的分布列X01…k…nP C0n p0q n C1n pq n－1…C k n p k q n－k…C n n p n q0此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．4．两点分布与二项分布的期望、方差(1)若随机变量X服从二点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正态分布(1)正态曲线正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝12π·σ22()2exμσ--，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞)．(2)正态曲线的性质①曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称．②曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状．③曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．(3)正态变量在三个特定区间内取值的概率值①P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%；②P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%；③P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.概念方法微思考1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？提示不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率．2．“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(×)(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(×)(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(×)(4)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(√)(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(√)(6)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(√)题组二教材改编2．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56答案C解析设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A B＋A B，∴P(A B＋A B)＝P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A.310B.13C.38D.29 答案 B解析 设A ＝{甲第一次拿到白球}，B ＝{甲第二次拿到红球}， 则P (AB )＝C 12C 110×C 13C 19＝115，P (A )＝C 12C 110＝15，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.4．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X >2c －1)＝P (X <c ＋3)，则c ＝________. 答案 43解析 ∵X ～N (3,1)，∴正态曲线关于x ＝3对称， 且P (X >2c －1)＝P (X <c ＋3)， ∴2c －1＋c ＋3＝3×2，∴c ＝43.题组三 易错自纠5．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为23和34，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16 答案 B解析 因为两人加工成一等品的概率分别为23和34，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P ＝23×14＋13×34＝512.6．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25 D.12 答案 B解析 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.7．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于( )A ．1B ．2C ．4D ．不能确定 答案 C解析 当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.题型一 条件概率例1 (1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________． 答案499解析 方法一 (应用条件概率公式求解)设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P (B |A )， 因为P (AB )＝C 25C 2100＝1495，P (A )＝C 15C 1100＝120，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1495120＝499.方法二 (缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为499.(2)一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P (AB )，P (A |B )． 解 如图，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4，∴n (AB )＝1，∴P (AB )＝19，P (A |B )＝n (AB )n (B )＝14.思维升华 (1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A )，这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ).跟踪训练1 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为( ) A.310 B.29 C.78 D.79 答案 D解析 方法一 设事件A 为“第1次取到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次取到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730，则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79.方法二 第1次取到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次取到卡口灯泡的概率为C 17C 19＝79.题型二 独立重复试验与二项分布命题点1 独立事件的概率例2 某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．解 (1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝34，且有⎩⎨⎧P (A )·P (C )＝112，P (B )·P (C )＝14，即⎩⎨⎧[1－P (A )]·[1－P (C )]＝112，P (B )·P (C )＝14，所以P (B )＝38，P (C )＝23.(2)有0个家庭回答正确的概率为 P 0＝P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝14×58×13＝596， 有1个家庭回答正确的概率为 P 1＝P (A B C ＋A B C ＋A B C ) ＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为 P ＝1－P 0－P 1＝1－596－724＝2132.命题点2 独立重复试验例3 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)， 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512.命题点3 二项分布例4 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． 解 令X 表示5次预报中预报准确的次数， 则X ～B ()5，0.8.(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P (X ＝2)＝C 25×0.82×()1－0.83＝10×0.64×0.008≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－C 05×0.80×()1－0.85－C 15×0.8×()1－0.84＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99.(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C 14×0.8×()1－0.83×0.8≈0.02.思维升华 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方法 ①首先判断几个事件的发生是否相互独立．②求相互独立事件同时发生的概率的方法 (ⅰ)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(ⅱ)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算． (2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略①在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率．跟踪训练2 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有40人，不超过100 km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有20人，不超过100 km/h 的有25人．(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为X ，求X 的分布列．解 (1)平均车速不超过100 km/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C 240，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为C 115C 125，所以所求的概率P (A )＝C 115C 125C 240＝15×2520×39＝2552.(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的概率为40100＝25，故X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25.X 的可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫250⎝⎛⎭⎫353＝27125， P (X ＝1)＝C 13·25·⎝⎛⎭⎫352＝54125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫252·35＝36125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫253⎝⎛⎭⎫350＝8125.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125题型三 正态分布例5 (2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116 (x i －x －)2＝116(∑i ＝116x 2i －16x －2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^ ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^ －3σ^ ，μ^ ＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z ≤μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)． 因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． (ⅱ)由x＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^ )之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134.剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.跟踪训练3 “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45]内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和期望．附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝142.75≈11.95；若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.683，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954.解 (1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z 服从正态分布N (μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P (14.55<Z <38.45)＝P (26.5－11.95<Z <26.5＋11.95)＝0.683， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.683.②根据题意得X ～B ⎝⎛⎭⎫4，12，P (X ＝0)＝C 04⎝⎛⎭⎫124＝116； P (X ＝1)＝C 14⎝⎛⎭⎫124＝14；P (X ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫124＝38； P (X ＝3)＝C 34⎝⎛⎭⎫124＝14；P (X ＝4)＝C 44⎝⎛⎭⎫124＝116. ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P116143814116∴E (X )＝4×12＝2.1．(2018·大连模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34 B.23 C.57 D.512 答案 D解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，则所求概率是23×⎝⎛⎭⎫1－34＋34×⎝⎛⎭⎫1－23＝512，故选D. 2．(2018·抚顺模拟)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25B.35C.18125D.54125 答案 D解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P 1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P ＝C 23⎝⎛⎭⎫352⎝⎛⎭⎫1－35＝54125. 3．(2018·鞍山模拟)甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( ) A.29 B.49 C.23 D.79 答案 D解析 甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18(种)情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6(种)情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8(种)情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79，故选D.4．设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数少于900的概率为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997) A ．0.977 B ．0.683 C ．0.998 D ．0.954答案 A解析 ∵X ～N (800,502)， ∴P (700<X <900)＝0.954， ∴P (X >900)＝1－0.9542＝0.023，∴P (X <900)＝1－0.023＝0.977，故选A.5．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N (100,102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________． 答案 10解析 由题意知，P (ξ>110)＝1－2P (90≤ξ≤100)2＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.6．在某次射击中，甲命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________． 答案 34解析 设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，“丙命中目标”为事件C ，则击中目标表示事件A ，B ，C 中至少有一个发生．又P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )]＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率P ＝1－P (A B C )＝34.7．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________． 答案1528解析 记事件“甲取到2个黑球”为A ，“乙取到2个黑球”为B ，则有P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 26C 28＝1528，即所求事件的概率是1528. 8．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．答案 38解析 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B ＋A B ＋AB )C ， ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P ＝⎝⎛⎭⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.9．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________． 答案516解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C 35⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫122＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝516. 10．若随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X >5)＝P (X <－1)＝0.2，则P (2<X <5)＝________. 答案 0.3解析 ∵P (X >5)＝P (X <－1)，∴μ＝5－12＝2.∴P (2<X <5)＝12P (－1<X <5)＝12×(1－0.2－0.2)＝0.3. 11.某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示．(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N (μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数(结果保留整数)． 参考数据：32≈5.66，32.25≈5.68，32.5≈5.70.正态总体N (μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.954. 解 (1)由题图可得μ＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，σ2＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25，所以σ≈5.68.所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.(2)设甲每场比赛中的得分为随机变量X ，由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率 P (X ≥26)≈12[1－P (μ－2σ<X <μ＋2σ)]≈12(1－0.954)＝0.023， 设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y ， 则Y ～B (82,0.023)．Y 的期望E (Y )＝82×0.023≈2.由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为2.12．一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45]，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示．(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5,15)内的小球个数为X ，求X 的分布列和期望．(以直方图中的频率作为概率)解 (1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，而50个样本中小球质量的平均数为 x ＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40 ＝24.6(克)．故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克． (2)由题意知，该盒子中小球质量在[5,15)内的概率为15，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. X 的可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150×⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151×⎝⎛⎭⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153×⎝⎛⎭⎫450＝1125. ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P6412548125121251125∴E (X )＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35.(或者E (X )＝3×15＝35)13．(2018·大连模拟)夏秋雨季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( ) A ．0.05 B ．0.007 5 C.13 D.16答案 C解析 设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P (A )＝0.15，P (AB )＝0.05，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.050.15＝13.故选C.14．(2018·包头模拟)设X ～N (1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.3%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.4%)A ．7 539B ．6 038C ．7 028D ．6 585答案 D解析 ∵X ～N (1,1)，∴μ＝1，σ＝1. ∵P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.3%，∴P (0<X <2)＝68.3%，则P (1<X <2)＝34.15%，∴阴影部分的面积为1－0.341 5＝0.658 5，∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 5＝6 585，故选D.15．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解 (1)依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有k 人去参加甲游戏”为事件A k (k ＝0,1,2,3,4)．则P (A k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k . 故这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4. 由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133×23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故 P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝C 14⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫233＋C 34⎝⎛⎭⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝C 04⎝⎛⎭⎫234＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝1781. 所以ξ的分布列是16．某高校设计了一个实验学科的考核方案：考生从8道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知8道备选题中考生甲有6道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是34，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算期望；(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．解 (1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数为ξ，η，则ξ的所有可能取值为1,2,3；η的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝1)＝C 16C 22C 38＝328，P (ξ＝2)＝C 26C 12C 38＝1528，P (ξ＝3)＝C 36C 02C 38＝514.所以考生甲正确完成题数的分布列为E (ξ)＝1×328＋2×1528＋3×514＝94.因为P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1－343＝164， 同理，P (η＝1)＝964，P (η＝2)＝2764，P (η＝3)＝2764.所以考生乙正确完成题数的分布列为E (η)＝3×34＝94.(2)因为P (ξ≥2)＝1528＋514＝2528，P (η≥2)＝2764＋2764＝5464，所以P (ξ≥2)>P (η≥2)．故从正确完成题数的期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．。

考点规范练45　二项式定理一、基础巩固1.x (1+x )6的展开式中x 3的系数为( )A.30B.20C.15D.102.设n 为正整数,的展开式中存在常数项,则n 的一个可能取值为( )(x -1x x)2nA.16B.10C.4D.23.(4x -2-x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A.-20 B.-15C.15 D.204.若(1+)4=a+b(a ,b 为有理数),则a+b 等于( )33A.36 B.46C.34D.445.已知数列{a n }为等差数列,且满足a 1+a 5=90.若(1-x )m 展开式中x 2项的系数等于数列{a n }的第三项,则m 的值为( )A.6 B.8C.9D.106.在(1-x )5+(1-x )6+(1-x )7+(1-x )8的展开式中,含x 3的项的系数是( )A.74 B.121C.-74 D.-1217.使(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )(3x +1x x)nA.4B.5C.6D.78.已知(x+1)10=a 1+a 2x+a 3x 2+…+a 11x 10.若数列a 1,a 2,a 3,…,a k (1≤k ≤11,k ∈Z )是一个单调递增数列,则k 的最大值是( )A.6 B.7C.8D.59.二项式的展开式中的常数项为 .(2x -1x)610.若的展开式中x 5的系数是-80,则实数a= .(ax 2+1x )511.设(x-2)5=a 0+a 1(x+1)+a 2(x+1)2+…+a 5(x+1)5,则a 1+a 2+…+a 5= . 12.已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 3的系数为5,则实数a= .二、能力提升13.若的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为( )(x +a x)(2x -1x)5A.-40B.-20C.20D.4014.若(1+x+x 2)6=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 12x 12,则a 2+a 4+…+a 12=( )A.256 B.364C.296D.51315.(x+y )(2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A.-80 B.-40C.40D.8016.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x+a 5,则a 4= ,a 5= . 17.若x 9=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+…+a 9(x-1)9,则的值为 .a 1+a 3+a 5+a 7+a 9a 7三、高考预测18.已知二项式的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含x 项的系数是 .(x 2+1x)n考点规范练45　二项式定理1.C 解析因为(1+x )6的展开式的第(k+1)项为T k+1=x k ,所以x (1+x )6的展开式中x 3的项为C k 6C 26x 3=15x 3,所以系数为15.2.B 解析因为展开式的通项公式为T k+1=x2n-k(-1)k ,令=0,(x -1xx)2nC k 2n (-1x x)k=C k2nx 4n -5k24n -5k2得k=,所以n 可取10.4n53.C 解析设展开式中的常数项是第(k+1)项,则T k+1=·(4x )6-k ·(-2-x )k =·(-1)k ·212x-2kx ·2-C k 6C k 6kx =·(-1)k ·212x-3kx .C k 6令12x-3kx=0,解得k=4,故常数项为T 5=·(-1)4=15.C 464.D 解析(1+)4=1+)2+)3+()4=28+16,由题设可得a=28,b=16,3C 14·3+C 24(3C 34(333故a+b=44.5.D 解析由题意,a 3==45,(1-x )m 展开式中x 2项的系数为,所以=45,m=10.a 1+a 52=902C 2m C 2m 6.D 解析展开式中含x 3项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121.C 35C 36C 37C 387.B 解析T r+1=(3x )n-r 3n-r ·,C r n (1x x)r=C r n xn -52r 当T r+1是常数项时,有n-r=0,故选B .528.A 解析由二项式定理知a n =(n=1,2,3,…,11).又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第6C n -110项,故a 6=,则k 的最大值为6.C 5109.-160　解析二项式的通项为T r+1==(-1)r 26-r x 3-r ,(2x -1x)6C r 6(2x )6-r(-1x)rC r 6令3-r=0,则r=3.故(-1)3××23=-20×8=-160.C 3610.-2　解析因为T r+1=(ax 2)5-r a 5-r ·,所以由10-=5,解得r=2.因此a 5-2=-80,C r 5(1x)r=C r 5x10-5r25r2C 25解得a=-2.11.211　解析将(x-2)5=a 0+a 1(x+1)+a 2(x+1)2+…+a 5(x+1)5化为[(x+1)-3]5=a 0+a 1(x+1)+a 2(x+1)2+…+a 5(x+1)5,令x+1=0,得a 0=-35,令x+1=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=-25,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=-25+35=211.12.-　解析∵(1+x )5=1+x+x 2+x 3+x 4+x 5,12C 15C 25C 35C 45C 55∴(1+ax )(1+x )5的展开式中x 3的系数为a·=5,C 25+C 35即10a+10=5,解得a=-.1213.D 解析在中,令x=1,(x +ax)(2x -1x)5得(1+a )(2-1)5=2,即a=1.原式=x·,(2x -1x)5+1x(2x -1x)5故常数项为x·(2x )2(2x )3·=-40+80=40.C 35(-1x)3+1x·C 25(-1x)214.B 解析令x=1,则a 0+a 1+a 2+…+a 12=36,①令x=-1,则a 0-a 1+a 2-…+a 12=1,②由①+②,可得a 0+a 2+a 4+…+a 12=.36+12令x=0,则a 0=1,故a 2+a 4+…+a 12=-1=364.36+1215.C 解析(2x-y )5的展开式的通项公式T r+1=(2x )5-r (-y )r .C r 5当r=3时,x (2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为×22×(-1)3=-40;C 35当r=2时,y (2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为×23×(-1)2=80.C 25故展开式中x 3y 3的系数为80-40=40.16.16　4　解析由二项式展开式可得通项公式为x 3-r ·x 2-m 2m ,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得C r 3C m 2a 4=4+12=16,令x=0可得a 5=13×22=4.17.　解析令x=2,得29=a 0+a 1+a 2+…+a 8+a 9,649令x=0,得0=a 0-a 1+a 2-…+a 8-a 9,所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=a 0+a 2+a 4+a 6+a 8=28.又x 9=[1+(x-1)]9,其中T 8=(x-1)7,C 79所以a 7==36,C 79故.a 1+a 3+a 5+a 7+a 9a 7=25636=64918.10　解析由题意可得,2n=32⇒n=5,所以T r+1=(x2)5-r x10-3r,C r5(1x)r=C r5令10-3r=1⇒r=3,所以展开式中含x项的系数是10.。

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B ．54C ．－1516D ．1516解析：选D.T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D.2．(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数为( ) A ．50 B ．55 C ．45D ．60解析：选B.(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数是C 45＋C 46＋C 47＝55.故选B.3．设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 020x ＋C 22 020x 2＋C 32 020x 3＋…＋C 2 0202 020x2 020＝( ) A ．i B ．－i C ．0D ．－1－i解析：选C.x ＝2i1－i＝－1＋i ，C 12 020x ＋C 22 020x 2＋C 32 020x 3＋…＋C 2 0202 020x2 020＝(1＋x )2 020－1＝i 2 020－1＝0.4．(2018·昆明市教学质量检测)(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数是( )A ．96B ．64C ．32D ．16解析：选B.(1＋2x )3的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 3(2x )r ＝2r C r3x r ，(2－x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 424－k (－x )k ＝(－1)k 24－k ·C k4x k ，所以(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数为20C 03·(－1)·23C 14＋2C 13·(－1)0·24C 04＝64，故选B.5．设n 为正整数，⎝⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( )A ．16B ．10C ．4D ．2解析：选 B.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n 展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 2n x 2n －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x x k ＝C k 2n (－1)k x 4n －5k 2.令4n －5k 2＝0，得k ＝4n 5，又k 为正整数，所以n 可取10.6.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则展开式的常数项等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选B.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式的各个二项式系数之和为8，所以2n ＝8，解得n ＝3，所以展开式的通项为T r ＋1＝C r3(x )3－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2rC r 3x 3－3r 2，令3－3r 2＝0，则r ＝1，所以常数项为6.7．(2018·陕西黄陵中学月考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 6的展开式中常数项为( ) A.52 B ．160 C ．－52D ．－160解析：选A.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎪⎫12x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以展开式中的常数项是T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 36＝52，选A.8．(2018·河南新乡模拟)(1－3x )7的展开式的第4项的系数为( )A ．－27C 37B ．－81C 47C ．27C 37D ．81C 47解析：选A.(1－3x )7的展开式的第4项为T 3＋1＝C 37×17－3×(－3x )3＝－27C 37x 3，其系数为－27C 37，选A.9．(2018·广西阳朔中学月考)(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( )A ．－30B ．120C ．240D ．420解析：选B.[(x ＋2y )＋z ]6的展开式中含z 2的项为C 26(x ＋2y )4z 2，(x ＋2y )4的展开式中xy 3项的系数为C 34×23，x 2y 2项的系数为C 24×22，∴(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中x 2y 3z 2的系数为C 26C 34×23－C 26C 24×22＝480－360＝120，故选B.10．(2018·辽宁辽南协作体模拟)(x ＋y ＋z )4的展开式的项数为( )A ．10B ．15C ．20D ．21解析：选B.(x ＋y ＋z )4＝[(x ＋y )＋z ]4＝C 04(x ＋y )4＋C 14(x ＋y )3z ＋C 24(x ＋y )2z 2＋C 34(x ＋y )z 3＋C 44z 4，运用二项式定理展开共有5＋4＋3＋2＋1＝15项，选B.B 级 能力提升练11．(2018·山西五校第一次联考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－3x ＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5的展开式中常数项为( )A ．－30B ．30C ．－25D ．25解析：选 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－3x ＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r，易知当r ＝4或r ＝2时原式有常数项，令r ＝4，T 5＝C 45(－1)4⎝⎛⎭⎪⎫1x 4，令r ＝2，T 3＝C 25(－1)2⎝⎛⎭⎪⎫1x 2，故所求常数项为C 45－3×C 25＝5－30＝－25，故选C.12．(2018·江西新余一中模拟)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中的常数项为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B.在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，∴A ＝4n ，该二项展开式的二项式系数之和为2n ，∴B ＝2n，∴4n＋2n＝72，解得n ＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 3的展开式的通项T r ＋1＝C r 3(x )3－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r＝3rC r 3x 3－3r 2，令3－3r 2＝0得r ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13＝9，故选B.13．(2018·陕西黄陵中学模拟)若(x －1)5＝a 5(x ＋1)5＋a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.解析：令x ＝－1可得a 0＝－32.令x ＝0可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－a 0＝－1＋32＝31.答案：3114．(2018·四川成都检测)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5a 5－rx 10－5r 2，令10－5r 2＝0，得r ＝4，所以C 45a 5－4＝－10，解得a ＝－2.答案：－215．(2018·上海徐汇模拟)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n (n ≥4，n ∈N *)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n ＝________.解析：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n x n －r ⎝⎛⎭⎪⎫12xr＝C r n 2－r x n －2r ，则前三项的系数分别为1，n 2，n (n －1)8，由其依次成等差数列，得n＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8或n ＝1(舍去)，故n ＝8.答案：816．(2018·湖南长郡中学、衡阳八中联考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25的展开式中x 2的系数是________．解析：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25的展开式中，含x 2的项为2C 15⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4,23C 35⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2，所以在这几项的展开式中x 2的系数和为2C 15C 14＋23C 35C 02＝40＋80＝120.答案：120。

课后限时集训(五十八) 二项式定理(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2019·中山模拟)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )A ．－1B ．1C ．27D ．－27A [依题意得2n ＝8，解得n ＝3.取x ＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1，故选A .]2．已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．29 B ．210 C ．211D ．212A [由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29，故选A .] 3．(2018·石家庄二模)在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．25 B ．－5 C ．－15D ．－25C [(1－x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(－1)r x r ，当r ＝4时，C 45x 4×1＝5x 4，当r ＝3时，－C 35x 3×2x＝－20x 4，故x 4的系数为－15，故选C .]4．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－12x n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第4项为( )A ．7x 6B ．－7x 193C .358x 203D ．－74x 7B [由第5项的二项式系数最大可知n ＝8，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－12x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(3x 2)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12rC r 8x 16＋r 3，则展开式的第4项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 38x 16＋33＝－7x 193.]5．(2018·新余二模)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．18B [在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，即A ＝4n ，二项展开式中的二项式系数之和为2n ，即B ＝2n .∵A ＋B ＝72，∴4n ＋2n ＝72，解得n ＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 3的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(x )3－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r＝3r C r 3x 3－3r 2，令3－3r 2＝0，得r ＝1，故展开式中的常数项为T 2＝3×C 13＝9.故选B .]6．(2019·武汉模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －16的展开式中，含x 5项的系数为( )A ．6B ．－6C ．24D ．－24B [由⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －16＝C 06⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 6－C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5＋C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4＋…－C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋C 66，可知只有－C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5的展开式中含有x 5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －16的展开式中含x 5项的系数为－C 05C 16＝－6，故选B .] 7．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝( ) A ．284 B ．356 C ．364 D ．378C [令x ＝0，则a 0＝1；令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， ① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ② ①②两式左右分别相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 12)＝36＋1＝730， 所以a 0＋a 2＋…＋a 12＝365，又a 0＝1，所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝364.] 二、填空题8．在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2项的系数是________(用数字作答)．35 [x 2项的系数等于C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26＝35.]9．(1＋x ＋x 2)(1＋x )5的展开式中x 4的系数为________(用数字作答)．25 [当第一个因式中的项为1时，x 4的系数为C 45，当第一个因式中的项为x 时，x 4的系数为C 35，当第一个因式中的项为x 2时，x 4的系数为C 25，则展开式中x 4的系数为C 45＋C 35＋C 25＝25.]10．设(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 1等于________．－240 [(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5，其展开式中x 的系数a 1＝C 45(－1)4×(－2)5＋(－1)5C 45(－2)4＝－240.]B 组 能力提升1．在(x －2)6展开式中，二项式系数的最大值为a ，含x 5项的系数为b ，则ab ＝( ) A .53 B ．－53 C .35 D ．－35B [由条件知a ＝C 36＝20，b ＝C 16(－2)1＝－12，∴a b ＝－53，故选B .]2．若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A .13B .12C ．1D ．2 D [因为展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，所以a ＝2，故选D .]3．已知(1－2x )2 019＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 2 018(x －2)2 018＋a 2 019(x －2)2 019(x ∈R)，则a 1－2a 2＋3a 3－…－2 018a 2 018＋2 019a 2 019＝( ) A ．－2 019 B ．2 019 C ．－4 034D ．0C [因为(1－2x )2 019＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 2 018(x －2)2 018＋a 2 019(x －2)2 019(x ∈R)，两边分别对x 求导可得－2 019×2×(2x －1)2 018＝a 1＋2a 2(x －2)＋…＋2 018a 2 018(x －2)2 017＋2 019a 2019(x －2)2 018(x ∈R)，令x ＝1得－4 034＝a 1－2a 2＋…－2 018a 2 018＋2 019a 2 019，故选C .]4.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x 15的展开式中系数最大的项为第________项． 6 [设⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x 15展开式的第r ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧Cr 15⎝ ⎛⎭⎪⎫12r≥C r ＋115⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ＋1，Cr 15⎝ ⎛⎭⎪⎫12r≥C r －115⎝ ⎛⎭⎪⎫12r －1，解得133≤r ≤163，又r ∈N *，则r ＝5，即第6项的系数最大．]。

§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示展开式的第k ＋1项二项式系数C k n (k ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项2C nn取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12Cn n－与12Cn n＋相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.常用结论1．C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.2．C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．(×)(2)(a ＋b )n 的展开式中每一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)(3)通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k 中的a 和b 不能互换．(√)(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(×)教材改编题1.的展开式中x 2的系数等于()A ．45B ．20C ．－30D ．－90答案A解析因为展开式的通项为T k ＋1＝()311010100221C C ()(1)k kk kk kkxxx -+⋅－－－＝－，令－10＋32k ＝2，得k ＝8，所以展开式中x 2的系数为(－1)8×C 810＝45.2．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝243，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于()A ．31B ．32C ．15D ．16答案A解析逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝243，即3n ＝35，所以n ＝5，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝25－1＝31.3．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．答案20解析因为二项式系数之和为2n ＝64，所以n ＝6，则T k ＋1＝C k 6·x6－k＝C k 6x6－2k，当6－2k ＝0，即k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.题型一通项公式的应用命题点1形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1(1)二项式的展开式中的常数项是()A ．－45B ．－10C ．45D ．65答案C解析由二项式定理得T k ＋1＝C k －k(－x 2)k＝55210(1)C k kk x－－，令5k2－5＝0得k ＝2，所以常数项为(－1)2C 210＝45.(2)已知的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝__________.答案±1解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x 5－k ＝(－a )k C k 5352k x.由5－32k ＝5，得k ＝0，由5－32＝2，得k ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.命题点2形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式问题例2(1)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是()A ．56B ．84C ．112D ．168答案D解析在(1＋x )8的展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4的展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168.(2)在(2x ＋a 的展开式中，x 2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为()A ．3204B ．－160C ．160D ．－320答案D解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·x 6－k ＝C k 6·2k ·x6－2k ，2xT k ＋1＝C k 6·2k ＋1·x 7－2k，由k ∈N ，得7－2k ≠2，故不成立，aT k ＋1＝a C k 6·2k ·x6－2k，令6－2k ＝2，解得k ＝2，则a C 26·22＝60a ＝－120，解得a ＝－2，∵7－2k ≠0，在－2T k ＋1中，令6－2k ＝0，解得k ＝3，∴展开式中的常数项为－2C 36·23＝－320.思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰx ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析(x ＋y )8展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k y k ，k ＝0,1，…，7,8.令k ＝6，得T 6＋1＝C 68x 2y 6；令k ＝5，得T 5＋1＝C 58x 3y 5x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为C 68－C 58＝－28.(2)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．答案1625解析由题意得，(2＋x )9的通项公式为T k ＋1＝C k 9(2)9－k ·x k(k ＝0,1,2，…，9)．当k ＝0时，可得常数项为T 1＝C 09(2)9＝16 2.若展开式的系数为有理数，则k ＝1,3,5,7,9，有T 2，T 4，T 6，T 8，T 10，共5个．题型二二项式系数与项的系数问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)在x 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则()A ．二项式系数和为32B ．各项系数和为128C ．常数项为－135D ．常数项为135答案D解析令x ＝1，得各项系数和为2n ，又二项式系数和为2n ，则2×2n ＝128，得n ＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A ，B 不正确；x 的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k ＝C k 6·(－1)k 36－k ·362x ，令6－32k ＝0，得k ＝4，因此展开式中的常数项为T 5＝C 46·(－1)4·32＝135，故C 不正确，D 正确．(2)若(1＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 2＋a 6＋a 8＝________；a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝________.答案3005120解析①由已知得(1＋x )10展开式的通项为T k ＋1＝C k 10x k，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数．故a 2＋a 6＋a 8＝C 210＋C 610＋C 810＝300.②对原式两边求导得，10(1＋x )9＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋10a 10x 9.令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝10×29＝5120.命题点2系数与二项式系数的最值问题例4(多选)(2023·唐山模拟)下列关于2的展开式的说法中正确的是()A ．常数项为－160B ．第4项的系数最大C ．第4项的二项式系数最大D ．所有项的系数和为1答案ACD解析2展开式的通项为T k ＋1＝C k 6－k·(－2x )k ＝(－2)k C k 6·x2k －6.对于A ，令2k －6＝0，解得k ＝3，∴常数项为(－2)3C 36＝－8×20＝－160，A 正确；对于B ，由通项公式知，若要系数最大，k 所有可能的取值为0,2,4,6，∴T 1＝x －6，T 3＝4C 26x －2＝60x －2，T 5＝(－2)4C 46x 2＝240x 2，T 7＝(－2)6x 6＝64x 6，∴展开式第5项的系数最大，B 错误；对于C ，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C 正确；对于D ，令x ＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D 正确．思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．跟踪训练2(1)(多选)对于2的展开式，下列说法正确的是()A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为64C ．常数项为1215D ．系数最大的项为第3项答案ABC解析2的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A 正确；在2中，令x ＝1，得(1－3)6＝64，故B 正确；展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝(－3)k C k 6x12－3k (0≤k ≤6，k ∈N )，令12－3k ＝0，得k ＝4，所以常数项为(－3)4C 46＝1215，故C 正确；由C 的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为(－3)2C 26＝135，第5项系数为(－3)4C 46＝1215，第7项系数为(－3)6C 66＝729，则系数最大的项为第5项，故D 不正确．(2)设(2＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2的值为________．答案1解析令x ＝1有a 0＋a 1＋…＋a 10＝(2＋1)10，令x ＝－1有a 0－a 1＋a 2－…＋a 10＝(2－1)10，故(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)·(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝(2＋1)10(2－1)10＝1.题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512023＋a 能被13整除，则a 等于()A ．0B ．1C ．11D ．12答案B解析因为a ∈Z ，且0≤a ≤13，所以512023＋a ＝(52－1)2023＋a＝C 020********－C 12023522022＋C 22023522021－…＋C 2022202352－C 20232023＋a ，因为512023＋a 能被13整除，所以－C 20232023＋a ＝－1＋a 能被13整除，结合选项，所以a ＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34答案D解析 1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＋C66×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是()A．－3B．2C．10D．11答案C解析11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1＝C0n·11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11＋C n n－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13＋(－1)n·C n n－2，因为n为奇数，则上式＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－3＝[C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－13]＋10，所以11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943答案B解析0.996＝(1－0.01)6＝C06×1－C16×0.01＋C26×0.012－C36×0.013＋…＋C66×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.课时精练2的展开式中x4的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．80答案C解析由题意可得T k ＋1＝C k 5·(x 2)5－k＝(－1)k C k 5·2k ·x10－3k ，令10－3k ＝4，则k ＝2，所以所求系数为(－1)2C 25·22＝40.2．(多选)若2的展开式中的常数项为1516，则实数a 的值可能为()A ．2 B.12C ．－2D ．－12答案AC 解析2的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝Cx 12－3k ，令12－3k ＝0，得k ＝4.故C46＝1516，即＝116，解得a ＝±2.3．在(x ＋3)的展开式中，常数项为()A ．－152 B.152C ．－52D.52答案A 解析原式＝＋，①而的通项公式为T k ＋1C k 6x 6－2k .当6－2k ＝－1时，k ＝72∉Z ，故①式中的前一项不会出现常数项；当6－2k＝0，即k ＝3时，可得①式中的后一项即为所求，此时原式常数项为3×C 36＝－152.4．在的展开式中，x 的指数是整数的项数是()A ．2B ．3C ．4D．5答案D解析因为的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 24(x )24－＝512624C kkx －，所以当k＝0,6,12,18,24时，x 的指数是整数，故x 的指数是整数的有5项．5．在二项式(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A ．－960B ．960C ．1120D ．1680答案C解析根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x )n 的展开式中，二项式系数之和为256，即2n ＝256，得n ＝8，则(1－2x )8的展开式的中间项为第5项，且T 5＝C 48(－2)4x 4＝1120x 4，即展开式的中间项的系数为1120.6．设a ＝3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3，则当n ＝2023时，a 除以15所得余数为()A ．3B ．4C ．7D ．8答案A解析∵C 0n 3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3＋C n n 30＝(3＋1)n ＝4n，∴a ＝4n －1，当n ＝2023时，a ＝42023－1＝4×161011－1＝4×[(15＋1)1011－1]＋3，而(15＋1)1011－1＝C 010********＋C 11011151010＋…＋C 1010101115，故此时a 除以15所得余数为3.7．(多选)在二项式的展开式中，正确的说法是()A ．常数项是第3项B ．各项的系数和是164C ．第4项二项式系数最大D ．奇数项二项式系数和为32答案BCD解析二项式的展开式通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k＝62361C 2kkk x ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭－－.对于A 选项，令6－2k3＝0，可得k ＝3，故常数项是第4项，A 错误；对于B 选项，各项的系数和是＝164，B 正确；对于C 选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C 正确；对于D 选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D 正确．8．(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x )2023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023，则()A ．展开式中所有项的二项式系数和为22023B ．展开式中系数最大项为第1350项C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝32023－12D.a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－1答案AD解析易知(1－2x )2023的展开式中所有项的二项式系数和为22023，故A 正确；由二项式通项，知T k ＋1＝C k 2023(－2x )k ＝(－2)k C k 2023x k ，所以第1350项的系数为(－2)1349C 13492023<0，所以第1350项不是系数最大项，故B 错误；当x ＝1时，有a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2023＝－1，①当x ＝－1时，有a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2022－a 2023＝32023，②①－②，可得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝－1＋320232，故C 错误；当x ＝0时，a 0＝1，当x ＝12时，a 0＋a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝0，所以a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－a 0＝－1，故D 正确．9．若x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 5(x －2)5，则a 1＝________，a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.答案80211解析因为x 5＝[2＋(x －2)]5，则a 1＝C 15·24＝80.令x ＝3，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝35＝243；令x ＝2，得a 0＝25＝32，故a 1＋a 2＋…＋a 5＝243－32＝211.10．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________________．答案1120x 41792x 5和1792x 6解析T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26，得n ＝8.∴在(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1120x 4，设第k ＋1k 8·2k ≥C k －18·2k －1，k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1，解得5≤k ≤6.又k ∈N ，∴k ＝5或k ＝6，∴系数最大的项为T 6＝1792x 5，T 7＝1792x 6.11．(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是()A ．120B ．－120C ．60D ．30答案A解析由题意知(x ＋y －2z )5＝[(x ＋y )－2z ]5，展开式的第k ＋1项为C k 5(x ＋y )5－k(－2z )k ，令k ＝2，可得第3项为(－2)2C 25(x ＋y )3z 2，(x ＋y )3的展开式的第m ＋1项为C m 3x 3－m y m ，令m ＝2，可得第3项为C 23xy 2，所以(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是(－2)2C 25C 23＝120.12．(2023·浙江名校联盟联考)设(x －1)(2＋x )3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＝________，2a 2＋3a 3＋4a 4＝________.答案－431解析因为x ·C 03·23·x 0－C 13·22·x 1＝－4x ，所以a 1＝－4，对所给等式，两边对x 求导，可得(2＋x )3＋3(x －1)(2＋x )2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3，令x ＝1，得27＝a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4，所以2a 2＋3a 3＋4a 4＝31.13．若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n 等于()A ．405B ．810C ．243D ．64答案B解析(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1.令x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n .又因为(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，可得3n ＝243，解得n ＝5.所以a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810.14．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若(1－2x )2023＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 2023x 2023，数列{a n }的首项a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S 2023等于()A ．－12023B.12023C ．2023D ．－2023答案A 解析令x ＝12，得－2023＝b 0＋b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝0.令x ＝0，得b 0＝1，所以a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝－1.由a n ＋1＝S n ·S n ＋1＝S n ＋1－S n ，得S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1＝1，所以1S n ＋1－1S n ＝－1，是首项为1S 1＝－1，公差为－1的等差数列，所以1S n＝－1＋(n －1)·(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n ，所以S 2023＝－12023.。