2020高中数学第十章 3《二项式定理》复习学案+检测

二项式定理一、非常了解、考试大纲①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二、非常考题、悟出方法1.（北京）在7)2(x x -的展开式中，2x 的系数是 -14 。

2.（全国）在104)1(xx +的展开式中常数项是 45 。

3.已知55443322105)1(x a x a x a x a x a a x +++++=-,则())(531420a a a a a a ++++的值等于 -256 。

4.（江西）在123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ B ） A ．4项 B ．3项 C ．2项 D ．1项4.（江苏）设k=1，2，3，4，5，则5)2(+x 的展开式中kx 的系数不可能是（ C ） A ．10 B ．40 C ．50 D ．80 三、非常训练、对比辨析 例1．1、（安徽）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 解：36323)1(])1([)21(xx x x x x -=-=-+ 上述式子展开后常数项只有一项33336)1(xx C -，即20-本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，考查了变型与转化的数学思想。

2、（全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C； ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。

例2。

1、（北京改编）求（103)1xx -的展开式的中间项；解：,)1()(310101r rrr xx T C -=-+ ∴展开式的中间项为535510)1()(xx C -即：65252x -。

当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n n baC 和212121+-+n n n nbaC；当n 为偶数时，n b a )(+的展开式的中间项是222nn n nba C。

【考纲要求】1、能用计数原理证明二项式定理.2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】1、二项式定理：nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项式的展开式有1n +项，而不是n 项。

2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =⋅⋅⋅） （1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项（2）其中rn C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的系数是字母幂前的常数。

（3）注意0,1,2,,r n =⋅⋅⋅3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。

即m nC =m n n C - （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。

（3）所有二项式系数的和等于2n，即n nn n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质： 对于2012()n n f x a a x a x a x =++++0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=，0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-5、证明组合恒等式常用赋值法。

【例题精讲】例1 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1令x=1，得到2004210......a a a a ++++=1又原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）=)......(2003)......(2004200421002004210a a a a a a a a a +++++=++++ ∴原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）=2004 例2. 已知二项式nxx )2(2-，（n ∈N *）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的 比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，∴110)2()2(2244=-⋅-⋅CC nn，解得n=8 令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8=1(2) 展开式中第r 项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为r n r C--⋅218,r r C 28⋅,1182++⋅r r C ,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：r n r C --⋅218≤r r C 28⋅ 并且1182++⋅r r C ≤r rC 28⋅，解得5≤r ≤6；所以系数最大的项为T 7=1792111x ⋅；二项式系数最大的项为T 5=112061x⋅10.3二项式定理强化训练 【基础精练】1．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( )A ．－10B ．10C ．－5D ．52．(2009·北京高考)若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝ ( )A ．45B ．55C ．70D ．80 3．在(1x ＋ 51x3)n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是( )A ．330B ．462C ．682D ．7924．如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2－2x3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( )A ．10B ．6C ．5D ．35．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －y 25的展开式中，系数大于－1的项共有 ( )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项 6．二项式41(1)n x +-的展开式中，系数最大的项是 ( )A ．第2n ＋1项B ．第2n ＋2项C ．第2n 项D ．第2n ＋1项和第2n ＋2项7．若(x 2＋1x3)n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．8．（ x ＋2x2)5的展开式中x 2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用数字作答) 9．若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x ＝________. 10．已知(x －124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．11．设(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，求：(1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5；(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2.【拓展提高】1．在(3x －2y )20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．【基础精练参考答案】1.B 【解析】：T k ＋1＝C k 5x 2(5－k )(－x －1)k ＝(－1)k C k 5x 10－3k(k ＝0,1，…，5)，由10－3k ＝4得k ＝2.含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10.2.C 【解析】：由二项式定理得：(1＋2)5＝1＋C 152＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55·(2)5＝1＋52＋20＋202＋20 ＋42＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.3.B 【解析】：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C 511＝C 611＝462. 4.C 【解析】：∵T k ＋1＝C kn (3x 2)n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3k＝(－1)k·C k n 3n －k·2k ·x2n －5k，∴由题意知2n －5k ＝0，即n ＝5k 2，∵n ∈N *， k ∈N， ∴n 的最小值为5.5.B 【解析】：⎝⎛⎭⎪⎫2x －y 25的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于－1；第六项的系数为C 5520⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＞－1，故系数大于－1的项共有4项． 6.A 【解析】：由二项展开式的通项公式T k ＋1＝41k n C + (－x )k＝(－1)k41kn C +x k，可知系数为(－1)k41k n C +，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n ＋1项和第2n＋2项，又由第2n ＋1项系数为(－1)2n41k n C +＝41k n C +，第2n ＋2项系数为(－1)2n ＋12141n n C ++＝－2141n n C ++＜0，故系数最大项为第2n ＋1项．7.10【解析】：展开式中各项系数之和为S ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，∴n ＝5.T k ＋1＝5kC ()52kx － (1x3)k ＝5k C 1023k k x －－＝5kC 105k x －，∴展开式中的常数项为T 3＝C 25＝10. 8. 10 253【解析】：∵T k ＋1＝C k 5x5－k·(2x2)k ＝C k 5x 5－3k ·2k，由5－3k ＝2，∴k ＝1，∴x 2的系数为10. 令x ＝1得系数和为35＝243.9. －13【解析】：由T 7＝C 6923x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－226＝214， ∴x ＝－13.10.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1，C 1n (12)，C 2n (12)2，且2C 1n ·12＝1＋C 2n (12)2，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)， ∴展开式的第k ＋1项为C k8(x )8－k(－124x)k＝(－12)k C k 8·x 8－k 2·x －k 4＝(－1)k·C k82k ·x 16－3k 4.(1)证明：若第k ＋1项为常数项， 当且仅当16－3k 4＝0，即3k ＝16，∵k ∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项． (2)若第k ＋1项为有理项，当且仅当16－3k4为整数，∵0≤k ≤8，k ∈Z，∴k ＝0,4,8， 即展开式中的有理项共有三项，它们是：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2. 11.【解析】设f (x )＝(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5， 则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(－3)5＝－243.(1)∵a 5＝25＝32，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝f (1)－32＝－31. (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5 ＝－f (－1)＝243.(3)∵f (1)－f (－1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)， ∴a 1＋a 3＋a 5＝2442＝122.(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5) ＝f (1)×f (－1)＝－243. 【拓展提高参考答案】(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k －1项系数最大，于是2222222242424202022222222202220203232,3232k k k k k k k k k k k kC C ----------⎧⎪⎨⎪⎩≥C ≥C 化简得221014310070.10163924k k k k ⎧-⎪⎨+-⎪⎩≤≥0又k 为不超过11的正整数，可得k ＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T 9＝C 820·312·28·x 12·y 8.。

第五十八课时 二项式定理课前预习案1.能用计数原理证明二项式定理．2.对于二项式定理，主要考查利用通项公式求展开式的特定项、求特定项的系数、利用赋值法求二项式展开式系数问题等.1．二项式定理：(a ＋b)n ＝_________________________________________这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b)n 的二项展开式.式中的____________叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝___________.注意：（1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项.（2）其中C rn 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的系数是字母幂前的常数.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为_______.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为 .(3)字母a 按 排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到 ；字母b 按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到 .(4)二项式的系数从0C n ，C 1n ，一直到 ， . 3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.即C C r n r n n -=.(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项______________取得最大值；当n 是奇数时，中间两项__________，__________取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C nn ＝ ；C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝ .4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=； 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-1．(20xx ·福建)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )．A ．80B ．40C ．20D ．102．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( )．A ．45B ．55C ．70D ．803．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )．A ．9B ．8C ．7D ．64．(20xx ·重庆)(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )．A ．6B ．7C ．8D ．95．(20xx ·安徽)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.课堂探究案考点1 二项展开式中的特定项或特定项的系数【典例1】已知n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【变式1】（1） (20xx ·山东)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为__ _. （2）已知(1＋x ＋x 2)31()n x x+的展开式中没有常数项，n ∈N *，且2≤n ≤8，n= ．考点2 二项式中的系数与二项式系数【典例2】（1） 在2101()2x x+的二项展开式中，x 11的系数是_____. （2）若1()nx x +展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A.10B.20C.30D.120【变式2】设(x －1)4(x ＋2)8＝a 0x 12＋a 1x 11＋…＋a 11x ＋a 12，则a 0＋a 2＋…＋a 10＋a 12＝____.考点3 二项式定理中的赋值法的应用【典例3】二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．【变式3】 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.考点4 二项式的和与积【典例4】在(1＋2x )3(1－x )4的展开式中含x 项的系数为________．【变式4】在x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________(用数字作答)．考点5 二项式展开式中的最值问题【典例5】已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 x n的展开式中前三项的系数成等差数列．(1)求 n 的值；(2)展开式中二项式系数最大的项； (3)展开式中系数最大的项．【变式5】（1）在2nx ⎛ ⎝的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（） A.-7 B.7 C.-28 D ．28（2）已知二项式nx x )2(2-，（n ∈N *）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和；(2)求展开式中含32x 的项；（3）求展开式中二项式系数最大的项.1．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中的常数项是( )A ．20B ．－20C ．160D ．－1602．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )．A ．6B ．10C ．12D ．153.⎠⎛0x (1－t)3dt 的展开式中x 的系数是( ) A ．－1 B ．1C ．－4D ．44．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 8的展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )． A ．28 B ．38 C ．1或38 D ．1或285．设⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )．A ．－150B ．150C ．300D ．－300 6.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 2n 展开式的第6项系数最大，则其常数项为( ) A ．120 B ．252C ．210D ．45课后拓展案组全员必做题1 ．（20xx 新课标Ⅱ）已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1- 2 ．（20xx 新课标Ⅰ）设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 3 ．（20xx 大纲）()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 4 ．（20xx 上海春）10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x5 ．（20xx 辽宁）使()3n x n n +⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为N （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．76 ．（20xx 陕西）设函数61,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（ ） A ．-20 B ．20C ．-15D ．15 7．（20xx 年高考江西卷（理））(x 2-32x )5展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-40组提高选做题1．（20xx 上海春季）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯, 所以36的所有正约数之和为222222(133)(22323)(22323)++++⨯+⨯++⨯+⨯ 22(122)(133)91=++++=.参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为_______.2．（20xx 四川）二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答)3．（20xx 天津）在6x⎛ ⎝ 的二项展开式中的常数项为______.参考答案1.B2.C3.B4.B5.0【典例1】（1）10；（2）454；（3）23454T x =，6638T =-；2945256T x -= 【变式1】（1）4；（2）5【典例2】（①）15;（②）B【变式2】.8【典例3】（1）512；（2）1-；（3）9512- 【变式3】（1）2-；（2）7132--；（3）7312-；（4）73 【典例4】2【变式4】84【典例5】（1）8；（2）25358T x =；（3）537T x =，7247T x = 【变式5】（1）.B （2）.（○1）1；（○2）3216x -；（○3）61120x -1．【答案】D【解析】二项式(2x －1x )6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 6·26－r ·(－1)r ·x 6－2r .令6－2r ＝0，得r ＝3，因此二项式(2x －1x)6的展开式中的常数项是C 36·26－3·(－1)3＝－160. 2．【答案】C【解析】T r ＋1＝C rn (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r n 32n r x -，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12. 3. 【答案】B【解析】 ⎠⎛0x (1－t)3dt ＝()414x ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎪ x 0＝()414x --＋14，故这个展开式中x 的系数是 －()14C 14-＝1. 4．【答案】C【解析】由题意知C 48·(－a )4＝1120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.5．【答案】B【解析】由已知条件4n －2n＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 54－r C r 4342r x -， 令4－3r 2＝1，得r ＝2，T 3＝150x . 6【答案】C【解析】 根据二项式系数的性质，得2n ＝10，故二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 2n 的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 10556r x -，根据题意5－56r ＝0，解得r ＝6，故所求的常数项等于C 610＝C 410＝210.组全员必做题 课后拓展案1.D2.B3.D4.C5.B6. A7.C组提高选做题1.48362.103.15。

第二节 二项式定理突破点一 二项式的通项公式及应用[基本知识]1．二项式定理2.二项式系数与项的系数 [基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项．( ) (2)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (3)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1.⎝⎛⎭⎫1x －x 10的展开式中x 2的系数等于________． 答案：452．在⎝⎛⎭⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项为________． 答案：2403.⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项．答案：3[全析考法]考法一 形如(a ＋b )n 的展开式问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10B ．20C ．40D ．80(2)(2019·陕西黄陵中学月考)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 6的展开式中常数项为( ) A.52 B ．160 C ．－52D ．－160[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. (2)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以展开式中的常数项是T 4＝⎝⎛⎭⎫123C 36＝52，选A.[答案] (1)C (2)A [方法技巧]二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．考法二 形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题[例2] (1)(2018·广东一模)⎝⎛⎭⎫x ＋1x (1＋2x )5的展开式中，x 3的系数为( ) A ．120 B ．160 C ．100D ．80(2)(2019·陕西两校联考)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．168[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x (1＋2x )5＝x (1＋2x )5＋1x (1＋2x )5，∵x (1＋2x )5的展开式中含x 3的项为x ·C 25(2x )2＝40x 3，1x (1＋2x )5的展开式中含x 3的项为1x ·C 45(2x )4＝80x 3，∴x 3的系数为40＋80＝120.故选A.(2)根据(1＋x )8和(1＋y )4的展开式的通项公式可得，x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.故选D.[答案] (1)A (2)D [方法技巧]求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b )2(c ＋d )m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )m ，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2.(3)分别得到(a ＋b )n ，(c ＋d )m 的通项公式，综合考虑．考法三 形如(a ＋b ＋c )n 的展开式问题[例3] (1)(2019·枣阳模拟)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60(2)(2019·太原模拟)⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15的展开式中常数项是________． [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r， 令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x6－k ， 令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.(2)由⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15＝⎝⎛⎭⎫－1＋2x ＋1x 5，则其通项公式为(－1)5－r C r 5⎝⎛⎭⎫2x ＋1x r (0≤r ≤5)，其中⎝⎛⎭⎫2x ＋1x r 的通项公式为2r －t C t r x r －2t (0≤t ≤r )． 令r －2t ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝0，t ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2，t ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，t ＝2， 所以⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15的展开式中的常数项为(－1)5C 05＋(－1)3C 25×2C 12＋(－1)1C 45×22C 24＝ －161.[答案] (1)C (2)－161[方法技巧]三项展开式问题的破解技巧破解(a ＋b ＋c )n 的展开式的特定项的系数题，常用如下技巧：若三项能用完全平方公式，那当然比较简单；若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数．[集训冲关]1.[考法一](2＋33)100的展开式中，无理数项的个数是( )A ．84B ．85C ．86D ．87解析：选A (2＋33)100展开式的通项为T r ＋1＝C r 100(2)100－r·(33)r ＝C r 100250－r 2×3r3，r＝0,1,2， (100)所以当r 是6的倍数时，T r ＋1为有理项， 所以r ＝0,6,12，…，96，共17项，因为展开式共有101项，所以展开式中无理项的个数是101－17＝84.故选A. 2.[考法二](x 2－2)⎝⎛⎭⎫1＋2x 5的展开式中x －1的系数为( ) A ．60 B ．50 C ．40D ．20解析：选A 由通项公式得展开式中x－1的系数为23C 35－22C 15＝60.3.[考法二](x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选D (2x －y )6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－y )r ，当r ＝2时，T 3＝240x 4y 2，当r ＝3时，T 4＝－160x 3y 3，故x 4y 3的系数为240－160＝80，故选D.4.[考法三]在⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16的展开式中，含x 5项的系数为( ) A ．6 B ．－6 C ．24D ．－24解析：选B 由⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16＝C 06⎝⎛⎭⎫x ＋1x 6－C 16⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5＋C 26⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4＋…－C 56⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋C 66，可知只有－C 16⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5的展开式中含有x 5，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16的展开式中含x 5项的系数为－C 05C 16＝－6，故选B.突破点二 二项式系数性质及应用[基本知识]二项式系数的性质[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (2)在(1－x )9的展开式中，系数最大的项是第5项和第6项．( )(3)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为________．答案：842．已知m 是常数，若(mx －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33，则m ＝________.答案：33．若(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. 答案：2[全析考法]考法一 二项展开式中系数和的问题 赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)．①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[例1] (1)(2019·郑州一中月考)若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )A ．－1B ．1C ．27D ．－27(2)(2019·襄阳四中月考)设(x 2＋1)(2x ＋1)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10的值为________．[解析] (1)依题意得2n ＝8，解得n ＝3，取x ＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.故选A.(2)在所给的多项式中，令x ＝－1可得(1＋1)×(－2＋1)8＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝2.[答案] (1)A (2)2 [易错提醒](1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．考法二 二项式系数或展开式系数的最值问题 求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二次项系数的性质求解．[例2] (1)(2019·内蒙古鄂尔多斯模拟)在⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中，x 3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20 (2)(2019·福州高三期末)设n 为正整数，⎝⎛⎭⎫x －2x 3n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 5x 5－2r，令5－2r ＝3，则r ＝1，所以－a ×5＝－5，即a ＝1，展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C 25＝10，选B.(2)依题意得，n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8x 8－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 8x 8－4r(－2)r ，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.[答案] (1)B (2)112[方法技巧] 求展开式系数最值的2个思路[集训冲关]1.[考法一、二]设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 3B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：选B 在(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n 中， 令x ＝1得2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ； 令x ＝0，得1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1＝63，∴n ＝6.而(1＋x )6的展开式中系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.2.[考法一](a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 解析：设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3. 答案：33.[考法二]设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中二项式系数最大的项为________．解析：依题意得，M ＝4n ＝(2n )2，N ＝2n ， 于是有(2n )2－2n ＝240，(2n ＋15)(2n －16)＝0， ∴2n ＝16＝24，解得n ＝4.要使二项式系数C k4最大，只有k＝2，故展开式中二项式系数最大的项为T3＝C24(5x)2·(－x)2＝150x3.答案：150x3。

2020届高三数学一轮复习测试：二项式定理数学试卷〔二项式定理〕时刻：90分钟，总分值：110分一、选择题〔共55分，每题5分〕1. 假设21()(*,100)n x n N n x +∈≤展开式中一定存在常数项，那么n 的最大值为A ．90B ．96C ．99D ．100 2. 假设b a b a ,(2215+＝）＋（为有理数〕，那么a b +=A ．45B ．55C ．70D ．80 3. 假设5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，那么实数a 的值是A ．-2 B. 22 D. 24. 假设多项式=+++++++=+910109910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x 则A ．9B ．10C ．－9D ．－10 5. 设n x x )5(3121-的展开式的各项系数之和为M ，而二项式系数之和为N ，且M －N=992。

那么展开式中x 2项的系数为A ．250B ．－250C ．150D ．－150 6. n x x )1(2-的展开式中，常数项为15，那么n =A ．3B ．4C ．5D ．67. 6)12(x x -的展开式中含2x 项的系数是A ．240B ．－240C ．192D ．－192 8. 假设)12(x x -n 展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为－5，那么n 等于 A ．4 B ．6 C ．8 D ．109. 设(1+x)8=a 0+a 1x+…+a 8x 8,那么a 0,a 1,…，a 8中奇数的个数为A ．2B ．3C ．4D ．510. 假设多项为+++++++++=+201010991010,)1()1()1(a a x a x a x a a x x 则 8a + =A ．509B ．510C ．511D ．102211. 73)12(x x -的展开式中常数项是 A ．－14 B ．14 C ．－42 D ．42二、填空题〔共55分，每题5分〕12. 假设nx )2(+展开式的二项式系数之和等于64，那么第三项是 。

第二节二项式定理[考纲传真]会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质和1．C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.2．C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项． ( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )(4)通项T k＋1＝C k n a n－k b k中的a和b不能互换．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为( )A．6 B．－6C．24 D．－24A [(1－2x )4展开式中第3项的二项式系数为C 24＝6.故选A.]3．(教材改编)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 3y 2的系数是( )A ．5B ．－20C ．20D ．－5A [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r(－2y )r.根据题意，得⎩⎨⎧5－r ＝3，r ＝2，解得r ＝2.所以x 3y 2的系数是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫123×(－2)2＝5.故选A.] 4．(教材改编)C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 0192 019C 02 020＋C 22 020＋C 42 020＋…＋C 2 0202 020的值为( ) A ．1 B ．2C ．2 019D ．2 019×2 020B [原式＝22 01922 020－1＝22 01922 019＝1.故选A.]5．(1＋x )n 的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.10 [∵T 6＝C 5n x 5，又仅有第6项的系数最大，∴n ＝10.]【例1】 (1)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3(2)(2018·广州二模)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6的展开式中，x 3y 3的系数是________．(用数字作答)(1)D (2)－120 [(1)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x 2项，第二个因式取1x 2项得x 2×1x 2×C 15(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C 55＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6表示6个因式x 2－2x ＋y 的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y ，其余的3个因式中有2个选x 2，剩下一个选－2x ，即可得到x 3y 3的系数．即x 3y 3的系数是C 36C 23×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.]2n (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为( )A ．±2 B.12C ．－2D ．±12(2)已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是________． (1)A (2)454x 2，－638，45256x－2[(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式的通项为T r＋1＝，令12－3r ＝0，得r ＝4.故C 46·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝1516，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝116，解得a ＝±2.故选A.(2)由T r ＋1＝r＝.∵第6项为常数项，∴r ＝5时有n －2r3＝0，即n ＝10.当⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z时，即r ＝2,5,8时10－2r3∈Z ，所以展开式中的有理项分别为454x 2，－638，45256x －2.]►考法1 【例2】 (1)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为( )A ．50B ．70C ．90D ．120(2)(2019·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．(1)C (2)－3或1 [(1)令x ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝4n ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以4n 2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53rx 5－32r ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90，故选C.(2)令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39，∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.] ►考法2 二项式系数的性质【例3】 设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [根据二项式系数的性质知，(x ＋y )2m 的二项式系数最大的项有一项，即C m 2m ＝a ，(x ＋y )2m ＋1的二项式系数最大的项有两项，即C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b.又13a ＝7b ，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，将各选项中m 的取值逐个代入验证，知m ＝6满足等式．]偶数项系数之和为 (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．(2)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式中的二项式系数和为32，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．(1)255 (2)40 [(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k n(x 2)n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝C k n (－1)k x2n －3k， 当k ＝5时，2n －3k ＝1，∴n ＝8. 对(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28＝256. 又当x ＝0时，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝255.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－1x n的展开式中的二项式系数和为32，所以2n ＝32，所以n ＝5.令x ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n的展开式中的各项系数的和为(1＋a )(2－1)5＝2，所以a ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为C 35·(－1)3·25－3＋C 25·(－1)2·25－2＝40.]1．(2017·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35C [因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4. 因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.故选C.]2．(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( ) A ．10 B ．20C ．30D ．60C [法一：利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2项的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.]。

二项式定理复习学案一、二项式定理： 1.知识梳理:=+n b a )( ，其中组合数r n C 叫，展开式共有 项，其中第1+r 项=+1r T 称为二项展开式的通项，二项式通项的主要用途是求指定的项. 2.例题: (1)73)12(xx -的展开式中的常数项是 ;(2)1043)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中3x 的系数是 ;(3)403)27(+x 展开后所得的x 的多项式中,系数为有理数的项有 项;(4)若N x x x x x x x ∈+-+-+-(61520156165432且)21≤x 的值能被5整除，则x 的可能取值的个数有 个.（5）4)1)(21(x x -+展开式中x 项的系数是 . 3.小结::二、二项式系数的性质： 1. 知识梳理:(1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数 ,即=rn C ; (2)增减性与最大值:二项式系数rn C ,当21+<n k 时,二项式系数rn C 的值逐渐 ,当21+>n k 时, 二项式系数r nC 的值逐渐 ,且在中间项取得最大值.当n 为偶数时,中间第 项的二项式系数 取得最大值,当n 为奇数时,中间两项 的二项式系数 取得最大值.(3)各二项式系数和:=++++nn n n n C C C C 210 ;=+++ 420n n n C C C =+++ 531n n n C C C .2.例题:(1)在二项式11)1(-x 的展开式中,二项式系数最大的项是第 项,系数最小的项的系数为 ;(2)在nx )1(+的展开式中,第十项是二项式系数最大的项,则=n ; (3)如果21872221221=++++n n n n n C C C ,则=++++nn n n n C C C C 210 ; (4)化简=+++++nn n n n C n C C C )1(32210 .3.小结:三、赋值法： 1．例题:(1)2012201222102012)21(x a x a x a a x ++++=- ,则=+++201210a a a ;(2) 9922109)31(x a x a x a a x ++++=- ,则=+++910a a a ; (3)设nn n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++ ,=+++n a a a 220 .2. 方法总结:四、系数最大项的求法： 1．例题:求84)21(xx +的展开式中系数最大的项.2. 方法总结:五、二项式定理的应用： 1.例题:(1)5)998.0(精确到001.0的近似值为 ; (2)9923331++++ 被4除所得余数为 ; (3)求证:)(98322*+∈--N n n n 能被64整除;(4)求证:*-∈+>N n n n n(2)2(31且)2≥n .2.小结:(二项式定理可以解决哪些类型的问题?如何解决?)六、考题再现： 1．（大纲卷13）20)1(x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 ；2．（新课标卷8）5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数和为2，则展开式中的常数项为（ ） A ．40- B ．20- C ．20 D ．40 3．（浙江13）设二项式)0()(6>-a xa x 的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若A B 4=，则a 的值是 ； 4（陕西卷4）)()24(6R x x x∈--展开式中的常数项是（ ）A ．20-B ．15-C ．15D ．205．（重庆卷4）n x )31(+（其中*∈N n 且6≥n ）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则=n （ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 6．（山东卷14）若62)(x a x -展开式的常数项为60，则a 的值是 ；7．（广东卷10）7)2(xx x -展开式中4x 的系数是 ； 8．（安徽卷12）设2121221021)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=+1110a a ；9．（天津卷5）6)22(xx -展开式中2x 的系数为（ ） A ．415-B ．415C ．83-D ．83 10．（湖北卷11）18)31(xx -的展开式中含15x 的项的系数为 ；11．（上海卷6）6)1(xx +二项展开式的常数项为。

§6.3 二项式定理 （第一课时 二项式定理）【学习目标】1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【知识梳理】 知识点一 二项式定理(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b)n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点二 二项展开式的通项(a ＋b)n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 思考 二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？答案 一般不同．前者仅为C k n ，而后者是字母前的系数，故可能不同． 【判断正误】1．(a ＋b)n 展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × )3．C k n an －k b k 是(a ＋b)n 展开式中的第k 项．( × ) 4．(a －b)n 与(a ＋b)n 的二项展开式的二项式系数相同．( √ ) 5．二项式(a ＋b)n 与(b ＋a)n 的展开式中第k ＋1项相同．( × ) 【题型探究】一、二项式定理的正用、逆用 例1 (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式． 解 方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x)4＋C 14(3x)3·1x＋C 24(3x)2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x)4＝1x 2·[1＋C 14·3x＋C 24(3x)2＋C 34(3x)3＋C 44(3x)4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C n n .解 原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .延伸探究若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________. 答案 44解析 ∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a＝28，b ＝16，∴a＋b ＝28＋16＝44. 反思感悟 (1)(a ＋b)n 的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解 原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x 5－1. 二、二项展开式的通项的应用例2 若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列，求： (1)展开式中含x 的一次项； (2)展开式中所有的有理项．解 (1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)． T k ＋1＝C k 8(x)8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x k ＝C k 8·2－k ·344k x -，令4－34k ＝1，解得k ＝4.所以含x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x. (2)令4－34k∈Z ，且0≤k≤8，则k ＝0,4,8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.反思感悟 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练2 在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．解 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15， 又T 3＝C 26(2x)4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝240x ，所以第3项的系数为240. (2)T k ＋1＝C k 6(2x)6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C k 6x3－k， 令3－k ＝2，解得k ＝1，所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2. 三、求两个多项式积的特定项例3 (1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于( )A．－4 B．－3 C．－2 D．－1(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为( )A．10 B．－10 C．2 D．－2答案(1)D (2)C解析(1)由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tk＋1＝C k5·x k，所以(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项的系数为C25＋C15·a＝5，所以a＝－1，故选D.(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C0 3·(2x)0·C14·(－x)1＋C13·(2x)1·C04·14·(－x)0，其系数为C03×C14×(－1)＋C1 3×2×C04＝－4＋6＝2.反思感悟求多项式积的特定项的方法——“双通法”所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝C kna n－k(bx)k·C rms m－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况．跟踪训练3 (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字作答) 答案－20解析由二项展开式的通项公式可知，含x2y7的项可表示为x·C78xy7－y·C68x2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C78－C68＝8－28＝－20.四、二项式定理的应用例4 (1)试求2 01910除以8的余数；(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．(1)解 2 01910＝(8×252＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.(2)证明32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋(n ＋1)×8＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182.①①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．反思感悟 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 跟踪训练4 (1)已知n∈N *，求证：1＋2＋22＋…＋25n －1能被31整除． 证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n －1＝1－25n1－2＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝31n ＋C 1n×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋1－1＝31×(31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除． (2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解 0.9986＝(1－0.002)6＝1＋C 16·(－0.002)＋C 26·(－0.002)2＋…＋C 66·(－0.002)6.由题意知T 3＝C 26(－0.002)2＝15×0.0022＝0.000 06<0.001，且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001， 故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988. 【跟踪训练】1.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 5的展开式中含x 3项的二项式系数为( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5 答案 D2.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35的展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40 答案 C3．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．x 3 B ．－x 3 C ．(1－x)3 D ．(x －1)3 答案 A4．若(x ＋2)n 的展开式共有12项，则n ＝________. 答案 115．C 0n ·2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C k n ·2n －k＋…＋C n n ＝________.答案 3n解析 原式＝(2＋1)n ＝3n . 【课堂小结】 1．知识清单： (1)二项式定理．(2)二项展开式的通项公式． 2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：二项式系数与系数的区别，C k n a n －kb k是展开式的第k ＋1项．【同步练习】1．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n 等于( )A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n 答案 C解析 原式＝(1－2)n ＝(－1)n .2.⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( )A ．60B ．－60C ．250D ．－250 答案 A解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为C 26(x)4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝60. 3.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 9的展开式中的第4项是( )A ．56x 3B ．84x 3C ．56x 4D ．84x 4 答案 B解析 由通项知T 4＝C 39x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＝84x 3.4．(x －2y)10的展开式中x 6y 4的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210 答案 A解析 在通项T k ＋1＝C k 10(－2y)k x 10－k 中，令k ＝4，即得(x －2y)10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410×(－2)4＝840. 5．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10 答案 D解析 (1－x)5中x 3的系数为－C 35＝－10，－(1－x)6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x 3的系数为10.6．若(x ＋a)10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 答案12解析 二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 10x 10－k a k，当10－k ＝7时，k ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12.7．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 的展开式中，x 2项为第3项，则自然数n ＝________，其x 2项的系数为________． 答案 8 28 解析 T k ＋1＝C k n(3x 2)n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C kn 253n kx -，由题意知，k ＝2时，2n －5k 3＝2，∴n＝8，此时该项的系数为C 28＝28.8．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1(x ＋1)5的展开式中常数项等于________．答案 9解析 二项式(x ＋1)5的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5(x)5－k＝C k 552k x -(k ＝0,1,2，…，5)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1(x ＋1)5展开式中的常数项为C 35＋(－1)×C 55＝10－1＝9. 9．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数．解 (1)因为T 3＝C 2n(x)n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n 62n x -， T 2＝C 1n(x)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n 32n x -， 依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81，所以n 2＝81，又n∈N *，故n ＝9. (2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k9(x)9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k9932kx -，所以9－3k 2＝3，k ＝1，所以含x 3的项为T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3.二项式系数为C 19＝9.10．已知m ，n∈N *，f(x)＝(1＋x)m ＋(1＋x)n 的展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解 由题设知，m ＋n ＝19，又m ，n∈N *，∴1≤m≤18. x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m)＋12(n 2－n)＝m 2－19m ＋171.∴当m ＝9或10时，x 2的系数有最小值为81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.11．(多选)对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n (n∈N *)，下列判断正确的有( )A ．存在n∈N *，展开式中有常数项B ．对任意n∈N *，展开式中没有常数项C ．对任意n∈N *，展开式中没有x 的一次项D ．存在n∈N *，展开式中有一次项 答案 AD解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k(k∈N *)和n ＝4k －1(k∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.12．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 C解析 由于2×1010＋a ＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a 能被11整除，可知a ＝9.13．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－k ·(－1)k ＝(－1)k C k51x 10－2k .令10－2k ＝2或10－2k ＝0，解得k ＝4或k ＝5. 故(x 2＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是(－1)4×C 45＋2×(－1)5×C 55＝3.14．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n的展开式中，第9项为常数项，则：(1)n 的值为________；(2)含x 的整数次幂的项有________个． 答案 (1)10 (2)6解析 二项展开式的通项为T k ＋1＝C kn⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C kn 522n k x -.(1)因为第9项为常数项，所以当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)要使20－52k 为整数，需k 为偶数，由于k ＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．15．(a ＋b ＋c)n (n∈N *)的展开式中的项数为________． 答案n ＋2n ＋12解析(a＋b＋c)n＝C0n (a＋b)n＋C1n(a＋b)n－1c＋…＋C nnc n，所以，其展开式中的项数为(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝n＋2n＋12.16．已知数列{an }(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．(1)求和：a1C02－a2C12＋a3C22，a1C03－a2C13＋a3C23－a4C33；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．解(1)a1C02－a2C12＋a3C22＝a1－2a1q＋a1q2＝a1(1－q)2，a 1C03－a2C13＋a3C23－a4C33＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1(1－q)3.(2)归纳概括的结论为：若数列{an }是首项为a1，公比为q的等比数列，则a 1C0n－a2C1n＋a3C2n－a4C3n＋…＋(－1)n an＋1·C nn＝a1(1－q)n，n为正整数．证明：a1C0n－a2C1n＋a3C2n－a4C3n＋…＋(－1)n an＋1·C nn＝a1C0n－a1qC1n＋a1q2C2n－a1q3C3n＋…＋(－1)n a1q n C nn＝a1[C0n－qC1n＋q2C2n－q3C3n＋…＋(－1)n q n C nn]＝a1(1－q)n.§6.3二项式定理（第二课时二项式系数的性质）【学习目标】1.理解二项式系数的性质.2.会用赋值法求展开式系数的和．【知识梳理】知识点二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C mn＝C n－mn增减性与最增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k>n＋12思考若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？答案n＝7或8或9.【判断正误】1．令f(r)＝C rn (0≤r≤n，且r∈N)，则f(r)的图象关于直线r＝n2对称．( √)2．二项展开式中各项系数和等于二项式系数和．( ×)3．二项展开式的二项式系数和为C1n ＋C2n＋…＋C nn.( ×)4．二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ×) 【题型探究】一、二项展开式的系数和问题例1 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.解(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C k5(－1)k·25－k·x5－k，知a1，a3，a5为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，所以a1＋a3＋a5＝1－352＝－121.延伸探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.解(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.所以a0＋a2＋a4＝1＋352＝122.(2)因为a是(2x－1)5的展开式中x5的系数，所以a＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两边求导数得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.反思感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anx n，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.跟踪训练1 已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.(1)求a2的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．解∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.(1)a2＝C910(－4)9＝－49×10.(2)令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.(3)由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.二、二项式系数性质的应用例2 已知f(x)＝(3x2＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C25(23x)3·(3x2)2＝90x6，T 4＝C35(23x)2·(3x2)3＝223270x.(2)展开式的通项公式为Tk＋1＝C k5·3k·2(52)3kx+，假设Tk＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C k53k≥C k－153k－1，C k53k≥C k＋153k＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！5－k ！k ！×3≥5！6－k ！k －1！，5！5－k ！k ！≥5！4－k！k ＋1！×3，即⎩⎪⎨⎪⎧3k ≥16－k ，15－k ≥3k ＋1，∴72≤k≤92， ∵k∈N ，∴k＝4，∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 4523x (3x 2)4＝263405x . 反思感悟 (1)二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b)n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx)n (a ，b∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项．跟踪训练2 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含32x 的项；(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n 的展开式的通项是T k ＋1＝C k n (x)n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2k ＝(－2)k C kn 52n kx -(0≤k≤n，k∈N )， ∴T 5＝T 4＋1＝24C 4n102n x-，T 3＝T 2＋1＝22C 2n52n x-.∵24C 4n22C 2n ＝101， ∴n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28＝(1－2)8＝1，即所求各项系数的和为1. (2)展开式的通项为T k ＋1＝(－2)k C k 8852k x -(0≤k≤8，k∈N )．令8－5k 2＝32，解得k ＝1，∴展开式中含32x 的项为 T 2＝T 1＋1＝(－2)1C 1832x ＝3216x -.(3)展开式的第k 项、第k ＋1项、第k ＋2项的系数的绝对值分别为C k －182k －1，C k 82k ，C k ＋182k ＋1. 若第k ＋1项的系数绝对值最大，则有⎩⎨⎧C k －182k －1≤C k 82k ，C k 82k≥C k ＋182k ＋1，解得5≤k≤6，故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项， 即T 6＝－1 792172x -，T 7＝1 792x －11.【跟踪训练】1．已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数的和为32，则n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 A2．(多选)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项 答案 BC解析 由于n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．3．设(2－x)6＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 6(1＋x)6，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．4B ．－71C ．64D ．199 答案 C解析 ∵(2－x)6＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 6(1＋x)6，令x ＝0，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝26＝64.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式的各项系数的和为________．答案 05．(2x －1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数的和为________． 答案 1 64解析 令x ＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64. 【课堂小结】 1．知识清单：(1)二项式系数的性质． (2)赋值法求各项系数的和．2．方法归纳：一般与特殊、函数与方程．3．常见误区：赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项． 【同步练习】1．在(a ＋b)n 的二项展开式中，与第k 项的二项式系数相同的项是( ) A ．第n －k 项 B ．第n －k －1项 C ．第n －k ＋1项 D ．第n －k ＋2项答案 D解析 第k 项的二项式系数是C k －1n ，由于C k －1n ＝C n －k ＋1n，故第n －k ＋2项的二项式系数与第k 项的二项式系数相同．2．已知(1＋x)n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为( ) A ．212 B ．211 C ．210 D ．29答案 D解析 ∵展开式中只有第6项的二项式系数最大， ∴n＝10，∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和， ∴展开式中奇数项的二项式系数之和为2102＝29.3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n 的展开式中各项系数之和为( ) A ．2n ＋1 B ．2n －1 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋1－2答案 D解析 令x ＝1，则2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2.4．(x －1)11的展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．1 024 D ．－1 024 答案 D解析 (x －1)11＝C 011x 11＋C 111x 10·(－1)＋C 211x 9·(－1)2＋…＋C 1111(－1)11，x 的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024. 5．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋51x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( )A ．330B ．462C ．682D ．792 答案 B解析 ∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n ，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C 511＝C 611＝462.6．若(x ＋3y)n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________． 答案 5解析 (7a ＋b)10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y)n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.7．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为______．答案1－310 2解析设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝1－3102.8．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．答案－256解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32，两式相减可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.9．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．解设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)令x＝1，y＝－1，可得a 0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，即n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项， ∵T 4＝C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫124(2x)3＝352x 3，T 5＝C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫123(2x)4＝70x 4，∴第4项的系数是352，第5项的系数是70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，它的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫127×27＝3 432.(2)由已知得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2＋n －156＝0. 解得n ＝－13(舍去)或n ＝12. 设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x)12， 由⎩⎨⎧C k 12·4k ≥C k －112·4k －1，C k12·4k ≥C k ＋112·4k ＋1，解得9.4≤k≤10.4.又∵0≤k≤n，k∈N ，∴k＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·410·x 10＝16 896x 10.11．(1＋3x)n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则含x 4项的二项式系数为( )A ．21B ．35C ．45D ．28 答案 B解析 ∵T k ＋1＝C k n (3x)k ＝3k C k n x k ，又由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n＝7，因此，含x 4项的二项式系数为C 47＝35，故选B.12．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x 4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( ) A ．第11项 B ．第13项 C ．第18项 D ．第20项答案 D解析 (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x 4的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，解得n ＝20.13．(多选)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中第5项是含x 的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是( ) A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项答案 CD解析 因为展开式的第5项为T 5＝C 4n443n x--，所以令n －43－4＝1，解得n ＝19.所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项．故选CD.14．设m 为正整数，(x ＋y)2m 的展开式中二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1的展开式中二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________. 答案 6解析 (x ＋y)2m 的展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1. ∵13a＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.∴13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ＋1！m ！.∴m＝6.15．(多选)(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为( )A．a＝1，b＝2，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝－1，b＝－2，n＝5答案AD解析只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意得，(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选AD.16．已知(1＋m x)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.(1)求m，n的值；(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；(3)求(1＋m x)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．解(1)由题意可得2n＝256，解得n＝8，∴展开式的通项为Tk＋1＝C k8m k2kx，∴含x项的系数为C28m2＝112，解得m＝2或m＝－2(舍去)．故m，n的值分别为2,8.(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为C18＋C38＋C58＋C78＝28－1＝128.(3)∵(1＋2x)8(1－x)＝(1＋2x)8－x(1＋2x)8，∴含x2项的系数为C4824－C2822＝1 008.。

学案65 二项式定理导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．自主梳理1．二项式定理的有关概念(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)，这个公式叫做______________．①二项展开式：右边的多项式叫做(a ＋b )n的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项．③二项式系数：在二项展开式中各项的系数________(k ＝______________)叫做二项式系数．④通项：在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即通项为展开式的第k ＋1项：T k ＋1＝____________________.2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项二项式系数________________取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数____________、________________________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝______，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C 偶n ＝________，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＋C 奇n ＝________.自我检测1．(2011·福建)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．102．(2011·陕西)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．203．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( )A ．840B ．－840C ．210D ．－2104．(2010·四川)⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是______． 5．(2011·山东)若(x －a x2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．6．(2011·烟台期末)已知n 为正偶数，且⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是__________．(用数字作答)探究点一 二项展开式及通项公式的应用例1 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．变式迁移1 (2010·湖北)在(x＋43y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．探究点二二项式系数的性质及其应用例2 (1)求证：C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n＝n·2n－1；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．变式迁移2 (2011·上海卢湾区质量调研)求C22n＋C42n＋…＋C2k2n＋…＋C2n2n的值．探究点三求系数最大项例3 已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．变式迁移3 (1)在(x ＋y )n的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于( ) A ．13,14 B ．14,15 C ．12,13 D ．11,12,13(2)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C r n ，而第r ＋1项的系数为C r n a n －r b r.2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数．在运用公式时要注意：C r n a n －r b r是第r ＋1项，而不是第r 项．3．在(a ＋b )n 的展开式中，令a ＝b ＝1，得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n；令a ＝1，b ＝－1，得C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＝0，∴C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1，这种由一般到特殊的方法是“赋值法”．4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －rn .(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n 不是很大，|x |比较小时，(1＋x )n≈1＋nx .利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·山东实验中学模拟)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项2．(2011·重庆)(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9 3．(2011·黄山期末)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28 4．(2010·烟台高三一模)如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－215．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74 B ．121 C ．－74 D ．－121 二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·湖北)(x －13x)18的展开式中含x 15的项的系数为__________．(结果用数值表示)7．(2011·济南高三模拟)已知a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t )d t ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1ax 6的展开式中的常数项为________．8.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 210的展开式中的常数项是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(1)设(3x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4. ①求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； ②求a 0＋a 2＋a 4； ③求a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)求证：32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)．10．(12分)利用二项式定理证明对一切n ∈N *，都有2≤⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n <3.11．(14分)(2011·泰安模拟)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含32x 的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．学案65 二项式定理自主梳理1．(1)二项式定理 ②n ＋1 ③C k n 0,1,2，…，n ④C k n a n －k b kC k nan －k b k 2.(1)等距离 (2)2n n C 12n nC + 12n nC -(3)2n2n －12n －1自我检测1．B [(1＋2x )5的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r ，令r ＝2，得x 2的系数为22·C 25＝40.]2．C [设展开式的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )r ·(－2－x )6－r ，即T r ＋1＝C r6·(－1)6－r ·22rx ·2rx －6x ＝C r 6·(－1)6－r ·23rx －6x ，∴3rx －6x ＝0恒成立．∴r ＝2，∴T 3＝C 26·(－1)4＝15.∴选C.]3．A4．－160x5．4 解析 (x －a x2)6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x6－r(－1)r ·(a )r ·x－2r＝C r 6x6－3r(－1)r·(a )r.令6－3r ＝0，得r ＝2.故C 26(a )2＝60，解得a ＝4.6．－52课堂活动区例1 解题导引 (1)通项T r ＋1＝C r n a n －r b r 是(a ＋b )n的展开式的第r ＋1项，而不是第r项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C rn ，r ＝0,1,2，…，n ，与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．解 (1)通项公式为T r ＋1＝C r n3n r x-⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r 3rx - ＝C r n⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r23n r x-，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝12×(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝5－32k ，∵r ∈N ，∴k 应为偶数．∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2，C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2. 变式迁移1 6解析 展开式的通项T r ＋1＝C r 20·x 20－r·(43y )r＝C r20·x20－r·y r·43r .由0≤r ≤20，r4∈Z 得r ＝0,4,8,12,16,20.所以系数为有理数的项共有6项．例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C 0n ＝C n n ＝C n ＋1n ＋1，C k n ＝C n －kn ，k C k n ＝n C k －1n －1等式子的变形技巧；(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f (x )、除式g (x )[g (x )≠0]、商式q (x )与余式的关系及余式的范围．(1)证明 方法一 设S ＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋(n －1)·C n －1n ＋n C nn ，①∴S ＝n C n n ＋(n －1)C n －1n ＋(n －2)C n －2n ＋…＋2C 2n ＋C 1n＝n C 0n ＋(n －1)C 1n ＋(n －2)C 2n ＋…＋2C n －2n ＋C n －1n ，②①＋②得2S ＝n (C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )＝n ·2n.∴S ＝n ·2n －1.原式得证．方法二 ∵k n C k n ＝k n ·n ！k ！n －k ！＝n －1！k －1！n －k ！＝C k －1n －1，∴k C k n ＝n C k －1n －1.∴左边＝n C 0n －1＋n C 1n －1＋…＋n C n －1n －1＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ·2n －1＝右边．(2)解 S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1 ＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89－1)＋7， 显然上式括号内的数是正整数． 故S 被9除的余数为7.变式迁移2 解 (1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n.令x ＝1得C 02n ＋C 12n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝22n；再令x ＝－1得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n2n ＝0.两式相加，再用C 02n ＝1，得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n 2n ＝22n 2－1＝22n －1－1.例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项：如果n 是偶数，则中间一项[第⎝ ⎛⎭⎪⎫n2＋1项]的二项式系数最大；如果n 是奇数，则中间两项[第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项]的二项式系数相等且最大；(2)求展开式系数最大的项：如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大的项．解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n －2n＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n－32)＝0， ∴2n ＝－31(舍)，或2n＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 2523x 骣琪琪桫3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 3523x 骣琪琪桫2(3x 2)3＝270223x .(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·()2523r x +．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！5－r ！r ！×3≥5！6－r ！r －1！，5！5－r ！r ！≥5！4－r ！r ＋1！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. 变式迁移3 (1)D [(1)分三种情况：①若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；②若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，n ＝13，所以n 的值可能等于11,12,13，故选D.](2)解 (ⅰ)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∵n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.(ⅱ)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0. ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k124k≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.∴9.4≤k ≤10.4.∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11， T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10. 课后练习区 1．C2．B [(1＋3x )n 的展开式中x 5的项为C 5n (3x )5＝C 5n 35x 5，展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6，由两项的系数相等得C 5n ·35＝C 6n ·36，解得n ＝7.]3．B 4.C 5.D 6．17解析 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r(－13x)r＝(－1)r(13)r C r 183182rx-.令18－3r2＝15，解得r ＝2.∴含x 15的项的系数为(－1)2(13)2C 218＝17.7．－528．4 351解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 210＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋x ＋1x 210＝C 010(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2＋C 210(1＋x )81x 4＋C 310(1＋x )71x 6＋C 410(1＋x )61x8＋…，从第五项C 410(1＋x )61x8起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是C 010×C 010，C 110×C 29，C 210×C 48，C 310×C 67.故原三项展开式中常数项为 C 010C 010＋C 110C 29＋C 210C 48＋C 310C 67＝4 351. 9．(1)解 ①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16.(2分) ②令x ＝－1得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－3－1)4＝256，而由(1)知a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1) 4＝16， 两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝136.(4分)③令x ＝0得a 0＝(0－1)4＝1，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4－a 0 ＝16－1＝15.(6分)(2)证明 ∵32n ＋2－8n －9＝32·32n－8n －9＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n－8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C nn ·1)－8n －9 (8分)＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9＝9×82×(8n －2＋C 1n ·8n －3＋…＋C n －2n )＋64n＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋n ]， 显然括号内是正整数，∴原式能被64整除．(12分)10．证明 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋C 3n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 3＋…＋C nn ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n ＝1＋1＋12！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋13！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋1n ！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n …⎝ ⎛⎭⎪⎫1n .(4分) 所以2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n<2＋12！＋13！＋…＋1n ！(6分)<2＋11·2＋12·3＋…＋1n －1n＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝3－1n<3，(9分)仅当n ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n＝2；当n ≥2时，2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n<3.(11分)故对一切n ∈N *，都有2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <3.(12分)11．解 由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则有C 4n ·－24C 2n ·－22＝101，化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．(2分)(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(4分)(2)通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r＝C r 8·(－2)r·82r x-－2r ，令8－r 2－2r ＝32，则r ＝1.故展开式中含32x 的项为T 2＝－1632x .(8分)(3)设展开式中的第r 项，第r ＋1项，第r ＋2项的系数绝对值分别为C r －18·2r －1，C r 8·2r，C r ＋18·2r ＋1，若第r ＋1项的系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r －18·2r －1≤C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1≤C r 8·2r， 解得5≤r ≤6.(12分) 又T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 7＝1 792x －11. 由n ＝8知第5项二项式系数最大．此时T 5＝1 120x －6.(14分)。