高考数学总复习 排列组合二项式定理单元精品教学案(教师版全套)

2013东北师大附中高考第二轮复习：专题七《排列、组合、二项式定理》【考点梳理】一、考试内容1.分类计数原理与分步计数原理。

2.排列、排列数公式。

3.组合、组合数公式。

4.组合数的两个性质。

5.二项式定理，二项式展开的性质。

二、考试要求1.掌握分类计数原理及分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。

2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它解决一些简单的问题。

3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。

三、考点简析1.排列、组合、二项式知识相互关系表2.两个基本原理（1）分类计数原理中的分类。

（2）分步计数原理中的分步。

正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3.排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系==n·(n-1)…(n-m+1)（3）全排列列： =n!（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=7204.组合（1）组合的定义，排列与组合的区别（2）组合数公式：C n m==（3）组合数的性质①C n m=C n n-m②③rC n r=n·C n-1r-1④C n0+C n1+…+C n n=2n⑤C n0-C n1+…+(-1)n C n n=0即 C n0+C n2+C n4+…=C n1+C n3+…=2n-15.二项式定理（1）二项式展开公式(a+b)n=C n0a n+C n1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是T k+1=C n k a n-k b k6.二项式的应用（1）求某些多项式系数的和。

（2）证明一些简单的组合恒等式。

（3）证明整除性。

①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题。

（4）近似计算。

当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①(1+x)n≈1+nx②(1+x)n≈1+nx+x2（5）证明不等式。

高中数学备课教案排列组合与二项式定理备课教案：排列组合与二项式定理一、引言数学是一门复杂而又神奇的学科，它在我们的日常生活以及各个学科领域中起着重要的作用。

作为高中数学教师，我们需要深入理解和准确教授各个数学概念和原理。

本教案将重点涵盖排列组合与二项式定理的重要概念和应用。

二、排列组合1. 排列的概念排列是指从给定的元素中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。

具体来说，从n个不同元素中，取出r个元素按照顺序进行排列的个数表示为P(n,r)。

2. 组合的概念组合是指从给定的元素中取出若干个元素，不考虑其顺序的进行组合。

具体来说，从n个不同元素中，取出r个元素进行组合的个数表示为C(n,r)。

3. 排列与组合的计算公式排列和组合的计算公式是我们在解决实际问题中经常使用的重要工具。

- 排列的计算公式：P(n,r) = n! / (n-r)!- 组合的计算公式：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)三、二项式定理1. 二项式的概念二项式是指具有以下形式的多项式：(a + b)^n，其中a和b是实数或变量，n是非负整数。

2. 二项式定理的表达式二项式定理是指将二项式的幂展开的公式。

根据二项式定理，可以得出以下表达式：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,r) * a^(n-r) * b^r + ... + C(n,n) * a^0 * b^n四、应用举例为了帮助学生更好地理解排列组合和二项式定理的应用，我们针对具体的例子进行练习。

例1：某班有10名学生，要从中选出5名代表参加学校的比赛，问有多少种选择方法？解析：根据组合的计算公式，我们可以计算C(10,5)，即从10名学生中选出5名学生的组合数。

根据计算公式可得，C(10,5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 252，因此选择方法的种数为252种。

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4知识点检测：
（1）从甲、乙、丙3名同学中选出两名同学，一名担任班长，一名担任副班长，有多少种不同的选法？
（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加上午和下午的活动，有多少种不同的方法？
1.组织学生在了解的基础上理解排列的概念，掌握排列数公
1.组合的概念
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列与组合的区别：排列是从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，与m个元素的排列顺序有关；组合是从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素组成一组，与m个元素的排列顺序无关.
2.组合数
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，
用符号表示.
5、知识点检测：
某天上午共4节课，排语文、数学、体育、计算机课，其中体育课不排在第一节课，那么这天上午课表的不同排法种数是（）
1.引导并组织学生根据信息进行讨论.区别排列与组合。

国主义情怀.
1.二项式定理的内容
设 a.,b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
2.二项展开式的通项公式
3.二项式系数与二项展开式中某项的系数
3.知识点检测：
组织学生运用二项式定理的相关内容解决实际问题.。

高三新数学第一轮复习教案—排列、组合、二项式定理一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。

三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系m n A =)!(!m n n =n ·(n －1)…(n －m+1)；（3）全排列列：n n A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ； （3）组合数的性质①C n m =C n n-m；②r n r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n ·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n ；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)n C n n =0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n ；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k ；6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。

排列、组合、二项式定理1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．第1课时 两个计数原理n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种 （2）48×50×52＝124800种（3）4150C （4）4150A 变式训练1：在直角坐标x－o －y 平面上，平行直线x=n ，（n=0，1，2，3，4，5），y=n ，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ）A 、25个B 、36个C 、100个D 、225个解：在垂直于x 轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y 轴的6条直线中任意取2条，这样的4 条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有22515152626=⨯=⋅C C 个， 故选D 。

第二讲 排列、组合与二项式定理(选择、填空题型)命题全解密MINGTIQUANJIEMI1.命题点 两个计数原理、排列、组合的基本概念和基本方法；二项展开式中的某些特定项及有关系数问题．2.交汇点 与概率、统计等知识交汇考查．3.常用方法 分类加法、分步乘法；捆绑法、插空法、特殊元素、特殊位置优先法等；二项式定理中的通项公式法、赋值法等.对应学生用书P075[必记公式]1．排列数公式A m n ＝n ！(n －m )！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(n ，m ∈N *，且m ≤n )． 2．组合数公式 C m n ＝n ！m ！(n －m )！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．[重要性质]1．组合数性质(1)C m n ＝C n －m n(n ，m ∈N *，且m ≤n )； (2)C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n(n ，m ∈N *，且m ≤n )； (3)C 0n ＝1. 2．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k ·b k ＋…＋C n n b n ，其中通项T r ＋1＝C r n an －r b r . 3．二项式系数的性质(1)C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r n ；(2)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n；(3)C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.[易错提醒]1．平均分组与平均分配问题．2．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同，但通项不同．对应学生用书P076热点一两个计数原理的应用例1(1)[2015·唐山质检一]有5个英语字母a、b、c、d、e排成一行，则a不排在正中间，且b不排在两端的排法有() A．45种B．54种C．60种D．64种[解析]解法一：若a排在了两端的两个位臵之一，a有A12种排法，b有A13种排法，其余3个字母有A33种排法，所以共有A12·A13·A33种排法；若a排在了第2和第4两个位臵中的一个，则a有A12种排法，这时b有A12种排法，其余3个字母有A33种排法，所以共有A12·A12·A33种排法，因此符合要求的排法共有A12·A13·A33＋A12·A12·A33＝60(种)．选C.解法二：5个字母全排列有A55种排法，其中a排在正中间时有A44种排法，b排在两端时有2A44种排法，a排在正中间且b排在两端时有2A33种排法，所以共有A55－A44－2A44＋2A33＝60(种)排法．选C.[答案] C(2)[2015·郑州统考一]某人根据自己的爱好，希望从{W，X，Y，Z}中选2个不同的字母，从{0,2,6,8}中选3个不同的数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后2位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z 和数字2不能相邻，则满足要求的车牌号的个数为() A．198 B．180C．216 D．234[解析]不选2时，有A33A24＝72种；选2，不选Z时，有C12C23A22A23＝72种；选2，选Z时，当2在数字的中间时，有A23C12C13＝36种，当2在数字的第三位时，有A23A13＝18种．根据分类加法计数原理，共有72＋72＋36＋18＝198个，故选A.[答案] A应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．1．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是________．(用数字作答)答案24解析设4个公司分别为A、B、C、D，当甲乙都在A公司时，则选择另一公司的不同选法为3×2＝6种，同理都在B、C、D公司时另一公司的选择方法数也是6种，所以共有4×6＝24种不同的选择方法．2．现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有2个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有________种．(用数字作答)5答案6解析从5个小正方形中选取2个相邻的情况有4种，如图所示，当1和2涂红色时，有2种涂法，当2和3涂红色时，有1种涂法，当3和4涂红色时，有1种涂法，当4和5涂红色时，有2种涂法，所以一共有6种涂法．热点二 排列与组合问题例2 (1)[2015·山西质检]A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A ．60种B ．48种C ．30种D ．24种[解析] 由题知，不同的座次有A 22A 44＝48种，故选B.[答案] B(2)[2015·湖北四校联考]有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( )A ．150B ．180C ．200D ．280[解析] 分两类，一类3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有C 25C 23A 22·A 33＝90种分派方法；另一类3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C 35·A 33＝60种分派方法，所以不同分派方法种数为90＋60＝150，故选A.[答案] A本例(1)中“相邻”改为“不相邻”则结果如何？解 B ，C 之外的三个人座次共有A 33，则共有4个不相邻的座位，故B ，C 的座次为A 24，故共有A 33×A 24＝72种．解答排列组合问题的角度排列组合问题从解法上看，大致有以下几种：(1)有附加条件的排列组合问题，大多需要用分类讨论的方法，注意分类时应不重不漏；(2)排列与组合的混合型问题，用分类加法或分步乘法计数原理解决；(3)元素相邻，可以看作是一个整体的方法；(4)元素不相邻，可以利用插空法；(5)间接法，把不符合条件的排列与组合剔除掉；(6)穷举法，把符合条件的所有排列或组合一一写出来．1．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案共有( )A ．150种B ．300种C ．600种D ．900种答案 C解析 分两步．第一步，先选4名教师，分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C 25＝10种选法；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C 46＝15种选法．所以不同的选法有10＋15＝25种．第二步，4名教师去4个边远地区支教，有A 44＝24种不同方法．最后，两步方法数相乘，得不同的选派方案共有25×24＝600种，故选C.2．[2015·广东高考]某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案 1560解析 由题意得A 240＝1560，故全班共写了1560条毕业留言．热点三 二项式定理例3 (1)[2015·云南统测]在⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 6＋b x 4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( )A ．20B ．15C ．10D ．5[解析] T r ＋1＝C r 4a4－r b r x 24－7r ，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5.选D.。

典型例题排列：例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架中任取1本书，有多少种不同取法？(2)从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少种不同取法？例2.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例3某年全国足球甲级〔A组〕联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总共要进行多少场比赛.例4〔1〕从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？〔2〕从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？例5用0 到9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？练习用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的1)五位数；2)六位偶数；例6⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？⑵7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？⑶7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多少种不同的排法？(4) 7位同学站成一排．甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(6)甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(8)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？(9)甲、乙、丙按指定顺序排列共有多少种排法？练习1假设有四个男孩和三个女孩站成一排照相：⑴假设其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？⑵假设三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？⑶假设三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？⑷假设四个男孩互不相邻，有多少种不同的排法？练习2三名女生和五名男生排成一排，⑴如果女生全排在一起，有多少种不同排法？⑵如果女生全分开，有多少种不同排法？⑶如果两端都不能排女生，有多少种不同排法？组合：简单的组合问题例1一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?例2 (1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?例3(1)有4本不同的书，一个人去借，至少借一本，则有多少种不同的借法？(2) 有13本不同的书，其中小说6本，散文4本，诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本诗歌，问有几种借法？含有附加条件的组合问题：1 某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：例1 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球,含有1个黑球,有多少种取法?⑶从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？例2按以下条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？〔1〕甲、乙、丙三人必须中选；〔2〕甲、乙、丙三人不能中选；〔3〕甲必须中选，乙、丙不能中选；〔4〕甲、乙、丙三人只有一人中选；〔5〕甲、乙、丙三人至多2人中选；〔6〕甲、乙、丙三人至少1人中选；2 某些特殊元素有特殊归类问题：例3 平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？3 组合中的有重复问题：例4 由数1、2、3、4可组成多少个不同的和？例5 以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？4 “名额分配〞问题：例6．有10个参加数学竞赛的名额,要分给7所,每至少一个名额,有多少种不同的名额分配方法？ 例7．方程5x y z ++=，求⑴有多少组正整数解？⑵有多少组非负整数解？5 “分组〞问题：例8 有6本不同的书，〔1〕甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？〔2〕分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法？〔3〕分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？〔4〕分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本, 有多少不同的分配方法？〔5〕分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同 的分堆方法？〔6〕摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？6．混合问题，先“组〞后“排〞例 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，假设所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？7．分清排列、组合、等分的算法区别〔1〕今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?〔2〕今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法? 〔3〕今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?8、分类组合,隔板处理例1. 要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？。

1.排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.3.与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.1．两个重要公式 (1)排列数公式A n m ＝(n －m ！n ！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(n ，m ∈N *，且m ≤n )． (2)组合数公式C n m ＝m ！(n －m ！n ！＝m ！n(n －1(n －2…(n －m ＋1(n ，m ∈N *，且m ≤n )． 2．三个重要性质和定理 (1)组合数性质①C n m ＝n n －m(n ，m ∈N *，且m ≤n )； ②Cn ＋1m ＝n m －1(n ，m ∈N *，且m ≤n )； ③Cn 0＝1. (2)二项式定理(a ＋b )n ＝Cn 0a n ＋Cn 1a n －1b 1＋Cn 2a n －2b 2＋…＋Cn k a n －k ·b k ＋…＋Cn n b n ，其中通项T r ＋1＝Cn r a n －r b r . (3)二项式系数的性质①Cn 0＝Cn n ，Cn 1＝C n n －1，…，Cn r ＝C n n －r ； ②Cn 0＋Cn 1＋Cn 2＋…＋Cn n ＝2n ；③Cn 1＋Cn 3＋Cn 5＋…＝Cn 0＋Cn 2＋Cn 4＋…＝2n －1.考点一 排列与组合例1．【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D【变式探究】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.【变式探究】(2015·四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个解析 由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A 43＝72个；若万位是4，则有2×A 43个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.答案 B考点二 排列组合中的创新问题例2．用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)解析 分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b 5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c )5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5，故选A.答案 A【变式探究】设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．130答案 D考点三 二项展开式中项的系数例3．【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。

高三数学复习教学案第六章排列、组合与概率第1课时分类计数原理、分步计数原理考纲要求：掌握分类计数原理与分步计数原理，并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题。

一、要点知识归纳：1、分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m 1中不同的方法，在第二类办法中有m2中不同的方法，……在第n类办法中有mn中不同的方法，那么完成这件事共有N=_____________________________中不同的方法。

2、分步计数原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，做第一步有m1中不同的方法，做第二步有m2中不同的方法，……做第n步有mn中不同的方法，那么完成这件事共有N=_____________________________中不同的方法。

二、基本技能训练1、将（a1+a2）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+c4）展开后的项数有__________项。

2、书架的上层放有4本不同的数学书，中层放有6本不同的外语书，下层放有5本不同的语文书，从中任取一本书的不同取法的种数是__________；从书架上任取两本不同学科的书，共有____________种不同的取法。

3、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。

现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为__________。

4、3封信投入4个不同的信箱，共有________种不同的投法；4封信投入3个不同的信箱，共有__________种不同的投法。

设集合A中有5个不同的元素，集合B中有2个不同的元素，建立5、6、某城市的电话号码，由六位数改为七位数（首位数字均不为0），则该城市可增加_____________部电话。

三、例题分析例1、某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成。

（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同选择？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选择？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选择？例2、由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（1）各位上的数字允许重复？（2）各位上的数字不允许重复？例3、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方法有多少种？四、作业1、从1到200的自然数中，各个数位上都不含8的自然数有多少个？2、设x,y∈N*，直角坐标平面内的点P的坐标为（x,y）1）若x+y≤6，这样的P点有多少个？2）若1≤x≤4，1≤y≤5，这样的P点又有多少个？第2课时排列、组合的基本问题考纲要求：1、理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质；2、能解决一些简单的问题。

2019-2020年高考数学复习教学案：排列组合及二项式定理【三维目标】一、知识与技能1. 理解两个计数原理，并会应用解题；2. 理解排列组合（数）的概念产生过程，辨析常见排列组合模型的特点并掌握常用解法；3. 掌握二项式定理的内容和灵活运用解题.二、过程与方法1. 学生小组合作学习，在总结归纳知识的过程中，提高学生“建模”和解决实际问题的能力，渗透类比、化归、分类讨论等数学思想；2. 培养学生学习数学的兴趣和合作探究学习的意识，激励学生互相交流分享学习成果.三、情感态度与价值观1.发展学生的抽象能力和逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决实际问题的能力；2.通过小组合作学习，分享学习成果的学习形式，锻炼学生组织表达能力，引导学生探究学习数学的有效方式，体验合作学习的乐趣，培养集体责任感与荣誉感.【教学重点】重点是辨析常见排列组合模型的特点并掌握常用解法.【教学难点】难点是辨析常见排列组合模型的特点并掌握常用解法.【教学过程】一、复习回顾：主干知识梳理1．分类计数原理和分步计数原理运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”．分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．即：类类独立，步步关联2．排列和组合 (1)排列与组合的定义（2）排列数与组合数公式推导过程及关系组合数的性质： ， (3)排列组合应用题的解题策略：①特殊元素、特殊位置优先安排的策略； ②合理分类与准确分步的策略； ③正难则反，等价转化的策略；④相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法的策略； ⑤元素定序，先排后除的策略； ⑥排列、组合混合题先选后排策略； ⑦复杂问题构造模型策略． 3．二项式定理 (1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n b 0＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n an －r b r ＋…＋C n n a 0b n(r ＝0,1,2，…，n )．(2)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n a n －r b r，r ＝0,1,2，…，n ，其中C r n 叫做二项式系数．()()()()!! 121m n n m n n n n A m n -=+---= .,,*n m N m n ≤∈并且()()()()!!!!121m n m n m m n n n n C mn -=+---= mn nm n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+(3)二项式系数的性质①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C k n ＝C n －kn ，….②最大值：当n 为偶数时，中间的一项的二项式系数 2nnC 取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值2121-+=n nn nCC．③各二项式系数的和a ．C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n；b ．C 0n ＋C 2n ＋…＋C 2r n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＋C 2r ＋1n ＋…＝12·2n ＝2n －1.（4）解决二项式定理问题的注意事项①运用二项式定理一定要牢记通项T k ＋1＝C k n an －k b k ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的．另外，二项式系数与项的系数是两个不同概念，前者指C r n ，后者指字母外的部分．②求二项式中项的系数和，用“赋值法”解决，通常令字母变量的值为1、－1、0等．③证明整除问题一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”、“消去法”结合整除的有关知识解决． 二．小组合作，分享交流 题型一:两个计数原理例1、现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画。