向量组的线性相关性共14页

第四章 向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+. 解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a .解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得 3 已知向量组 A a 1(01 2 3)T a 2(31 2)Ta 3(2 3 0 1)TBb 1(2 112)Tb 2(0 21 1)T b 3(44 1 3)T证明B 组能由A 组线性表示 但A 组不能由B 组线性表示证明 由 知R (A )R (A B )3 所以B 组能由A 组线性表示由 知R (B )2因为R (B )R (B A ) 所以A 组不能由B 组线性表示4已知向量组A a 1(0 1 1)T a 2(110)T Bb 1(10 1)Tb 2(1 21)Tb 3(3 2 1)T证明A 组与B 组等价证明 由 知R (B )R (B A )2显然在A 中有二阶非零子式故R (A )2又R (A )R (BA )2 所以R (A )2 从而R (A )R (B )R (A B ) 因此A 组与B 组等价5已知R (a 1 a 2a 3)2 R (a 2a 3a 4)3 证明(1) a 1能由a 2 a 3线性表示(2) a 4不能由a 1 a 2 a 3线性表示证明 (1)由R (a 2 a 3 a 4)3知a 2a 3a 4线性无关故a 2a 3也线性无关 又由R (a 1a 2a 3)2知a 1a 2 a 3线性相关 故a 1能由a 2 a 3线性表示(2)假如a 4能由a 1 a 2a 3线性表示 则因为a 1能由a 2 a 3线性表示 故a 4能由a 2 a 3线性表示从而a 2a 3 a 4线性相关矛盾 因此a 4不能由a 1a 2a 3线性表示6判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1) (1 31)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T(140)T(00 2)T解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为所以R (A )2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为所以R (B )3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关7问a 取什么值时下列向量组线性相关？a 1(a 11)Ta 2(1 a1)Ta 3(1 1 a )T解 以所给向量为列向量的矩阵记为A由知 当a 1、0、1时 R (A )3此时向量组线性相关8设a 1a 2线性无关a 1b a 2b 线性相关 求向量b 用a 1 a 2线性表示的表示式解 因为a 1b a 2b 线性相关 故存在不全为零的数12使1(a 1b )2(a 2b )0由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-= 设211λλλ+-=c 则b c a 1(1c )a 2 c R9设a 1a 2线性相关b 1b 2也线性相关问a 1b 1 a 2b 2是否一定线性相关？试举例说明之 解 不一定例如 当a 1(1 2)T, a 2(2 4)T, b 1(1 1)T, b 2(0 0)T时有a 1b 1(1 2)T b 1(0 1)T , a 2b 2(2 4)T (0 0)T (2 4)T而a 1b 1 a 2b 2的对应分量不成比例是线性无关的10．举例说明下列各命题是错误的:(1) 若向量组m a a a ,,,21Λ是线性相关的,则1a 可由,,2m a a Λ线性表示.(2) 若有不全为0的数m λλλ,,,21Λ使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλΛΛ 成立, 则m a a ,,1Λ线性相关, m b b ,,1Λ亦线性相关.(3) 若只有当m λλλ,,,21Λ全为0时,等式 01111=+++++m m m m b b a a λλλλΛΛ 才能成立,则m a a ,,1Λ线性无关, m b b ,,1Λ亦线性无关.(4) 若m a a ,,1Λ线性相关, m b b ,,1Λ亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21Λ使.0 ,01111=++=++m m m m b b a a λλλλΛΛ 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11Λ==e a , 032====m a a a Λ 满足m a a a ,,,21Λ线性相关, 但1a 不能由,,,2m a a Λ线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21Λ使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλΛΛ原式可化为 0)()(111=++++m m m b a b a λλΛ取 m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111Λ. 其中m e e ,,1Λ为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1Λ,m b b ,,1Λ均线性相关.(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλΛΛ (仅当01===m λλΛ)m m b a b a b a +++⇒,,,2211Λ线性无关取021====m αααΛ, 取m b b ,,1Λ为线性无关组. 满足以上条件,但不能说是m ααα,,,21Λ线性无关的. (4) T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2=⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.11．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.证明 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x 则(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001= 知此齐次方程存在非零解. 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.12．设r r a a a b a a b a b +++=+==ΛΛ2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21Λ线性无关,证明向量组r b b b ,,,21Λ线性无关.证明 设02211=+++r r b k b k b k Λ则因向量组r a a a ,,,21Λ线性无关,故因为0110011011≠=ΛM ΛΛM ΛΛΛ 故方程组只有零解. 则021====r k k k Λ. 所以r b b b ,,,21Λ线性无关13．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ;(2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=Ta ,)7,4,3,1(3---=T a .解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000032198204121~秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,.14．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示:(1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r --- ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731252334~rr r r --⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00003100321043173125所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1401131302151201221114132~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122114323~rr r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．15设向量组(a 31)T (2b 3)T(1 2 1)T (2 3 1)T的秩为2 求ab 解 设a 1(a 3 1)Ta 2(2b3)T a 3(121)T a 4(231)T因为 而R (a 1 a 2a 3 a 4)2 所以a 2b 516．设n a a a ,,,21Λ是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21Λ能由它们线性表示,证明n a a a ,,,21Λ线性无关.证明 n 维单位向量n e e e ,,,21Λ线性无关. 不妨设:所以 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T Tnn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e ee M ΛΛΛΛΛΛΛM 2121222211121121两边取行列式，得T n T T nn n n n n T nT Ta a a k k k k k k k k k e e e M ΛΛΛΛΛΛΛM 212122*********1= 由 002121≠⇒≠T nT TT n T T a a a e e e M M 即n 维向量组n a a a ,,,21Λ所构成矩阵的秩为n . 故n a a a ,,,21Λ线性无关.17．设n a a a ,,,21Λ是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21Λ为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量T n k k k a ),,,(21Λ=则有n n k k k a εεε+++=Λ2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21Λ线性无关，且n a a a ,,,21Λ能由单位向量线性表示，即故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a aa εεεM ΛΛΛΛΛΛΛM 2121222211121121 两边取行列式，得 TnTTnn n n n n T n T T k k k k k k k k k a a a εεεMΛΛΛΛΛΛΛM 2121222211121121=由 0021222211121121≠⇒≠nnn n nn T nT T k k k k k k k k k a a a ΛΛΛΛΛΛΛM令 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 . 由⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T n T TT n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεεM M M M 212112121即n εεε,,,21Λ都能由n a a a ,,,21Λ线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21Λ线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21Λ线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21Λ可由n a a a ,,,21Λ线性表示，由8题知n a a a ,,,21Λ线性无关.18 设向量组a 1 a 2 a m 线性相关 且a 10 证明存在某个向量a k (2k m ) 使a k 能由a 1 a 2 a k 1线性表示证明 因为a 1a 2 a m 线性相关 所以存在不全为零的数12m使1a 12a 2m a m而且23m不全为零 这是因为如若不然则1a 10 由a 10知10 矛盾因此存在k (2k m ) 使kk 1k 2m于是1a 12a 2 k a ka k (1/k)(1a 12a 2k 1a k 1)即a k 能由a 1 a 2 a k 1线性表示19．设向量组:B r b b ,,1Λ能由向量组:A s a a ,,1Λ线性表示为其中K 为r s ⨯矩阵，且A 组线性无关。