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向量组的线性相关与线性无关1. 线性组合设a<i, a2,…,a t匕R ,匕，k2,…,K匕R ,称匕耳十k a +…+ ka t为a^ a2,…,a t的—一个线性组合。
一k2【备注1】按分块矩阵的运算规则，匕印+k2a2+…+ k t a t=(a“ a2,…,q)亠。
这++占丿样的表示是有好处的。
2. 线性表示设aa, g R n，b R n，如果存在匕山，K R，使得b = Ka k2a2- ■■■■ k t a t则称b可由Q , a?, , a线性表示。
k2b = ki&+k2a2+■■■+k(at，写成矩阵形式，即b =(ai@, ■■■©) ■。
因此，b 可++<k t」由a,a2,…,a t线性表示即线性方程组(a i,a2,…,aj « =b有解，而该方程组有解++当且仅当r(q,a2, ,a t) ,a t,b)。
3. 向量组等价设^包，…,ad, b2,…,b s • R n，如果^总，…,耳中每一个向量都可以由匕,鸟，…,b s线性表示，则称向量组a「a2,…,a可以由向量组gp,…,b s线性表示。
如果向量组a,a2,…,a t和向量组b|,b2,…,b s可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性任何一个向量组都与自身等价。
⑵对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。
⑶传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III 等价。
证明：自反性与对称性直接从定义得出。
至于传递性，简单计算即可得到。
设向量组I为矽总，…,a r ,向量组II为b,b,…,b s，向量组III为G,Q,…,G。
t向量组II可由III线性表示，假设b j八yqC k，j =12…,s。
向量组I可由向s量组II线性表示，假设a「v X ji b j，i =1,2,…,r。
因此, j 二s s t t sa = ' X jjb j = ' X ji y kjc k = ' (.一y kj X ji)C k，i = h2，…,rj 1j k a km j T因此，向量组I可由向量组III线性表示。
向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示就是有好处的。
２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。
线性相关与无关的判断方法
1、定义法
令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
2、向量组的相关性质
（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；
（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；
（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。
若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
3、线性重要性质
（1）向量组B=(β1，β2，……，βm)能由向量组A=(α1，
α2，……，αm)线性表示的充要条件是矩阵A=(α1，α2，……，αm)的秩等于矩阵(α1，α2，……，αm，B)的秩。
（2）向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量A的秩。
反之不一定成立。
（3）零向量可由任一组向量线性表示。
（4）向量组α1，α2，……，αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。
（5）设α1，α2，……，αm线性无关，而α1，α2，……，αm，ß线性相关，则β可由α1，α2，……，αm线性表示，且表示是唯一的。
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
线性相关性与线性无关性线性相关性和线性无关性是线性代数中的两个基本概念，它们在向量空间和矩阵运算中有着重要的应用。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的概念、判定条件以及相关性质。
一、线性相关性的概念和判定条件1. 线性相关性的概念线性相关性是指在向量空间中存在一种非零的线性组合，使得线性组合的系数不全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，存在不全为零的实数k₁, k₂, ..., kₙ，使得k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性相关。
2. 线性相关性的判定条件线性相关性的判定条件是通过求解线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关；若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关。
二、线性无关性的概念和判定条件1. 线性无关性的概念线性无关性是指在向量空间中不存在非零的线性组合使得线性组合的系数全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，当且仅当线性组合的系数全为零时，才有k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性无关。
2. 线性无关性的判定条件线性无关性的判定条件是通过构造一个齐次线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关；若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关。
三、线性相关性和线性无关性的性质1. 线性相关性和线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
当一组向量线性相关时，它们线性无关；当一组向量线性无关时，它们线性相关。
