线性代数向量组线性相关性的判别定理

浅谈向量组的线性相关性及判别方法作者：杨付贵来源：《科学导报·学术》2020年第27期摘要：向量组的线性相关性是线性代数中十分重要的概念之一，有着极其广泛的应用。

然而，在学习线性代数中发现，在学生学习向量组的线性相关性时，感觉很抽象，学习有些吃力。

尤其是对于一般高校文科的学生以及民办高校的本专科的学生，对于向量组的线性相关性的概念很模糊，更不知如何去判别向量组的线性相关性。

本文主要根据自己多年来，在教学和学习过程中的一些经验和体会，对向量组的线性相关性及其性质，以及判别向量组的线性相关性都有那些常见的方法，进行梳理，归纳和总结。

为同学们在学习向量组的线性相关性时提供一些思路。

关键词：向量组;线性相关;线性无关;初等变换一.向量组的线性相关性及其性质和判别定理1. 向量组的线性相关性的定义定义1：如果向量组中，至少有一个向量可以被其余向量线性表示，则称向量组线性相关，否则，向量组线性无关。

定义2：如果存在一组不全为零的数，使得，则称向量组线性相关，否则，向量组线性无关。

注：定义1表明，所谓向量组线性相关，是指向量组中至少有一个向量可以用其余向量线性表示，也即存在着线性关系。

而线性无关是说向量组中的向量之间没有线性关系。

而定义2主要是用来判别向量组的线性相关性。

显然，定义1与定义2是对向量组的线性相关性的不同叙述方式，彼此之间是等价的。

2. 向量组的线性相关性的性质（1）如果向量组中只有一个向量，则当时，线性相关，当时，线性无关。

（2）如果向量组中有两个向量，则线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。

（3）如果向量组中含有零向量，则向量组一定线性相关。

（4）维基本单位向量组线性无关。

3.向量组的线性相关性的判别定理（1）向量组线性相（无）关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解（只有零解）（其中）。

（2）。

（3）如果线性相关，而线性无关，则可以由线性表示，且表示式是唯一的。

（4）如果向量组中的部分向量组成的新的向量组线性相关，则原来的向量组也线性相关。

第三节 向量组的线性相关性分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使,02211=+++s s k k k ααα 1则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k 时,1式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时,则10≠α的充分必要条件是α是线性无关的； 20=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之,仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21 线性无关线性相关的充要条件是: 矩阵),,,(21n A ααα = 的秩等于小于向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21 线性无关线性相关的充要条件是:矩阵),,,(21n A ααα = 的行列式不等于等于零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理3 如果向量组中有一部分向量部分组线性相关,则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s 线性相关, 而向量组s ααα,,,21 线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21 线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量列向量:,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使,02211=+e e λλ也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ 即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 E01 n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,, =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例4 E02 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩,可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩,利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见,,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k 1成立,整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关,故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k 2 因为110011101,02≠=故方程组2仅有零解.即只有0321===k k k 时1式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 E03 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 1 1a 能由32,a a 线性表示; 2 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明1因432ααα,,线性无关,故32,αα线性无关,而321ααα,,线性相关,从而1α能由32αα,线性表示；2用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示,而由1知1α能由32αα,线性表示,因此4α能由32αα,表示,这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:1 一个向量α线性相关的充要条件是0=α;2 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;3 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =两式不一定同时成立; 2. 判断向量组T T T )0,1,1,1(,)1,0,3,1(,)1,0,2,1(321--=-==ααα是否线性相关.3. 判断向量组T T T )11,1,3,4(,)1,1,1,2(,)5,1,2,1(321-=-=-=ααα是否线性相关.。

线性代数中的向量线性相关性判定方法在线性代数中，向量的线性相关性判定是一个非常重要的概念。

它涉及到向量的线性组合，矩阵的行列式和秩等基础概念，同时也是一些高级数学分支如线性变换、矩阵理论、统计分析等学科的基础。

本文将结合实例来探讨向量线性相关性判定方法。

一. 向量的线性组合首先，我们来了解什么是向量的线性组合。

假设有n个向量${v_1,v_2,...,v_n}$，并且有标量$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$，则我们可以将它们进行线性组合，得到如下形式的向量：$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n$其中，$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$是标量。

这个过程中，我们只是简单地将每一个向量按照一定的比例进行加权求和。

二. 向量的线性相关性如果存在不全为零的标量$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$，使得$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n=0$则称向量${v_1,v_2,...,v_n}$是线性相关的。

反之，如果不存在这样的标量，则称向量${v_1,v_2,...,v_n}$是线性无关的。

三. 判断向量线性相关性的方法在对向量线性相关性进行判断时，我们通常会采用以下三种方法：行列式法、秩法和高斯消元法。

1. 行列式法行列式法判断线性相关性是通过构造一个矩阵来进行的。

将向量$v_1,v_2,...,v_n$作为列向量组成的矩阵记为A，则我们可以写出以下等式：$A\alpha=0$，其中$\alpha$表示与向量$v_1,v_2,...,v_n$对应的标量。

对于向量$v_1,v_2,...,v_n$，如果$\det(A)=0$，则向量是线性相关的；如果$\det(A)\neq0$，则向量是线性无关的。

例如，我们来看以下两个向量：$v_1=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$，$v_2=\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}$将它们组成的矩阵写为：$A=\begin{bmatrix}1\quad-2\\2\quad3\end{bmatrix}$然后我们计算$\det(A)$，得到：$\det(A)=1\times3-(-2)\times2=7\neq 0$因此，向量$v_1,v_2$是线性无关的。