第四章向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)

习 题 四A 组1．填空题(1) 设T=(2,3,7)x ，T=(4,0,2)y ，T=(1,0,2)z ，且2()3()-++=x a y a z ，则a = ．解 由2()3()-++=x a y a z 得1523618-⎛⎫⎪=--+=- ⎪ ⎪-⎝⎭a x y z ．(2) 单个向量α线性无关的充分必要条件是 ．解 ≠α0．(3) 已知向量组(1,0,1)=1α,(2,2,3)=2α，(1,3,t)=3α线性相关，则 ．解 因为12310110022322125013131t t t ===-=-ααα，所以52t =． (4) 设有向量组,12ββ，又112=-αββ，2212=+αββ，2312=5-αββ，则向量组,,123ααα线性 ．解 123,,ααα可由12,ββ线性表示，所以123,,ααα的秩小于等于2，从而可知123,,ααα线性相关．(5) 若向量组,,123ααα线性相关，则向量组12+αα，23+αα，31+αα线性 ．解 因为121232313110011101+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααααααα，又11001120101=≠，所以矩阵110011101⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭可逆，从而1112223331110011101-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααααααα， 即123,,ααα与122331,,+++αααααα等价．故12+αα，2331,++αααα线性相关．(6) 设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则 ． 解 12a =．(7) 设向量组()()()123,0,,,,0,0,,a c b c a b ===ααα线性无关，则,,a b c 必满足关系式 ．解 0abc ≠．(8)设三阶矩阵122212304-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭A =，三维列向量()T ,1,1a =α．已知A α与α线性相关，则a = ．解 1a =-．2．选择题(1) n 维向量组12s ,,,a a a (3≤s ≤n )线性无关的充分必要条件是 ．(A)存在一组全为零的数12,,,s k k k ，使1122s s k k k +++=ααα0； (B)存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使1122s s k k k +++≠ααα0；(C)12s ,,,a a a 中任意两个向量都线性无关；(D)12s ,,,a a a 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示．答 （D ）．12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是：12,,,s ααα中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示．所以12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是：12,,,s ααα中任意一个向量都不能由其余1s -个向量线性表示．(2) 设有两个n 维向量组,,,s 12ααα、,,,s 12βββ，若存在两组不全为零的数12,,,s k k k ；12,,,s λλλ，使111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-=0ααββ；则 ．(A) ,,s s 11++αβαβ，,,s s 11--αβαβ线性相关；(B) ,,,s 12ααα、,,,s 12βββ均线性无关； (C) ,,,s 12ααα、,,,s 12βββ均线性相关；(D),,s s 11++αβαβ，,,s s 11--αβαβ线性无关．答 （A ）．因为111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-=ααββ0， 111111()()()()s s s s s s k k λλ-++-+++++=αβαβαβαβ0，所以1111,,,,,s s s s --++αβαβαβαβ线性相关．(3) 设向量组12,,,m ααα和向量组,,,m 12βββ为两个n 维向量组(2m ≥)，且1,,,m mm m 12321312-=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩αβββαβββαβββ 则有 ．(A) 12,,,m ααα的秩小于,,,m 12βββ的秩； (B) 12,,,m ααα的秩大于,,,m 12βββ的秩； (C) 12,,,m ααα的秩等于,,,m 12βββ的秩；(D) 无法判定．答 （C ）．因为1122011101110m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβαβαβ，又1011101(1)(1)0110m m -=--≠，所以有11122011101110m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βαβαβα， 即12,,,m ααα与12,,,m βββ等价，从而知12,,,m ααα与12,,,m βββ的秩相等．(4) 设有两个n 维向量组12,,,m ααα和,,,m 12βββ均线性无关，则向量组12,,,m m 12+++αβαβαβ ．(A) 线性相关； (B) 线性无关；(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关． 答 （C ）．例如，121211110,1;0,10000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ，则12,αα和12,ββ都线性无关，但1122,++αβαβ线性相关．又如， 121211110,1;0,1,0000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ则12,αα和12,ββ都线性无关，1122,++αβαβ也线性无关．(5) 设有向量组12,,,s A : ααα与,,,t B 12:βββ均线性无关，且向量组A 中的每个向量都不能由向量组B 线性表示，同时量组B 中的每个向量也不能由向量组A 线性表示，则向量组12,,,,,,s t ,12αααβββ的线性相关性为 ．(A) 线性相关； (B) 线性无关；(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关． 答 （C ）．例如，当121211000,1;0,1,0011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ则12,αα和12,ββ都线性无关，且12,αα不能由12,ββ线性表示，12,ββ也不能由12,αα线性表示．但12,αα，12,ββ线性相关．又例如121211000100,;,,00010011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ则12,αα和12,ββ都线性无关，且12,αα不能由12,ββ线性表示，12,ββ也不能由12,αα线性表示．但12,αα，12,ββ线性无关．(6) 设向量组I:12,,,r ααα可由向量组Ⅱ:12,,,s βββ线性表示，则 ．（A ）当r s <时，向量组II 必线性相关；（B ）当r s >时，向量组II 必线性相关； （C ）当r s <时，向量组I 必线性相关； （D ）当r s >时，向量组I 必线性相关． 答 （D ）． (7) 设12,,,s ααα均为n 维向量，下列结论不正确的是 ．(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有1122s s k k k +++≠0ααα，则12,,,sααα线性无关；(B) 若12,,,s ααα线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有1122s s k k k +++=0ααα；(C) 12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ； (D) 12,,,s ααα线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．答 （B ）．(8) 设A ,B 为满足AB =O 的任意两个非零矩阵，则必有 ． (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关． 答 （A ）． 3．将b 表示为123,,a a a 的线性组合.(1)T 1(1,1,1)=-a ，T 2(1,2,1)=a ，T 3(0,0,1)=a ，T(1,0,2)=-b ； (2)T 1(1,2,3)=a ，T 2(1,0,4)=a ，T 3(1,3,1)=a ，T(3,1,11)=b ．解（1） 令112233x x x ++=a a a b ，即123110112001112x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为11012010111D ==≠-，所以由Cramer 法则，得 1232,1,1x x x ==-=，故1232=-+b a a a ．（2） 令112233x x x ++=a a a b ，即1231113203134111x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为11120330341D ==≠，所以由Cramer 法则，得123810,,33x x x ===．故12381033=++b a a a ．4．已知向量组12,,,r a a a 线性无关，且112=+b a a ，223=+b a a ，…，1r r =+b a a ．证明当r 为奇数时12,,,r b b b 线性无关；当r 为偶数时12,,,r b b b 线性相关．解 令1122r r x x x +++=b b b 0，得1122231()()()r r x x x ++++++=a a a a a a 0， 111221()()()r r r r x x x x x x -++++++=a a a 0．因为12,,,r a a a 线性无关，所以有11210,0,0r r r x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩．该方程组的系数行列D 为11000111000011002, 1(1)0, .0001000011r r D r +⎧==+-=⎨⎩为奇数为偶数；当r 为奇数时0≠D ，方程组只有零解，即12,,,r b b b 线性无关；当r 为偶数时0D =，方程组有非零解，即12,,,r b b b 线性相关．5．已知12,,,r a a a 线性无关，且11=b a ，212=+b a a ，…，12r r =+++b a a a ，证明12,,,r b b b 线性无关．证明 因为1122100110111r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a b a b a ，100110111⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭可逆，即 11122100110111r r -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b a b a b ． 从而12,,,r a a a 与12,,,r b b b 等价，于是得12,,,r a a a 线性无关．6．设有两个n 维向量组12:(,,,)i i i in A a a a =a ，12:(,,,)n i ip ip ip B a a a =b ，其中1,2,,i m =，而12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的某个排列，证明向量组A 与向量组B 的线性相关性相同．证明 令1122m m x x x +++=a a a 0，即1112121121222211220,0,0m m m mn n mn m a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，上下交换方程，可得1112221122112211220,0,0n n n p p mp m p p mp m p p mp m a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩．即1122m m x x x +++=b b b 0．因为1122m m x x x +++=a a a 0与1122m m x x x +++=b b b 0同解，所以12,,,m a a a 与12,,,m b b b 的线性相关性相同．7．m 个r 维向量的每个向量添上n r -个分量，成为m 个n 维向量．若m 个r 维向量线性无关，证明m 个n 维向量亦线性无关． 证明 设有m 个r 维向量111211212,,,m m r r rm a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a ，因为12,,,m a a a 线性无关，所以当1122m m x x x +++=a a a 0时，有且仅有120m x x x ====，即方程组111122111220,m m r r rm m a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪⎨⎪+++=⎩只有零解，从而方程组1111221112211220,0,0m m r r rm m n n nm n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪⎩ 也只有零解．令11121112212,,,m r r m rm n n nm a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，b b b则当1122m m x x x +++=b b b 0时，有120m x x x ====，所以12,,,m b b b 线性无关．8．判别下列向量组的线性相关性． (1) (1,1,0)，(0,1,1)，(3,0,0)；(2) (1,1,3)，(2,4,5)，(1,1,0)-，(2,2,6)； (3) (2,1)，(3,4)，(1,3)-；(4) (2,1,7,3)-，(1,4,11,2)-，(3,6,3,8)-； (5) (1,0,0,2)，(2,1,0,3)，(3,0,1,5)．解 （1） 因为 11011303=≠，所以（1，1，0），（0，1，1），（3，0，0）线性无关． （2） 4个3维向量一定线性相关． （3） 3个2维向量也一定线性相关． （4） 因为2131461460117113000328000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ， 所以()2R =A ，所以向量组的秩也等于2，故3个向量线性相关．（5） 因为在矩阵100221033015⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 中，有一个3阶子式10021010301=≠，所以3个向量线性无关．9．利用初等行变换，求下列矩阵的列向量组的最大无关组．（1）2531174375945313275945413425322048⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； （2）11221021512031311041⎛⎫⎪-⎪⎪- ⎪⎪-⎝⎭． 解（1） 因为123425311743253117437594531320123(,,,)7594541340135253220480135⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a a a2531174325311743012301230012001200120000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以123,,a a a 或124,,a a a 是最大无关组．（2） 因为()123451122102151,,,,2031311041⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭a a a a a 11221021510011100000⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪- ⎪⎪⎝⎭， 所以123,,a a a 或124,,a a a 或125,,a a a 是最大无关组．10．求下列向量组的秩，并求一个最大无关组．（1）12319221004,,1102448-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a ； （2）123141213,,154367⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a ． 解（1） 因为12319219221004010(,,)1102000448000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A a a a ，所以向量组的秩等于2．12,a a 或23,a a 都是最大无关组．（2） 因为123141141213095(,,)154000367000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A a a a ， 所以向量组的秩等于2．12,a a 或13,a a 都是最大无关组．23,a a 也是最大无关组．11．已知n 维单位坐标向量12,,,n e e e 可由n 维向量组12n ,,,a a a 线性表示，证明12,,,n a a a 线性无关．证明 因为12,,,n e e e 可由12,,,n a a a 线性表示，所以12,,,n e e e 的秩小于或等于12,,,n a a a 的秩，即12,,,n a a a 的秩大于或等于n ，从而可得12,,,n a a a 的秩等于n ．故12,,,n a a a 线性无关．12．证明n 维向量组12n ,,,a a a 线性无关的充分必要条件是，任一n 维向量都可由12,,,n a a a 线性表示．证明 必要性．已知12,,,n a a a 线性无关，又对于任意n 维向量a ，有12,,,,n a a a a 线性相关，所以a 可以12,,,n a a a 线性表示（且表示式惟一）．充分性．根据已知可得，12,,,n e e e 可由12,,,n a a a 线性表示，所以由11题可知，12,,,n a a a 线性无关．13．向量组12,,,s ααα的秩为1r ，向量组,,,t 12βββ的秩为2r ，向量组12,,,,,,s t ,12αααβββ的秩为3r ，证明12312max{,}r r r r r ≤≤+．证明 因为1,,s αα可由11,,,,,s t ααββ线性表示，又1,,t ββ也可由11,,,,,s t ααββ线性表示，所以得13r r ≤且23r r ≤，即123max{,}r r r ≤．设1,,s αα的最大无关组为121,,,r n n n ααα，1,,t ββ的最大无关组为122,,,r m m m βββ，则1,,s αα，1,,t ββ可由121212,,,,,,,r r n n n m m m αααβββ线性表示，所以312r r r ≤+．14．设,A B 是同型矩阵， 证明()()()R R R +≤+A B A B ． 证明 将同型矩阵m n ⨯A ，m n ⨯B 表示为1212(,,,),(,,,)n n ==A a a a B b b b则1122(,,,)n n =+++A B a b a b a b +．因为1122,,,n n +++a b a b ab 可由12,,,n a a a ，12,,,n b b b 线性表示，所以1122,,,n n +++a b a b a b 的秩小于或等于12,,,n a a a ，12,,,n b b b 的秩．又根据13题可知，1122,,,n n +++a b a b a b 的秩小于或等于12,,,n a a a 的秩与12,,,n b b b 的秩之和，所以()()()R R R +≤+A B A B ．15．判别下列向量集合V 是否为向量空间？为什么？ (1) T11{(,,)|0;,1,2,,}nn i i i V x x x x i n ====∈=∑R x ；(2) T11{(,,)|1;,1,2,,}nn i i i V x x x x i n ====∈=∑R x ；(3) T 11{(,,)|;,1,2,,}n n i V x x x x x i n ====∈=R x ．解 （1）V 是向量空间．因为任取,V ∈αβ，T 12(,,,)n x x x =α，T 12(,,,)n y y y =β，则T 1122(,,,)n n x y x y x y +=+++αβ．由于0)(111=+=+∑∑∑===ni i n i i ni i iy x y x，故V +∈αβ．又当λ为任意实数时，T 12(,,,)n x x x λλλλ=α，由于∑∑====ni ni i ix x110λλ，故V λ∈α．（2）V 不是向量空间．因为，若V ∈α，则有T 12(,,,)n x x x =α，且∑==ni ix11．对于2=λ，有T 122(2,2,,2)n x x x λ==αα，其中12nii x==∑1221ni i x ==≠∑，故V λ∉α．（3）V 是向量空间．因为任取,V ∈αβ，则有T 12(,,,)n x x x =α，T 12(,,,)n y y y =β，且12n x x x ===，12n y y y ===．于是T 1122(,,,)n n x y x y x y +=+++αβ，且1122n n x y x y x y +=+==+，所以V +∈αβ．又当V ∈α，λ为任意实数，则有T 12(,,,)n x x x λλλλ=α，且n x x x λλλ=== 21，所以V λ∈α．16． 证明由T T T 123(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)===ααα所生成的向量空间就是3R ．证明 设123,,ααα所生成的向量空间为112233123{|,,}V k k k k k k ==++∈R x ααα．任取V ∈α，则有123,,k k k ，使得T 112233233112(,,)k k k k k k k k k =++=+++αααα．可知3∈R α，从而得3V ⊂R ．又任取3∈R α，则123,,,αααα线性相关，又因为123,,ααα线性无关，所以α可用123,,ααα线性表示且表示式惟一，即有惟一的123,,k k k ，使得112233k k k =++αααα．从而可知V ∈α，于是得3V ⊂R ．综上可知3V =R ．17．设V 1是由T1(1,1,0,0)=a ，T 2(1,0,1,1)=a 所生成的向量空间，V 2是由T 1(2,1,3,3)=-b ，T 2(0,1,1,1)=--b 所生成的向量空间，试证V 1= V 2．证明 因为12121120112010110131()0131000001310000⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a ab b ， 可见，12,a a 及12,b b 都线性无关，但121,,a a b 和122,,a a b 都线性相关，且121,,b b a 和122,,b b a 也都线性相关，即12,a a 可由12,b b 线性表示，12,b b 也可由12,a a 线性表示，所以12,a a 与12,b b 等价，从而21V V =．18．验证T 1(1,1,0)=-α，T 2(2,1,3)=α，T 3(3,1,2)=α为3R 的一个基，并求T (5,0,7)=α在这个基下的坐标．解 因为()12312311160,032=-=-≠ααα所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是3R 的基．对于T(5,0,7)=α，令112233x x x ++=αααα，则有12312323235,0,327,x x x x x x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩解之得122,3,1x x x ===-３，所以α在基123,,ααα下的坐标是(2,3,1)-．B 组1．已知向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关，证明 (1) 1α可由23,αα线性表示； (2) 4α不能由123,,ααα线性表示．证明 （1）因为234,,ααα线性无关，所以23,αα线性无关；又因为123,,ααα线性相关，所以1α可由23,αα线性表示（且表示式惟一）．（2）反证法，假设4α可由123,,ααα线性表示，又由（1）知，1α可由23,αα线性表示．所以4α可由23,αα线性表示，这与234,,ααα线性无关相矛盾．于是得1α不能由123,,ααα线性表示．2．设A 是n 阶方阵，123,,a a a 是n 维列向量，且1≠a 0，11=Aa a ，212=+Aa a a ，323=+Aa a a ．证明123,,a a a 线性无关．证明 根据已知条件，得12132(),(),()-=-=-=A E a 0A E a a A E a a ，设112233λλλ++=a a a 0，上式两边左乘-A E ，得2132λλ+=a a 0，上式两边再左乘-A E 得31λ=a 0，因为1≠a 0，所以得30λ=．又由2132λλ+=a a 0及112233λλλ++=a a a 0可得，210λλ==，所以123,,ααα线性无关．3．设12,,s ααα线性无关，12+++s s λλλ12=βααα，其中i λ≠0，证明11+1,,,,,i -i sααβαα线性无关． 证明 令111111i i i i i s s k k k k k --++++++++=ααβαα0，则由1122s s λλλ=+++βααα，得111111()()i i i i i i i i k k k k k λλλ---+++++ααα111()()i i i i s i s s k k k k λλ++++++++=αα0，从而有1111110,0,0,0,0i i i i i i i i i s i s k k k k k k k k k λλλλλ--+++=⎧⎪⎪⎪+=⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎪+=⎩．因为0i λ≠，所以得0i k =，根据上述方程组又可得1110i i s k k k k -+======，即111,,,,,,i is-+ααβαα线性无关． 4． 设向量组12,,,m A :ααα线性无关，向量1β可由向量组A 线性表示，而向量2β不能由向量组A 线性表示．证明向量组1212,,,,m l +αααββ线性无关(其中l 为常数)．证明 若122,,,,m αααβ线性相关，而12,,,m ααα线性无关，由定理２可知2β可由1,,m αα线性表示，矛盾．所以122,,,,m αααβ线性无关．因为1β可由1,,m αα线性表示，所以有一组数m μμμ,,,21 使111m m μμ=++βαα．又令1122112()n m m k k k k l ++++++=αααββ0，则有1111112()()m m m m m m k lk k lk k μμ++++++++=ααβ0，从而有111212110000m m m m mm k lk k lk k lk k μμμ+++++=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪=⎪⎩，，，．解之得，1210m m k k k k +=====，所以112,,,m l +ααββ线性无关． 5．设有一个含m 个向量的向量组12,,,m ααα(m ≥2),且12+++m =βααα，证明向量组12,,,m β-αβ-αβ-α线性无关的充分必要条件是12,,,m ααα线性无关．证明 因为12312132121011110111110m m m m m --+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，βαααααβαααααβααααα 又101101010(1)(1)0111m m -=--≠，于是有11122011110111110m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβααβααβα 即12,,,m ααα与12,,,m ---βαβαβα等价．故12,,,m ααα与12,,,m ---βαβαβα的线性相关性相同，即12,,,m ααα线性无关的充分必要条件为12,,,m ---βαβαβα线性无关．6．设向量组12:,,,r B b b b 能由向量组12:,,,s A a a a 线性表示为 1212(,,,)(,,,)r s =b b b a a a K ，其中K 为s r ⨯矩阵，且向量组A 线性无关，证明向量组B 线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩()R r =K ．证明 令12(,,,)r B =b b b ，12(,,,)s A =a a a ，并将K 按列分块为12(,,,)r K =k k k ．必要性．由于B 组向量线性无关，有()()r R R r =≤≤B K故()R r =K ．充分性．设有一组数12,,,r λλλ使1122r r λλλ+++=b b b 0，则有112212121122(,,,)(,,,)s r r r r r λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++=a a a K =b b b b b b 0.而12,,,s a a a 线性无关，所以12r λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K =0， 即1122r r λλλ+++=k k k 0，而12,,,r k k k 线性无关，故120r λλλ====．说明12,,,r b b b 线性无关．7．设有两个向量组12:,,,r A ααα；112:B =-βαα，223=-βαα,…,11r r r --=-βαα，1r r =+βαα，证明向量组A 的秩等于向量组B 的秩．证明 因为11221100001100001000001110001r r -⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭βαβαβα， 由于11000011000010200001111--=≠-，所以11122110000110000100000111001r r --⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭αβαβαβ， 即12,,,r ααα与12,,,r βββ等价，所以12,,,r ααα与12,,,r βββ有相同的秩．8．设A 是n 阶方阵，α是n 维列向量，若1m -≠αA 0, m =αA 0，试证α,αA ,2αA ,…,1m -αA 线性无关(2m ≥)．证明 因为m =αA 0，所以12m m ++===ααAA 0．令210121m m λλλλ--++++=ααααA A A 0，上式两边左乘1m -A ，则有10m λ-=αA 0．因为1m -≠αA0，所以00=λ，从而有21121m m λλλ--+++=αααA A A 0，上式两边左乘2m -A，则有11m λ-=αA 0，从而，又得01=λ．以此类推，还可以得012===-m λλ ，所以21,,,,m -ααααA A A 线性无关．9．已知向量组123,,ααα的秩为3，向量组1234,,,αααα的秩为3，而向量组1235,,,αααα的秩为4．证明向量组12354,,,-ααααα的秩为4．证明 因为123,,ααα的秩为3，所以123,,ααα线性无关．又由1234,,,αααα的秩为3，可得1234,,,αααα线性相关．故4α可由123,,ααα线性表示，即存在一组数123,,λλλ．使4112233λλλ=++αααα．令112233454()k k k k +++-=ααααα0，则有11223345112233[()]k k k k λλλ+++-++=ααααααα0，得14112422343345()()()k k k k k k k λλλ-+-+-+=αααα0．因为1235,,,αααα的秩为4，所以1235,,,αααα线性无关．从而有14124234340,0,0,0k k k k k k k λλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩．解之得12340k k k k ====．于是可知12354,,,-ααααα线性无关．10．已知向量组12,,m ααα中任一向量i α都不是它前面i -1个向量的线性组合，且1≠0α，证明12,,m ααα的秩为m ．证明 令1122m m k k k +++=ααα0．首先证明0m k =．反证法，假设0m k ≠，则有1111m m m m m k k k k --⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ααα． 这与题设矛盾．所以得0m k =．同理可证120m k k -===，最后得11k =α0．又因为1≠α0，所以又得10k =．综上得120m k k k ====，故12,,,m ααα线性无关，即12,,,m ααα的秩为m ．11．设12:,,n A ααα；,,,n B 12:βββ都是n 维空间V 的基．;),,1,2,,n ni i i i i i i i W x x x i n =1=1⎧⎫=|=(-=∈=⎨⎬⎩⎭∑∑R ααααβ0 证明W 是V 的子空间．证明 任取W ∈α，则有1122n n x x x =+++αααα因为12,,,n ααα是n 维向量，所以α也是n 维向量，即V ∈α，故W V ⊂．又设,W ∈αβ，则有11n n x x =++ααα且11n n x x =++αββ， 11n n y y =++βαα且11n n y y =++βββ，从而111()()n n n x y x y +=++++αβαα，且111()()n n n x y x y +=++++αβββ，于是可知W +∈αβ．又对于V ∈α及实数λ，有11n n x x =++ααα且11n n x x =++αββ，从而11n n x x λλλ=++ααα且11n n x x λλλ=++αββ，即W λ∈α．所以W 是向量空间，且是V 的子空间．。

线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案 一、填空题1、12332βααα=−+；2、5；3、相关；4、-1；5、相关。

二、单项选择题 1、（B）；2、（C）；3、（C） 三、计算题1、 秩为3；123,,ααα为一个最大无关组，4123234αααα=++。

2、 0,0a b ≠=。

3、 3a =。

4、 讨论对于2b =时，秩为2，1α，2α为一个最大无关组；2b ≠时，秩为3，1α，2α，3α为一个最大线性无关组。

5、 1k =±。

四、证明题 1、（略）2、设1β=1α+2α，2β=2α+3α，3β=3α+4α，4β=4α+1α，证明1β，2β，3β，4β线性相关。

证明：11223344k k k k ββββ+++=0，即()()()()112223334441k k k k αααααααα+++++++=0()()()()141212323434k k k k k k k k αααα+++++++=0无论1234,,,αααα线性相关还是线性无关，上式总成立。

令141223340000k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，由于此方程组系数行列式10011100001100011=，所以此方程组必有非零解，所以存在不全为零的数1234,,,k k k k ，使得11223344k k k k ββββ+++=0成立，所以1β，2β，3β，4β线性相关。

另证：因为1234ββββ−+−=0，所以1β，2β，3β，4β线性相关。

3、设n 维向量β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，证明表示式唯一的充分必要条件是1α，2α，…，m α线性无关。

证明：β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，则()()1212,,,,,,,m m R R ααααααβ=""（必要性）若β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示式唯一，则有()()1212,,,,,,,m m R R m ααααααβ==""，所以1α，2α，…，m α线性无关（因为向量组的秩等于向量的个数）。

向量的线性运算经典测试题附答案一、选择题1．在ABCD中，AC与BD相交于点O，AB a=，AD b=，那么OD等于（）A．1122a b+B．1122a b--C．1122a b-D．1122a b-+【答案】D 【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得12OD BD=，，又由BD BA AD=+，即可求得OD的值．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD=12 BD，∴12OD BD=，∵BD BA AD a b=+=-+，∴12OD BD==111()222a b a b-+=-+故选：D．【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．2．如果向量a与单位向量e方向相反，且长度为12，那么向量a用单位向量e表示为（）A．12a e=B．2a e=C．12a e=-D．2a e=-【答案】C 【解析】由向量a与单位向量e方向相反，且长度为12，根据向量的定义，即可求得答案．解：∵向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为12， ∴12a e =-． 故选C ．3．已知3a →=，2b =，而且b 和a 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→=B ．23a b →→=C ．32a b →→=-D ．23a b →→=- 【答案】D 【解析】 【分析】根据3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反 ∴32a b =-故选D.【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.4．已知a 、b 为非零向量，下列判断错误的是（ ）A ．如果a ＝3b ，那么a ∥bB ．||a ＝||b ，那么a ＝b 或a ＝-bC ．0的方向不确定，大小为0D ．如果e 为单位向量且a ＝﹣2e ，那么||a ＝2【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质解答即可．【详解】解：A 、如果a ＝3b ，那么两向量是共线向量，则a ∥b ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a ＝||b ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意． D 、根据向量模的定义知，||a ＝2|e |＝2，故D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.5．若向量a 与b 均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =B ．1a =C ．1b =D ．a b =【答案】D 【解析】【分析】由向量a 与b 均为单位向量，可得向量a 与b 的模相等，但方向不确定．【详解】解：∵向量a 与b 均为单位向量，∴向量a 与b 的模相等， ∴a b =.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．6．下列说法正确的是（ ）．A ．一个向量与零相乘，乘积为零B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义和性质进行判断．【详解】解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误；B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确.故答案是：D.【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．7．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =，AC b =，则AM 等于（ ）．A ．()12a b -B ．()12b a -C ．()12a b +D ．()12a b -+ 【答案】C【解析】【分析】 根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM . 【详解】解：∵AB a =，AC b =∴CB AB AC a b =-=-∵AM 是ABC △的边BC 上的中线∴()1122CM CB a b ==- ∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.8．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【答案】D【解析】【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可.【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D.【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.9．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为、、，则向量等于（）A．++B．-+C．+-D．--【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论．【详解】如图，，则-+故选B．【点睛】此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.10．下列判断错误的是（）A．0•=0aB．如果a+b=2c，a-b=3c，其中0c ，那么a∥bC．设e为单位向量，那么|e|=1D．如果|a|=2|b|，那么a=2b或a=-2b【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．【详解】A、0•=0a，故本选项不符合题意．B、由a+b=2c，a-b=3c得到：a＝52c，b＝﹣12c，故两向量方向相反，a∥b，故本选项不符合题意．C、e为单位向量，那么|e|=1，故本选项不符合题意．D 、由|a |=2|b |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．故选D ．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．11．如图，在ABC 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =,BC b =，那么AD 等于（ ）A ．a b +B ．2233a b +C ．23a b -D ．23a b + 【答案】D【解析】【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD ，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】解：∵2BD CD = ∴2233BD BC b == ∴23AD AB BD a b =+=+故选D ．【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ） A ．AB BA =- B ．AB BA = C ．AB BCAC D ．AB BC AB BC +=+【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质，逐一判定即可得解.【详解】A 选项，AB BA =-，成立；B 选项，AB BA =，成立；C 选项，AB BC AC ，成立；D 选项，AB BC AB BC +=+不一定成立；故答案为D.【点睛】此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.13．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =，那么BA 用a 表示正确的是（ ） A ．34a B ．34a - C ．43a D ．43a - 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案.【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =，∴BA=43AC ， ∵BA 与AC 方向相反，∴BA =43a -， 故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.14．已知5a b =，下列说法中，不正确的是（ ） A ．50a b -=B ．a 与b 方向相同C ．//a bD ．||5||a b =【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】A 、50a b -=，故该选项说法错误B 、因为5a b =，所以a 与b 的方向相同，故该选项说法正确，C 、因为5a b =，所以//a b ，故该选项说法正确，D 、因为5a b =，所以||5||a b =；故该选项说法正确，故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．15．已知非零向量a 、b ，且有2a b =-，下列说法中，不正确的是（ ）A ．||2||a b =；B ．a ∥b ；C ．a 与b 方向相反；D ．20a b +=． 【答案】D【解析】【分析】根据平行向量以及模的知识求解即可.【详解】A.∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -与b 方向相反，但还是相互平行，∴a ∥b ，该选项不符合题意错误；C. ∵2a b =-，而2b -与b 方向相反，∴a 与b 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.16．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A ．12CA AB = B ．12CB AB = C ．0AC BC += D ．0AC CB +=【答案】B【解析】 根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答． 解：A 、12CA BA =，故本选项错误； B 、12CB AB =，故本选项正确；C 、0AC BC +=，故本选项错误；D 、AC CB AB +=，故本选项错误．故选B ．17．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法即可解答.【详解】 解：根据题意得＝, ＋ .故选D.【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知11(,OA x y =），22(,)OB x y =，如果12120x x y y +=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-；(3,4)OD =-B ．(2,3)OE =-； (3,2)OF =-C ．(3,1)OG =；(3,1)OH =-D ．(22,4)OM =；(22,2)ON =-【答案】D【解析】【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可.【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意；B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意；C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意；D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意；故选D.【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.19．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A ．a e a = B ．e b b = C ．1a e a = D ．11a b a b= 【答案】B【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.20．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++B ．()()330a b b a ++-=C ．2AB BA AB +=D ．3544a b a b a b ++-=- 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可.【详解】 A 、()222a b c a b c ++=++，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-，故B 选项错误；C 、0AB BA +=，故C 选项错误；D、3544++-=-，故D选项正确；a b a b a b故选D.【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.。

第四章向量组的线性相尖性441基础练习1.设有斤维向量组e，，•••、％与几，02,...，仇若存在两组不全为零的数人、入，…，九和k], kzM使(人+灯⑦+—(心+k丿a卄(石一k) 0汁…+(入一n『#m=0则( )(A)(X、，吆…,J和0户卩2,…,“也都线性相矢(B)(ZI,么2,…，么加和0F“2,..., 0加都线性无矢(C)么汁伤，…，时门曲g—fip…，久线性无矢(D)e+伤，…，皤//”，5_卩[，…，线性相尖2.设如如一os与为，卩2,…，久为两个料维向量组，且R@\, a2, -,a s) = /?(/?… /?2,= r，则( )(A)当s = t吋，两向量组等价；(B)两向量组等价；(C)幻…,冬，卩7几)二”(D)当向量组如S被向量组伤，卩2,…,戸,线性表示时，两个向量组等价.3.设/是4阶方阵，且同=0,则/中( )(A)必有一列元素全为零；(B)必有两列元素成比例；(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.4.设力是矩阵，〃是矩阵，贝％)(A)当m > n时，必有14B | HO ；(B)当m > n时，必有(C)当HKD时，必有IMIW；(D)当m < n时，必有IMIP5.设向量组勺，血，他线性无尖，向量几可由勺，么2,么3线性表示，而向量02不能由(A) z a2,k/?7+/?2线性无尖；(B)血竝,冬，k/?7+y?2线性相矢；(C) a J9购么3, 0/+k“2线性无尖；(D)么勿，/ 线性相尖.6.设有向量组勺=(1,- 1,2,4), « = 0,3,1,2), «=(3,0,7,14),勺=(1,-2,2,0)与冬=(2丄5,10), 则向量组的极大线性无尖组是( )(A) °人3 ；(B) ar a2,弘；(C) ap a?, a.门(D) z av a4, as.7.设有向量组a=(a,0,c)fa=(b,c,0),a5=(0,a,b)线性无尖，则a,也c必须满足矢系式.& 向量组a=(l,2,3,4), (i2=(2,3,4,5), a3=(3,4,5,6),恥=(4,5,6,7)的秩等于 ___________________ . 9•已知向量组a =(1,2,-1,1),血=(2,0,0),购=(0,-4,5,-2)的秩为2,则.r 1 2 -2-10 •设矩阵/=2 1 2，向量a=(a,l,l),,已知/la与么线性无矢，则心_________________30 411•向量空间r二(x,2x,y)lx,yG R ｝的维数是______________________________ ，它的基a= _________ ,a2 = __________ .向量么=(3,6,-4)在基勺下的坐标是________________ . 12 ・设有向量组a, =(2,4,7); a2 =(3,2,5);^=(5,6,Q; “ = (1,3,5),当上为何值时，“能由舛42 线性表示？13.设有向量组a, =(2,1,5,3)；血=(1,-1,2,1);佝=(0,3,1,1);恥=(1,2,3,2);少=(-1,1,-2,-8)求向量组的秩和它的一个极大线性无尖组•14.设有向量组© =(1,1,1);血=(1,1,-1);试把P表为a, ,a2用3的线性组合.X,-2X2+X3+X4 • X5 二02XI+x 厂Xq-Xd+Xq 二015 •求方程组12 3 4 5的基础解系和通解.X(+7X2 ・ 5%3 ・5x4+5x5 二03x r X2-2X3+X4-X5 二0*X!-2X2+3X3-4X4=4x?-x.+xd =316•求方程组 2 3 4的通解.XI • 3X2-3X4 二1-7X2+3X3+X4 二-34.4.2提高练习1 .已知a, =(1,0,2,5/, a? =(1,1,3,5/, =Q,」a + 2,l)r他二(l,2,4，a+ 8 几0 = (1,10 +3,5)T(1)a,b为何值时，0不能表示为a…a2,a3,a4的线性组合；(2)a, b为何值时，“有⑦皿2,偽皿4的唯一线性表示，并写出该表达式.2.设向量线性相矢，而其屮任何卩1个向量线性无矢，证明存在不全为零的数《,©, • • •& 便滋+••• + ©%=()・3•设ai9a29a3线性无尖，证明 /?( =a)-2a2 +2a3，/?2 二加-a A py = 2a)-a2 +3a3 线性无尖•4.验证向量a. =(l,-l,0)r,a2 =(2丄3/,=(3,1,2/是疋的一个基，并分别将向量件二(5Q7)丁，仏二(一9,一&・13卩用这个基表示.5.已知H的两个基T3<3<5><A:a)=1/<2 二11；B卩严3,02 =-1'03 二4<2<2><2<3,J2求基力到基〃的过渡矩阵C6•设由向量么〕二(0丄2),血二(1,3,5)，么3二(2丄0)生成的向量空间为V】，由向量几二(1,2,3),仏二(一1，0,1)生成的向量空间为V2,试证匕二V2・7•设/?”的3个基分别为1）求由基（2）到基（1）的过渡矩阵;2）求向S.a 二e 【+e2"・e3在基（2）下的坐标; 3） 求向量fl = 3ej+ 2es -3A4在基（1）下的坐标;4） 求由基（2）到基（3）的过渡矩阵.8.设加个n 维向量a 〕9ay«”线性无矢，P 为n 阶方阵‘证明:向量组Pa?Pa2, - .Pan1,<o>v9、6具有相同的秩，且“3可由向量组（2）线「7(3)： VI(--I疋2 =1 0 <0 • •<i>r-P了-1 1 、6 二 ?.1<o><0,[1 1 ?也二 311d 丿线性无尖的充耍条件是IPL0.na29•已知向量组（1）：fi 二T0]],“2= ri 丿< 1、n3向量组（2） : a2，亿>二佝二严）A \/(?)作性表不，求* b 的值.，03=10•已知3阶方阵力与3维向量X，使得向量组X9AX9A2X线性无尖，且满足A3X =3A X-2A2X ;1)记P二(x, Axjxj.求3 阶方阵B使A = PBP-;2）计算行列式・A%! + 兀 2 + 兀 3= 1问2取何值时,(1) o 可由勺，J 么3线性表示，且表达式唯一？ (2) "可由勺，《2,冬线性表示，但表达式不唯一？ (3) “不能由勺，色线性表示？x ( +X2+&3 =413. k 为何值时，线性方程组w -x, + kx 2 + x 3 = A:2X]_ 勺 + 2 兀 3 =-4有唯一解、无解、有无穷个解?在有解时求出其全部解. 14. 己知二（1，0,2,3）,力二（1丄3,5）,«3二（1，一 1 卫 + 2,1）,如二（124卫 + &）,，（1 丄/? +3,5）.(1)心b 为何值时，“不能表示为勺，j s 他的线性组合?(2)么/?为何值时，“可表示为么” J 5么4的线性组合？并写出该表示式.11 •讨论并求解方程组<%! + AX2 +X3 = A.12•设有3维列向量a =x]+兀 2+ 7C 3 = Q215. 已知下列线性方程组 兀1+兀〉一2兀4 = 一6(1){4 西-X2 -X3-X4 = 1； 3兀L 兀2_兀3 = 3 ⑴求出方程组⑴的通解；(2)当⑵中的参数明/为何值时‘方程组⑴与(2)同解?X] + inx? -XS -XA --5 72X1 —七一2 兀二—1 121第四章参考解答4.4.1基础练习：1. （D ）提示：由题设知，入 5+0） + 希 a+02 + - • • + An J&+Q + kg-卩）+・・・=o又知人，易，…，无，k 、，心…，红不全为零，均+伤,a 2+#2,臥盘，a 厂卩p 卩卫…，亦仇线性相尖.2. （D ）提示：设向量组A ：弘幻 …，匕：向量组B ： P],'T（因向量组/可被向量组B 表示），则用為？仞二/? （C ）o L所以％® r 故选（D ）3. （C ）提示：因仏2,则R （/） v4, /经初等列变换化为阶梯阵〃，〃必有零列，该列就是其余列的线性组合.4. （B ）提示：也习 时，R （4） <n<m,又R （4B ）vR 么），则«BX m ，为降阶方阵,所以AB=O.«/'a /A =orf4-k(A ir/+A 2 厂2+7丿Ta 、 M =B «3«3g+02_A_又勺，j 冬线性无尖，且肉不能由勺，叫冬线性表示，则R勺，J 他，妙+几线性无尖•这个结论肯定了（A ）而排除了（B ），对条件（C ），取R 二0即与5. （A ）提示：由可由勺,5幺3线性表示知件二人勺+入么仝+入冬，那么 (4)二R0?>4,即题设矛盾，可排除•对于（D），取21时与（A）中炉1相同，已知（A）正确，从而否定（D）・6.(B)1. abcO ・提示:ar n 冬线性无尖。

第四章 向量组的线性相关性4.4.1 基础练习1. 设有n 维向量组12m ⋅⋅⋅ααα，，,与⋅⋅⋅12m ββ,β，，若存在两组不全为零的数 12m λλλ⋅⋅⋅，，,和12k k k m ⋅⋅⋅，，,使11111m m m k k k k 0m m m λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1ααββ（＋）＋＋（＋）＋（－）＋＋（－）＝则（ ）（A ）12m ⋅⋅⋅ααα，，,和⋅⋅⋅12m ββ,β，，都线性相关 (B) 12m ⋅⋅⋅ααα，，,和⋅⋅⋅12m ββ,β，，都线性无关 (C) 1m m 1m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性无关 (D) 1m m 1m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性相关 2. 设12s ⋅⋅⋅ααα，，,与t ⋅⋅⋅12ββ,β，，为两个n 维向量组，且 12s t ()()r R R ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=12αααββ,β，，,，，，则（ ）（A ）当s t =时，两向量组等价； （B ）两向量组等价；（C ）12s t ()r R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12αααββ,β，，,，，，＝； （D ）当向量组12s ⋅⋅⋅ααα，，,被向量组t ⋅⋅⋅12ββ,β，，线性表示时，两个向量组等价. 3. 设A 是4阶方阵，且0A ＝，则A 中（ ） (A) 必有一列元素全为零； （B ）必有两列元素成比例； (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）任一列向量是其余列向量的线性组合. 4. 设A 是矩阵，B 是矩阵，则( )（A ）当m n >时，必有0≠AB ； （B ）当m n >时，必有0AB ＝ （C ）当m n <时，必有0≠AB ； （D ）当m n <时，必有0AB ＝5. 设向量组231ααα，，线性无关，向量1β可由231ααα，，线性表示，而向量2β不能由231ααα，，线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ）（A ）232k 11αααββ，，，＋线性无关；（B ）232k 11αααββ，，，＋线性相关； （C ）232k 11αααββ，，，＋线性无关；（D ）232k 11αααββ，，，＋线性相关.6. 设有向量组1α＝(1,-1,2,4)，2α＝(0,3,1,2)，3α＝(3,0,7,14)，4α＝(1,-2,2,0)与5α＝(2,1,5,10)，则向量组的极大线性无关组是（ ）（A ）231ααα，，； (B) 241ααα，，； (C) 251ααα，，； (D) 2451αααα，，，.7. 设有向量组(,0,)(,,0)(0,,)a c b c a b 123ααα＝,＝,＝线性无关，则a ，b ，c 必须满足关系式 .8.向量组(1,2,3,4)(2,3,4,5)(3,4,5,6)(4,5,6,7)1234αααα＝,＝,＝,＝的秩等于 .9. 已知向量组23(1,2,-1,1)(2,0,,0),(0,-4,5,-2)t 1ααα＝,＝＝的秩为2，则t ＝ . 10. 设矩阵122212304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A －＝，向量(,1,1)Ta α＝，已知A α与α线性无关，则a ＝ .11. 向量空间{}V ∈=x=(x,2x,y)|x,y R 的维数是 ，它的基2________,________.=1αα＝向量 ()α＝3,6,-4 在基21αα,下的坐标是 . 12. 设有向量组 123(2,4,7);(3,2,5);(5,6,);(1,3,5)k ====αααβ，当k 为何值时， β能由123ααα,,线性表示？ 13. 设有向量组12345(2,1,5,3);(1,1,2,1);(0,3,1,1);(1,2,3,2);(1,1,2,8)==-===---ααααα求向量组的秩和它的一个极大线性无关组.14. 设有向量组 123(111);(111);(111);(121)==-=-=αααβ，，，，，，，，，试把β表为123ααα,,的线性组合.15. 求方程组12345123451234512345x -2x +x +x -x 02x +x -x -x +x 0x +7x -5x -5x +5x 03x -x -2x +x -x 0=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩的基础解系和通解.16. 求方程组1234234124234x -2x +3x -4x 4x -x +x 3x -3x -3x 1-7x +3x +x 3=⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎩的通解.4.4.2 提高练习1. 已知 123(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1)T T Ta ===-+ααα4(1,2,4,8),(1,1,3,5)T T a b =+=+αβ（1）a ,b 为何值时，β不能表示为1234,,,αααα的线性组合；（2）a ,b 为何值时，β有1234,,,αααα的唯一线性表示，并写出该表达式. 2. 设向量12,,,r ααα线性相关，而其中任何r -1个向量线性无关，证明存在不全为零的数12,,,r k k k 使110r r k k ++=αα.3. 设123,,ααα线性无关，证明 1123223312322,,23=-+=-=-+βαααβααβααα 线性无关.4. 验证向量123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)T T T =-==ααα是3R 的一个基，并分别将向量12(5,0,7),(9,8,13)T T ==---ββ用这个基表示.5. 已知3R 的两个基123123333536:1,1,1;:3,1,422211312⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=====-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A αααB βββ，求基A 到基B 的过渡矩阵C .6. 设由向量()1230,1,2,(1,3,5),(2,1,0)===ααα生成的向量空间为V 1，由向量()121,2,3,(1,0,1)==-ββ生成的向量空间为V 2，试证V 1= V 2.7. 设4R 的3个基分别为12341234110000100(1):,,,;0010000120100101(2):,,,;1012010021(3):01⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛=e e e e εεεεη234021113,,,.211222-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ηηη 1) 求由基（2）到基（1）的过渡矩阵； 2) 求向量123=++αe e e 在基（2）下的坐标； 3) 求向量134323=+-βεεε在基（1）下的坐标； 4) 求由基（2）到基（3）的过渡矩阵.8. 设m 个n 维向量12,,,n ααα线性无关，P 为n 阶方阵，证明：向量组12,,,nP αPαPα线性无关的充要条件是0≠P .9. 已知向量组（1）：1230a b 121110⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ＝，＝，＝，向量组（2）：123⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα139＝2，＝0，＝6－31－7具有相同的秩，且3β可由向量组（2）线性表示，求a ，b 的值.10. 已知3阶方阵A 与3维向量x ，使得向量组2x,Ax,A x 线性无关，且满足332=-2A x Ax A x ；1) 记(),,=2P x Ax A x ，求3阶方阵B ，使1-A =PBP ; 2） 计算行列式+A I .11. 讨论并求解方程组 12312321231x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩.12. 设有3维列向量 2321110111111λλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1αααβ＋＝，＝＋，＝，＝＋问λ取何值时，（1）β可由231ααα，，线性表示，且表达式唯一？ （2）β可由231ααα，，线性表示，但表达式不唯一？ （3）β不能由231ααα，，线性表示？13. k 为何值时，线性方程组 1232123123424x x kx x x x k x x x +=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩＋k有唯一解、无解、有无穷个解？在有解时求出其全部解. 14． 已知234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8),(1,1,3,5).a a b ===-+=+=+1ααααβ（1）a 、b 为何值时，β不能表示为234,1αααα，，的线性组合？（2）a 、b 为何值时，β可表示为234,1αααα，，的线性组合？并写出该表示式. 15. 已知下列线性方程组1234124123413412334526(1)41;(2)2113321x mx x x x x x x x x x nx x x x x x x x t +--=-+-=-⎧⎧⎪⎪---=--=-⎨⎨⎪⎪--=-=-+⎩⎩(1) 求出方程组(1)的通解;(2) 当(2)中的参数m 、n 、t 为何值时，方程组(1)与(2)同解？第四章参考解答4.4.1 基础练习：1. （D ）提示：由题设知，1122211222m m m m m k k k λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+11αβαβαβαβαβαβ（+）+（+）++（+）+（-）+（-）+（-）=m 0又知12m 12m k k k λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，不全为零， 122122m m m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβαβαβ＋，＋，，＋，-，-，，-线性相关.2.（D ）提示：设向量组12s ⋅⋅⋅αααA ：，，,：向量组t B ⋅⋅⋅12ββ,β：，， ⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A O CB B （因向量组A 可被向量组B 表示），则()()()R R R r ===A B C ， 所以AB ，故选（D ）3.（C ）提示：因0A ＝，则()4R <A ，A 经初等列变换化为阶梯阵B ，B 必有零列，该列就是其余列的线性组合.4.（B ）提示：m n >时，n m ≤<A R ()，又≤AB A R ()R ()，则AB R ()<m ，AB 为降阶方阵，所以0AB ＝.5.（A ）提示：1β由可由231ααα，，线性表示知12233λλλ11βααα＝＋＋，那么42233()2233122r k r r r K λλλβββ-++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111ααααA B αα 又231ααα，，线性无关，且2β不能由231ααα，，线性表示，则A B R ()=R ()=4，即2312k +1αααββ，，，线性无关.这个结论肯定了（A ）而排除了（B ）,对条件（C ）,取k =0即与题设矛盾，可排除. 对于（D ）,取k =1时与（A ）中k =1相同，已知（A ）正确，从而否定（D ）. 6.（B ）7. 0abc ≠.提示：231ααα，，线性无关230⇔≠1ααα，，，即0000a cbc a b≠，由此求得0abc ≠.8. 向量组的秩为2. 提示：因为234123412341234234501230123345602460000456703690000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1αααα－－－－－－＝－－－－－－9. t =3. 提示：2312111211121120t 004t 2204t 2204520452003t 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1ααα－－－＝－＋－－＋－－－－－－向量组的秩为22t ⇔＝ 10. a ＝－1. 提示：1221a 21212a 3,2a 312a 2130413a 43a 413a 31⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A αAααB －aa 0a ＝＝＋（，）＝＋＋＋＋＋a =-1时，010101R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B A ααB －＝，（，）＝R ()=1<2（向量个数），则A α与α线性相关. 11. V 的维数是2，它的基()()21αα＝1,2,0,＝0,0,1.向量α的坐标是（3，－4）.提示：对V 中任意向量()()(),2,x x y x y x ==1,2,0+0,0,1，向量()(),1,2,00,0,1线性无关.12. 12k ≠. 13. 秩为3，125ααα,,是它的一个极大线性无关组. 14. 12331022βααα＝＋－. 15. 基础解系为(0,0,0,1,1)T=ξ，通解为(0,0,0,,)Tk k k ==x ξ（k 为任意常数）. 16. (8,0,0,3)T=--x4.4.2 提高练习：1. 解 设有数1234,,,x x x x ，使11223344x x x x +++=ααααβ即 123411111111110112101121,(,)2324300103518500010x x x a b a b x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A β （1）当a ＝－1，b 时，方程组无解，此时β不能表示为1234,,,αααα的线性组合； （2）当a ＝－1，b 时，方程组有唯一的解，此时β有1234,,,αααα的唯一线性表示，求解线性方程组12342344321341234121b ,0,,(1)(1)0b 0x x x x x x x x x x x a x b a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩+++βααααa+b+1-2b 解出＝，＝＝＝a+1a+1a+1-2b a+b+1＝a+1a+1a+1.2. 解： 反证法：若110r r k k ++=αα 至少有一个0i k =，那么11111100i i i i r r k k k k --++++++==αααα，由于r -1个向量是线性无关的， 必有1110i i r k k k k -+======，这样，12,,,r ααα线性无关，与假设矛盾.3. 提示：利用过渡矩阵可逆.4. 提示：1231210023(,,,,)010*******⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭αααββ初等变换123,,ααα与123,,e e e 等价，则123,,ααα是3R 的一个基，并且 1123212333+βαααβααα＝2－，＝3－－2.5. ()()1123123312,,,,111203-⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭C αααβββ6. 提示：只需证()()R R R ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B ， 012123135012210000123000101000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A CB ,所以()()2R R R ⎛⎫===⎪⎝⎭A AB B ，A B ,由此V 1= V 2. 7. 解：()12341234(,,,),,,=e e e e εεεεC1）()1123412120001,,,14240101-----⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭C εεεε; 2）设α在基（2）下的坐标为1234,,,l l l l ，已知α在基（1）下的坐标为()()1234,,,1,1,1,0k k k k =-，根据坐标变换公式11223344121210000110142411010101l k l k l k l k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 所以α在基（2）下的坐标为0，0，-1，1. 3) 13432=+-βεεε在基（1）下的坐标112213344121238000101142423010110k l k l k l k l ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 所以，β在基（1）下的坐标是-8，1，3，0.4）设由基（2）到基（3）的过渡矩阵为Q ，它可以认为是由基（2）到基（1）（过渡矩阵C ），再由基(1)到基(3)的变换，设由基(1)到基(3)的过渡矩阵为G ，则()()12341234,,,,,,==ηηηηe e e e G G ，于是由基(2)到基(3)的过渡矩阵为()12341212202168512000111131222,,,1424021110161223010112222335---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q CG C ηηηη.8. 提示：已知12,,,n ααα线性无关，则1212120,0n n n ≠=≠αααP αααPαPαPα，所以0≠P9. 提示：()123⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭ααα139,,012000，则()1232R =ααα,,且12αα,为一个最大无关组 ()1231211013003a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭βββ,,，因()123123(,,)2R R ==βββααα,,，则03a b -=， 即3a b =，又3β可由向量组（2）线性表示，即可由最大无关组12αα,线性表示，那么123131302010*********0103b b b b b===--=--ααβ，则5,15b a ==.10. 提示： 1)()()()2322232000103012==-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭AP Ax A x A x Ax A x Ax A x x Ax A x PB， 故000103012⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B2) 由111,---+=+A =PBP A I PBPPP ，所以 1001134011+=+==--A I B I11. 提示： 2222231111111011110021λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭B （1）有唯一解21λ⇔≠－，，这时唯一解为 ()2111,,222x x x λλλλλ++=-==+++123. （2） 2λ=－时无解.（3） 1λ＝有无穷多解，这时通解为 12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ＝（k 1，k 2为任意常数）.12.提示：（1）β可由123ααα，，线性表示()123⇔=αααx β，，有唯一解0λ⇔≠，且11 / 1111 / 11 3λ≠－； （2）β可由123ααα，，线性表示，但表达式不唯一()123⇔=αααx β，，有无穷多解0λ⇔＝；（3）β不能由123ααα，，线性表示()123⇔=αααx β，，无解3λ⇔＝－13. 提示：（1）1,4k ≠-时，有唯一解 221232242,,111k k k k k x x x k k k+++-===+++； （2）k ＝1时，无解；（3） k =4时有无穷多解，全部解为 034101k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x （k 为任意常数）. 14. 提示：设234(,,,)=1A αααα，则本题是要求a 、b 为何值时，=Ax β有解和无解.（1）1a =-且0b ≠时，β不能由1234αααα，，，线性表示 ；（2）1a ≠- 时，β可由1234αααα，，，唯一线性表示 1234b 1011a b b a a +++++++βαααα－2＝a +1； 当1a =-且0b =时，β可由1234αααα，，，线性表示为1234(12)++-++βαααα121212＝(-2c +c )c c c c （,12c c 为任意常数）15. 提示：先求出（1）的解，然后代入（2），定出m 、n 和t 的值1）(2,4,5,0)(1,1,2,1)T T k =---+x ； 2） 将(2,4,5,0)T---代入（2），得关于m 、n 和t 的线性方程组 2455451151m n t --+=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=-+⎩解之得2,4,6m n t ===当2,4,6m n t ===时，（2）的系数矩阵的秩等于（1）的系数矩阵的秩，都是2，则基础解系含一个向量，可由验证（1）的基础解系()T1,1,2,1也是（2）的基础解系. 所以（1）与（2）是同解方程组.。

海南大学三亚学院《经济数学》（经管类）课程单元自测题 第四章 向量组的线性相关性第 1 页 共 3 页分院 专业 班级 姓名 学号封 装 线一：填空题1、设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 则=-+32123v v v 。

2、已知,)2,0,2,1(,)1,2,3,1(TT--=-=βα 且βα32=+u , 则=u 。

3、若)1,2,2,1(2),4,3,2,1(32-=+=+βαβα, 则=α , =β 。

4、已知),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t a a a ===线性相关, 则=t 。

5、若T T T c b a ),,(,)0,1,1(,)0,0,1(321===ααα是线性无关的, 则≠c 。

6、向量组T T T a a a )6,5,2(,)2,1,0(,)0,1,1(321-=-==是线性 (“相关”或“无关”) 。

7、一个向量线性相关的充分必要条件是它是 。

8、两个向量线性相关的充分必要条件是它们的每一个分量 。

9、设向量组A 的秩为r , 则A 的一个极大无关组中所含向量的个数为 。

二：判断题：在正确的命题后面的括号内打(√),错误打(×)1、单个的非零向量必然线性相关。

( )2、一个线性相关的向量组增加若干个向量后仍线性相关。

( )3、已知T T T a a a )3,0,0(,)2,1,1(,)1,1,1(321==-=, 则321,,a a a 线性相关。

( )4、如果向量组n ααα ,,21线性无关, 则其中的每一个向量都不是其余向量的线性组合。

( )5、若向量组n ααα ,,21线性相关, 则1α可由 n αα,,2 线性表示。

( )6、矩阵的行向量组的秩与其列向量组的秩相等。

( )7、齐次线性方程组0=Ax 有两个解21,ξξ, 则2211ξξk k +仍是解。

( )8、若η是0=Ax 的解, ξ是b Ax =的解, 则ηξk + )(R k ∈是b Ax =的解。

线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第一节向量组及其线性组合第二节向量组的线性相关性一．选择题1．n维向量1,2,,s ( 1 0)线性相关的充分必要条件是[ D ](A)对于任何一组不全为零的数组都有k + k + +k =0(B)1,2,,s中任何j (j s)个向量线性相关 (C)设A=(1,2,,s)，非齐次线性方程组AX = B有唯一解(D)设A = (1,2,,s)，A的行秩 < s.2．若向量组, ,线性无关，向量组, ,线性相关，则[ C ](A)必可由,,线性表示(B)必不可由,,线性表示(C)必可由, ,线性表示(D)比不可由, ,线性表示二．填空题：1．设 1 = (1,1,0)T , 2 = (0,1,1)T , 3 = (3,4,0)T则 1 - 2 = (1,0, -1)T31+ 22-3= (0,1,2)T2．设3(1-) + 2(2+) = 5(3+)，其中1= (2,5,1,3)T，2= (10,1,5,10)T3= (4,1,-1,1)T，则= (1,2,3,4)T3．已知1= (1,1,2,1)T ,2= (1,0,0,2)T ,3= (-1,-4,-8,k)T线性相关，则k = 24．设向量组1= (a,0,c),2=(b,c,0),3= (0,a,b) 线性无关，则a,b,c满足关系式abc0计算题： 1． 设向量1 =(+1,1,1) ，2 = (1,+1,1)T ，3 = (1,1,+1)T ，= (1,,1 2)T，试问当为 何值时 (1) 可由1,2,3线性表示，且表示式是唯一？(2) 可由1,2,3线性表示，且表示式不唯一？(3)不能由1, 2,3线性表示？解 因为1 +1 1 011 1+ 2(1,2,3,)=1 1+1⎯r⎯1r⎯3→11+ 111 1 +21+111 1 + 12rL → 0- -20 -(+ 3) (1- 2-2)1 1+1 2→ 0--2,0 0-(+3)(1-2-2)1 0且 -3时, R (, , ,) = R (,,) =3, 可由1,2,3线性表示,且表达式唯一;2= 0时, R (,, ,) = R ( , ,) =13, 可由1,2,3线性表示,但表达式不唯一; (3)当= -3时, R (, ,,) = 3 R (,,)=2, 不能由1,2,3线性表示.线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第三节向量组的秩一．选择题：1．已知向量组1,2,3, 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是[ C ]（A） + , +,+, +（B） - , - , - , -（C）1+2,2+3,3+4,4-1（D）1+2,2+3,3-4,4-1 2．设向量可由向量组1,2,,m线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：1,2,,m-1线性表示，记向量组（Ⅱ）：1,2,,m-1, ，则[ B ]（A）m不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示（B）m不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示（C）可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示（D）可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示3．设n维向量组1,2,,s的秩为3，则[ C ]（A）1,2,,s中任意3 个向量线性无关（B）1,2,,s中无零向量（C）1,2,,s中任意4个向量线性相关（D）1,2,,s中任意两个向量线性无关4．设n维向量组1, 2 ,,s的秩为r，则[ C ]（A）若r=s，则任何n维向量都可用1,2,,s线性表示（B）若s = n，则任何n维向量都可用1,2,,s线性表示（C）若r = n，则任何n维向量都可用1,2,,s线性表示（D）若s n，则r =n二．填空题：1．已知向量组1= （1,2,-1,1） ,2=（2,0,t,0）,3= （0,-4,5,-2）的秩为2，则t = 3 2．已知向量组1= （1,2,3,4），2= （2,3,4,5）， 3 = （3,4,5,6），4=（4,5,6,7），则该向量组的秩为22．向量组1= （a,3,1）T，2= （2,b,3）T，3= （1,2,1）T，4= （2,3,1）T的秩为2，则a = 2 b = 5计算题： 1．设1 = (3,1,1,5)T，2 = (2,1,1,4)T，3 = (1,2,1,3)T，4 = (5,2,2,9)T，= (2,6,2,d )T (1)试求1,2,3,4 的极大无关组 (2)d为何值时，可由1,2,3,4 的极大无关组线性表示，并写出表达式3 2 1 51 1 1 2解：(1)(1,2,3,4)= 1 1 2 2r⎯1r⎯3→1 12 21 1 1 23 2 1 55 4 3 954 3 91 1 1 21 1 1 2r 2-r 1⎯r⎯3 -3⎯r 1→0 0 1 0r 4-r 3 r 3(-1)0 0 1⎯r ⎯5-5⎯r →0 -1 -2 -10 1 21-1 -2 -10 0 011 1 2⎯r⎯2 r⎯3 →0 1 2 10 1 00 0 0因为R (1,2 ,3 ) = 3,则1,2 ,3线性无关，且4=1+2. 故1,2,3为1,2,3,4的一个极大无关组.3 2 1 23 2 1 23 2 1 2(2)1 12 6 r 4-r 1 r 4-r 2 1 1 2 6 r 3-r 2 r 4-r 31 12 6 1 1 1 2⎯⎯⎯→ r 4-r 31 1 12 ⎯⎯⎯→ 0 0 -1 -44 3 d0 -1 d -100 0 d - 6只有d =6时 R (1,2,3,) = R (1,2,3)=3, 即可由1,2,3,4的极大无关组1,2,3表示.3 2 1 20 -1 0 41 12 6 ⎯r⎯→ 1 0 0 2 0 0 -1 -4 ⎯⎯→ 00 -1 -40 0 0 00 0 0 所以 = 2 -4 +4.3． 已知3阶矩阵A ，3维向量x 满足A 3 x = 3Ax - A 2 x ，且向量组x , Ax , A 2x 线性无关。

习题四A 组1 •填空题⑴设x =(2,3,7)T , y =(4,0,2)T , z = (1,0, 2)T,且2 X- a ) 3y a 扌，z 则a = ____________ •解由2(x -a) - 3(y a) = z得=15 'a =—2x -3y +z=—61-18」(2)单个向量：•线性无关的充分必要条件是______________ •解為-0•(3)已知向量组：•= (1, 0,1) ■= (2, 2,3), : ^(1, 3,t)线性相关，则__________________相关.a - -1选择题(A) 存在一组全为零的数 k 1, k 2,|l( , k s ,使 k r 1 k 2： 2 丨1( ■ k s ： s = 0 ; (B) 存在一组不全为零的数 k 1,k 2,|l(,k s ，使k ；-1 - k^^\人»= 0 ; (C) a 1, a 2 JU , a s 中任意两个向量都线性无关;匕 +口广1 1 0¥务、1 1 0(1 1 0、解因为5+^3 = 0 11卜2 ,又 0 1 1 =2老,所以矩阵0 1 1«^«1」0 1人1 0 10 b可逆，从而■1 1 0④ +a 2a2 = 0 1 103丿<1 0 h03 +% J：3»11 0 11 0 0= 2 2 3 = 2 2 1 «31 3 t1 3 t -15=2t -5 =0，所以 t 二一2(4)设有向量组又:---——、，】、= '---2^- 2、，则向量组：••,〉、,「；线1'可由-1,j 线性表示，所以：'1, ：'2, ：'3的秩小于等于 2,从而可知：'1, ：' 2, ■■ 3线性若向量组 —，〉、，〉线性相关，则向量组即：'1, ：'2, ：'3 与 M >2, >2*3,->1 等价.故 >1*2 , ：' 2 *3, >3：'1 线性相关.设行向量组(2,1,1,1), (2,1,a,a), 1 a =2设向量组(3,2,1, a), (4,3,2,1)线性相关，且(8)设三阶矩阵「1 p a, 0 c ：，2 耳b c , 0,3,令 a 线性无关， 则a, b, c 必满足关系-2维列向量a = (a,1,1/ .已知A 与〉线性相关，则(1)n 维向量组 a 1, a2^1, a s (3 < s w n)线性无关的充分必要条件是解因为(D) a i, a2, |l(, a s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示.答(D ). G1,鱼，川，O s线性相关的充分必要条件是：。