2019高考数学一轮总复习冲刺第4章三角函数与解三角形第7讲正余弦定理的应用举例分层演练试卷文

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第7课时正、余弦定理第一次作业1．(2018·安徽马鞍山一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。

已知a＝错误!，b ＝2，A＝60°，则c＝( )A.错误!B．1C。

3 D．2答案B解析∵a＝3，b＝2,A＝60°，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得3＝4＋c2－2×2×c×12,整理得c2－2c＋1＝0，解得c＝1。

故选B。

2．(2018·山西五校联考）在△ABC中，a＝错误!b，A＝120°，则角B的大小为（) A．30°B．45°C．60°D．90°答案A解析由正弦定理错误!＝错误!得错误!＝错误!，解得sinB＝错误!。

因为A＝120°，所以B＝30°.故选A。

3．(2018·陕西西安一中期中）在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是( ）A．(0，π6] B．［π6，π)C．(0，错误!] D．[错误!，π)答案C解析∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，由正弦定理,得a2≤b2＋c2－bc，∴bc≤b2＋c2－a2.∴cosA＝错误!≥错误!,∴A≤错误!。

第7讲正弦定理与余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos__A；b2＝c2＋a2－2ca cos__B；c2＝a2＋b2－2ab cos__C 变形形式a＝2R sin__A，b＝2R sin__B，c＝2R sin__C；sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数一解两解一解一解(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bc sin A＝12ac sin__B＝12ab sin C；(3)S＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中p＝12(a＋b＋c)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .( )(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .( )(4)在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2是△ABC 为钝角三角形的充分不必要条件．( ) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× [教材衍化]1．(必修5P10A 组T4改编)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选C.因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝23π.2．(必修5P18练习T1改编)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．解析：因为23sin 60°＝4sin B ，所以sin B ＝1，所以B ＝90°，所以AB ＝2，所以S △ABC＝12×2×23＝2 3. 答案：2 3 [易错纠偏](1)利用正弦定理求角时解的个数弄错； (2)在△ABC 中角与角的正弦关系弄错； (3)判断三角形形状时弄错．1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝csin C，所以sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ，B 的关系为________；若sin A >sin B ，则A ，B 的关系为________．解析：sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ； sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B . 答案：A ＝B A >B3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________． 解析：由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形利用正弦、余弦定理解三角形(高频考点)利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有：(1)由已知求边和角； (2)三角恒等变换与解三角形． 角度一 由已知求边和角(1)(2020·金华市东阳二中高三调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b cos A ＝c cos A ＋a cos C ，则tan A 的值是( )A ．－2 2B ．－ 2C ．2 2D. 2(2)(2019·高考浙江卷)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________．【解析】 (1)因为△ABC 中，由余弦定理得c cos A ＋a cos C ＝c ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋b 2－c 22ab＝b .所以根据题意，3b cos A ＝c cos A ＋a cos C ＝b ，两边约去b ，得3cos A ＝1，所以cos A ＝13>0，所以A 为锐角，且sin A ＝1－cos 2A ＝223，因此，tan A ＝sin Acos A＝2 2.(2)在Rt △ABC 中，易得AC ＝5，sin C ＝AB AC ＝45.在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝BCsin ∠BDC×sin ∠BCD ＝322×45＝1225，sin ∠DBC ＝sin[π－(∠BCD ＋∠BDC )]＝sin (∠BCD ＋∠BDC )＝sin ∠BCD cos ∠BDC ＋cos ∠BCD sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.又∠ABD ＋∠DBC ＝π2，所以cos ∠ABD ＝sin ∠DBC ＝7210. 【答案】 (1)C (2)1225 7210角度二 三角恒等变换与解三角形在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．【解】 (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)， 故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B .(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.(变问法)本例条件不变，若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ， 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.(1)正、余弦定理的选用解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B.因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sinA cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C ·(sin A ＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12，又0<C <π4，所以C ＝π6.故选B.2．(2020·绍兴市一中高三期末检测)△ABC 中，D 为线段BC 的中点，AB ＝2AC ＝2，tan ∠CAD ＝sin ∠BAC ，则BC ＝________．解析：由正弦定理可知sin ∠CAD sin ∠BAD ＝2，又tan ∠CAD ＝sin ∠BAC ，则sin ∠CAD cos ∠CAD ＝sin (∠CAD＋∠BAD )，利用三角恒等变形可化为cos ∠BAC ＝12，据余弦定理BC ＝AC 2＋AB 2－2·AC ·AB ·cos ∠BAC ＝1＋4－2＝ 3.答案： 3利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【解析】 (1)由正弦定理得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，则sin(B ＋C )＝sin 2A ，由三角形内角和，得sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，即sin A ＝1，所以∠A ＝π2.即△ABC 为直角三角形．(2)法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2， 所以a ＝b .又因为a 2＋b 2－c 2＝ab .所以2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形．法二：利用角的关系来判断：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ， 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，所以C ＝60°， 所以△ABC 为等边三角形． 【答案】 (1)A (2)D判定三角形形状的两种常用途径[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb＜cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选A.已知c b ＜cos A ，由正弦定理，得sin Csin B＜cos A ，即sin C ＜sin B cos A ，所以sin(A ＋B )＜sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A ＜0，所以cos B sinA ＜0.又sin A ＞0，于是有cosB ＜0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．2．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a sin B ＋bsin A ＝2c ，则△ABC是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选C.因为a sin B ＋b sin A ＝2c ，所以由正弦定理可得sin A sin B ＋sin Bsin A＝2sin C ，而sin A sin B ＋sin Bsin A ≥2sin A sin B ·sin Bsin A＝2，当且仅当sin A ＝sin B 时取等号，所以2sin C ≥2，即sin C ≥1.又sin C ≤1，故可得sin C ＝1，所以∠C ＝90°.又因为sin A ＝sin B ，可得A ＝B ，故三角形为等腰直角三角形，故选C.与三角形面积有关的问题(高频考点)求解与三角形面积有关的问题是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有：(1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形；(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题． 角度一 求三角形的面积(1)(2020·台州市高考模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，2b －3c ＝2a cos C ，sin C ＝32，则△ABC 的面积为( ) A.32B.34C.32或34D.3或32(2)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos∠BDC ＝________．【解析】 (1)因为2b －3c ＝2a cos C ，所以由正弦定理可得2sin B － 3 sin C ＝2sin A cos C ， 所以2sin(A ＋C )－3sin C ＝2sin A cos C ， 所以2cos A sin C ＝3sin C ， 所以cos A ＝32，所以A ＝30°， 因为sin C ＝32，所以C ＝60°或120°. A ＝30°，C ＝60°，B ＝90°，a ＝1，所以△ABC 的面积为12×1×2×32＝32，A ＝30°，C ＝120°，B ＝30°，a ＝1，所以△ABC 的面积为12×1×1×32＝34，故选C.(2)在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154，所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝cos ∠ABC ＋12＝104. 【答案】 (1)C (2)152104角度二 已知三角形的面积解三角形(1)(2020·杭州市七校高三联考)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边长依次为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ，且S ＝a 2－(b －c )2，则sin A1－cos A＝________．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.①求tan C 的值；②若△ABC 的面积为3，求b 的值．【解】 (1)因为△ABC 的面积为S ，且S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝12bc ·sin A ，所以由余弦定理可得－2bc ·cos A ＋2bc ＝12bc ·sin A ，所以4－4cos A ＝sin A ，所以sin A 1－cos A ＝4－4cos A 1－cos A ＝4.故填4.(2)①由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C . 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， 解得tan C ＝2.②由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝22b3，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62， 故b ＝3.角度三 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题(1)(2020·浙江“七彩阳光”联盟联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，其面积满足S △ABC ＝14a 2，则cb的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2(2)(2020·绍兴市一中期末检测)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a cos C －12c ＝b .①求角A 的大小；②若a ＝3，求△ABC 的周长l 的取值范围．【解】 (1)选C.根据题意，有S △ABC ＝14a 2＝12bc sin A ，应用余弦定理，可得b 2＋c 2－2bc cosA ＝2bc sin A ，令t ＝cb，于是t 2＋1－2t cos A ＝2t sin A ．于是2t sin A ＋2t cos A ＝t 2＋1，所以22sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝t ＋1t ，从而t ＋1t ≤22，解得t 的最大值为2＋1.(2)①由a cos C －12c ＝b 得sin A cos C －12sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以12sin C ＝－cos A sin C ，因为sin C ≠0， 所以cos A ＝－12，又0＜A ＜π，所以A ＝2π3.②由正弦定理得b ＝a sin Bsin A＝23sin B ，c ＝23sin C ， l ＝a ＋b ＋c ＝3＋23(sin B ＋sin C )＝3＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝3＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin B ＋32cos B＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3， 因为A ＝2π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以B ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1， 则△ABC 的周长l 的取值范围为(6，3＋2 3 ]．与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c2b，sinB ＝74，S △ABC ＝574，则b 的值为________． 解析：由sin A sin B ＝5c 2b ⇒a b ＝5c 2b ⇒a ＝52c ，①由S △ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，②联立①②解得a ＝5，c ＝2，由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34，由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.答案：142．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．解析：由题意得4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝1，又0<A <π，所以π4<A ＋π4<5π4，所以A ＋π4＝3π4，所以A ＝π2，S＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，所以bc ≤16，所以S 的最大值为8.答案：83．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝－6(舍去)，c ＝4. (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.核心素养系列9 数学运算——三角形中最值问题一、求角的三角函数值的取值若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 【解析】 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，所以cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3a 2＋2b 28ab －24≥6－24( 3 a ＝ 2 b 时取等号)，故cos C 的最小值是6－24. 【答案】6－24在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 【解】 (1)由余弦定理和已知条件可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，又因为0<B <π，所以B ＝π4.(2)由(1)知A ＋C ＝3π4，所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4. 因为0<A <3π4，所以当A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.此类问题主要考查余弦定理、三角形内角和定理、辅助角公式以及三角函数的最值和基本不等式；解此类问题的关键是熟练地运用余弦定理、两角差的正余弦公式以及辅助角公式．二、求边的最值(1)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． (2)如图，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，AB ＝BC ＝1，AC ＝CD ，AC ⊥CD ，当∠ABC 变化时，BD 的最大值为________．【解析】 (1)因为BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋4sin A ＝5sin A ＋3cos A ＝27sin(A ＋φ)，因为φ∈(0，2π)，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以AB ＋2BC 的最大值为27. (2)设∠ACB ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则∠ABC ＝π－2θ，∠DCB ＝θ＋π2，由余弦定理可知，AC2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，即AC ＝DC ＝2＋2cos 2θ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，由余弦定理知，BD 2＝BC 2＋DC 2－2BC ·DC cos ∠DCB ，即BD 2＝4cos 2θ＋1－2×1×2cos θ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2cos 2θ＋2sin 2θ＋3＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋3.由0<θ<π2，可得π4<2θ＋π4<5π4，则()BD 2max＝22＋3，此时θ＝π8，因此(BD )max ＝2＋1.【答案】 (1)27 (2)2＋1边的最值一般通过三角形中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解．有时也可利用均值不等式求解．三、求三角形函数的最值在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC的面积S ＝3c ，则ab 的最小值为________．【解析】 在△ABC 中，2c cos B ＝2a ＋b ，由正弦定理，得2sin C cos B ＝2sin A ＋sinB ．又A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，所以2sin C cos B ＝2sin(B＋C )＋sin B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ，得2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，又0<C <π，所以C ＝23π.由S ＝3c ＝12ab sin C ＝12ab ×32，得c ＝ab 4.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab 42≥3ab ，得ab ≥48，所以ab 的最小值为48.【答案】 48利用三角函数的有关公式，结合三角形的面积公式及正、余弦定理，将问题转化为边或角的关系，利用函数或不等式是解决此类问题的一种常规方法．[基础题组练]1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B.由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24，故选B. 2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( )A ．2∶3B ．4∶3C ．3∶1D ．3∶2解析：选C.由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B ，3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，选C.3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．2或3解析：选D.因为S △ABC ＝22＝12bc sin A ，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋cb的值为( ) A.22B. 2 C ．2D ．4解析：选C.在△ABC 中，由b sin A －3a cos B ＝0， 利用正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0， 所以tan B ＝3，故B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 即b 2＝(a ＋c )2－3ac ，又b 2＝ac ，所以4b 2＝(a ＋c )2，求得a ＋cb＝2. 5．(2020·杭州市高三期末检测)设点P 在△ABC 的边BC 所在的直线上从左到右运动，设△ABP 与△ACP 的外接圆面积之比为λ，当点P 不与B ，C 重合时( )A ．λ先变小再变大B ．当M 为线段BC 中点时，λ最大 C ．λ先变大再变小D ．λ是一个定值解析：选D.设△ABP 与△ACP 的外接圆半径分别为r 1，r 2，则2r 1＝ABsin ∠APB，2r 2＝ACsin ∠APC，因为∠APB ＋∠APC ＝180°， 所以sin ∠APB ＝sin ∠APC ， 所以r 1r 2＝ABAC， 所以λ＝r 21r 22＝AB 2AC2.故选D.6．在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最大值为( ) A.21B.3214C.212D ．321解析：选B.设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 因为AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3， 所以bc cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A2，所以cos A ≥25，所以0<sin A ≤215，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214. 7．在△ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ， 所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2. 答案：28．若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 解析：由面积公式，得S ＝12×AB ×AC ×sin A ＝103，所以sin A ＝2035×8＝32.因为 A ∈(0，π2)，所以A ＝π3.由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos A ＝25＋64－2×5×8×cos π3＝49，所以BC ＝7.答案：79．(2020·温州市高考模拟)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，记S 为△ABC 的面积，若A ＝60°，b ＝1，S ＝334，则c ＝________，cos B ＝________． 解析：因为A ＝60°，b ＝1，S ＝334＝12bc sin A ＝12×1×c ×32，所以解得c ＝3.由余弦定理可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋9－2×1×3×12＝7，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝7＋9－12×7×3＝5714.答案：3571410．(2020·金丽衢十二校联考模拟)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a cos B ＝b cos A ，4S ＝2a 2－c 2，其中S 是△ABC 的面积，则C 的大小为________．解析：△ABC 中，a cos B ＝b cos A ， 所以sin A cos B ＝sin B cos A ，所以sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0， 所以A ＝B ，所以a ＝b ； 又△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ，且4S ＝2a 2－c 2，所以2ab sin C ＝2a 2－c 2＝a 2＋b 2－c 2，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝cos C ，所以C ＝π4.答案：π411．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 解：(1)由题意知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰钝角三角形．12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝4，b sin A ＝3. (1)求tan B 及边长a 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝9，求△ABC 的周长． 解：(1)在△ABC 中，a cos B ＝4，b sin A ＝3， 两式相除，有b sin A a cos B ＝sin B sin A sin A cos B ＝tan B ＝34，又a cos B ＝4，所以cos B >0，则cos B ＝45，故a ＝5.(2)由(1)知，sin B ＝35，由S ＝12ac sin B ＝9，得c ＝6.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，得b ＝13. 故△ABC 的周长为11＋13.[综合题组练]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝1，a ＝2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为( )A.33B.36C.233D. 3解析：选B.当C 取最大值时，cos C 最小， 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3c 2＋14c ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3c ＋1c ≥32，当且仅当c ＝33时取等号， 且此时sin C ＝12，所以当C 取最大值时，△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×2c ×1×12＝36.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，a ＝2 3.若b ∈[1，3]，则c 的最小值为( )A ．2B ．3C ．2 2D ．2 3解析：选B.由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ．由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即3cos C ＝3sin C ，所以tan C ＝3，故cos C ＝12，所以c 2＝b 2－23b ＋12＝(b －3)2＋9，因为b ∈[1，3]，所以当b ＝3时，c 取最小值3.3．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2a sin B ＝3b ，b ＝2，c ＝3，AD 是内角的平分线，则BD ＝________．解析：由2a sin B ＝3b 及正弦定理得 2sin ∠BAC ·sin B ＝3sin B ，所以sin ∠BAC ＝32. 因为∠BAC 为锐角，所以∠BAC ＝π3.因为AD 是内角平分线，所以BD DC ＝AB AC ＝c b ＝32.由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7，BD ＝357.答案：3574．(2020·金华十校联考)设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为____________．解析：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝512π.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (a 、b 、c 为△ABC 中角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC的外接圆半径)可得，a ＝sin A sin C ·c ，b ＝sin B sin C ·c ，R ＝c2sin C.所以S 1＝12ab sin C ＝12·sin A sin C ·sin B sin C ·c 2·sin C＝12sin A ·sin B ·sin C ·c2sin 2C，S 2＝πR 2＝π4·c 2sin 2C ， 所以S 1S 2＝2sin A ·sin B ·sin C π＝2×22×32×6＋24π＝3＋34π. 答案：3＋34π5．(2020·浙江省名校协作体高三联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)当2sin 2A ＋sin(2B ＋C )＝sin C 时，求△ABC 的面积；(2)求△ABC 周长的最大值．解：(1)由2sin 2A ＋sin(2B ＋C )＝sin C 得4sin A cos A －sin(B －A )＝sin(A ＋B )，得2sin A cos A ＝sin B cos A ，当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233， 当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a ，解得a＝233，b ＝433. 故△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝233. (2)由余弦定理及已知条件可得：a 2＋b 2－ab ＝4，由(a ＋b )2＝4＋3ab ≤4＋3×（a ＋b ）24得a ＋b ≤4，故△ABC 周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形时取到．6．(2020·杭州市高考模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m sin A ＝sin B ＋sin C (m ∈R )．(1)当m ＝3时，求cos A 的最小值；(2)当A ＝π3时，求m 的取值范围． 解：(1)因为在△ABC 中m sin A ＝sin B ＋sin C ，当m ＝3时， 3sin A ＝sin B ＋sin C ，由正弦定理可得3a ＝b ＋c ，再由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋c 2－19（b ＋c ）22bc＝89（b 2＋c 2）－29bc 2bc ≥89·2bc －29bc 2bc ＝79， 当且仅当b ＝c 时取等号，故cos A 的最小值为79. (2)当A ＝π3时，可得32m ＝sin B ＋sin C ， 故m ＝233sin B ＋233sin C ＝233sin B ＋233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝233sin B ＋233⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B ＋12sin B ＝233sin B ＋cos B ＋33sin B ＝3sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6， 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3， 所以B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1， 所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈(1，2]， 所以m 的取值范围为(1，2]．。

专题4.7 正余弦定理应用【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．海上有A ，B ，C 三个小岛，A ，B 两岛相距53海里，从A 岛观测到C 和B 成45°角，从B 岛观测到C 和A 成75°角，则B ，C 两岛间的距离是________海里．【解析】易知∠ACB＝60°，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得53sin 60°＝BCsin 45°，即BC ＝5 2.2．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，A ＝60°，则△ABC 的面积为________． 【解析】由面积公式得S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝342.3． 如图，山脚下有一座小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，则山高CD ＝________m.【解析】如图，设CD ＝x m ，则AE ＝(x －20) m ，tan 60°＝CD BD ，所以BD ＝CD tan 60°＝x3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ，解得x ＝10(3＋3)． 题组二 常错题4．在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°，C 点的俯角是70°，则∠BAC ＝________．【解析】由已知可知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，所以∠BAC＝60°＋70°＝130°.5．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的方位是____________．题组三常考题6．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．【解析】设电视塔的高度为x m，则BC＝x m，BD＝3x m．在△BCD中，由余弦定理，得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.7．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．【知识清单】考点1 正弦定理、余弦定理的实际运用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．方向角相对于某一方向的水平角(如图③)．图③(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．图④坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．【考点深度剖析】这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．【重点难点突破】考点1 正弦定理、余弦定理的实际运用【1-1】甲，乙两船同时从B 点出发，甲以每小时km 20的速度向正东航行，乙船以每小时km 320的速度沿南偏东60的方向航行，1小时后，甲、乙两船分别到达C A ,两点，此时BAC 的大小为 ； 【答案】0120平分BC ，∴AB=AC=20km ，根据余弦定理BC 2=AB 2+AC 2-2AB •AC •cos ∠BAC ，得：1200=400+400-800cos ∠BAC ，∴cos ∠BAC=-12，又∠BAC 为三角形的内角，则∠BAC=120°．故答案为：120° 【1-2】某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC ， ∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（Ⅰ）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D ，E ，F ，如图(1)，使得EF ‖AB ，EF ⊥ED ，在△DEF 喂食，求△DEF 面积S △DEF 的最大值；（Ⅱ）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，如图(2)，建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．（Ⅱ）设正DEF ∆的边长为a ，CEF α∠=，【思想方法】(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．【温馨提醒】测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图是关键．【易错试题常警惕】(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程。

第七讲 正余弦定理【基础扫描】1．正弦定理和余弦定理2.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12 ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin_B ＝12ab sin_C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．【知识运用】考点一：利用正余弦定理解三角形【例1】根据下面条件解三角形(1)已知在△ABC 中，a ＝20，A ＝30°，C ＝45°，求B ，b ，c . （2） 在△ABC 中， a ＝1，b ＝3，A ＝30°；(3)已知△ABC 的三边长为a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的各角度数．（4）在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，c ＝4(3＋1)，解此三角形． （5）在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A 、角C 和边a .【变式】1.在△ABC 中，已知a ＝2，c ＝6，C ＝π3，求A ，B ，b .2.在△ABC 中，已知a ＝2，c ＝6，A ＝π4，求C ，B ，b .3．在△ABC ，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形考点二 正余弦定理的运用 【例2】（1）．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a•cosB+b•cosA=3ccosC，则cosC= ．（2）．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=2bsinA ，则B= ．（3）．已知△ABC 的周长为+1，且sinA+sinB=sinC ，则边AB 的长为【变式】1．△ABC 的周长等于2（sinA+sinB+sinC ），则其外接圆半径等于 ． 2．已知△ABC 周长为4，sinA+sinB=3sinC ，则AB=3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A=30°，2asinB=3，则b= ． 4．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，a=5，A=，cosB=，则边c= ．考点三 求三角形的面积例4 在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，求△ABC 的面积．【变式实践4】1. △ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 2．已知△ABC 中，AB ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为________．3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，∠A ＝60°，AC ＝23，S △ABC ＝92，则AB ＝________.4.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m =(a )与n =(cos A ，sin B )平行.(1)求角A 的大小；(2)若a b =2，求△ABC 的面积.【例5】在锐角△ABC C 的取值范围．【解题基本思路】在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法： (1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量．(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值的问题．【变式】1. 在△ABC 中，若C ＝2B ，求cb的取值范围．2．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则AC ＋AB 的取值范围是________．3．（2016•朔州模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若=，b=4，则a+c 的最大值为 ．【强化训练】1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若=，则∠A=（ ）A ．B ．C ．D ．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则=（ ）A ．B ．C ．D ．3．在△ABC中，∠A=60°，AC=2，BC=3，则角B等于（）A．30°B．45°C．90°D．135°4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，c=2（b﹣cosC），则△ABC周长的取值范围是（）A．（1，3] B．[2，4] C．（2，3] D．[3，5]5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C．D．6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若C=30°，b=3，△ABC的面积为，则c=（）A．1 B．2 C． D．7．△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC成等差数列，且，则等于（）A．B．C．D．8．）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则△ABC的面积的最大值为（）A．4B．2C．2 D．9．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且，则c的值为（）A．3 B．4 C．5 D．3或510．在△ABC中，若a2﹣b2=bc，且=2，则角A=（）A．B．C．D．11．在斜△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，asinB+bcos（B+C）=0，sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（）A．2 B． C． D．12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2=ab=，则△ABC的面积为（）A．B．C． D．13．已知钝角△ABC的面积为，AB=1，BC=，则角B= ，AC= ．14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=2B，则是取值范围为．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosB+bcosA=2ccosC，则角C= ．16．在△ABC中，AB=，A=45°，C=60°，则BC= ．17．已知△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，且△ABC 的面积为，则AC 边的最小值 ．18．在△ABC 中，∠A=30°，∠C=120°，，则AC 的长为 ．19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中A=120°，b=1，且△ABC 的面积为，则= ．20．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2asinA=（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC ，则A 的大小是 ° ．21．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，且bc=4，则△ABC 的面积为 ．22．已知钝角△ABC 的面积为2，AB=2，BC=4，则该角形的外接圆半径为 ．23．在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3bsinA=ccosA+acosC ，则sinA= ．24 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B =2sin A sinC . (1)若a =b ，求cos B 的值；(2)若B =90°，且a ABC 的面积.25、 △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .26．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2，A≠B．（I）求的值（2）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．27在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，C=，且sinB=2sinA•cos（A+B）．（1）证明：b2=2a2；（2）若△ABC的面积是1，求边c．参考答案【例1】(1)∵A＝30°，C＝45°；∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由正弦定理得b＝a sin Bsin A＝20sin 105°sin 30°＝40sin(45°＋60°)＝10(6＋2)；c ＝a sin C sin A ＝20sin 45°sin 30°＝202， ∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2. (2)根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32. ∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c ＝b sin B ＝3sin 60°＝2；当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°，c ＝b sin C sin B ＝3sin 30°sin 120°＝1.(3)由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(22)2＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(23)2＋(6＋2)2－(22)22×23×(6＋2)＝22，∴B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝75°.4[解] 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos 60° ＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b ＝4 6.法一：由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝错误!＝错误!，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴8sin A ＝46sin 60°，∴sin A ＝22，∵b ＞a ，c ＞a ， ∴a 最小，即A 为锐角． 因此A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°. （5）【解题思路分析】思路一：已知条件给出两边及以对应角用余弦定理 →已知角B 求边长则选择b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 列等式→解关于a 边的一元二次方程→选择正弦定理或者余弦定理求出其他边或角思路二：已知条件给出两边及以对应角用正弦定理求出角C →利用三角形内角和求出第三角A →再利用正弦或者余弦定理求出其他边或角[解] 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°， ∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理得 sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 为直角三角形． 由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝32＋?3r(3?2)＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3. 【变式实践1】1.∵a sin A ＝csin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22. ∵c >a ，∴C >A .∴A ＝π4.∴B ＝5π12，b ＝c sin Bsin C ＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.2∵a sin A ＝csin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝32. 又∵a <c ，∴C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin Bsin A ＝3＋1.当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A ＝3－1.3.解：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°) ＝8－4 3＝(6－2) 2∴c ＝6－ 2.法一：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝错误!＝错误!. ∵0°＜A ＜180°， ∴A ＝45°， 从而B ＝120°. 法二：由正弦定理得sin A ＝a sin Cc＝22×6－246－2＝22. ∵a ＜b ， ∴A ＜B ，又0°＜A ＜180°， ∴A 必为锐角，∴A ＝45°，从而得B ＝120°.【例2】（1）解：∵a•cosB+b•cosA=3c•cosC， ∴利用余弦定理可得：a ×+b ×=3c ×，整理可得：a 2+b 2﹣c 2=，∴由余弦定理可得：cosC===．故答案为：．（2）解：∵a=2bsinA ，由正弦定理可得，sinA=2sinBsinA ，∵sinA ≠0，∴sinB=， ∵0°＜B ＜180°．∴B=或．故答案为：或． （3）解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB ，两式相减，可得AB=1．故答案为：1． 【变式实践2】1.解：设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ， 由正弦定理得，∴a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC ），∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC ）， ∴R=1．故答案为：1．2解：∵sinA+sinB=3sinC ，∴由正弦定理可得a+b=3c ，又△ABC 的周长为4，∴a+b+c=4c=4， 解得c=1，即AB=1．故答案为：1． 3.解：∵在△ABC 中A=30°，2asinB=3，∴由正弦定理可得b===3，故答案为：3．4、解：∵cosB=，a=5，A=，∴sinB==，∴由正弦定理可得：b===4，∴由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，即：32=25+c 2﹣6c ， 解得：c=7或﹣1（舍去）．故答案为：7．例3：（1）[解] 由余弦定理可得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ·a 2＋b 2－c 22ab等式两边同乘以2abc 得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2)，整理化简得a 4＋b 4－2a 2b 2＝c 4， ∴(a 2－b 2)2＝c 4.因此有a 2－b 2＝c 2或b 2－a 2＝c 2. 即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2故△ABC 为直角三角形．（2）【题意分析】：设asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，再利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R将角的关系化为边之间的关系．解：由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，从而得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵b sin B ＝c sin C ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴b ·b 2R ＝c ·c2R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，∴b 2＝c 2，a 2＝b 2＋c 2， ∴b ＝c ，A ＝90°.∴△ABC 为等腰直角三角形． 【变式实践3】1.解：由cos A ＝sin B sin C 得cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2， 因此△ABC 是以C 为直角的直角三角形．2.分析：思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系． 解法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，将原式化为R 2sin 2B sin 2C ＝R 2sin B sin C cos B cos C .∵sin B sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ， ∴cos B cos C －sin B sin C ＝0，即cos(B ＋C )＝0.∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°. ∴△ABC 为直角三角形． 解法二：将已知等式变为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C .由余弦定理，得b 2＋c 2－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac，即b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a2. 整理得b 2＋c 2＝a 2. 故△ABC 为直角三角形．【例4】【自主解答】 由正弦定理，得7sin 120°＝5sin C，∴sin C ＝5314，且C 为锐角，∴cos C ＝1114，∴sin B ＝sin (180°－120°－C )＝sin (60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B＝12×5×7×3314＝1534. 即△ABC 的面积为154 3.【变式实践4】1.【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.故△ABC 的面积是23或 3. 【答案】 23或 32、【解析】 由BC sin A ＝ABsin C，得BC ＝6，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝9 3.【答案】 9 33.【解析】 ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12AB ×23×32＝32AB ，∴32AB ＝92，∴AB ＝3. 【答案】 34.【解答】 (1)因为m ∥n ，所以asin B cos A =0.由正弦定理，得sin A sinB -B cos A =0， 又因为sin B ≠0，所以tan A由于0<A <π，所以A =π3.(2)方法一：由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，而ab =2，A =π3，得7=4+c 2-2c ，即c 2-2c -3=0， 因为c >0，所以c =3.故△ABC 的面积S =12bc sin A=2. 方法二：由正弦定理，得sin3=2sin B ， 从而sin B=7.又由a >b 知A >B ，所以cos B=，故sin C =sin(A +B )=sinπ3B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin B cos π3+cos B sin π3=14， 故△ABC 的面积S =12ab sin C=.【例5】解 设R 为△ABC 外接圆的半径．∵a ＝2b sin A ，∴2R sin A ＝4R sin B sin A ， ∵sin A ≠0，∴sin B ＝12.∵B 为锐角，∴B ＝π6.令y ＝cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin []π－(B ＋A )＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π6sin A＝32cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3.由锐角△ABC 知，π2－B <A <π2，∴π3<A <π2.∵2π3<A ＋π3<5π6，∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴32<3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，即32<y <32.∴cos A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 【变式实践5】1.解 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1.因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<c b<2. 2.【解析】 根据正弦定理，得AC ＝BC sin B sin A ＝23sin B ，AB ＝BC sin C sin A＝23sin C ，∴AC ＋AB ＝23(sin B ＋sin C ) ＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(sin B ＋32cos B ＋12sin B ) ＝6sin(B ＋π6)．∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴12＜sin(B ＋π6)≤1， ∴3＜6sin(B ＋π6)≤6.∴AC ＋AB 的取值范围是(3,6]． 【答案】 (3,6] 3.解：∵在△ABC 中=，∴（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，∴（2sinA ﹣sinC ）cosB=sinBcosC ，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin （B+C ）=sinA ，约掉sinA可得cosB=，即B=，由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，∴16=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，可得：（a+c）2=16+3ac≤64，解得a+c≤8，当且仅当a=c时取等号．故答案为：8．【强化训练】1.解：在△ABC中，∵==，∴a2﹣b2=bc+c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc．∴cosA=．∴A=．故选：D．2、解：在△ABC中，∵sinA=2sinB，∴利用正弦定理可得：a=2b，即：b=a，∵cosC=﹣==，整理可得：c2=a2，∴==．故选：B．3.解：∵∠A=60°，AC=2，BC=3，∴由正弦定理可得：sinB===，∵AC＜BC，∴B＜A，B为锐角．∴B=45°．故选：B．4.解：△ABC中，由余弦定理可得2cosC=，∵a=1，2cosC+c=2b，∴+c=2b，化简可得（b+c）2﹣1=3bc．∵bc≤（）2，∴（b+c）2﹣1≤3×（）2，解得b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．故a+b+c≤3．再由任意两边之和大于第三边可得 b+c＞a=1，故有 a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故选：C．5.解：在△ABC中，∵bsinA=3csinB，∴ab=3cb，可得a=3c，∵a=3，∴c=1．∴==，解得b=．故选：D．6.解：在△ABC中，由题意可得：S=absinC，∴=，解得a=．∴c2=a2+b2﹣2abcosC=3+9﹣6×=3，解得c=．故选：D．7.解：∵△ABC中sinA，sinB，sinC成等差数列，∴2sinB=sinA+sinC，由正弦定理2b=a+c，即c=2b﹣a，∵，∴由同角三角函数基本关系可得cosC=，∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，故（2b﹣a）2=a2+b2﹣ab，整理可得3b2=ab，解得=，由正弦定理可得==，故选：A．8.解：∵在△ABC中=，∴（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，约掉sinA可得cosB=，即B=，由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，∴△ABC的面积S=acsinB=ac≤4故选：A．9.解：在△ABC中，由已知条件可知：sinB=sin2A=2sinAcosA；由正弦定理，b=，∴b=2acosAcosA=余弦定理整理可知：c2﹣8c+15=0解得c1=3或c2=5由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，显然成立；故选：D．10.解：∵在△ABC中，==2，由正弦定理可得：=2，即：c=2b，∵a2﹣b2=bc，∴a2﹣b2=b×2，解得：a2=7b2，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．故选：A．11.解：在斜△ABC中，∵asinB+bcos（B+C）=0，∴sinAsinB﹣sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴sinA=cosA，A∈（0，π），∴tanA=1，解得A=．∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，∴sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC﹣cosBsinC=2sin2C，∴2sinBcosC=4sinCcosC∵cosC≠0，∴sinB=2sinC，∴b=2c．由余弦定理可得：a2=﹣2×c2cos=5c2．∵△ABC的面积为1，∴=1，∴=1，解得c2=1．则a=．故选：B．12、解：在△ABC中，∵a2+b2﹣c2=ab=，∴cosC==，∴sinC==．∴S△ABC=absinC==．故选：B．13.解：∵钝角△ABC的面积为，AB=1，BC=，∴=1××sinB，解得：sinB=，∴B=或，∵当B=时，由余弦定理可得AC===1，此时，AB2+AC2=BC2，可得A=，为直角三角形，矛盾，舍去．∴B=，由余弦定理可得AC===，故答案为：；．14.解：∵在锐角△ABC中C=2B，∴由正弦定理可得：====2cosB，∵A+B+C=π，∴A+3B=π，即A=π﹣3B，由锐角三角形可得0＜π﹣3B＜且0＜2B＜，解得＜B＜，故＜cosB＜，∴＜2cosB＜，故答案为：（，）．15解：∵在△ABC中acosB+bcosA=2ccosC，∴由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，∴sin（A+B）=2sinCcosC，∴sinC=2sinCcosC，约掉sinC可得cosC=，由三角形内角的范围可得角C=，故答案为：．16.解：∵在△ABC中，AB=，A=45°，C=60°，∴由正弦定理可得：BC===1．故答案为：1．17.解：△ABC中，A、B、C成等差数列，故2B=A+C，故B=，A+C=．∵△ABC的面积为•ac•sinB=ac=，∴ac=4，∴AC2=b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，∴AC边的最小值为2．故答案为：2．18解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠C=120°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=30°，∴由正弦定理可得：AC===6．故答案为：6．．19.解：由题意，=×c×1×sin120°∴c=4，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×（﹣）=21．∴a=∴==2．故答案为：2．20.解：由正弦定理可得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵2asinA=（2a+c）sinB+（2C+b）sinC，方程两边同乘以2R，∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，整理得a2=b2+c2+bc，∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，故cosA=﹣，A=120°．故答案为：120°．21解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA==．故答案为：22.解：根据面积为2=AB•BCsinB=4sinB，∴sinB=，∴B=60°．或B=120°．当B=60°时，三角形是直角三角形；当B=120°时，三角形的第三边为：=2．所以三角形的外接圆的半径为：×=．故答案为：．23.解：在△ABC 中，∵3bsinA=ccosA+acosC ， 由正弦定理可得：3sinBsinA=sinCcosA+sinAcosC ，∴3sinBsinA=sin （A+C ）=sinB ，∵sinB ≠0，∴sinA=．故答案为：．24.【解答】(1)由题设及正弦定理可得b 2=2ac .又因为a =b ，所以b =2c ，a =2c ， 由余弦定理可得cos B =222-2a c b ac =14.(2)由(1)知b 2=2ac .因为B =90°，由勾股定理得a 2+c 2=b 2.故a 2+c 2=2ac ，得c =a所以△ABC 的面积为1.25. (1)将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B 代入已知式得：sin 2A sin B ＋cos 2A sin B ＝2sin A .∴(sin 2A ＋cos 2A )sin B ＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，∴b a ＝ 2.(2)∵c 2＝b 2＋3a 2＝(2＋3)a 2，∴c ＝3＋12a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝错误!＝错误!， ∴B ＝45°.26.解：（1）∵c=2，∴===；（2）∵tanC=，且sin2C+cos2C=1，∴，∵，∴ab=，由余弦定理有cosC=，∴a2+b2=6．∴，∴a+b=．27.（1）证明：∵sinB=2sinA•cos（A+B），∴b=2a（﹣cosC），∴b=﹣2a×，∴b2=2a2．（2）解：∵S==ab=1，化为ab=2．联立，解得a=，b=2．∴=10，解得c=．。

高考数学一轮复习第四篇三角函数、解三角形第7讲正弦定理、余弦定理应用举例教案理【2013年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．【复习指导】1．本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法．2．加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力．基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B 两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m解析由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，又∵B＝30°∴AB＝AC·sin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．答案 A2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )．A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析根据仰角与俯角的定义易知α＝β.答案 B3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10° D．北偏西10°解析如图．答案 B4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里D ．103海里解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案 C5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝ABsin 180°－60°－75°.解得BC ＝56(海里)．答案 5 6考向一 测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长．[审题视点] 在△BCD 中，求出BC ，在△ABC 中，求出AB .解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45°在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a . 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．【训练1】 如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，同理，BD ＝32＋620(km)．故B 、D 的距离为32＋620km.考向二 测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .[审题视点] 过点C 作CE ∥DB ，延长BA 交CE 于点E ，在△AEC 中建立关系． 解如图，设CD ＝x m ， 则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD， ∴BD ＝CDtan 60°＝x 3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ， 解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m.(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理． 【训练2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin α＋β在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin α＋β.考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．[审题视点] 由于AB ＝5，∠ADB ＝45°，因此要求BD ，可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出sin ∠ABC ，再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定sin ∠BAD 即可． 解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC ·sin∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922.要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．【训练3】 如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsin B＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.规范解答9——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模准确地画出图形——求解——检验作答.,2三角形应用题常见的类型：,①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；,②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；,③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.,【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？(1)分清已知条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中．(3)利用正、余弦定理求解．[解答示范] 如图，连接A1B2由已知A2B2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，(8分) 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．(12分)利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．【试一试】 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ.[尝试解答] 如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207.由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30° ＝277×32－217×12＝2114.。