三角函数总结及统练
一. 教学内容：
三角函数总结及统练
（一）基础知识
1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ
2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值
3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。
4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线A T=αtan
5. 同角三角函数的关系
平方关系：商数关系：
倒数关系：1cot tan =⋅αα 1csc sin =⋅αα 1sec cos =⋅αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
6. α
απ+k 2 α- απ- απ+
απ-2 α
π
-2 α
π
+2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切
αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切
αcot
αcot -
αcot -
αcot
αcot -
αtan
αtan -
7. 两角和与差的三角函数
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
⋅+-=-⋅-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⋅+⋅=-⋅-⋅=+⋅-⋅=-⋅+⋅=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(
8. 二倍角公式——代换：令αβ=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-=
-=-=-=⋅=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin
降幂公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα
半角公式：
2cos 12
sin
αα
-±
=；2cos 12cos αα+±=；
αα
αcos 1cos 12tan +-±
= αα
ααα
cos 1sin sin cos 12
tan
+=
-=
9. 三角函数的图象和性质
函数
x y sin = x y cos = x y tan =
图象
定义域 R
R
⎭⎬⎫
⎩⎨
⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,2|ππ且
值域 最值
]1,1[- ]1,1[-
R
无最大值
10. 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象变换 0,0>>ωA
函数)sin(ϕω+=x A y 的图象可以通过下列两种方式得到：
（1）−−−−−−−−−→−+=−−−−→−=倍
横坐标缩短到原来的图象左移ωϕϕ1
)sin(sin x y x y
)sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍
纵坐标伸长为原来的
（2）−−−−→
−=−−−−−−−−−→−=ωϕ
ωω图象左移
倍
横坐标缩短到原来的)sin(sin 1
x y x y
)sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍
纵坐标伸长为原来的
（二）数学思想与基本解题方法
1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。
3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。
4. 角的和与差的相对性
如：)(βαβ+=－α 角的倍角与半角的相对性
如：
42
2
,22αααα==
5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。
6. 数形结合：心中有图，观图解题。
7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。 8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。
【典型例题】
1. 如：
a b
x b a x b x a y =
++=+=ϕϕtan ),sin(cos sin 22（化成一个角的一个三角函数）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
±=±=±=±=±=±=)6sin(2cos sin 3)3sin(2cos 3sin )4sin(2cos sin πππx x x y x x x y x x x y ；
[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
（1）
x x x x x f 2
2cos 3cos sin 2sin )(+⋅+= （2）
1cos sin sin )(2+⋅+=x x x x f 解：
（1）
)42sin(22π
+
+=x y ，22max +=y ，
)
(8
Z k k x ∈+
=π
π
)(83,22min Z k k x y ∈-
=-=π
π
（2）
)42sin(2223π-+=
x y ，223max +=y ，)(83Z k k x ∈+=π
π
223min -=
y ，)(8Z k k x ∈-=π
π
2.“1”的妙用——凑一拆一
熟悉下列三角式子的化简
)4sin(2cos sin cos sin 21π
ααααα+
=+=⋅+
)42sin(
22
cos
2
sin
2
cos
2
sin
21sin 1π
α
α
α
α
α
α-=-=⋅-=-
2sin
2cos 1α
α=-；
2cos
2cos 1α
α=+
[例2] 化简=++
-8cos 228sin 12 。
答案：4sin 2-
