高一数学期中模拟试卷

2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。

高一数学期中试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）。

A. m>4B. m<4C. m≥4D. m≤42. 已知函数f(x)=3x-2，g(x)=2x+1，若f[g(x)]=7x-1，则x的值为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-2x-3=0}，则A∩B=（）。

A. {1}B. {2}C. {1,2}D. {3}4. 若函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)=（）。

A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-9x+3D. x^3-35. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a4=7，则S5=（）。

A. 25B. 26C. 27D. 286. 若函数f(x)=x^2-6x+8，g(x)=2x+3，则f[g(x)]的表达式为（）。

A. 4x^2-9x+14B. 4x^2-12x+17C. 4x^2-15x+19D. 4x^2-18x+227. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)>0，则x的取值范围是（）。

A. x<1或x>3B. x<3或x>1C. x<1或x>3D. x<-1或x>38. 已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1=2，q=2，则T4=（）。

A. 30B. 32C. 34D. 369. 若函数f(x)=x^3-3x+1，则f(-x)=（）。

A. -x^3+3x-1B. -x^3+3x+1C. -x^3-3x-1D. -x^3-3x+110. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，若f(x)=0，则x的值为（）。

A. 2B. 4C. 2或4D. 无解二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)=0，则x的值为_________。

厦门2024-2025学年第一学期期中考高一数学试卷（答卷时间：120分钟 卷面总分：150分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．设全集，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若命题，则命题的否定为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知命题，若命题是命题的充分不必要条件，则命题可以为（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列幕函数满足：“①；②当时，为单调通增”的是（ ）A ． B ．C ．D ．5．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知且，则的最小值是（ ）A ．B ． 25C ．5D ．{}0,1,2,3,4,5,6U ={}{}1,2,3,3,4,5,6A B ==U ()A B = ð{}1,2{}2,3{}1,2,3{}0,1,2,32:0,320p x x x ∃>-+>p 20,320x x x ∃>-+≤20,320x x x ∃≤-+≤20,320x x x ∀≤-+>20,320x x x ∀>-+≤:32p x -<≤q p q 31x -≤≤1x <31x -<<3x <-,()()x R f x f x ∀∈-=-(0,)x ∈+∞()f x ()f x =3()f x x=1()f x x-=2()f x x=()()()f x x a x b =--a b >()2xg x a b =+-0,0x y >>3210x y +=32x y+52657．已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知，则与之间的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．无法比较二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得部分分．9．下列函数中，与不是同一函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若，则下列不等式成立的是（ ）A ．B．C ．D ．11．设，用符号表示不大于的最大整数，如．若函数，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的值域是C ．若，则D ．方程有2个不同的实数根三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填写在答题卷相应位置上．12．计算________．13．“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为________．()f x ()g x (2,2)-[0,2]x ()()0f x g x ⋅>x (2,1)(0,1)-- (1,0)(0,1)- (1,0)(1,2)- (2,1)(1,2)-- 45342024120241,2024120241a b ++==++a b a b>a b <a b =y x =2y =u =y =2n m n=,0a b c a b c >>++=22a b <ac bc <11a b<32a a a b b+>+x R ∈[]x x [1.6]1,[ 1.6]2=-=-()[]f x x x =-[(1.5)]1f =-()f x [1,0]-()()f a f b =1a b -≥2()30f x x -+=21232927()((1.5)48---+=23208x kx -+-<x k14．某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为________人．优秀合格合计语文202848英语301848四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合，集合．（1）当时，求，．（2）若，求的取值范围．16．（15分）已知函数．（1）判断函数的奇偶性并用定义加以证明；（2）判断函数在上的单调性并用定义加以证明．17．（15分）已知函数．（1）若函数图像关于对称，求不等式的解集；（2）若当时函数的最小值为2，求当时，函数的最大值．18．（17分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：EXP ）与游玩时间（单位：小时）滴足关系式：；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时国成正比例关系，正比例系数为50．（1）当时，写出累积经验值与游玩时间的函数关系式，求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值与游现时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围．19．（17分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．例如，已知，求证：．{}34A x x =-<≤{}121B x k x k =+≤≤-2k ≠A B ()R A B ðA B B = k 2()f x x x=-()f x ()f x (0,)+∞2()23,f x x bx b R =-+∈()f x 2x =()0f x >[1,2]x ∈-()f x [1,2]e ∈-()f x E t 22016E t t a =++1a =E t ()E f t =E t ()H t 0a >a 1ab =11111a b+=++证明：原式．波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．请根据上述材料解答下列问题：（1）已知，求的值；（2）若，解方程；（3）若正数满足，求的最小值．111111ab b ab a b b b=+=+=++++1ab =221111a b+++1abc =5551111ax bx cxab a bc b ca c ++=++++++,a b 1ab =11112M a b=+++高一数学期中考参考答案1234567891011A DCB DAABABDBDACD12．13．14．1215．解：（1）由题设，则，，则，（2）由，若时，，满足；若时，；综上，．16．解：（1）是奇函数，证明如下：由已知得的定义域是，则，都有，且，所以是定义域在上的奇函数．（2）在上单调递减，证明如下：，且，都有∵，∴，∵，∴∴，即，所以在上单调递减32({}3B ={}34A B x x =-<≤ {}()34R A x x x =≤->或ð()R A B = ð∅A B A B A =⇒⊆ B =∅1212k k k +>-⇒<B ≠∅12151322214k k k k k +≤-⎧⎪+>-⇒≤≤⎨⎪-≤⎩52k ≤()f x ()f x (,0)(0,)-∞+∞ (,0)(0,)x ∀∈-∞+∞ (,0)(0,)x -∈-∞+∞ 22()()()f x x x f x x x-=--=-=--()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()f x (0,)+∞12,(0,)x x ∀∈+∞12x x <22212121121212122222()()x x x x x x f x f x x x x x x x --+-=--+=222112************222()()x x x x x x x x x x x x x x x x --+⨯---==211212()(2)x x x x x x -⨯+=12x x <210x x ->12,(0,)x x ∈+∞120x x >12()()0f x f x ->12()()f x f x >()f x (0,)+∞17．解：（1）因为图像关于对称，所以：，所以：得：，即，解得或所以，原不等式的解集为：（2）因为是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为，①若，则在上是增函数所以：，解得：；所以：，②若，则在上是减函数，所以：，解得：（舍）；③若，则在上是减函数，在上是增函数；所以，解得：或（舍），所以：综上，当时，的最大值为11；当时，最大值为6．18．解：（1）当时，，，当时，，当时，当时，所以，当时，．（2）当时，，整理得：恒成立，令函数的对称轴是，当时，取得最小值，即，()f x 2x =2b =22()43()43,1f x xx f x x x e e -+=-+=<2430x x ee -+<2430x x -+<1x <3x >{}13x x x <>或2()23f x x bx =-+x b =1b ≤-()f x [1,2]-min ()(1)422f x f b =-=+=1b =-max ()()7411f x f x b ==-=2b ≥()f x [1,2]-min ()(2)742f x f b ==-=54b =12b -<<()f x [1,]b -(,2]b 2min ()()32f x f b b ==-=1b =1b =-max ()(1)426f x f b =-=+=1b =-()f x 1b =()f x 03t <≤1a =22016E t t =++3t =85E =35t <≤85E =5t >8550(5)33550E t t=--=-22016,03()85,3533550,5t t t E t t t t ⎧++<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩6t =()35E t =03t <≤22016()24t t aH t t++=≥24160t t a -+≥2()416f t t t a =-+2(0,3]t =∈2t =()f t 164a -1640a -≥14a ≥19．解：（1）．（2）∵，∴原方程可化为：，即：，∴，即，解得：．（3）∵，当且仅当，即∴有最小值，此时有最大值，从而有最小值，即有最小值．222211111ab ab b aa b ab a ab b ab a b+=+=+=++++++1abc =55511(1)ax bx bcxab a abc bc b b ca c ++=++++++5551111x bx bcx b bc bc b bc b ++=++++++5(1)11b bc x b bc ++=++51x =15x =2221122111111211223123123ab b b b b M ab a b b b b b b b b b++=+=+==-=-++++++++++12b b +≥=12b b =1b a b===12b b +1123b b ++3-11123b b-++2-11112M a b=+++2。

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。

3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。

1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）A. B. C. D. 4．函数的值域为（ ）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。

江西省2024—2025学年上学期第一次模拟选科联考高一数学试卷共4页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.考查范围：必修第一册第一章至第三章第二节。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则A.{2,3,4,5}B.{1,3,4}C.{3,4}D.{3}2.已知命题，，则为A.， B.，C.， D.，3.已知为定义在R 上的奇函数，当时，，则A. B.C. D.4.已知是幂函数，若，则a =A.B.2C.4D.65.若A. B. C. D.6.已知定义在R 上的函数满足，且，且，，则A. B.C. D.7.若关于x 的不等式的解集为，且，则实数m 的值为}{1,2,3,4,5U =2}{1,M =}2,{3,4N =()U M N = ð:1p x ∃>320x ->p ⌝1x ∀…320x ->1x ∀…320x -…1x ∀>320x -<1x ∀>320x -…()f x 0x >31()1f x x x =-+(1)f -=12-1232-3292()(4)m f x m x -=-()2f a =121a <-=5(1)a -+5(1)a +6(1)a -+6(1)a +()f x (5)(5)f x f x +=-12,(5,)x x ∀∈+∞12x x ≠121[(()()x x x f --2]()0f x >(5.5)(4.5)f f >(2.7)(3.2)f f <(7.3)(7.9)f f >(2.7)(5.2)f f >220()21x m x m m +-+-<12(,)x x 12112x x +=A.-4B.-1C.1D.48.已知函数若存在实数x ，使，则实数a 的取值围为A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列计算中正确的是A.C. D.10.使成立的一个充分条件可以是A.且 B.且C.且 D.且11.已知函数的定义域为R ，且的图象关于原点对称，的图象关于y 轴对称，则A. B.C.函数是增函数D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则________.13.已知幂函数的图象过点，则________.14.对于任意实数x ，表示不小于x 的最小整数，例如(1.2)=2，，表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，.已知定义在R 上的函数，若集合，则集合A 中所有元素的和为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数在上单调递减，其中，且.（1）求的解析式；（2）求函数，的值域.16.（15分）已知集合，，且.23,2,(),2,x ax a x f x a x ⎧-++>⎪=…()0f x <(,1)-∞-(,2)(6,)-∞-+∞(,6)(1,)-∞--+∞(,1)(6,)-∞-+∞ 1144-=2=±23(8)4-=23184-=3a b c ->a c >2b c >-2a c >b c >-2a c >b c>-3a c >2b c>()f x (2)4y f x =+-(4)4y f x x =++(2)4f =(6)12f =-()f x (8)(4)824f x f x x -+-=-30,()()1,0,x f x g x x x x ==-<⎪⎩…((1))g f -=()m f x x =3(3,33[(2)]f =()x (0.2)0-=[]x 0.21[]-=-()(2)[3]f x x x =⋅4|(),23A y y f x x ⎧⎫==-<-⎨⎬⎩⎭…()af x b x=+(0,)+∞24a =(1)1f =()f x 2()2()[()]g x f x f x =+[1,4]x ∈(4,29]A m =+{|2233}B x m x m =-+……12B ∈（1）当时，求实数m 的取值范围；（2）设；，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.17.（15分）已知定义在R 上的奇函数与偶函数满足，若.（1）求的解析式；（2）求关于x 的不等式的解集.18.（17分）某糕点连锁店现有五家分店，出售A ，B 两款糕点，A 为特价糕点，为吸引顾客，按进价销售.已知用16000元购进A 糕点与用22000元购进B 糕点的重量相同，且B 糕点每斤的进价比A 糕点每斤的进价多6元.（1）求A ，B 两种糕点每斤的进价；（2）经市场调查发现，B 糕点每斤售价30元时，每月可售出3120斤，售价每提高1元，则每月少售出120斤，售价每降低1元，则每月多售出120斤，糕点店不会低于进价销售.则B 糕点每斤定价为多少元时，糕点店通过卖B 糕点获得的月利润最大？最大是多少？（3）因为使用进价销售的A 糕点物美价廉，所以深受顾客青睐，五个分店每月的总销量为10000斤.今年年初该连锁店用50万购进一批设备，用于生产A 糕点.已知每斤糕点的原材料价格为8元，若生产A 糕点n 个月（）所用的原材料之外的各种费用总计为万元，若只考虑A 糕点，记该连锁店前n 个月的月平均利润为z 万元，求z 的最大值.19.（17分）对非空数集A 及实数k ，定义，，已知.（1）当时，若集合A 为单元素集，求A ；（2）当时，若集合，求ab 的所有取值构成的集合；（3）若A 中有3个元素，求实数k 的取值范围.16A ∉:p t A ∈:q t B ∈()f x ()g x ()()2||2f x g x x x +=++()()()h x f x g x =⋅()h x 2(3)(3)0h x tx h x t -+-<*n ∈N 211324n n +2{|,}A k x x a k a A ==-∈ {|,}A k x x k a a A ⊗==-∈A k A k =⊗ 1k =3k ={,}A a b =江西省2024—2025学年上学期第一次模拟选科联考高一数学参考答案及评分细则1.【答案】A【解析】，故选A.2.【答案】D【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，得，.故选D.3.【答案】B【解析】因为为定义在R 上的奇函数，所以.故选B.4.【答案】C【解析】因为是幂函数，所以，得，故时，.故选C.5.【答案】C【解析】当时，.故选C.6.【答案】D【解析】由题意得函数在上单调递减，在上单调递增.对选项A ，，A 错误；对选项B ，因为函数在上单调递减，所以，B 错误；对选项C ，因为函数在上单调递增，所以，C 错误；对选项D ，因为，函数在上单调递减，故，D 正确.故选D.7.【答案】B【解析】因为关于x 的不等式的解集为，所以关于x 的方程有两个不相等的实数根，所以，解得，且，，所以，解得.故选B.8.【答案】D【解析】当时，，即，因为，所以，故有解，{3,4,5}{2,3,4}{2,3,4,5}()U M N == ð:1p x ⌝∀>320x -…()f x 311(1)(1)1112f f ⎛⎫-=-=--= ⎪+⎝⎭92()(4)m f x m x-=-41m -=5m =12()f x x ==2=4a =1a <-10a +<3(1)a =--3(1)a =+=336(1)(1)(1)a a a --+=-+()f x (,5)-∞(5,)+∞(5.5)(50.5)f f =+=(50.5)(4.5)f f -=()f x (,5)-∞(2.7)(3.2)f f <()f x (5,)+∞(7.3)(7.9)f f >(5.2)(5f f =+0.2)(50.2)(4.8)f f =-=()f x (,5)-∞(2.7)(4.8)(5.2)f f f >=220()21x m x m m +-+-<12(,)x x 220()21x m x m m +-+-=12,x x 22[2(1)]41()440m m m m ∆=--⨯⋅-=-+>1m <122(1)x x m +=--212x x m m =-1221212112(1)2x x m x x x x m m+--+===-1m =-2x >230x ax a -++<23(1)x a x +<-2x >11x ->231x a x +>-即，因为，当且仅当，即时等号成立，故；当时，有解，即有解，也即，因为单调递增，故时，取最大值-1，故.综上，实数a的取值范围为.故选D.9.【答案】ACD （每选对1个得2分）【解析】对于A ，，A 正确；对于B，B 错误；对于C ，，C 正确；对于D ，，D 正确.故选ACD.10.【答案】AC （每选对1个得3分）【解析】充分性成立，即选项能推出，对于A ，，又，同向不等式相加得，A 成立；对于B ，令，，，满足且，但，B 不成立；对于C ，，又，同向不等式相加得，，C 成立；对于D ，令，，，满足且，但，D 不成立.故选AC.11.【答案】ABD （每选对1个得2分）【解析】A 选项，的定义域为R ，因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，故，令，得，A 正确；B 选项，由的图象关于y 轴对称，得为偶函数，所以，即，令，得，得，B 正确；C 选项，因为，C 错误；D 选项，因为，所以，因为，令，得，即，故，，D 正确.故选ABD.12.【答案】-8【解析】，.13.【答案】64【解析】由，所以.14.【答案】67【解析】当时，；当时，，，2min31x ax ⎛⎫+>⎪-⎝⎭223(11)341226111x x x x x x +-++==-+++=--- (4)11x x -=-3x =6a >2x …0a +<a <max (a <y =2x =y =1a <-(,1)(6,)-∞-+∞ 1144-=2=23(8)4-==232311848-===3a b c ->22b c b c <-⇒->a c >3a b c ->3a =7b =1c =-2a c >b c >-433a b c -=-<-=b c b c <-⇒->2a c >3a b c ->5a =8b =1c =-3a c >2b c >33a b c -=-=()f x (2)4y f x =+-(2)4y f x =+-(2)4(2)40f x f x --++-=(2)(2)8f x f x -++=0x =(2)4f =(4)4y f x x =++(4)4y f x x =++(4)4(4)4f x x f x x --=++(4)(4)8f x f x x -=++2x =4(2)(6)16f f ==+(6)12f =-(2)(6)f f >(2)(2)8f x f x -++=()8(4)f x f x =--(4)(4)8f x f x x -=++4x t -=()(8)328f t f t t =-+-()(8)328f x f x x =-+-8(4)(8)328f x f x x --=-+-(8)(4)824f x f x x -+-=-(1)112f -=--=-3((1))(2)(2)8g f g -=-=-=-333m =3m =-3()f x x =333(3(36[(2)](22264f ⨯====2x =-()(4)[6](4)(6)24f x =-⋅-=-⨯-=523x -<<-10423x -<<-(2)3x =-，，；当时，，，，，；当时，，，，，.综上，，集合A 中所有元素的和为67.15.解：（1）由得，（2分）因为函数在上单调递减，所以，故.（5分）由得，所以.（7分）（2），（10分）当时，，，，所以函数，的值域为.（13分）【评分细则】值域写成集合或区间形式均给分.16.解：（1）因为，所以，得，（2分）又因为，所以，即，（5分）故当时，m 的取值范围是.（7分）（2）因为，所以，，若p 是q 的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，（10分）故（12分）解得.故实数m 的取值范围是.（15分）【评分细则】结果写成集合或区间或不等式形式均给分.17.解：（1）因为，即，又，得，，（4分）635x -<<-[3]6x =-()(2)[3](3)(6)18f x x x =⋅=-⨯-=5332x -- (10)233x --……(2)3x =-9532x --……[3]5x =-()(2)[3](3)(5)15f x x x =⋅=-⨯-=3423x -<<-8323x -<<-(2)2x =-9342x -<<-[3]5x =-()(2)[3](2)(5)10f x x x =⋅=-⨯-={24,18,15,10}A =24a =2a =±()af x b x=+(0,)+∞0a >2a =(1)21f b =+=1b =-2()1f x x=-222424()2()[()]211g x f x f x x x x ⎛⎫=+=-+-=- ⎪⎝⎭[1,4]x ∈2[1,16]x ∈241,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2131,34x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦2()2()[()]g x f x f x =+[1,4]x ∈3,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12B ∈221233m m -+……37m ……16A ∉2916m +<72m <16A ∉73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭37m ……A O ≠B O ≠224,3329,m m m ->⎧⎨++⎩…36m <…(3,6]()()2||2f x g x x x -+-=-+-+()()2||2f x g x x x -+=-++()()2||2f x g x x x +=++()2f x x =()||2g x x =+所以.（5分）（2）因为，所以为奇函数，（7分）又当时，单调递增，故函数在R 上单调递增.（9分）则不等式，可化为，即，即，（11分）①若，即时，；②若，即时，不等式无解；③若，即时，，综上，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.（15分）【评分细则】1.第一问求出和的解析式分别给2分；2.第一问结果写成分段函数形式不扣分；3.第二间结果不写成集合或区间形式扣1分，未总结，但结果正确均给满分，三种情况每少一种情况扣1分.18.解：（1）设A 糕点每斤的进价为a 元，B 糕点每斤的进价为元，所以，解得，所以A 糕点每斤的进价为16元，B 糕点每斤的进价为22元.（4分）（2）设B 糕点每斤涨价元，蛋糕店通过B 糕点获得的月利润为y 元.由题意，（6分）当时，y 有最大值.（8分）所以B 糕点每斤定价为39元时，月利润最大，最大为34680元.（9分）（3）设前n 个月的总利润为w ，因为A 糕点每斤售价为16元，每月可售出10000斤，故每月可收入16万元，其中原材料为8万元，则，（12分）月平均利润万元，（15分）()()()2(||2)h x f x g x x x =⋅=+()2()(||2)2(||2)()h x x x x x h x -=--+=-+=-()h x 0x …2()24h x x x =+()h x 2(3)(3)0h x tx h x t -+-<2(3)(3)(3)h x tx h x t h t x -<--=-23(3)0x t x t +--<(3)(1)0x t x -+<13t <-3t <-13tx <<-13t=-3t =-13t >-3t >-13t x -<<3t <-|13t x x ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭3t =-∅3t >-|13t x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭()f x ()g x (6)a +16000220006a a =+16a =(8)x x -…22(3022)(3120120)120216024960120(9)34680y x x x x x =+--=-++=--+9x =22*111311685050()324324w n n n n n n n ⎛⎫=--+-=-+-∈ ⎪⎝⎭N 503131215.2532444w n z n n ==--+-+==…当且仅当，即时等号成立，（16分）所以z 的最大值为5.25.（17分）【评分细则】1.第二问未配方，只要结果正确，就给分；2.第三问未说明等号成立条件扣1分.19.解：（1）时，设，由，得，所以，即，得或1，故或.（4分）（2）时，，由，得，得或即或（5分）当时，是方程的两根，故，（6分）当时，两式相减得，由集合中元素的互异性得，所以，故，即，同理，故是方程的两根，所以，（7分）故ab 的所有取值构成的集合为.（8分）（3）设，由，得，①若故是方程的三个不等的实数根，而此方程最多有两个实数根，不可能有三个实数根，故不成立；（11分）②若，当时，，令，得，（12分）对，，两式相减得，因为，所以，代入，得，同理，5032n n=40n =1k ={}A a =11A A =⊗ 2{1}{1}a a -=-211a a -=-220a a +-=2a =-{2}A =-1}{A =3k ={,}A a b =33A A =⊗ 22{3,3}{3,3}a b a b --=--2233,33a a b b ⎧-=-⎨-=-⎩2233,33,a b b a ⎧-=-⎨-=-⎩2260,60a a b b ⎧+-=⎨+-=⎩226,6,a b b a ⎧=-⎨=-⎩2260,60a ab b ⎧+-=⎨+-=⎩,a b 260x x +-=6ab =-226,6a b b a⎧=-⎨=-⎩22a b a b -=-a b ≠1a b +=266(1)5a b a a =-=--=+250a a --=250b b --=,a b 250x x --=5ab =-{6,5}--{,,}A a b c =A k A k =⊗ 222{,,}{,,}a k b k c k k a k b k c ---=---222,,,a k k a b k k b c k k c ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩,,a b c 220x x k +-=222,,,a k kb b k k ac k k c ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩2c k k c -=-220c c k +-=180k ∆=+ (1)8k -…2a k k b -=-2b k k a -=-22a b a b -=-a b ≠1a b +=2a k k b -=-2120a a k -+-=2120b b k -+-=故为方程的两个不相等的实根，令，得，（13分）当时，与均有两个不相等的实根，且这两个方程的根不完全相同，故符合题意；（14分）③若则，根据集合中元素的互异性，两两不相等，不妨设，（ⅰ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立；（ⅱ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立；（ⅲ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立；（ⅳ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立.（16分）综上，实数k 的取值范围是.（17分）【评分细则】1.第一问只得出一种情况，扣2分；结果不写成集合形式，扣1分；2.第二问求出ab 的一个值，给2分，最后结果不写成集合形式，扣1分；3.第三问结果写成不等式、集合或区间形式，结果正确即给满分.,a b 2120x x k -+-=14(12)0k '∆=-->38k >38k >2120x x k -+-=220x x k +-=222,,,a k k b b k k c c k k a ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩2222a b b c c a k +=+=+=,,a b c a b c >>0a b c >>>22a b >b c >22c a b b ++>22c a b b ++=0a b c >>>22a b >b c >22c a b b ++>22c a b b ++=0a b c >>>22b c <c a <22b c a c ++<22b c a c ++=0a b c >>>22b c <c a <22b c a c ++<22b c a c ++=3,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。

高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x + 12. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为：A. 1B. -1C. -5D. 53. 等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则a5的值为：A. 11B. 13C. 15D. 174. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，则圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)5. 函数y = 3x - 2与x轴的交点坐标为：A. (2/3, 0)B. (0, 2/3)C. (2/3, 2/3)D. (0, 0)6. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B为：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 2, 4}D. {1, 3, 4}7. 函数y = sin(x)的周期为：A. 2πB. πC. 1D. 08. 抛物线y = x^2 - 4x + 3的顶点坐标为：A. (2, -1)B. (2, 1)C. (-2, -1)D. (-2, 1)9. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b3的值为：A. 18B. 24C. 54D. 8110. 函数y = 1/x的图像关于：A. y轴对称B. x轴对称C. 原点对称D. 直线y=x对称二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等差数列的前n项和为S_n，若S_5=50，则a3的值为______。

2. 函数f(x) = x^2 - 6x + 9的最小值为______。

3. 若直线y = 2x + 1与直线y = -x + 3平行，则它们的斜率k的值为______。

4. 圆的方程(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25的半径为______。

5. 已知集合M={x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则M中元素的个数为______。

青岛2024—2025学年第一学期期中考试高一数学试题时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，2.若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.3.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（）A. B. C. D.4.已知函数，集合，，若，则（）A.1B.0C.4D.5.“”是函数“在区间上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.已知函整的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.x∃∈R3||20x x+->x∃∉R3||20x x+-≤x∃∈R3||20x x+-≤x∀∈R3||20x x+-≤x∀∉R3||20x x+-≤2313a⎛⎫= ⎪⎝⎭2315b⎛⎫= ⎪⎝⎭1349c⎛⎫= ⎪⎝⎭a b ca b c<<c a b<<b c a<<b a c<<21()2xf xx-=21,1(),12x xf xx x+≤-⎧=⎨-<≤⎩{0,}A a=-{1,2,22}B a a=--A B⊆()f a=493a≤()f x=[2,)+∞()f x(4,28)-2()g x=(4,28)(6,3)(3,6)--⋃(3,6)(3,3)(2,3)--⋃7.已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，……，，则（ ）A. B. C.0D.28.定义在上的偶函数满足，且对于任意，有，若函数，则下列说法正确的是（ ）A.在上单调递减 B.为偶函数C. D.在上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，下列说法正确的是（ ）A. B.C.D.10.定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（ ）A.的值域为B.对任意，都有C.存在无理数，对任意，都有D.若，，则有11.已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）A.B.不等式的解集为21()x x f x x++=()1y g x =-R ()f x ()g x ()11,x y ()88,x y ()()1818x x y y ++-++= 8-4-R ()f x (2)2f =120x x >>()()21122122x f x x f x x x ->-()2()f x g x x-=()g x (0,)+∞()g x (4)(3)g g <-()f x (2,)+∞0a b <<c d >a c b d-<-a b c d<11a b>552332a b a b a b +<+1,Q()0,Qx D x x ∈⎧=⎨∉⎩()D x ()D x []0,1x ∈R ()()D x D x =-0t x ∈R ()0()D x t D x +=0a <1b >{|()}{|()}x D x a x D x b >=<20ax bx c ++>(2,3)-30b c +>20cx bx a -+<11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C.的最小值是D.当时，若，的值域是，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象关于轴对称，且，则________.13.已知函数，，记，若与的图象恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是________.14.已知函数满足：对任意非零实数，均有，则在上的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数的定义域为，集合.（1）求；（2）集合，若，求实数的取值范围.16.（15分）已知函数，.（1）若，且，求出的解析式；（2）解关于的不等式.17.（15分）已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；（3）设，解不等式.18.（17分）萝卜快跑，作为全球领先的自动驾驶出行服务平台，是百度Apollo 的重要落地应用，它在无人驾驶领域扮演着先行者和创新者的角色，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为四段，分別为准备时间：人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如下图所示.当车速为（米/秒），且时，通过大数据统12334a cb +++42c =2()36f x ax bx =+[]12,x n n ∈[3,1]-21[2,4]n n -∈24()()n n f x xn Z -=∈y (1)(3)f f -<n =()1f x x =-2()g x x =,max{,},a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩y m =max{(),()}y f x g x =(0)x ≠m ()f x x (2)()(1)2f f x f x x=⋅+-()f x (0,)+∞()f x =A {}|321B x x =->A B ⋃{|1}C x a x a =-<<R C C B ⊆a 22()23f x x ax a =--R a ∈0a =2(3)()()g x g x f x --=()g x x ()0f x <2()4x af x x +=-[1,1]-a ()f x [1,1]-()|()|g x f x =(21)(1)g t g t ->-0t 1t 2t 3t 0d 1d 2d 3d v (]0,33.3v ∈计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）阶段①准备②人的反应③系统反应④制动时间秒秒距离米米（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？19.（17分）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间.（1）求函数的所有“保值”区间；（2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由；（3）已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值.k [1,2]k ∈0t 10.8t =20.2t =3t 010d =1d 2d 2320v d k=d v ()d v 2k =[,]()a b a b <()y f x =[],a b ()y f x =[],a b [],a b [],a b 2()f x x =1()1g x x =-()221()(,0)a a x h x a a a x+-=∈≠R [],m n n m -a。

19．已知函数()2
41f x x mx =++.
(1)若1m =，求()f x 在43x -≤≤上的最大值和最小值；(2)求()f x 在44x -≤≤上的最小值.
选②，因“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，则A
B ，由（1）知，{|22}B x x =-≤≤，
因此2212a a -≥-⎧⎨+<⎩或2212
a a ->-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤<或01a <≤，即有01a ≤≤，
所以实数a 的取值范围是01a ≤≤.
选③，A B ⋂=∅，由（1）知，{|22}B x x =-≤≤，因此12a +<-或22a ->，解得3a <-或4a >，所以实数a 的取值范围是3a <-或4a >.
18．(1)()22
24,024,0
x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩(2)图象见解析，函数的单调递减区间为：(),1-∞-，()1,+∞．
【分析】（1）根据奇函数的性质，求解得出0x <时，()f x 的解析式，即可得出答案；（2）根据函数图象，即可得出函数的单调递减区间.【详解】（1）∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，有0x ->，()()2
24f x x x -=---，
∴()()2
24f x f x x x =--=+，
∴()2224,0
24,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩
.
（2）函数的图象为：
由图象可得，函数的单调递减区间为：(),1-∞-，()1,+∞．19．(1)最大值为22，最小值为-3；。

2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（ ）A ．{﹣1，4}B ．{1，2，4}C ．{1，4}D ．{﹣1，2，4}2．命题“∃x ∈R ，x +|x |＜0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +|x |＜0 B ．∃x ∈R ，x +|x |≥0 C ．∀x ∈R ，x +|x |≥0D ．∃x ∈R ，x +|x |＞03．函数y =√x−2|x|−3的定义域是（ ） A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ≥2且x ≠3}C ．{x |x ≠3}D ．{x |x ＞2且x ≠3}4．已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在区间[5，20]上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．{40} B ．[40，160] C ．（﹣∞，40]D ．[160，+∞）5．已知f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，则f （3）为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．26．已知函数f(x)=ax 3+bx −cx +2，若f （2023）＝6，则f （﹣2023）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣27．已知函数f （x +1）是偶函数，当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （1），c ＝f （2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c8．在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）•x +（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（“•”和“+”仍为通常的乘法和加法）（ ） A ．5B ．6C ．10D ．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）A．a∈[0，4）B．a∈（4，+∞）C．a∈（0，4）D．a∈{0}10．设a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则1a ＜1bD．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b211．设正实数a、b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．1a +1b≥4B．a2+b2≥12C．√ab≤14D．√a+√b≥√212．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则f （x）＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则下列命题正确的是（）A．∀x∈[﹣1，0]，f（x）＝﹣1B．∀x∈R，f（x+1）＝f（x）+1C．f（x+y）≥f（x）+f（y）D．2f2（x）﹣f（x）﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x＞﹣1，则2x+1x+1的最小值为．14．已知函数y=√x2的值域为{0，4}，则它的定义域可以是．（写出其中一个即可）15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+2，则f（﹣1）＝．16．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，8），且满足f（mx2）+8f（4﹣3x）≥0恒成立，则实数m的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A＝{x|3≤x≤a+5}，B＝{x|2＜x＜10}．（1）当a＝2时，求∁R（A∪B），（∁R A）∩B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．18．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＜0；（2）当x∈（1，+∞）时，不等式f（x）≥﹣1恒成立，求a的取值范围．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x +y +3． （1）求x +y 的取值范围； （2）求xy 的取值范围． 20．（12分）已知函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=−13．（1）求a ，b 值；（2）用定义证明：f （x ）在（﹣2，2）上单调递减； （3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．21．（12分）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x 千件时，需另投入成本C（x ）（万元）．C(x)={12x 2+10x +1100，0＜x ＜100，120x +4500x−90−5400，x ≥100每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？22．（12分）对于区间[a ，b ]，a ＜b ，若函数y ＝f （x ）同时满足：①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ）在x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间． （1）求函数y ＝2x 2的所有“保值”区间；（2）函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（）A．{﹣1，4}B．{1，2，4}C．{1，4}D．{﹣1，2，4}解：由题意知阴影部分表示的集合为（∁U A）∩B，由集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，可得∁U A＝{x|x＜0或x＞2}，则（∁U A）∩B＝{﹣1，4}．故选：A．2．命题“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x+|x|＜0B．∃x∈R，x+|x|≥0C．∀x∈R，x+|x|≥0D．∃x∈R，x+|x|＞0解：“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是：∀x∈R，x+|x|≥0．故选：C．3．函数y=√x−2|x|−3的定义域是（）A．{x|x＞2}B．{x|x≥2且x≠3}C．{x|x≠3}D．{x|x＞2且x≠3}解：函数y=√x−2|x|−3的定义域满足{x−2≥0|x|−3≠0，解得x≥2且x≠3，故它的解集为{x|x≥2且x≠3}．故选：B．4．已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．{40}B．[40，160]C．（﹣∞，40]D．[160，+∞）解：函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在[5，20]上单调递增，对称轴x=k8≤5，解得：k≤40，所以k的取值范围为（﹣∞，40]，故选：C．5．已知f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，则f （3）为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．2解：f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，可得f （3）＝f （4）＝f （5）＝f （6）＝6﹣5＝1．故选：C ．6．已知函数f(x)=ax 3+bx −cx +2，若f （2023）＝6，则f （﹣2023）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣2解：设g(x)=ax 3+bx −c x ，函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， g(−x)=−ax 3−bx +cx =−g(x)，函数为奇函数， f （2023）＝g （2023）+2＝6，故g （2023）＝4，f （﹣2023）＝g （﹣2023）+2＝﹣g （2023）+2＝﹣4+2＝﹣2． 故选：D ．7．已知函数f （x +1）是偶函数，当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （1），c ＝f （2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c解：因为函数f （x +1）为偶函数， 所以f （x +1）＝f （1﹣x ）， 所以f （x ）的图象关于x ＝1对称， 所以f(−12)=f(52) 又当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，所以函数f （x ）在[1，+∞）上递增， 因为52＞2＞1，所以f(52)＞f(2)＞f(1)所以b ＜c ＜a ． 故选：B ．8．在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）•x +（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（“•”和“+”仍为通常的乘法和加法）（ ）A．5B．6C．10D．12解：当1≤x≤2时，1⊕x＝x2，2⊕x＝2，故f（x）＝x3+2，函数单调递增，f（x）max＝f（2）＝10；当﹣2≤x＜1时，1⊕x＝1，2⊕x＝2，故f（x）＝x+2，函数单调递增，f（x）max＜f（1）＝3；综上所述：函数f（x）的最大值为10．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）A．a∈[0，4）B．a∈（4，+∞）C．a∈（0，4）D．a∈{0}解：ax2﹣ax+1＞0恒成立，当a＝0时，1＞0，成立；当a≠0时，{a＞0Δ=a2−4a＜0，解得0＜a＜4；综上所述：0≤a＜4，命题p成立的一个充分不必要条件是{a|0≤a＜4}的真子集，CD满足．故选：CD．10．设a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则1a ＜1bD．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2解：对A，由ac2＞bc2，显然c2＞0，两边除以c2可得a＞b．故A正确；对B，当c＝0时显然不成立．故B错误；对C，当a=2，b=−1，1a=12，1b=−1，1a＞1b，故C错误；对D，因为a＞b＞0，同时乘以a有a2＞ab，同时乘以b有ab＞b2，故a2＞ab＞b2．故D正确．故选：AD．11．设正实数a、b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．1a +1b≥4B．a2+b2≥12C ．√ab ≤14D ．√a +√b ≥√2解：对选项A ：1a+1b=(1a+1b)(a +b)=b a+a b+2≥2√b a ⋅ab+2=4，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；对选项B ：a 2+b 2=(a +b)2−2ab ≥1−(a+b)22=12，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；对选项C ：取a =b =12，√ab =12，C 显然错误；对选项D ：取a =14，b =34，D 显然错误． 故选：AB ．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则f （x ）＝[x ]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则下列命题正确的是（ ） A ．∀x ∈[﹣1，0]，f （x ）＝﹣1B ．∀x ∈R ，f （x +1）＝f （x ）+1C ．f （x +y ）≥f （x ）+f （y ）D ．2f 2（x ）﹣f （x ）﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞） 解：对选项A ：f （0）＝0，故错误；对选项B ：x 的整数部分为a ，则x +1的整数部分为a +1，即f （x +1）＝f （x ）+1，故正确； 对选项C ：x 的整数部分为a ，y 的整数部分为b ，则x +y 的整数部分为a +b 或a +b +1，即f （x +y ）≥f （x ）+f （y ），故正确； 对选项D ：2f 2（x ）﹣f （x ）﹣3≥0，则f （x ）≤﹣1或f(x)≥32， 解得x ∈（﹣∞，0）∪[2，+∞），故正确． 故选：BCD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若x ＞﹣1，则2x +1x+1的最小值为 2√2−2 ．解：若x ＞﹣1，则2x +1x+1=2（x +1）+1x+1−2≥2√2(x +1)⋅1x+1−2＝2√2−2， 当且仅当2（x +1）=1x+1，x =√22−1，取等号． 故答案为2√2−2．14．已知函数y =√x 2的值域为{0，4}，则它的定义域可以是 {0，4}（答案不唯一） ．（写出其中一个即可）解：y =√x 2=|x|，取|x |＝0，则x ＝0；取|x |＝4，则x ＝±4； 故定义域可以为：{0，4}或{0，﹣4}或{0，4，﹣4}． 故答案为：{0，4}（答案不唯一）．15．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+2，则f （﹣1）＝ ﹣3 ． 解：根据题意，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+2，则f （1）＝3， f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣3． 故答案为：﹣3．16．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点（2，8），且满足f （mx 2）+8f （4﹣3x ）≥0恒成立，则实数m 的取值范围为 [98，+∞) ．解：由题设f （x ）＝x α，其图象过点（2，8）可得2α＝8＝23，故α＝3，所以f （x ）＝x 3， 所以8f （x ）＝（2x ）3＝f （2x ）， 易知f （x ）为R 上的奇函数且为增函数，而f （mx 2）+8f （4﹣3x ）≥0等价于f （mx 2）≥﹣8f （4﹣3x ）＝f （6x ﹣8）， 所以mx 2≥6x ﹣8，所以mx 2﹣6x +8≥0恒成立，当m ＝0时，﹣6x +8≥0不恒成立，不合题意， 当m ≠0时，{Δ=36−4×m ×8≤0m ＞0，解得m ≥98． 所以实数m 的取值范围为[98，+∞)． 故答案为：[98，+∞)．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知集合A ＝{x |3≤x ≤a +5}，B ＝{x |2＜x ＜10}． （1）当a ＝2时，求∁R （A ∪B ），（∁R A ）∩B ； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，A ＝{x |3≤x ≤7}，所以A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}， ∁R A ＝（﹣∞，3）∪（7，+∞），所以∁R （A ∪B ）＝（﹣∞，2]∪[10，∞），（∁R A ）∩B ＝（2，3）∪（7，10）； （2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ， 当A ＝∅时，3＞a +5，解得a ＜﹣2； 当A ≠∅时，{3≤a +5a +5＜10，解得﹣2≤a ＜5；综上所述：a 的取值范围为{a |a ＜5}．18．（12分）设函数f （x ）＝x 2﹣（a +1）x +a ，a ∈R ． （1）解关于x 的不等式f （x ）＜0；（2）当x ∈（1，+∞）时，不等式f （x ）≥﹣1恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）f （x ）＝x 2﹣（a +1）x +a ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0， 当a ＜1时，不等式f （x ）＜0的解集为（a ，1）； 当a ＝1时，不等式f （x ）＜0的解集为∅； 当a ＞1时，不等式f （x ）＜0的解集为（1，a ）． （2）当x ∈（1，+∞）时，不等式f （x ）≥﹣1恒成立， 则x −a ≥−1x−1，即a ≤x +1x−1恒成立． 因为x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3， 当且仅当x −1=1x−1，即x ＝2时，等号成立， 所以a ≤3，即a ∈（﹣∞，3]．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x +y +3． （1）求x +y 的取值范围； （2）求xy 的取值范围．解：（1）因为x ＞0，y ＞0，所以xy =x +y +3≤(x+y2)2，令x +y ＝t ＞0，则t +3≤t 24，整理得（t ﹣6）（t +2）≥0，解得t ≥6，即x +y ≥6，当且仅当x ＝y ＝3时等号成立， 所以x +y 的取值范围为[6，+∞）．（2）因为x ＞0，y ＞0，所以xy =x +y +3≥2√xy +3，令√xy =m ＞0，则m 2≥2m +3，整理得（m ﹣3）（m +1）≥0，解得m ≥3，即xy ≥9， 当且仅当x ＝y ＝3时等号成立，所以xy 的取值范围为[9，+∞）． 20．（12分）已知函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=−13． （1）求a ，b 值；（2）用定义证明：f （x ）在（﹣2，2）上单调递减； （3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0． 解：（1）因为函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，f(0)=0=−b−4，所以b ＝0； 又f(1)=−13，a12−4=−13，解得a ＝1，所以a ＝1，b ＝0，f(x)=xx 2−4， 又f(−x)=−xx 2−4=−f(x)，故满足f （x ）是奇函数． （2）证明：∀x 1，x 2∈（﹣2，2），且x 1＜x 2，即﹣2＜x 1＜x 2＜2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12−4−x 2x 22−4=x 1(x 22−4)−x 2(x 12−4)(x 12−4)(x 22−4)=(x 2−x 1)(x 2x 1+4)(x 1−2)(x 1+2)(x 2−2)(x 2+2)， 因为x 2﹣x 1＞0，x 2x 1+4＞0，x 1﹣2＜0，x 1+2＞0，x 2﹣2＜0，x 2+2＞0， 故f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 所以函数y ＝f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递减．（3）函数y ＝f （x ）在（﹣2，2）上单调递减，且为奇函数，由f （t ﹣1）+f （t ）＜0得f （t ﹣1）＜﹣f （t ）＝f （﹣t ），所以{t −1＞−t −2＜t −1＜2−2＜t ＜2，解得12＜t ＜2．所以不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0的解集为(12，2)．21．（12分）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x 千件时，需另投入成本C（x ）（万元）．C(x)={12x 2+10x +1100，0＜x ＜100，120x +4500x−90−5400，x ≥100每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？解：（1）当0＜x ＜100时，L =100x −12x 2−10x −1100−2000=−12x 2+90x −3100；当x ≥100时，L =100x −(120x +4500x−90−5400)−2000=−20x −4500x−90+3400． 所以L ={−12x 2+90x −3100，0＜x ＜100−20x −4500x−90+3400，x ≥100． （2）当0＜x ＜100时，L =−12x 2+90x −3100=−12(x −90)2+950，当x ＝90时，L 取得最大值，且最大值为950，当x ≥100时，L =−20x −4500x−90+3400=−20(x −90+225x−90)+1600≤−20(2√225)+1600=1000， 当且仅当x ＝105时，等号成立．因为1000＞950，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元．22．（12分）对于区间[a ，b ]，a ＜b ，若函数y ＝f （x ）同时满足：①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ）在x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间．（1）求函数y ＝2x 2的所有“保值”区间；（2）函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）函数y ＝2x 2在R 上的值域是[0，+∞），且y ＝2x 2在[a ，b ]的值域是[a ，b ]，所以[a ，b ]∈[0+∞），所以a ≥0，而函数y ＝2x 2在区间[a ，b ]上单调递增，故有{2a 2=a 2b 2=b ，又a ＜b ，所以{a =0b =12， 所以函数y ＝2x 2的“保值”区间为[0，12]．（2）若函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）存在“保值”区间，①若a ＜b ≤1，此时函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）在区间[a ，b ]上单调递减，所以{a 2−2a +m =b b 2−2b +m =a ，消去m 得a 2﹣b 2＝a ﹣b ，整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣1）＝0． 因为a ＜b ，所以a +b ﹣1＝0，即a ＝﹣b +1．又{b ≤1−b +1＜b ，所以12＜b ≤1． 因为m =−b 2+2b +a =−b 2+b +1=−(b −12)2+54，12＜b ≤1，所以{m |1≤m ＜54}． ②若1≤a ＜b ，此时函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）在区间[a ，b ]上单调递增，所以{a 2−2a +m =a b 2−2b +m =b 消去m 得a 2﹣b 2＝3（a ﹣b ），整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣3）＝0，因为a ＜b ，所以a +b ﹣3＝0，即b ＝﹣a +3，又{a ≥1−a +3＞a，所以1≤a ＜32． 因为m =−a 2+3a =−(a −32)2+94，1≤a ＜32，所以2≤m ＜94综合①、②得，函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）存在“保值”区间， m 的取值范围是[1，54)∪[2，94)．。