函数的单调性(北师大版 第二章 第三节 第一课时)

第二章 §3 第1课时A 组·素养自测一、选择题1．如图中是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x ),则下列关于函数f (x )的说法错误的是( C )A ．函数在区间[－5,－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上不单调[解析] 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接． 2．函数y ＝1x －1的单调减区间是( A ) A ．(－∞,1),(1,＋∞) B ．(－∞,1)∪(1,＋∞) C ．{x ∈R |x ≠1}D ．R[解析] 单调区间不能写成单调集合,也不能超出定义域,故C,D 不对,B 表述不当．3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，－x 2，x ＜0的单调递增区间为( A ) A ．(－∞,0),[0,＋∞) B ．(－∞,0) C ．[0,＋∞)D ．(－∞,＋∞)[解析] 分段函数求单调区间可借助图象来求,图象不熟悉就借助定义分段求． 4．若函数f (x )＝|x ＋2|在[－4,0]上的最大值为M ,最小值为m ,则M ＋m ＝( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 作出函数f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x ≤0)，－x －2(－4≤x ＜－2)的图象如图所示,由图象可知M ＝f (x )max ＝f (0)＝f (－4)＝2,m ＝f (x )min ＝f (－2)＝0,所以M ＋m ＝2．故选B ．5．若函数y ＝2ax －b 在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a 的值是( C ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0[解析] 当a ＞0时,最大值为4a －b ,最小值为2a －b ,差为2a ,∴a ＝1；当a ≤0时,最大值为2a －b ,最小值为4a －b ,差为－2a ,∴a ＝－1．6．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ,x ∈[0,1],若f (x )有最小值－2,则f (x )的最大值为( C )A ．－1B ．0C ．1D ．2[解析] f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a , ∴函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2, ∴f (x )在[0,1]上单调递增． 又∵f (x )min ＝f (0)＝a ＝－2, ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1． 二、填空题7．若函数y ＝f (x )的图象如图所示,则函数f (x )的单调递增区间是__(－∞,1)和(1,＋∞)__．[解析] 由图象可知,f (x )的单调递增区间为(－∞,1)和(1,＋∞)． 8．函数f (x )＝x －2x在[1,2]上的最大值是__1__．[解析] 函数f (x )＝x －2x在[1,2]上是增函数,∴当x ＝2时,f (x )取最大值f (2)＝2－1＝1．三、解答题9．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象,并指出函数的单调区间． [解析] y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3(x ≥0)，－x 2－2x ＋3(x ＜0) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋4(x ≥0)，－(x ＋1)2＋4(x ＜0). 函数图象如图,由图象可知,在(－∞,－1)和[0,1]上,函数是增函数, 在[－1,0]和(1,＋∞)上,函数是减函数．10．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1),试画出函数f (x )的图象,并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12的最大值．[解析] f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x (x ≤0)x 2＋x (x ＞0)的图象如图所示．(1)f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12和[0,＋∞)上是增函数,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数,因此f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12,[0,＋∞),单调减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0．(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34,∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12的最大值为34．B 组·素养提升一、选择题1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( A ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x[解析] B 、C 在[1,4]上均为增函数,A 、D 在[1,4]上均为减函数,代入端点值,即可求得最值,故选A ．2．随着海拔的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,且含氧量y (g/m 3)与大气压强x (kPa)成正比例函数关系．当x ＝36kPa 时,y ＝108g/m 3,则y 与x 的函数关系式为( A )A ．y ＝3x (x ≥0)B ．y ＝3xC ．y ＝13x (x ≥0)D ．y ＝13x[解析] 由题意设y ＝kx ,将(36,108)代入解析式,得k ＝3,故y ＝3x ．同时考虑到实际问题的实际意义可知x ≥0．3．(多选题)已知f (x )＝x －1－x ,则( AD ) A ．定义域为[0,1]B ．f (x )max ＝2,f (x )无最小值C ．f (x )min ＝1, f (x )无最大值D ．f (x )max ＝1, f (x )min ＝－1[解析] 要使f (x )有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥01－x ≥0,∴0≤x ≤1,显然f (x )在[0,1]上单调递增,所f (x )max ＝1,f (x )min ＝－1．故选AD ．4．(多选题)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2,关于f (x )的最大(小)值有如下结论,其中正确的是( BCD )A ．f (x )在区间[－1,0]上的最小值为1B ．f (x )在区间[－1,2]上既有最小值,又有最大值C ．f (x )在区间[2,3]上有最小值,最大值5D ．当0＜a ＜1时,f (x )在区间[0,a ]上的最小值为f (a ),当a ＞1时,f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1[解析] 函数f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1的图象开口向上,对称轴为直线x ＝1．在选项A 中,因为f (x )在区间[－1,0]上单调递减,所以f (x )在区间[－1,0]上的最小值为f (0)＝2,A 错误；在选项B 中,因为f (x )在区间[－1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以f (x )在区间[－1,2]上的最小值为f (1)＝1,又因为f (－1)＝5,f (2)＝2,f (－1)＞f (2),所以f (x )在区间[－1,2]上的最大值为f (－1)＝5,B 正确；在选项C 中,因为f (x )在区间[2,3]上单调递增,所以f (x )在区间[2,3]上的最小值为f (2)＝2,最大值为f (3)＝5,C 正确；在选项D 中,当0＜a ＜1时,f (x )在区间[0,a ]上是减函数,f (x )的最小值为f (a ),当a ＞1时,由图象知f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1,D 正确．二、填空题5．函数y ＝x 2－2x －1的值域是__[－2,＋∞)__．[解析] 因为二次函数图象开口向上,所以它的最小值为4×1×(－1)－(－2)24＝－2．故值域为[－2,＋∞)．6．已知函数f (x )在区间[2,＋∞)上是增函数,则f (2)__≤__f (x 2－4x ＋6)．(填“≥”“≤”或“＝”)[解析] ∵x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2,且f (x )在区间[2,＋∞)上是增函数,∴f (2)≤f (x 2－4x ＋6)．三、解答题 7．已知函数f (x )＝xx －1．(1)求f (x )的定义域和值域；(2)判断函数f (x )在区间(2,5)上的单调性,并用定义来证明所得结论． [解析] (1)f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1, 定义域为{x |x ≠1},值域为{y |y ≠1}．(2)由函数解析式可知该函数在(2,5)上是减函数,下面证明此结论． 证明：任取x 1,x 2∈(2,5), 设x 1＜x 2, 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)． 因为2＜x 1＜x 2＜5,所以x 2－x 1＞0,x 1－1＞0,x 2－1＞0, 所以f (x 1)＞f (x 2)． 故函数在(2,5)上为减函数．8．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3),且关于直线x ＝1对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若m ＜3,求函数f (x )在区间[m ,3]上的值域．[解析] (1)因为函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3)且关于直线x ＝1对称,所以⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1,解得b ＝－2,c ＝0．所以f (x )＝x 2－2x ．(2)当1≤m ＜3时,f (x )min ＝f (m )＝m 2－2m ,f (x )max ＝f (3)＝9－6＝3, 所以f (x )的值域为[m 2－2m ,3]；当－1≤m ＜1时,f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1,f (x )max ＝f (3)＝3, 所以f (x )的值域为[－1,3]．当m ＜－1时,f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1,f (x )max ＝f (m )＝m 2－2m , 所以f (x )的值域为[－1,m 2－2m ]．综上当1≤m ＜3时,f (x )的值域为[m 2－2m ,3]；当－1≤m ＜1时,f (x )的值域为[－1,3]；当m＜－1时,f(x)的值域为[－1,m2－2m]．。