3.2.1函数的单调性

函数的单调性学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．前提条件 设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆If (x )在区间D 上单调递增 f (x )在区间D 上单调递减 思考1 所有的函数在定义域上都具有单调性吗？举例说明． 答案 不是．如函数y ＝x 2，y ＝1x等．思考2 在增函数和减函数定义中，能否把“任意x 1，x 2∈I ”改为“存在x 1，x 2∈I ”？举例说明．答案 不能．如对于函数y ＝－x 2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y ＝－x 2不是增函数． 思考3 ∀x 1，x 2∈D ，若(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0或f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，则y ＝f (x )在某个区间D 上单调递增吗？简要说明原因．答案 若(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0或f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)同号，即x 2>x 1时，f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在D 上单调递增． 一、函数单调性的判断与证明 例1 用定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2⎝⎛⎭⎫a ≠12在(－2，＋∞)上的单调性．反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤跟踪训练1 利用单调性的定义，证明函数f (x )＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减．二、求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减．(1)f (x )＝－1x ； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1； (3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.反思感悟 求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．跟踪训练2 借助函数图象，求函数f (x )＝|x 2－1|＋x 的单调递增区间．三、函数单调性的应用例3(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．延伸探究1．在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．2．若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．反思感悟由函数单调性求参数范围的处理方法(1)由函数解析式求参数若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件．(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．跟踪训练3(1)若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有()A．f(－1)≥f(a2＋1) B．f(－1)>f(a2＋1)C．f(－1)≤f(a2＋1) D．f(－1)<f(a2＋1)(2)若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是________．1．函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是()A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 2．(多选)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋13．函数f (x )在R 上是减函数，则有( ) A ．f (3)<f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)>f (5)D ．f (3)≥f (5)4．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( )A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－125．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x 2－2)<f (－x )，则x 的取值范围是________．1．下列函数中，在区间(0,2)上单调递增的是( ) A ．y ＝5－x B ．y ＝x 2＋2 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x |2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定3．若函数y ＝x 2＋(2a －1)x ＋1在区间(－∞，2]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，－32 C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3]4．f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( ) A ．f (a )<f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋1)<f (a )D ．f (a 2＋a )<f (a )5．函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间为________．6．若函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________．7．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________． 8．已知函数f (x )＝mx ＋1nx ＋12(m ，n 是常数)，且f (1)＝2，f (2)＝114.(1)求m ，n 的值；(2)当x ∈[1，＋∞)时，判断f (x )的单调性并用定义证明．10．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1.∵函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1， ∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．11．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都单调递减，则函数f (x )＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增答案 B解析 由于函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上均单调递减，故a <0，b <0，故二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象开口向下，且对称轴为直线x ＝－b2a <0，故函数f (x )＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递减．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－2，＋∞)答案 A解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2. 13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x －1，x ≤1.若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________． 答案 [4,8)解析 因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎨⎧4－a2>0，4－a2－1≤1，解得4≤a <8.14．若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 ①a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在R 上单调递减， ∴a ＝0满足条件；②a ≠0时，f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1， 对称轴为x ＝－a －32a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a －32a ≤－1，解得－3≤a <0.由①②得－3≤a ≤0，故a 的取值范围是[－3,0]．15．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝－f (x )； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，且f (x 1)－f (x 2)x 2－x 1>0.则f (－1)，f ⎝⎛⎭⎫32，f (2)的大小顺序是________．(用“<”连接) 答案 f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)解析 由①知f (1)＝－f (0)，f (0)＝－f (－1)， 所以f (－1)＝f (1)． 由③知f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，所以函数f (x )在[0,1]上单调递减， 结合②知，函数f (x )在[1,2]上单调递增， 所以f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)，即f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)． 16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋b . (1)若b ＝1，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的定义域、值域都为[m ，n ]，且f (x )在[m ，n ]上单调，求实数b 的取值范围． 解 (1)当b ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以函数f (x )的值域为[0，＋∞)．(2)因为函数f (x )的定义域、值域都为[m ，n ]，且f (x )在[m ，n ]上单调， 当m ≥1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，此时⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m ，f (n )＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋b ＝m ，n 2－2n ＋b ＝n ，等价于方程x 2－3x ＋b ＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根， 令g (x )＝x 2－3x ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4b >0，g (1)＝－2＋b ≥0，32>1，解得2≤b <94；当n ≤1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递减，此时⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝n ，f (n )＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋b ＝n ，n 2－2n ＋b ＝m ，两式相减得：(m －n )(m ＋n －1)＝0， 即m ＝n (舍)或m ＋n －1＝0，也即m ＝1－n ， 由m <n 可得12<n ≤1，将m ＝1－n 代入n 2－2n ＋b ＝m 可得方程n 2－n ＋b －1＝0在⎝⎛⎦⎤12，1上有解， 即为函数b ＝－n 2＋n ＋1在⎝⎛⎦⎤12，1上的值域问题，因为b ＝－n 2＋n ＋1＝－⎝⎛⎭⎫n －122＋54在⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减，所以b ∈⎣⎡⎭⎫1，54. 综上所述，b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，94∪⎣⎡⎭⎫1，54.。

3.2 函数的基本性质3.2.1 函数的单调性【知识梳理】1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x1，x2，（1）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；（2）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数．2．单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间．3．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么（1） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． （2） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 4．函数单调性的判断（1）定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．（2）复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． （3）图象法：利用图象研究函数的单调性． 5．函数的最值（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【考点分类精讲】考点1：函数单调性的判断与证明【考题1】求证：函数1)(3+-=x x f 在R 上是减函数。

【举一反三】求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数．【考题2】求证：函数1)(2++=x x x f 在区间),(+∞-∞上是单调递增函数．【举一反三】求证：函数x x x f -+=1)(2在其定义域上是减函数．【考题3】判断函数xax x f +=)((0>a )的单调性，并作出当1=a 时函数的图像．【考题4】判断函数1)(2-=x x f 在定义域上的单调性．【举一反三】（选做）已知228)(x x x f -+=，如果)2()(2x f x g -=，求)(x g 的单调区间．考点2 函数的单调区间【考题5】写出下列函数的单调区间． （1）2()|23|f x x x =--（2）3||2)(2--=x x x f（3）223)(-+=x x x f（4）4444)(22++++-=x x x x x f【举一反三】求函数22311)(xx x f ---=的单调递减区间．考点3 函数的最值【考题6】设ax x x f -+=1)(2，其中1≥a ，求函数)(x f 在[a ，）∞+上的最值．【举一反三】 1．求函数1)(-=x xx f 在区间2[，]5上的最大值与最下值．2．设max {a ，b }表示两个数a 与b 的最大值，则max {|1|+x ，|2|-x }的最小值．3．已知函数f (x )=xax x ++22，[)1,x ∈+∞，（1）当12a =时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【考题7】求函数12)(2--=ax x x f 在闭区间]2,0[上的最大值与最小值．【举一反三】1．已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值．2．已知函数32)(2+-=x x x f ，当t x [∈，]1+t 时，求)(x f 的最大值与最小值．3．已知函数3)1(2)(2--+=x a ax x f )0(≠a 在区间23[-，]2上的最大值是1，求实数a 的值．考点4 函数单调性的应用【考题7】函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3【举一反三】1．已知函数)0()(2>+=a xax x f 在),2(+∞上递增，则实数a 的取值范围是 ． 2．若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=）（）0,)2(0(,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上是增函数，则实数b 的取值范围是 ．3．若函数n mx x x f ++=2)(，对任意x 都有)2()2(x f x f +=-成立，试比较)1(-f ，)2(f ，)4(f 的大小关系．【考题8】定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0x >时，1)(>x f ，且对任意的,a b R ∈，有()()()f a b f a f b +=.（1）求证：(0)1f =；（2）求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； （3）求证：()f x 是R 上的增函数；（4）若()2()21f x f x x ->，求x 的取值范围．【举一反三】1．已知函数)(x f 对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.（1）求证：)(x f 在R 上是减函数； （2）求)(x f 在[－3,3]上的最大值和最小值．1．设二次函数a ax x x f ++=2)(，方程0)(=-x x f 的两个实根1x 和2x 满足1021<<<x x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）试比较)0()1()0(f f f -与161的大小关系，并说明理由．3．设a ，b ，c 都是大于0的实数，且c b a >+，求证：ccb b a a +>+++111．【题型优化测训】一、选择题1．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ． 1a ≥2．函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的取值范围是（ ）A ．25)1(≥fB ．25)1(=fC ．25)1(≤fD ．25)1(>f3．若()ax x x f 22+-=与()1+=x ax g 在区间[]2,1上都是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-⋃B ．()1,0C ．(]1,0D ．()(]1,00,1-⋃4．设()22f x x =-,若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围 （ ） A ．()0,2B ．(]0,2C ．(]0,4D ．()0,45．已知函数()x f 是R 上的增函数，()1,0-A ，)1,3(B 是其图象上的两点，那么不等式()11<+x f 的解集的补集是 （ ）A ．(][),14,-∞⋃+∞B ．()1,2-C ．()1,4D ．(][),12,-∞-⋃+∞6．定义在R 上的函数()y f x =在(),2-∞上是增函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x = 则（ ） A ．()()13f f -<B ．()()03f f >C ．()()13f f -=-D ．()()23f f <7．用min {a ，b ，c }表示三个数a ，b ，c 中的最小值，设=)(x f min {x 2，x -10，2+x }，则)(x f 的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．已知()x f 在区间R 内是减函数，又0,,≤+∈∈b a R b R a ，则有（ ） A ．()()()()b f a f b f a f --≤+ B ．()()()()b f a f b f a f -+-≤+ C ．()()()()b f a f b f a f --≥+ D ．()()()()b f a f b f a f -+-≥+二、填空题9．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是____________．10．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，比较f (a 2－a ＋1) )43(f (填“>” 或“<”或“≥” 或“≤”)． 11．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝ ．12．设函数()f x x =-在[]3,0x ∈-上的最大值a ，最小值为b ，则a b +=________．13．设()f x 是R 上的增函数，且)()(2x a f x x f ->+对∀R x ∈都成立，则a 的取值范围是 ． 三、解答题14．已知()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，且2(1)(1)f x f x -<-，求x 的取值范围．15．已知函数()f x 对任意,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >， 求证：()f x 是R 上的增函数．16．对R x ∈∀，)(x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 的最大者，写出)(x f 的解析式并求其最小值．17．已知函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，且当1>x 时，0)(>x f 且)()()(y f x f y x f +=⋅． （1）求)1(f 的值；（3）解不等式0)]21([<-x x f ．18．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=，且当1>x 时，0)(<x f . （1）求)1(f 的值； （2）判断)(x f 的单调性；（3）若1)3(-=f ，求)(x f 在[2，9]上的最小值； （4）若1)3(-=f ，解不等式2|)(|-<x f。

四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。

提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。

课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

通过练习。

3.2.1函数的单调性教学目标知识与技能目标：理解函数的单调性概念，掌握判断函数单调性的方法。

过程与方法目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。

情感态度与价值观目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。

教学重点函数单调性的概念，判定证明函数的单调性。

教学难点根据定义证明函数的单调性和利用函数图像判断单调性。

教学方法教学手段多媒体教学过程一、创设情境，引入新课问题1：观察某市气温时段图，分析变化规律。

容易看出：（1）凌晨6时，气温最低，午后14时，气温最高。

（2）随着时间的增加，在时间段（0,6）内，气温不断地下降；在时间段（6,14）内，气温不断地上升。

二、探索新知，归纳概念问题2：观察函数y=x2的图像回答：①当x∈[0，+∞)，x增大时，图中的y值；教师补充：这时我们说函数y=f(x)=x2 在[0，+∞)上是增函数。

②当x∈(－∞，0)，x增大时，图中的y值；教师补充：这时我们说函数y=f(x)=x2 在(－∞，0)上是减函数。

③指出图中当x∈[0，+∞) 和x∈(－∞，0)时，函数的图像是上升还是下降的？④通过前面的讨论你发现了什么？结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的，则函数值y随x的增大而增大，反之亦真；若一个函数在某个区间内图象是下降的，则函数值y随x的增大而减小，反之亦真。

归纳概念：1、函数单调性：像这样，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性。

2、增函数：设函数y=f(x)在区间（a，b）内有意义。

如果对任意的x1,x2∈（a，b）,当x1<x2时,都有f(x1)< f(x2)成立,那么函数y=f(x)叫做区间（a，b）内的增函数,区间（a，b）叫做函数y=f(x)的增区间。

3.2.1函数的单调性【知识梳理】1.函数的单调性和单调区间(1)函数的单调性条件一般地,设函数f (x )的定义域为D ,区间I ⊆D :如果∀x 1,x 2∈I ,当x 1<x 2时都有都有结论f (x )在区间I 上单调递增f (x )在区间I 上单调递减图示(2)函数的单调区间如果函数y =f (x )在区间I 上是单调递增或单调递减,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间I 叫做y =f (x )的.温馨提示(1)函数的递增(或递减)是针对定义域D 内的某个区间I 而言的,显然I ⊆D.(2)定义中x 1,x 2有三个特征:①x 1,x 2属于同一个区间;②任意性,x 1与x 2不能用I 上的特殊值代替;③有序性,通常规定x 1<x 2.2.增函数与减函数当函数f (x )在它的定义域上单调递增时,称它是;当函数f (x )在它的定义域上单调递减时,称它是.例1根据定义，研究函数()(0)f x kx b k =+≠的单调性．【变式1】证明函数f(x)＝x－1x在(0，＋∞)上单调递增．【变式2】求证：函数f(x)＝－1x－1在区间(－∞，0)上单调递增．题型一证明或判断函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝1x2－1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．跟踪练习：根据定义,研究函数f(x)=K1在x∈(-1,1)上的单调性.题型二利用图象确定函数的单调区间【例2】设函数f(x)2＋4x＋3，－4≤x<0，x＋3，x≥0，画出函数f(x)的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间．题型三函数单调性的应用【例3】(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝2，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小．(2)已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围．3.2.2函数的最大(小)值【知识梳理】函数的最大值与最小值.最大值最小值条件一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足∀x∈D,都有∀x∈D,都有∃x0∈D,使得结论M是函数y=f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值几何意义f(x)图象上点的f(x)图象上点的温馨提示(1)最值首先是一个函数值,即存在一个自变量x0,使得f(x0)等于最值. (2)对于定义域内的任意x,都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),“任意”两个字不可省略.例4“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为2() 4.914.718h t t t=-++，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这是距地面的高度是多少（精确到1m）？【变式1】已知函数f(x)x2，0≤x≤2，x>2，求函数f(x)的最大值、最小值．例5已知函数2()1f xx=-（[2,6]x∈），求函数的最大值和最小值．【变式2】已知函数f(x)＝32x－1.(1)证明：函数f(x)(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值．能力提升题型一利用图象求函数最值【例1】已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．题型二：利用单调性求函数的最值【例2】已知函数f(x)＝x＋16 x .(1)判断函数f(x)在(4，＋∞)上的单调性并证明；(2)求函数f(x)在[6，9]上的最值．【练】已知函数f(x)=K1r2,x∈[3,5].(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)求函数f(x)的最大值和最小值.题型三求二次函数的最值【例3】已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．【练】1.已知二次函数f(x)=x2-2x+3.(1)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值.(2)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).2.已知函数f(x)=ax2+2bx+1,x∈[1,3],且a,b为常数.(1)若a=1,求f(x)的最大值;(2)若a>0,b=-1,且f(x)的最小值为-4,求a的值.。

3．2.1 函数的单调性一、知识点归纳一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果⊆x1，x2⊆D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．(2)如果⊆x1，x2⊆D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．(3)如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．二、题型分析题型一用定义法证明(判断)函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝1x2－1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．【规律方法总结】利用定义证明函数单调性的步骤10 / 1010 / 10________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【变式1】试用函数单调性的定义证明：f (x )＝2xx －1在(1，＋∞)上是减函数．题型二 求函数的单调区间【例2】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3，－3≤x ＜0，－3x ＋3，0≤x ＜1，－x 2＋6x －5，1≤x ≤6.(1)画出这个函数的图象； (2)求函数的单调区间．【规律方法总结】图象法求函数单调区间的步骤________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________10 / 10【变式2】． 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f (x )＝－1x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.题型三 函数单调性的应用【例3】 (1)已知函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3.⊆若函数f (x )在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________； ⊆若函数f (x )的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a 的值为________．(2)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[1,2]上不单调，则实数a 的取值范围为________． 【规律方法总结】________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【变式3】已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．三、课堂达标检测10 / 101．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]⊆[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性2．如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b 的取值范围为( ) A ．b ＝3 B ．b ≥3 C ．b ≤3D ．b ≠33.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋14.函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( )A ．[－4,4]B ．[－4，－3]⊆[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4]5．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝x10 / 10C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x6．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)7．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．8.利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．四、课后提升作业10 / 10一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x ＜0在R 上( )A ．是减函数B ．是增函数C ．先减后增D ．先增后减2．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)3．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先减后增D ．先增后减4．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1⊆(a ，b )，x 2⊆(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，则－1<f (x )<1的解集是( ) A ．(－3,0)B ．(0,3)C ．(－∞，－1]⊆[3，＋∞)D ．(－∞，0]⊆[1，＋∞)6．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)⊆(0,1)B ．(－1,0)∩(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]7.下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( )10 / 10A ．y ＝1xB ．y ＝2x －1C ．y ＝1－2xD ．y ＝(2x －1)28．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)9.下列函数中，满足“对任意x 1，x 2⊆(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x10．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增11．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2⊆R(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2) 12．f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ⊆R ，则( ) A ．f (a )＜f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋1)＜f (a )D ．f (a 2＋a )＜f (a )二、填空题13.如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．10 / 1014．若函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________．15．已知f (x )在定义域内是减函数，且f (x )>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________． ⊆y ＝a ＋f (x )(a 为常数)； ⊆y ＝a －f (x )(a 为常数)； ⊆y ＝1f (x )；⊆y ＝[f (x )]2.16．函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间为________．17．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________． 18．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是________． 19．若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 20．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ⊆对于任意的x ⊆R ，都有f (x ＋1)＝－f (x )； ⊆函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ⊆对于任意的x 1，x 2⊆[0,1]，且f (x 1)－f (x 2)x 2－x 1＞0.则f (－1)，f ⎝⎛⎭⎫32，f (2)的大小顺序是________．(用“＜”连接)三、解答题21．用定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2⎝⎛⎭⎫a ≠12在(－2，＋∞)上的单调性．10 / 1022.已知一次函数f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )(x ＋m )，且f (f (x ))＝16x ＋5. (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数m 的取值范围．23．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．10 / 1024．已知函数f (x )对任意的a ，b ⊆R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，f (2)＝1，解不等式f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －3≤2.。

主要师生活动教师引导：我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识．那么什么是函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律．请大家回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，我们通过什么来研究它们的性质呢？师生活动：学生回答，师生共同得到结论：通过图象研究函数性质.问题1：请看下面的函数图象，从中能发现什么变化中的规律？师生活动：教师利用PPT展示例子，学生观察图象并回答问题．学生的回答可能涉及很多方面（如升降变化，对称性，最高点或最低点等），教师引导学生关注图象从左到右升降变化的特点．追问：函数图象所反映的这些特点就是函数的性质．你能回顾一下初中的知识，用定性的方法描述前两个图象从左到右的升降变化吗？即y随x的增大是如何变化的？-∞+∞上，y随x 预设：第一个图象从左到右是上升的，即在(,)-∞-及(0.21),两个区间上，从左的增大而增大；第二个函数在(,1)明，要让学生明确，应该是区间(,0]-∞上的所有数对1x ，2x ．预设反例：如图象所示函数，我们可以找到<a b 、()()>f a f b ，但很明显函数在区间[,]a b 上并不单调递减．追问4：“所有”又该如何说明？既然“所有”不易操作，可以用什么量词来代替“所有”呢？你能严格的表达出来吗？师生活动：教师引导学生说出用“任意”代替“所有”，帮助学生体会用“任意”处理“无限”的思想．预设：任取1x ，2x ，只要12<x x ，就有12()()>f x f x ．教师总结：我们借助数学符号语言，给出了一个与“无限”相关的变化规律的定量描述，即任取1x ，2x ，把“无穷”问题转化为了可操作的有限过程，这就是数学抽象的力量．追问5：你能说出为什么12()()>f x f x 吗？教师引导：要对两个函数值比大小，实质上是不等式的代数证明，具体证明方法我们稍后会说明．追问6：对于函数2=y x ，你能模仿上述方法，给出“在区间[0,)+∞上，y 随x 的增大而增大”的符号语言刻画吗？设计意图：这个环节是本节课的重点，也是难点，其核心是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的符号语言刻画“在区间D 上，当x 增大时，相应的()f x 随之减小”．从图象到定性再到定量的不断精确化的过程中，通过问题串，设法引出“任意”，引导学生体会用“任意”刻画“无限”的力量．练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画函数2=-y x 的单调性．2.单调性定义的抽象问题3：请你归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数()=y f x 在区间D 上单调性的符号表述．师生活动：先由学生独立完成并交流，再由教师给出严格的单调。