3.3 函数的单调性

《函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 理解和掌握函数的单调性概念及其数学表达；2. 能够根据函数图像识别函数的单调性；3. 学会应用单调性解决简单的数学问题。

二、作业内容1. 理论作业(1)请列举至少三个不同类型的函数，并画出它们的图像。

根据图像，说明这些函数在各自定义域内的单调性。

(2)阅读教材，理解单调性的定义，并尝试用自己的语言进行总结和归纳。

(3)通过练习题，掌握单调性的判断方法，并尝试解决一些简单的数学问题。

2. 实践作业(1)根据教材中的实例，选择一个具体的函数（例如，正比例函数、二次函数、指数函数等），绘制该函数的图像，并观察图像判断其单调性。

(2)自己设计一个函数，绘制图像并判断单调性。

通过这个过程，体会函数的单调性与函数性质的关系。

(3)尝试利用函数的单调性解决一些实际问题，例如：根据气温随时间变化的曲线图，判断气温的变化趋势等。

三、作业要求1. 认真阅读教材和相关资料，理解并掌握函数的单调性概念和判断方法；2. 认真绘制图像，确保图像的准确性和完整性；3. 独立思考，独立完成作业；4. 实践作业需要结合实际生活，注重理论联系实际。

四、作业评价1. 理论作业评价：主要考察学生对单调性概念、判断方法以及相关例题的掌握情况；2. 实践作业评价：主要考察学生能否将所学知识应用于实际问题解决中，以及图像绘制和观察的准确性。

评价标准包括：图像是否完整、准确，判断是否符合实际，应用是否得当等。

五、作业反馈1. 学生提交作业后，教师将对作业进行批改，并将批改结果反馈给学生；2. 学生应根据教师的批改意见进行修改和完善，并在规定时间内提交改进后的作业；3. 教师将对改进后的作业进行再次评价，并给出最终成绩。

通过本次作业，学生将能够更好地理解和掌握函数的单调性，并将其应用于解决实际问题中。

同时，实践作业也将有助于提高学生的观察能力和解决问题的能力，为今后的学习和工作打下坚实的基础。

上单调增加； 在 上单调增加 （i）如果在 b)内f ′(x) > 0，则f (x)在[a, b]上单调增加； ）如果在(a, 内 ， 上单调减少。 （ii）如果在 b)内f ′(x) <0，则f (x)在[a, b]上单调减少。 ）如果在(a, 内 ， 在 上单调减少
例1 讨论函数 y = e x − x − 1的单调性 . 的单调性 解 Q y′ = e x − 1. 又 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
的极值点与极值。 例4 求 f (x) = (x −1) x 的极值点与极值。
3 2
解
定义域（ 定义域（−，+）
2 5x − 2 f ′( x) = x + ( x −1) x = 3 , 3 3 x 2 当 x = 时 , f ′( x ) = 0; 5 当 x = 0时 , f ′( x )不存在
4 3
′(x) = 12x3 −12x2 = 12x2 ( x −1), 解 f
令 得驻点: f ′( x) = 0 得驻点 x = 0, 1.
′′( x) = 36x2 − 24x = 12x(3x − 2) f
f ′′(0) = 0, f ′′(1) = 12 > 0.
由极值第二判别法, 由极值第二判别法 ξ=1时, 时 f (ξ)有极小值 f (1)=4. 有极小值: ξ 有极小值 由于 f ′′( 0 ) = 0 所以,需用极值第一判别法判定 所以 需用极值第一判别法判定: 需用极值第一判别法判定
O x
y = x3
定理2 极值存在的一阶充分条件） 定理2（极值存在的一阶充分条件） 在该邻域（ 可除外）可导， 在该邻域（x0可除外）可导， 设f (x)在x0的某邻域内连续， 在 的某邻域内连续， 不存在的点。 x0为f (x)的驻点或使 ′(x) 不存在的点。 的驻点或使f 的驻点或使 (i) 若当 < x0 时，f ′(x) > 0；当x > x0 时，f ′(x) < 0， 若当x ； ， 则 f (x0) 是f (x)的极大值； 的极大值； 的极大值 (ii) 若当 < x0 时，f ′(x) < 0； 当x > x0 时，f ′(x) >0， 若当x ； ， 的极小值； 则 f (x0) 是f (x)的极小值； 的极小值 (iii) 若在 0的两侧，f ′(x)不变号， 若在x 的两侧， 不变号， 不变号 不是极值。 则f (x0)不是极值。 不是极值

第四节函数单调性的判定法要求⑴会用导数求函数的单调区间。

⑵会利用单调性证明不等式。

1．用导数求函数的单调区间前面已经介绍了函数在区间上单调的概念，下面利用导数来对函数的单调性进行研究。

如果函数)(x f y =在[a,b ]上单调增加（单调减少），那末它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线。

这时，曲线上各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即)0)((0)(≤'='≥'='x f y x f y 。

由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。

反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来进行讨论。

设函数)(x f 在[a,b ]上连续，在（a,b ）内可导，在[a,b ]上任取两点1x 、2x （1x <2x ），应用拉格朗日中值定理，得到)( ))(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ由于在上式中，012>-x x ，因此，如果在（a,b ）内导数)(x f '保持正号，即0)(>'x f ，那末也有0)(>'ξf ，于是))(()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即)()(21x f x f <表明函数)(x f y =在[a,b ]上单调增加。

同理，如果在（a,b ）内导数)(x f '保持负号，即0)(<'x f ，那末0)(<'ξf ，于是0)()(12<-x f x f ，即)()(21x f x f >，表明函数)(x f y =在[a,b ]上单调减少。

归纳以上讨论，即得函数单调性的判定法设函数)(x f y =在[a,b ]上连续，在（a,b ）内可导。

（1）如果在（a,b ）内0)(>'x f ，那末函数)(x f y =在[a,b ]上单调增加；（2）如果在（a,b ）内0)(<'x f ，那末函数)(x f y =在[a,b ]上单调减少。

图象 特征
数量 特征
从左至右，图象上升
y随x的增大而增大 y x >0
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小 y x <0
增函数
在区间I内
减函数
在区间I内
y
f(x2)
图 象 f(x1)
y
· y=f(x) f(x1)
·y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
0
x1
x2 x
从左至右，图象下降
解：函数 y f (x) 的单调区间有 [-4，-2），
[-2，1），[1，2）， [2，3]
其中y f (x) 在区间[-4，-2）， [1，2）
上是减函数，在区间[-2，1），[2，3]上 是增函数
快乐之旅
1
3
5
2
4
6
6个金蛋你可以任选一个，如果出现“恭喜你”的字样， 你将直接过关；否则将有考验你的数学问题，当然你可以 自己作答，也可以求助你的同学.
如果对于函数y=f(x)在给定区间I
上的任意两个不相等的值x1, x2，都有
y
x <0
那么就说f(x)在这个区间上是单调
减函数. I称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
小试牛刀
如图是定义在区间[-4，3]上的函数 y f (x) 的图象，根据图象说出y f (x) 的单调区间，以及在每个单调区间上，y f ( x )是增函数还是减函数.
·y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
图象 特征
从左至右，图象上升

专题3.3函数的单调性知识点一增函数与减函数的定义前提条件设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I 条件∀x 1，x 2∈D ，x 1<x 2都有f (x 1)<f (x 2)都有f (x 1)>f (x 2)图示结论f (x )在区间D 上单调递增f (x )在区间D 上单调递减特殊情况当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数知识点二函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．知识点三函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论称M 是函数y ＝f (x )的最大值称M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标知识点四求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )．(2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f(b )．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．函数单调性的判断与证明(1)取值并规定大小：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2；(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)或f (x 2)－f (x 1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)或f (x 2)－f (x 1)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论．(4)结论：根据定义确定单调性．【例1】用单调性定义判断函数21()2x f x x +=-在区间(2,)+∞上的单调性，并求()f x 在区间[3，6]上的最值．【解答】解：设122x x <<，则122112*********()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x ++--=-=----，122x x <<，210x x ∴->，120x ->，220x ->，2112125()()()0(2)(2)x x f x f x x x -∴-=>--，即12()()f x f x >∴函数()f x 在区间(2,)+∞上是减函数．∴函数()f x 在区间[3，6]上是减函数．()f x ∴的最大值为f （3）7=，()f x 的最小值为f （6）134=．【变式训练1】已知函数2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-．用定义法证明：函数()f x 在(0,2)上单调递增；【解答】证明：任取1220x x >>>，则1212121222221212()(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=----，因为1220x x >>>，所以2212121240,40,40,0x x x x x x ->->+>->，所以12()()0f x f x ->，所以()f x 在(0,2)上单调递增；【变式训练2】已知函数1()(0)xf x ax a ax-=+>（1）利用函数单调性的定义，判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；【解答】解：函数111()(0)x f x ax ax a ax ax a-=+=+->，∴任取1x 、2(0,)x ∈+∞，且12x x <，2121212121212()(1)1111()()()()x x a x x f x f x ax ax ax a ax a ax x --∴-=+--+-=；又120x x <<，0a >；120x x ∴-<，当1210x x a<<<时，21210a x x -<，12()()f x f x ∴>，()f x 是减函数；当121x x a<<时，21210a x x ->，12()()f x f x ∴<，()f x 是增函数；∴函数()f x 在1(0,)a上是减函数，在1(a，)+∞上是增函数；【变式训练3】利用定义判断函数()f x x =+在区间(,)-∞+∞上的单调性．【解答】解：()f x x =+(,)-∞+∞上，可以设12x x <可得1212()()(f x f x x x -=+=12()x x -+-221212()()(1x x x x =-+-+12(x x =-，10x >20x +>又12x x <，120x x -<，12()(10x x ∴-+<，12()()f x f x ∴<，()f x ∴在区间(,)-∞+∞上为增函数，同故函数()f x x =+在区间(,)-∞+∞上为增函数求函数的单调区间求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．(2)利用函数的图象提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”号【例2】函数1()f x x=的单调减区间是()A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(,0)-∞和(0,)+∞【解答】解：根据题意，函数1()f x x =，其定义域为{|0}x x ≠其导数21()f x x'=-，分析可得：当0x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,0)-∞上为减函数；综合可得：函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞；故选：D ．【变式训练1】函数221x y x -=+的单调递增区间是(,1)-∞-和(1,)-+∞．【解答】解：函数224211x y x x -==-++，可得函数221x y x -=+的增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞．故答案为：(,1)-∞-和(1,)-+∞．【变式训练2】函数2|21|y x x =-++的单调递增区间为[1-，1]和[1+，)+∞．【解答】解：画出函数2|21|y x x =-++图象如图，2210x x -++=，可得11x =-，21x =+由图知函数的增区间为[11]和[1+)+∞，故答案为：[1，1]和[1)+∞．【变式训练3】下列函数中，在(2,)+∞上单调递增的是()A ．()|3|f x x =-B ．1()f x x x=+C ．3()2f x x x=+D ．3,3()23,3xx x f x x +<⎧=⎨-⎩ 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数3,3()|3|3,3x x f x x x x -⎧=-=⎨-<⎩ ，在(2,3)上单调递减，在[3，)+∞上单调递增，故A 错误；对于B ，函数1()f x x x=+，是勾型函数，在(2,)+∞上单调递增，故B 正确；对于C ，3()2f x x x =+，是二次函数，在(2,)+∞上单调递增，故C 正确；对于D ，函数3,3()23,3x x x f x x +<⎧=⎨-⎩在(,3)-∞和[3，)+∞上单调递增，故D 错误；故选：BC ．【变式训练4】已知函数()||2f x x x x =-的单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞．【解答】解：0x 时，2()2f x x x =-，对称轴1x =，开口向上，在(1,)+∞递增，0x <时，2()2f x x x =--，对称轴1x =-，开口向下，在(,1)-∞-递增，∴函数的递增区间是：(,1)-∞-和(1,)+∞，故答案为：(,1)-∞-和(1,)+∞．函数单调性的应用【例3】已知函数()f x 在R 上单调递减，若(4)()f a f a +- ，则实数a 的取值范围是()A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．(2,)-+∞D ．(,2)-∞-【解答】解：函数()f x 在R 上单调递减，(4)()f a f a +- ，所以4a a +- ，解得2a - ，即实数a 的取值范围是(-∞，2]-．故选：B ．【变式训练1】已知函数()y f x =在(0,)+∞上是减函数，若f （a ）(32)f a <-，那么a 的取值范围是()A ．0a >B ．1a <C ．01a <<D ．213a <<【解答】解：函数()y f x =在(0,)+∞上是减函数且f （a ）(32)f a <-，032a a ∴<-<，解得213a <<，故选：D ．【变式训练2】已知()f x 是定义在[1-，1]上的减函数，且(23)(2)f a f a -<-，则实数a 的取值范围是()A ．(1，2]B ．(1，3]C ．(1，4]D ．(1,)+∞【解答】解：因为()f x 是定义在[1-，1]上的减函数，且(23)(2)f a f a -<-，所以1211231232a a a a ----⎧⎪⎨->-⎪⎩ ，解得12a < ．故选：A ．【变式训练3】已知函数()f x 是定义域为R 的递减函数，且(4)()0f x f x -+=，则不等式2(3)(1)0f x x f x ++-<的解集为()A ．(4,0)-B ．(-∞，4)(0-⋃，)+∞C ．(5,1)-D ．(-∞，5)(1-⋃，)+∞【解答】解：因为(4)()0f x f x -+=，所以(4)()f x f x -=-，(1)(5)f x f x -=--，因为2(3)(1)0f x x f x ++-<，即2(3)(1)f x x f x +<--，即2(3)(5)f x x f x +<-，因为函数()f x 是定义域为R 的递减函数，所以235x x x +>-，解得5x <-或1x >．故选：D ．图象法求函数的最值(值域)图象法求函数最值的一般步骤【例4】设函数2()2||1(33)f x x x x =--- ，（1）画出这个函数的图象；（2）指出函数()f x 的单调区间，并说明在各个单调区间上()f x 是增函数还是减函数；（3）求函数的值域．【解答】解：（1）当0x 时，22()21(1)2f x x x x =--=--，当0x <时，22()21(1)2f x x x x =+-=+-，根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．（2）函数()f x 的单调区间为[3-，1)-，[1-，0)，[0，1)，[1，3]．()f x 在区间[3-，1)-和[0，1)上为减函数，在[1-，0)，[1，3]上为增函数．（3）当0x 时，函数2()(1)2f x x =--的最小值为2-，最大值为f （3）2=；当0x <时，函数2()(1)2f x x =+-的最小值为2-，最大值为(3)2f -=．故函数()f x 的值域为[2-，2]．【变式训练1】已知定义在[5-，5]上的函数()f x 的图象如图所示．（1）写出()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(1,2)a a -上单调递减，求a的取值范围．【解答】解：（1）由图象可知：()f x 的单调递增区间为[5-，2]-和[1，5]，单调递减区间为[2-，1]；（2）函数()f x 的单调递减区间为[2-，1]，∴122112a a a a--⎧⎪⎨⎪-<⎩ ，解得112a -< ，a ∴的取值范围为(1-，12．利用函数的单调性求函数的最值(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )．(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．【例5】函数1()1f x x =-在区间[2，6]上的最大值和最小值分别是()A ．15，1B ．1，15C ．17，1D ．1，17【解答】解：根据题意，函数11y x =-在区间[2，6]上单调递减，所以当2x =时，()f x 取最大值f （2）1=，当6x =时，()f x 取最小值f （6）15=，故选：B ．【变式训练1】对于任意的实数x ，已知函数2,1()2,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ，则()f x 的最大值是()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：函数2,1()2,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩的图象如下所示：由函数图象可知，当1x =时，函数取得最大值()max f x f =（1）1=．故选：C ．【变式训练2】函数|||3|y x x =--的最大值为()A ．2B ．4C ．3D ．1【解答】解：①若0x <，)|||3|(3)3fx x x x x =--=---=-；②03x ，()|||3|(3)23f x x x x x x =--=--=-，3()3f x ∴- ；③3x >，()|||3|(3)3f x x x x x =--=--=，综上3()3f x - ，故选：C ．【变式训练3】设函数2()2xf x x =-在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则(M m +=)A ．4B ．6C ．10D ．24【解答】解：因为2(2)44()222x f x x x -+==+--，所以()f x 在[3，4]上是减函数．所以m f =（4）4=，M f =（3）6=．所以6410M m +=+=．故选：C ．【例6】已知函数21()1x f x x +=+．（1）用定义法证明()f x 在(1,)-+∞上是增函数；（2）求该函数在区间[2，6]上的最大值与最小值．【解答】解：（1）证明：函数211()211x f x x x +==-++．(1,)x ∈-+∞，设121x x -<<，则2121121211()?()11(1)(1)x x f x f x x x x x -=-=++++，121x x -<<，210x x ∴->，110x +>，210x +>，21()()0f x f x ∴->，即21()()f x f x >．故()f x 在(1,)-+∞上是增函数；（2）根据（1）可知()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数；∴函数在区间[2，6]上是增函数；可得()f x 的最小值为f （2）53=，最大值为f （6）137=．【变式训练1】已知函数()1x f x x =+．（1）用定义法证明()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[2，5]上的最值，并说明取最值时的x 值．【解答】（1）证明：任取121x x -<<，则1212121212()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=++++，121x x -<<，110x ∴+>，210x +>，120x x -<，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，()f x ∴在区间(1,)-+∞上单调递增．（2）由（1）可知()f x 在区间[2，5]上单调递增，∴当2x =时，()f x 取得最小值为f （2）23=，当5x =时，()f x 取得最大值为f （5）56=．分类讨论求二次函数的最值(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．(2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养．【例7】已知函数2()2(1)3f x x a x =--++．①若函数()f x 在区间(-∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是[2，)+∞；②若函数()f x 的单调递增区间是(-∞，3]，则实数a 的值为．【解答】解：函数的对称轴为(1)x a =-+，①由题意可得(1)3a -+ ，则4a - ，所以实数a 的范围为(-∞，4]-；②由题意可得(1)3a -+=，则24a =-故答案为：(-∞，4]-；4-．【变式训练1】若函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(-∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是(-∞，4]-．【解答】解：由于函数2()2(1)3f x x a x =--++的对称轴方程为1x a =--，又由函数在区间(-∞，3]上单调递增，故有13a -- ，求得4a - ，故答案为：(-∞，4]-．【变式训练2】已知函数2()23f x x ax =-+在区间[2，8]上单调递增，则实数a 的取值范围是(-∞，2]．【解答】解：函数2()23f x x ax =-+在区间[2，8]上单调递增，可得2a ．即(a ∈-∞，2]．故答案为：(-∞，2]．【变式训练3】已知2()2(2)5f x x a x =+-+在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是2a - ．【解答】】解：函数22(2)5y x a x =+-+的对称轴为：2x a =-，函数22(2)5y x a x =+-+在区间(4,)+∞上是增函数，24a ∴- ，解得2a - ，故答案为：2a - ．1．函数()|2|f x x =-的单调递增区间为()A ．[2，)+∞B ．[2-，)+∞C ．[0，)+∞D ．(,)-∞+∞【解答】解：当2x 时，()2f x x =-为增函数，此时函数单调递增区间为[2，)+∞，当2x <时，()2f x x =-+为减函数，此时函数单调递减区间为(,2)-∞，故选：A ．二．多选题（共1小题）2．函数2()1x af x x -=+在区间(,)b +∞上单调递增，则下列说法正确的是()A ．2a >-B ．1b >-C ．1b - D ．2a <-【解答】解：根据题意，22(1)22()2111x a x a af x x x x -+--+===-+++，可以由函数2ay x+=-的图象向左平移一个单位，向上平移2个单位得到，若函数2()1x af x x -=+在区间(,)b +∞上单调递增，必有(2)0a -+<且1b - ，解可得：2a >-且1b - ，故选：AC ．三．填空题（共5小题）3．函数(1)(5)y x x =-+在区间(0,)+∞上的单调性是单调递增．（填写“单调递增”或“单调递减”)【解答】解：根据题意，函数2(1)(5)45y x x x x =-+=+-，是开口向上的二次函数，其对称轴为2x =-，在区间(0,)+∞上，单调递增，故答案为：单调递增．4．若函数2()21f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是1[6-，0]．【解答】解：根据题意，函数2()21f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，当0a =时，()21f x x =-，符合题意，当0a ≠时，()f x 为二次函数，其对称轴为1x a =-，必有160a a ⎧-⎪⎨⎪<⎩ ，解可得106a -< ，即a 的取值范围为1[6-，0]；故答案为：1[6-，0]．5．()f x =的单调减区间为[1-，1]．【解答】解：()f x =[3-，1]，函数()f x =()f x =223u x x =--+复合而成的，2243(1)7u x x x =--+=-++在(,2)-∞-上递增，在(1,)-+∞上递减，且()f x =在[3-，1]递增，()f x ∴=(,1)-∞-上递增，在(1,)-+∞上递减，∴函数()f x =[1-，1]，故答案为：[1-，1]．6．已知函数()y f x =是开口向上的二次函数，且(1)(1)f x f x -=+、(0)3f =．若()f x 的最小值为2，则函数的解析式为2()23f x x x =-+．【解答】解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)3f =，可得3c =，(1)(1)f x f x +=-，∴二次函数()f x 的对称轴1x =，即12ba-=，由()f x 的最小值为2可得二次函数()f x 的图象经过点(1,2)，可得2a b c ++=，解得1a =，2b =-，故得()f x 的解析式为：2()23f x x x =-+．故答案为：2()23f x x x =-+．7．若函数2()21f x x mx =+-在区间[1，2]上是单调函数，则实数m 的取值范围是(-∞，8)(4)--+∞．【解答】解：对称轴4m x =-，函数2()21f x x mx =+-在区间[1，2]上是单调函数，则对称轴不在区间内，则14m -或者24m- ；即8m - 或4m - ，实数m 的取值范围是(-∞，8)(4)--+∞．故答案为：(-∞，8)(4)--+∞．四．解答题（共7小题）8．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x - 的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．【解答】解：（1）由题意211x ax --+ ，变形2311011x a x a x x --++=++ ，这等价于(31)(1)0x a x -++ 且10x +≠，解得1x <-或13a x - ，所以103a -=，解得1a =．（2）由（1）得21()1x f x x -=+，任取1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x <，则210x x ->，那么212121*********()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++，210x x ->，12(1)(1)0x x ++>，21()()0f x f x ∴->，∴函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．9．已知函数4()1f x x x =++．（1）求()y f x =在(1,)-+∞上的最小值，并求此时x 的值；（2）设()()2g x f x x =--，由定义证明：函数()y g x =在区间(,1)-∞-上是严格减函数．【解答】（1）解：因为1x >-，所以10x +>，所以44()111311f x x x x x =+=++--=++ ，当且仅当411x x +=+，即1x =时等号成立，所以()y f x =在(1,)-+∞上的最小值为3，此时1x =．（2）证明：44()2211g x x x x x =+--=-++，任取121x x <<-，211212124()44()()11(1)(1)x x g x g x x x x x --=-=++++，由121x x <<-，可得110x +<，210x +<，210x x ->，所以12()()0g x g x ->，即12()()g x g x >，所以函数()y g x =在区间(,1)-∞-上是严格减函数．10．已知函数2()2||21f x x a x a ax =---+，a R ∈．（Ⅰ）求当1a =时，函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有2个零点，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，22243,1()2|1|211,1x x x f x x x x x x ⎧-+=---+=⎨-<⎩，所以函数()f x 在(1,2)，(,0)-∞上单调递减，函数()f x 在(0,1)，(2,)+∞上单调递增．（Ⅱ）当x a 时，22()421f x x ax a =-++，当x a <时，22()21f x x a =-+，①当0a =时，2()1f x x =+没有零点，不符合题意；②当0a >时，()f x的草图如下：若函数()f x 有两个零点，则2(0)(2)120f f a a ==-=或f （a ）210a =-<，解得22a =或1a >．③当0a <时，()f x 的草图如下：若函数()f x 有两个零点，则f （a ）210a =-<，解得1a <-，综上所述，a 的取值范围为：(-∞，1)(1-⋃，2){}2+∞．11．已知()()xf x x a x a=≠-．（1）若0a >且()f x 在(2,)+∞内单调递减，求a 的取值范围．（2）在（1）的条件下，函数2()23g x x x m =-+++，[x a ∈，2]a +的图象都在直线5y =上方，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）任取1x ，2(2,)x ∈+∞，且12x x <，则1221121212()()()()()x x a x x f x f x x a x a x a x a --=-=----，()f x 在(2,)+∞内单调递减，12()()0f x f x ∴->，又0a >，210x x ->，12()()0x a x a ∴-->在(2,)+∞上恒成立，2a ∴ ，a ∴的取值范围为：(0，2]；（2）函数2()23g x x x m =-+++，[x a ∈，2]a +的图象都在直线5y =上方，2235x x m ∴-+++>在[x a ∈，2]a +上恒成立，即222m x x >-+在[x a ∈，2]a +上恒成立，又(0a ∈，2]，∴当2a =时，4x =时，函数222y x x =-+取最大值，最大值为10，10m ∴>，∴实数m 的取值范围为：(10,)+∞．12．已知函数23,[1,2]()3,(2,5].x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩（1）在图1给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调区间，并指出单调性；（3）写出函数()f x的最大值和最小值．【解答】解：（1）图象如图所示：（2）由图象可知，函数()f x 在[1-，0])和(2，5]上单调递增，在[0，2)上单调递减，（3）由图象可知，函数的最大值为3，最小值为1-．13．已知函数2()3||f x x x x a =+-，其中0a >（Ⅰ）当2a =时，写出函数()f x 的减区间．（Ⅱ）若函数()f x 在区间(,)m n 上既有最大值又有最小值，求m ，n 的取值范围（用a 表示）．【解答】解：（Ⅰ）当2a =时，2246,2()26,2x x x f x x x x ⎧-=⎨-+<⎩ ，即22394(,244()392(),222x x f x x x ⎧--⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩ ，所以函数()f x 的递减区间是3(,2)2；（Ⅱ）2243,()23,x ax x af x x ax x a ⎧-=⎨-+<⎩，即2222394(),816()392(),48a a x x a f x a a x x a⎧--⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩，（图象如下）要使函数()f x 在区间(,)m n 内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x a =处取得，最大值在34x a =处取得；而f （a ）2a =，在区间(,)a -∞内，函数值为2a 时12x a =，所以1324a m a < ；又239()48f a a =，而在区间(,)a +∞内函数值为298a时，38x a +=，所以38a n +<．（注：若答案写成3,4m a n a <>，至少扣5分）14．已知函数2()f x x=，([2,6])x ∈．（1）用定义法证明()f x 是减函数．（2）求函数()f x 的最大值和最小值．【解答】（1）证明：设任意实数1[2x ∈，6]，2[2x ∈，6]，且12x x <，210x x ∴->，120x x >，212112122()22()()0x x f x f x x x x x -∴-=-=>，即21()()f x f x >，故函数()f x 是定义域上的减函数．（2）解：由（1）知()f x 是定义域上的减函数，()max f x f ∴=（2）1=，()min f x f =（6）13=．。

函数的单调性函数的单调性： 一、定义：①()f x 在区间I 上是增函数（递增）：121212221112()(,,()())I D x x I x x x x f x f f x f x x <<⎧⎪⎨⎪⇒⎩>⊆∈⇒>、、任意或中文理解：函数值随着自变量的增大而增大（因变量大小与自变量大小一致）。

图像理解：从左到右，由下至上。

②()f x 在区间I 上是减函数（递减）：121121212212()(),,()()I D x x I x x f x x f x f x x f x ><<⎧⎪⎨⎪⇒⎩∈>⊆⇒任、、意或中文理解：函数值随着自变量的增大而减小（因变量大小与自变量大小相反）。

图像理解：从左到右，由上至下。

二、知识要点：1、单调区间I 与定义域D 的关系：I D ⊆练1：根据下列函数的图像，分别写出其定义域D 与单调区间增区间I ，单调减区间I 直线型 指、对数型：x y a =与log a y x =(0)y k x b k =+> (0)y k x b k =+< (0)y kx b k =+=二次曲线 幂函数：1:()0:1,0aa y xy x a Q a y x ==⎧=∈⎨==≠⎩2()(0)y a x b c a =-+> 2()(0)y a x b c a =-+< =2y x 3y x = 52y x =D D IIIID D IIIIy=x(1,0)a>1y=log a xy=a x oyx(0,1)0<a<1y=x(1,0)y=log a xy=a x(0,1)oyxboxy y xobb oxyx=boxy c cyx o x=b(0)y a x b c a =-+>(0)y a x b c a =-+<x=bx=bc oxyy xo c=12y x 25y x = 13y x =-=1y x 2y x -= 12y x -=三角函数反三角函数双曲线型函数 函数的对称变换 分段函数 小结：1、单调性是局部性质，是对D 内的某一个子集区间而言。

上面是否可得下面一般性的结论:
1.回顾一下函数单调性的定义，利用导数的几何 意义，研究单调性的定义与其导数正负的关 系？ 在某个区间（a,b）内， ①如果f’(x)>0， 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递增. ②如果f’(x)<0， 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递减.
1.如果在某个区间内恒有f’(x)＝0，那么函数f(x) 有什么特性？
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x )min
练习2 若f (x)在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
已知函数f (x)= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0,
解：f (x)=2ax - x3在（ 0， 1]上是增函数， f '(x)=2a - 3x 0在（ 0， 1]上恒成立， 3 2 即：a x 在（0， 1]上恒成立， 2 3 2 3 而g( x ) x 在（0， 1]上的最大值为 ， 2 2 3 a 。 3 2 [ , )
练习: 已知 x 1 ，求证： x ln( x 1)
提示:运用导数判断单调性,
根据函数的单调性比较函数值大小
单调性的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或 单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的 单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。
解: (3) 因为
, 所以
因此, 函数
在

[解析] 设 f(x)＝x－lnx (x＞1)， 1 x －1 f ′(x)＝1－ x＝ x ， x－1 ∵x＞1，∴f ′(x)＝ x ＞0 恒成立，
∴函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 又f(1)＝1－ln1＝1＞0， 即f(x)＞0对x∈(1，＋∞)恒成立， ∴x－lnx＞0，即x＞lnx (x＞1)．
1 令 f′(x)>0，得 x>2 或 x<2， 1 令 f′(x)<0，得2<x<2， 1 ∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(2，＋∞)，单调 1 递减区间为(2，2)．
[辨析] 错解的原因是忽视了函数的定义域而导致错误.
[正解] 由已知得 x>0，故函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． a 2 ∵f′(x)＝a＋x2－x ， 4 a ∴f′(2)＝a＋4－1＝0，∴a＝5. 4 4 2 2 ∴f′(x)＝5＋5x2－x ＝5x2(2x2－5x＋2)，
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， b b f ′(x)＝(x＋x )′＝1－x2， 1 令 f ′(x)＞0，则x2(x＋ b)(x－ b)＞0， ∴x＞ b，或 x＜－ b. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－ b)和( b，＋∞)． 1 令 f ′(x)＜0，则x2(x＋ b)(x－ b)＜0， ∴－ b＜x＜ b，且 x≠0. ∴函数的单调递减区间为(－ b，0)和(0， b)．
∴a≤0.
当a＝0时，y＝－1不是减函数， ∴a≠0. 故a的取值范围是(0，＋∞)．
典例探究学案
用导数求函数的单调区间
求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； b (2)f(x)＝x＋x(b＞0)．
[解析] (1)函数 f(x)的定义域为 R， f ′(x)＝3x2－3，令 f ′(x)＞0，则 3x2－3＞0. 即 3(x＋1)(x－1)＞0，解得 x＞1 或 x＜－1. ∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 令 f ′(x)＜0，则 3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1. ∴函数 f(x)的单调递减区间为(－1,1)．

§3.3 函数的单调性
一、函数的单调性及判别法
定理 3.3 设函数 f (x)在(a,b)内可导，
(1)如果 f (x)在(a,b)内的任一点x 处，恒有 f (x) 0，则 f (x)在(a,b)内 单调增加；
图
(2)如果 f (x)在(a,b)内的任一点 x
处，恒有 f (x) 0，则 f (x)在(a,b)内单
解： f (x)定义域D (,)
f (x) 6x2 6x 12 . 6(x 2)(x 1)
令 f (x) 0，即6( x 2)( x1) 0 ， 得驻点x1 2，x2 1； 不存在不可导的点.
x (,2) 2 (2,1) 1 f (x) + 0 - 0
f (x)
f (x)的单调增加区间为 (, 2)、(1, )
f (x)的单调减少区间为(2,1)
(1, ) +
图
例 3 求 f (x) x2 的单调区间. 1 x
解： f (x)定义域D (,1) (1,)
f
( x)
2x(1 x) (1 x)2
x2
x(2 x) . (1 x)2
令
f
( x)
0，即
x(2 x) (1 x)2
0
得驻点 x1 2， x2 0；不存在不可 导的点.
x (,2) 2 (2,1) (1,0) 0 (0,)
f (x) 0
0
f (x)
f (x)的单调增加区间为(,2)、(0,)； f (x)的单调减少区间为(2, 1)、(1,0).
图
例
4
求
f
(x)
3
(x
2
2) 3
2的单调区间.
2
解： f (x)的定义域D (,)

导数的正负，从而确定凹凸性。
例5、 判断曲线 f (x)
1 9
x2
解： f (x) 在定义域 Df (
2 11 f (x) 9 x 3 3 x2
3 x 的凹凸性及拐点。 , ) 内连续，
2 21 f (x) 9 9 3 x5
2 9
(1
1 )
3 x5
0
x
1
(x 0) (x 0)
以 x 1、x 0 划分定义域得：
例4、 确定函数 f (x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间。 解： f (x) 在定义域 Df ( , ) 内连续，
f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2) 0 x1 1 x2 2 以 x1 1、x2 2划分定义域得：
Df ( ,1) 1 ( 1 ,2 ) 2 (2, ) f (x)
单调区间
定义： 若函数在某区间内单调增，称该区间为函数的单调增区间。
减
减
单调增区间、单调减区间统称为单调区间。
问题： 如何确定函数的单调区间
首要任务是确定函数单调性的分界点。
单调性分界点只可能产生于： 驻点 与不可导点处
方法： 用驻点及不可导点划分函数定义域， 在各个开区间内确定
导数的正负，从而确定单调区间。
(1) 当 f (x0 ) 0 时， x0 为 f (x) 的极小值点； (2) 当 f (x0 ) 0 时， x0 为 f (x) 的极大值点。
例3、 求函数 f (x) 3x x3 的极值。
解： 函数 f (x) 在其定义域 ( , ) 内连续，
f (x) 3 3x2 3(1 x)(1 x) 0 x1 f (x) 6x f ( 1) 6 0 f (1) 6 0

•
2、不要看书，要看老师的眼睛
•
只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
4、如果一个函数不存在单调性，只需举一个反例即可.
例1：证明函数
在R上是增函数
f (x) 2x 1
分析析：：画画出出这这个个一一次次函函数数的的图图像像（（见见右右图图）），，直直观观上上很
容进意很义何易行义容进意看证. 易行义出 明看 证. 函 .同出 明数学函.同值们数学随可值们着以随可自根着以变据自根量图变据增像量图大理增像而解大理增每而解大一增每.步下大一证面.步下根明证面的据明根定几的据义何几定
证证则明明：：设 设xx11 ，，xx22是是任任意意两两个个不不相相等等的的实实数数，，且且xx11﹤﹤ xx22，，
则
例2：证明函数 减 函数。
f
(x)

1 x
，在定义域区间上分别是
总结：
• 1.一次函数 y=kx+b（k≠0） • 当k＞0时，（-∞，+∞）是这个函数的单调增区间； • 当k＜0时，（-∞，+∞）是这个函数的单调减区间．
2019/8/9
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谢谢欣赏！
2019/8/9
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1 、从左至右图象上升还 是下降 __下_降___?

《函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：1. 理解函数单调性的概念和基本性质；2. 能够识别并证明简单函数的单调性；3. 掌握函数单调性在解决问题中的应用。

二、作业内容：1. 独立完成课本P39例题1-4：请学生独立完成后，组织小组讨论，分享解题思路和过程，最后由教师进行点评和总结。

2. 自行设计题目：学生需根据所学知识，自行设计一道或几道考查函数单调性的题目。

题目设计应包括已知条件、自变量变化范围、函数解析式、单调性以及证明过程。

教师收集题目后，进行批改和评价。

3. 实践应用：学生思考函数单调性在解决实际问题中的应用，如最大值、最小值问题、工程进度问题等。

尝试用单调性知识设计解决方案，并撰写解题报告。

三、作业要求：1. 独立完成：学生需独立完成作业，不得抄袭或依赖他人。

2. 书写规范：解题过程应清晰、准确，书写规范，确保答案正确。

3. 总结反思：学生需在作业完成后，对自己的作业进行总结和反思，发现自己的不足之处，及时改进。

四、作业评价：1. 批改方式：教师对作业进行批改，给出分数和评语。

2. 评价标准：作业的完成质量、书写质量、总结反思情况等将成为评价的依据。

3. 评价结果：根据评价标准，对学生的作业进行评价，优秀作业将得到表扬并在课堂上展示。

五、作业反馈：1. 学生反馈：学生应就作业中的问题向教师提出，教师给予解答。

同时，学生也可分享自己的收获和体会。

2. 教师反馈：教师根据学生的作业情况，提供反馈和建议，包括对知识的掌握程度、解题方法的优化等。

3. 交流讨论：教师组织学生进行交流和讨论，分享学习心得和方法，促进共同进步。

通过本次作业，学生应能够深入理解函数单调性的概念和基本性质，能够独立证明简单函数的单调性，并能够将其应用于解决实际问题中。

同时，通过实践操作和反思总结，学生应能够提高自己的学习能力和解决问题的能力。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 巩固学生对函数单调性的理解，能够运用函数单调性的概念进行解题。

取值范围．
4．证明：
（1）函数() = − − 2在 −∞, +∞ 上是减函数．
（2）函数() = 2 2 + 1在 −∞, 0 上是减函数．
3.3.2
函数的奇偶性
3.3 函数的性质 ——奇偶性
情境导入 探索新知
大千世界，美无处不在．
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
3.3 函数的性质 ——奇偶性
例5 （2）图（2）给出了奇函数 = 在 0, +∞) 上的函数图像，
试将 = 的图像补充完整，并指出函数的单调区间．
（2）由于函数 = 是奇函数，所以它的
图像关于原点中心对称，因此它的图像如图
所示．函数 = 的增区间为 −∞, +∞ ．
3.3 函数的性质 ——奇偶性
则称 = 是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称．
3.3 函数的性质 ——奇偶性
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数
具有奇偶性，其定义域一定关于原点中心对称．
3.3 函数的性质 ——奇偶性
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
3.3 函数的性质
函数是描述客观事物运动变化规律的数学模型．了解了
函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律，因
此这一节我们来研究函数的性质．
3.3 函数的性质
3.3.1
函数的单调性
3.3 函数的性质 ——单调性
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
下图是某市某天气温（℃）是时间(时)的函数图像，
次函数，它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等各是怎

9/23/2013
（1）函数单调性是针对定义域A内的某个子区间I而言的， 是一个局部性质,在整个定义域上不一定具有单调性;
x （2）x1 、 2 在区间I内取任意值，不能用特殊值来代替.
判断1：函数 f (x)= x2 在
, 是单调增函数；(× )
×)
y
f(2)
判断2：函数 f (x)在区间[1，2]上满足 f (1)＜f(2)，则函数 f (x)在[1，2]上是增函数.(
如果函数y=f(x)在某个区间上是减函数，就称该
区间为函数y=f(x)的单调减区间
9/23/2013
例2 下列函数在什么数集上是减函数？

(1) f(x)=4－2x; (2) f(x)=x2; (3)自变量x与因变量y的对应关系如下表所示。
x y 1 9 2 6 3 1 4 －6 5 －15 6 －26 7 －39 8 －54 9 －71 10 －90
y
4
1 -1
O
x
1 2
y
y
y kx b(k 0)
o y
1 y x
x
-∞,+∞) y kx b(k 0) 在(-∞,+∞) 是减函数 o x 是增函数
在(
y
o
x
-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
在(
y
1 x
o
-∞,0)和 (0,+∞)是 x 增函数
在( 在 b , 2a 增函数 在 减函数 ， b - -
2
o
x
y
y x2
O
x
思考交流： 如果函数y=f(x)在区间[a,b] (a<b)上 是增函数，那么在区间[a,b] 上，它的图象 从左往右看有什么特Fra bibliotek？

y y
o
x
o
x
22
2.4 导数的应用(118)
如图中曲线弧AB是单增的曲线. 但从A
B
到 C 的曲线是向上凸的; 从 C 到 B 的
曲线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸 的分界点, 我们称为拐点.
A
• C
显然, 曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸)的分界点 对我们研究函数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凸
x0
2.4 导数的应用(118)
16
当 xk
1 1 ( 2k ) 2
时， f ( x k ) 1
4 1 ( 2k ) 2
0
1 当 xk 时， 2 k
f ( xk ) 1 0
注意 k 可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻 域内，f ( x ) 都不单调递增．
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在(,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
2.4 导数的应用(118)
15
思考题解答
不能断定.
1 2 x 2 x sin , x 0 x 例 f ( x) 0, x0
1 lim f (0) x0(1 2 x sin ) 1 0 x
1 1 但 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x x
小结与思考题1
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立. 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个 数和证明不等式.

3．3.3三次函数的性质：单调区间和极值[读教材·填要点]设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则F′(x)＝3ax2＋2bx＋c是二次函数，可能有以下三种情形：(1)函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号．①若a>0，则F′(x)恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；②若a<0，则F′(x)恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．(2)函数F′(x)有一个零点x＝w.①若a>0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；②若a<0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．(3)函数F′(x)有两个零点x＝u和x＝v，设u<v.①若a>0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负；F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增.可见F(x)在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值．②若a<0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在(u，v)上为正；F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减.可见F(x)在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值．[小问题·大思维]1．在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值；当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．2．若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上有且只有一个极小值点，那么该极小值是否是函数的最小值？提示：借助图象可知，该极小值就是函数的最小值．求下列函数的单调区间和极值．(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；(2)y＝－x3＋12x＋6.[自主解答](1)函数的定义域为R.y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)，令y′＝0，得x＝－3或x＝1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：当x＝－3时，函数有极大值，且y极大值＝57；当x＝1时，函数有极小值，且y极小值＝－7.(2)y′＝－3x2＋12＝－3(x＋2)(x－2)，令y′＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：∴函数f(x)的单调减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调增区间为(－2,2)．当x＝－2时，y有极小值，且y极小值＝f(－2)＝－10；当x＝2时，y有极大值，且y极大值＝f(2)＝22.(1)求多项式函数的单调区间，关键是求出f′(x)后，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.(2)单调区间可以是开区间，如果区间端点在定义域内，也可写成闭区间．1．求函数y＝8x3－12x2＋6x＋1的极值．解：y′＝24x2－24x＋6＝6(4x2－4x＋1)，令y′＝6(4x2－4x＋1)＝0，解得x1＝x2＝1 2.当x变化时，y′，y的变化情况如表所示：所以此函数无极值．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝－x 3＋x 2＋x ＋1，x ∈[－3,2]； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]． [自主解答] (1)f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋1， 令f ′(x )＝－(3x ＋1)(x －1)＝0，得 x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝2时，f (x )取最小值－1； 当x ＝－3时，f (x )取最大值34.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， ∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的全部实根x 0，且x 0∈[a ，b ]；(3)求最值，有两种方式：①是将f (x 0)的值与f (a )，f (b )比较，确定f (x )的最大值与最小值；②是判断各分区间上的单调性，然后求出最值．2．求函数f (x )＝4x 3＋3x 2－36x ＋5在区间[－2,2]上的最大值和最小值． 解：f ′(x )＝12x 2＋6x －36＝6(2x 2＋x －6)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝32.又f (－2)＝57，f ⎝⎛⎭⎫32＝－1154，f (2)＝－23， ∴函数f (x )的最大值为57，最小值为－1154.设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．[自主解答] (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以，当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2， x 2＝1＋1＋8a2.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0， 即f (4)＜f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163. 得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.(1)f (x )在区间I 上为增函数⇒f ′(x )≥0在区间I 上恒成立，f (x )在区间I 上为减函数⇒f ′(x )≤0在区间I 上恒成立．(2)由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2， 又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝⎛⎭⎫23＝9527， 又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－2时都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若x ∈[－3,2]时都有f (x )>2c －12恒成立，求c 的取值范围．[巧思] 解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式f (x )>g (x )(f (x )<g (x ))恒成立问题转化为F (x )＝f (x )－g (x )>0(F (x )＝f (x )－g (x )<0)恒成立问题，再用导数方法探讨F (x )的单调性及最值．[妙解] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f ′(－2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，12－4a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－6.(2)由(1)知f ′(x )＝3x 2＋3x －6. 令f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：∴f (x )在[－3,2]上的最小值为c －72.即2c －12<c －72，∴c <－3，∴c 的取值范围为(－∞，－3)．1．下面四幅图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不．正确的序号是( )A ．①③B ．③④C ．②③④D ．②④解析：根据函数的单调性与其导函数函数值之间的关系，易得③④一定不正确． 答案：B2．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调递减区间为( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)，(2，＋∞)解析：f ′(x )＝6x 2－18x ＋12， 令f ′(x )＜0，得1＜x ＜2. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．答案：D4．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4，容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－195．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)是R 上的增函数，则a ，b ，c 的关系式为________．解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0在R 上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4b 2－12ac ≤0，从而解得a >0，且b 2≤3ac .答案：a>0且b2≤3ac6．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0，或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.故x＝0时，f(x)最大值是3.一、选择题1．函数y＝f(x)在[a，b]上()A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值解析：由最值与极值的概念可知，D选项正确．答案：D2．函数y＝x3－3x＋3在区间[－3,3]上的最小值为()A．1B．5C．12 D．－15解析：y′＝3x2－3，令y′＝0，得3x2－3＝0，∴x＝1或x＝－1.当－1<x<1时，y′<0；当x>1或x<－1时，y′>0，∴y极小值＝1，y极大值＝5.又当x＝－3时，y＝－15；当x＝3时，y＝21，∴y min＝－15.答案：D3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有()A ．a ＝－2，b ＝4B ．a ＝－3，b ＝－24C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－4解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有－2和4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.答案：B4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15D ．－22解析：f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71. 答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调递减区间为________． 解析：f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 令f ′(x )<0，得－1<x <11. ∴f (x )的单调递减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11)6．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，∵f (x )在R 上是单调函数， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．解析：∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∴Δ＝4a 2＋96b >0，又x ＝1是极值点， ∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6.ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，∴ab 的最大值为9.答案：98．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，对任意x ∈[－1,2]都有f (x )>m ，则实数m 的取值范围是________．解析：由f ′(x )＝3x 2－x －2＝0，得x ＝－23或x ＝1，由题意知只要f (x )min >m 即可， 易知f (x )min ＝f (1)＝72，所以m <72.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，72 三、解答题9．求下列各函数的最值： (1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x (x <0)．解：(1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：又因为f (x )在区间端点处的函数值为f (－3)＝0， f (3)＝－18，所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2x ＋54x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝－3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值．10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间．(2)若x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2， 所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表： 单调递增 单调递减 单调递增所以函数f (x )的递增区间为⎝⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)； 递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。