3.3.1 函数的单调性与导数

函数的单调性与导数的正负性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质，即函数在某一区间上是递增还是递减。

而导数的正负性可以帮助我们判断函数的单调性。

一、函数的单调性在研究函数的单调性时，我们需要先确定函数的定义域。

定义域是使函数有意义的所有实数集合。

对于定义在闭区间[a, b]上的函数，我们只需分析它在内部(a, b)上的单调性即可。

1. 函数的递增性若对于定义在(a, b)上的函数f(x)，对任意x1、x2 ∈ (a, b)，若x1 <x2，则有f(x1) ≤ f(x2)，则称f(x)在(a, b)上是递增的。

换句话说，当自变量增大时，函数值也相应增大。

2. 函数的递减性若对于定义在(a, b)上的函数f(x)，对任意x1、x2 ∈ (a, b)，若x1 <x2，则有f(x1) ≥ f(x2)，则称f(x)在(a, b)上是递减的。

换句话说，当自变量增大时，函数值反而减小。

二、导数的正负性导数的正负性与函数的单调性有着密切的联系。

对于可导的函数f(x)，若在某一区间上导数大于零，则函数在该区间上是递增的；若导数小于零，则函数在该区间上是递减的。

1. 导数大于零的情况假设函数f(x)在开区间I上可导，若对于任意x ∈ I，f'(x)>0，那么f(x)在I上是递增的。

这是因为导数大于零意味着函数的斜率始终为正，即函数的图像呈现上升趋势。

2. 导数小于零的情况假设函数f(x)在开区间I上可导，若对于任意x ∈ I，f'(x)<0，那么f(x)在I上是递减的。

这是因为导数小于零意味着函数的斜率始终为负，即函数的图像呈现下降趋势。

三、单调性与导数的关系导数的正负性可以帮助我们判断函数的单调性。

具体来说，函数f(x)在开区间(a, b)上可导，若f'(x)>0，则f(x)在(a, b)上是递增的；若f'(x)<0，则f(x)在(a, b)上是递减的。

函数的单调性与导数（获奖教案3.3.1函数的单调性与导数教材分析“函数单调性与导数”是⾼中数学（选修1-1）第三章导数及其应⽤的第三节，本节的教学内容属导数的应⽤，是在学⽣学习了导数的概念、计算、⼏何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，⼜可为后⾯研究函数的极值和最值打好基础.由于学⽣在⾼⼀已经掌握了单调性的定义，并能⽤定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学⽣体验到，⽤导数判断单调性要⽐⽤定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数⽽⾔），充分展⽰了导数解决问题的优越性.课时分配本节内容⽤1课时完成，主要经历从⽣活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到⼀般的数学思想，体现了数学知识来源于⽣活，⼜服务于⽣活.教学⽬标重点：利⽤导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系;⒉如何⽤导数判断函数的单调性.知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系;2.会利⽤导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.能⼒点：1.通过本节的学习，掌握⽤导数研究单调性的⽅法.2.在探索过程中培养学⽣的观察、分析、概括的能⼒渗透数形结合思想、转化思想.教育点：通过在教学过程中让学⽣多动⼿、多观察、勤思考、善总结，培养学⽣的探索精神，引导学⽣养成⾃主学习的学习习惯.⾃主探究点：通过问题的探究，体会知识的类⽐迁移.以已知探求未知，从特殊到⼀般的数学思想⽅法.考试点：利⽤导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，⽽不是导数的单调性决定函数的单调性.教具准备：多媒体课件,三⾓板课堂模式：学案导学⼀.引⼊新课y 的单调性，如何进⾏？师：判断函数的单调性有哪些⽅法？⽐如判断2x⽣：⽤定义法、图像法.师：因为⼆次函数的图像我们⾮常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想⼀下，有没有需要注意的地⽅？⽣：注意定义域.师：如果遇到函数x x y 33-=，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？师：定义是解决问题的最根本⽅法，但定义法较繁琐,⼜不能画出它的图像，那该如何解决呢？揭⽰并板书课题：函数的单调性与导数【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识（判断⼆次函数的单调性）⼊⼿，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣.师：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最⼤值或最⼩值等性质是⾮常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有⼀个基本的了解．函数的单调性与函数的导数⼀样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?⼆．探究新知师：如图（1），它表⽰跳⽔运动中⾼度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表⽰⾼台跳⽔运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最⾼点，以及从最⾼点到⼊⽔这两段时间的运动状态有什么区别？⽣：通过观察图像，可以发现：（1）运动员从起点到最⾼点，离⽔⾯的⾼度h 随时间t 的增加⽽增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最⾼点到⼊⽔，运动员离⽔⾯的⾼度h 随时间t 的增加⽽减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．【设计意图】从具体的实际情景出发，提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系.为学⽣提供⼀个联想的“源”，巧妙设问，把学习任务转移给学⽣；让学⽣完成对函数单调性与导数关系的第⼀次认识，明确研究课题.师：导数的⼏何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？观察下⾯函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数x y =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数01/>=y ；（2）函数2x y =的定义域为R ，在),(+∞-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增；⽽x y 2/=，当0x 时，其导数0/>y ；当0=x 时，其导数0/=y ．（3）函数3x y =的定义域为R ，在定义域上为增函数；⽽2/3x y =，若0≠x ，则其导数032>x ，当0=x 时，其导数032=x ；（4）函数x y 1=的定义域为),0()0,(+∞?-∞，在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递减,⽽2/1xy -=，因为0≠x ,所以0/师：以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间),(b a 内,如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/内单调递减.【设计意图】从具体的函数出发，体会数形结合思想的运⽤.让学⽣体会从特殊到⼀般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学⽣在⽼师的引导下⾃主学习和探索，提⾼学习的成就感和⾃信⼼.三. 理解新知师：如图，导数'0()f x 表⽰函数)(x f 在点00(,)x y 处的切线的斜率．观察图像回答，函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？⽣:在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数)(x f 在0x 附近单调递增；在1x x =处，0)(1/师⽣共同总结：函数的单调性与导数的关系: 在某个区间),(b a内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/【设计意图】通过导数的⼏何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成⼀般性结论.让学⽣经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系.四．运⽤新知例1、已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的⼤致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点⽐较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的⼤致形状如图所⽰．学⽣思考，并在纸上画出函数图像教师投影若⼲学⽣的作业情况,学⽣共同分析.【设计意图】让学⽣通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的,这是今后利⽤导函数研究函数的必备技能.这⾥让学⽣切实理解，为今后学习扫清障碍. 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1所⽰．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图2所⽰．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3所⽰．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以．当'()0f x >，即时，函数2()23f x x x =-- ；当'()0f x <，即时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图4所⽰．学⽣练（3）、（4）【设计意图】让学⽣初步体会⽤导数的⽅法确定函数单调性的简便. 【师⽣活动】总结求()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．例3．已知函数xx y 1+=，试讨论出此函数的单调区间. 解：2222//)1)(1(111)1(x x x x x x x x y +-=-=-=+=２令0)1)(1(2>+-xx x . 解得11-<>x x 或∴xx y 1+=的单调增区间是：),1()1-,(+∞-∞和令0)1)(1(2<+-x x x ，解得1001<<<<-x x 或∴xx y 1+=的单调减区间是：)1,0()0,1(和-练习：93P 1题五.课堂⼩结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间【设计意图】通过师⽣共同反思，优化学⽣的认知结构.六. 布置作业必做：课本８9P A 组 1,2 选做：1、求下列函数的单调区间： (1) 76223+-=x x y (2) x xy 21+=(3) []π2,0,sin ∈=x x y (4) x x y ln = 2、已知32()f x x bx cx d =+++的图像过点(0,2)P 且在1x =-处的切线⽅程为670x y -+=，求（1）()f x 的解析式；（2）求函数()y f x =的单调区间.3、已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 【设计意图】体现了分层、有梯度的教学，学⽣动⼿练习,加强学⽣的应⽤意识.七.教后反思1. 本节课的亮点：教学过程中教师指导启发学⽣以已知的熟悉的⼆次函数为研究的起点，发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，从⽽到更多的，更复杂的函数，从中发现规律，并推⼴到⼀般.这个过程中既让学⽣获得了关于新知的内容，更可贵的是让学⽣体会到如何研究⼀个新问题，即探究⽅法的体验与感知.同时也渗透了归纳推理的数学思想⽅法,培养了学⽣的探索精神，积累了探究经验.2. 不⾜之处：学⽣对与数形结合的理解还不是很熟练，今后应多加强训练.⼋、板书设计。

3.3.1单调性学案（含答案）3.3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性学习目标1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会用导数法求函数的单调区间其中多项式函数一般不超过三次知识点函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察下列各图，完成表格内容.函数及其图象切线斜率k正负导数正负单调性正正1，上单调递增正正R上单调递增负负0，上单调递减负负0，上单调递减负负，0上单调递减思考2依据上述分析，可得出什么结论答案一般地，设函数yfx，在区间a，b上，如果fx0，则fx在该区间上单调递增；如果fx0，则fx在该区间上单调递减梳理1导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性fx0k0锐角上升单调递增fx0k0钝角下降单调递减2在区间a，b内函数的单调性与导数有如下关系函数的单调性导数单调递增fx0，且fx在a，b的任何子区间上都不恒为零单调递减fx0，且fx在a，b的任何子区间上都不恒为零常函数fx01如果函数yfx在区间a，b上都有fx0，那么fx在区间a，b内单调递增2如果函数yfx在区间a，b上单调递增，那么它在区间a，b上都有fx0.3函数yx3x25x5的单调递增区间是和1，4函数fxlnxaxa0的单调增区间为.类型一求函数的单调区间命题角度1求不含参数的函数的单调区间例1求fx3x22lnx的单调区间解fx3x22lnx的定义域为0，fx6x，由x0，解fx0，得x；由x0，解fx0，得0x.所以函数fx3x22lnx的单调递增区间为，单调递减区间为.反思与感悟求函数yfx的单调区间的步骤1确定函数yfx的定义域；2求导数yfx；3解不等式fx0，函数在定义域内的解集上为增函数；4解不等式fx0，函数在定义域内的解集上为减函数跟踪训练1求函数fx的单调区间解函数fx的定义域为，22，fx.因为x，22，，所以ex0，x220.由fx0，得x3，所以函数fx的单调递增区间为3，；由fx0，得x3.又函数fx的定义域为，22，，所以函数fx的单调递减区间为，2和2,3命题角度2求含参数的函数的单调区间例2讨论函数fxx2alnxa0的单调性解函数fx的定义域是0，，fx2x.设gx2x2a，由gx0，得2x2a.当a0时，fx2x0，函数fx在区间0，上为增函数；当a0时，由gx0，得x或x舍去当x时，gx0，即fx0；当x时，gx0，即fx0.所以当a0时，函数fx在区间上为减函数，在区间上为增函数综上，当a0时，函数fx的单调增区间是0，；当a0时，函数fx的单调增区间是，单调减区间是.引申探究若将本例改为fxax2lnxaR呢解fx2ax，当a0时，且x0，，fx0，函数fx在0，上为减函数；当a0时，令fx0，解得x或x 舍去当x时，fx0，fx为减函数；当x时，fx0，fx为增函数综上所述，当a0时，函数fx在0，上为减函数；当a0时，fx在上为减函数，在上为增函数反思与感悟1在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定fx的符号，否则会产生错误2分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了跟踪训练2已知函数fx4x33tx26t2xt1，其中xR，tR.当t0时，求fx的单调区间解fx12x26tx6t26xt2xt，令fx0，得x1t，x2.当t0，x时，fx0，此时fx为减函数；当x时，fx0，此时fx为增函数，同理当xt，时，fx也为增函数当t0时，fx的增区间为和t，，fx的减区间为；当t0，x时，fx0，此时fx为减函数，当x，t和x时，fx0，此时fx为增函数，当t0时，fx的增区间为，t，，fx的减区间为.综上所述，当t0时，fx的单调增区间是，t，，单调减区间是.当t0时，fx的单调增区间是，t，，单调减区间是.类型二证明函数的单调性问题例3证明函数fx在区间上单调递减证明fx，又x，则cosx0，sinx0，xcosxsinx0，fx0，fx在上是减函数反思与感悟关于利用导数证明函数单调性的问题1首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行2fx或0，则fx为单调递增或递减函数；但要特别注意，fx为单调递增或递减函数，则fx或0.跟踪训练3证明函数fx在区间0，e上是增函数证明fx，fx.又0xe，lnxlne1.fx0，故fx在区间0，e上是增函数类型三已知函数的单调性求参数范围例4已知函数fxx2x0，常数aR若函数fx在x2，上单调递增，求a的取值范围解fx2x.要使fx在2，上单调递增，则fx0在x2，时恒成立，即0在x2，时恒成立x20，2x3a0，a2x3在x2，时恒成立a2x3min.当x2，时，y2x3是单调递增的，2x3min16，a16.当a16时，fx0x2，，有且只有f20，a的取值范围是，16反思与感悟已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数fx在区间I上单调递增或减，转化为不等式fx0fx0在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围跟踪训练4已知函数fxx3ax2a1x2在区间1,2上为减函数，求实数a的取值范围解方法一fxx2axa1，因为函数fx在区间1,2上为减函数，所以fx0，即x2axa10，解得ax1.因为在1,2上，ax1恒成立，所以ax1max1.所以a的取值范围是1，方法二fxx1xa1，由于函数fx在区间1,2上为减函数，所以fx0，当a2时，解得1xa1，即减区间为1，a1，则1,21，a1，得a1.当a2时，解得减区间为a1，1，则函数fx不可能在1,2上为减函数，故a1.所以实数a的取值范围是1，1函数fx2x33x21的单调递增区间是________，单调递减区间是________答案，0和1，0,1解析fx6x26x，令fx0，得x0或x1，令fx0，得0x1.2函数fxx1ex的单调递增区间是________答案0，解析fxx1exx1exxex，令fx0，解得x0.3函数fxlnxaxa0的单调递增区间为________答案解析fx的定义域为x|x0，由fxa0，得0x.4若函数yx3ax24在0,2上单调递减，则实数a的取值范围为________答案3，解析y3x22axx3x2a，由题意知x0,2，y0，即x3x2a0，得0xa，则2，即a3.5求函数fxxkex的单调区间解fxexxkexxk1ex，当xk1时，fx0；当xk1时，fx0，所以fx的单调递减区间是，k1，单调递增区间为k1，1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数fx的单调区间的一般步骤1确定函数fx的定义域；2求导数fx；3在函数fx的定义域内解不等式fx0和fx0；4根据3的结果确定函数fx的单调区间。

§3.3.1函数的单调性与导数【成功细节】严俏华谈导数的计算的方法本节主要是用函数的导数研究函数的单调性，学习过程中要深刻理解相关的结论以及方法，要学好本节内容，我认为应注意以下几个细节入手：（1）函数在某点处的单调性与该点处的切线的斜率（即函数在该点处的导数值）的符号相关；若导数值大于零，则函数在此处为增函数；（2）若函数在某个闭区间上的导数值恒为零，则该函数为常数函数；（3）在求函数的单调区间时，可直接解关于导数的不等式；（4）深刻理解函数的单调性与函数的导数之间的关系，包括连个方面：导数的符号说明函数的单调性，某区间内，导数值为正，则函数为增函数；导数绝对值得大小反映了函数图象的变化速度，绝对值越大，函数图象越陡峭。

如 这个题主要考查导数的基本运算以及应用导数解决函数的单调性，是一个简单题，可直接求解即可.1()ln ln 1f x x x x x'=+⨯=+，令()0f x '>可解得1x e>，所以函数的单调递增区间是1(,)e +∞.【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。

——叶圣陶【精读·细化】1.用10分钟的时间阅读教材89～91页, 函数的单调性与导函数正负之间有怎样关系？某个区间内函数的平均变化率的几何意义与导数之间的联系呢？如果在某个区间恒有()f x '=0，那么函数有什么特征？细节提示:把握住单调性定义中y 的变化量与x 的变化量的比值与导数的定义之间的关系。

【提升·解决】1.在某个开区间内，导数值大于零，则函数在这个区间内单调递增，导数值小于零，则函数在这个区间内单调递减；若函数在某个区间内恒有导数值等于零，则函数为常数函数.【关注·思考】2.阅读课本92～93页，理解函数变化的快慢程度与函数导数值的绝对值的大小之间的关系.细节提示:函数图象，不仅体现函数的增减，还可以体现函数值变化的快慢.【提炼·发现】2.函数导数的绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”，反之就“平缓”一些.（2007年广东 文12）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿． 2007年广东省文科状元严俏华【学习细节】（核心栏目）A ．基础知识导数的应用知识点1 函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系吗?【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.86.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？ 【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.【探究】函数的单调性可简单的认为是:若2121()()f f x x xx-->0则函数f(x)为增函数.可把2121()()f f x x x x--看作y x∆∆=2121()()f f x x x x--.说明函数的变化率可以反映函数的单调性.即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数y x =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数10y '=>； （2）函数2y x =的定义域为R ，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增； 而2()2y x x ''==，当0x <时，0y '<；当0x >时，0y '>；当0x =时，0y '=。