常微分方程22 变量可分离方程

高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。

dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。

变量分离法解微分方程变量分离法是求解一阶常微分方程的一种常用方法，它的基本思想是将微分方程中的变量分离，从而得到两个单独关于各自变量的微分方程，进而解出原方程的解析解。

这种方法在实际问题的建模和求解中具有广泛的应用。

在变量分离法中，首先需要将原方程变形为关于两个变量的等式。

对于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，我们可以将其改写为1/g(y)dy = f(x)dx。

我们可以通过对方程两边同时积分来解出原方程的解。

下面我们以一个具体的实例来说明变量分离法的应用。

考虑一阶线性微分方程dy/dx = y/x，我们可以使用变量分离法来求解。

将方程变形为1/y dy = 1/x dx。

然后我们对方程两边同时积分，得到ln|y| = ln|x| + C，其中C为常数。

进一步，我们可以应用指数函数的对数性质得到|y| = e^(ln|x| + C) = e^(ln|x|) * e^C = Cx，其中C为非零常数。

由于|y| = Cx，我们可以将常数C的正负号去掉，得到y = Cx，其中C为任意常数。

原方程的解为y = Cx，其中C为任意常数。

通过这个具体的实例，我们可以看出变量分离法在求解微分方程时的奏效。

通过将微分方程变形为两个变量的等式，并应用积分求解的方法，我们可以得到原方程的解析解。

这种方法在实际问题的求解中具有广泛的应用，特别是对于具有分离变量性质的一阶常微分方程来说，变量分离法是一种非常有效的求解方法。

在实际应用中，变量分离法的步骤一般是比较清晰和直观的，但是在解析解的求解过程中，可能会涉及到一些复杂的积分计算，需要运用积分技巧或者其他数学工具来求解。

变量分离法在求解高阶微分方程时不是常用的方法，常用的方法是利用特征方程或者线性微分方程的特殊解求解。

总结和回顾一下，变量分离法是一种常见且实用的求解一阶常微分方程的方法。

通过将微分方程变形为两个变量的等式，并应用积分求解的方法，我们可以得到微分方程的解析解。

变量分离法常数变易法积分因子法变量分离法1) 变量分离方程 形如()()dyf xg y dx=(或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) 的方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数.2)求解方法 如果()0g y ≠，方程()()dyf xg y dx =可分离变量化为，()()dy f x dx g y = 两边同时积分,得到()()dyf x dx cg y =+⎰⎰3) 例题例1 求解方程dy x dx y=- 解将变量分离，ydy xdx =-两边积分，即得22222y x c =-+ 通解为22x y c +=（c 是任意的正常数） 或解出显式形式y =例2 解方程2cos dyy x dx=并求满足初始条件：当0x =时.1y =的特解.解将变量分离，得2cos dyxdx y = 两边积分，即得1sin x c y-=+ 通解为1sin y x c=-+为确定所求的特解，以0x =.1y =代入通解中确定常数c ，得到1c =-。

因而，所求的特解为11sin y x=-注: 1.常数c 的选取保证通解表达式有意义；2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解,即将遗漏的解要弥补上；3.微分方程的通解表示的是一族曲线特解表示的是满足特定条件00()y x y =的一个解，表示的是一条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭利用变量替换可化为变量分离方程再求解.同时对x 求导于是dy dux u dx dx=+ 代入原方程变为()dux u g u dx+= 整理后，得到()du g u udx x-=一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量， 所得的解便是原方程的解.例5 求解方程(0).dyxy x dx+=<方程 以,y dy du u xu x dx dx==+代入，则原方程变为dux dx =dx x = 两边积分ln()x c =-+ 即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+>①这里的c是任意常数.此外，还有解0u =，注意，此解不包括在通解中. 将①代回原来的变量，即得原方程的通解2[ln()](ln()0)y x x c x c =-+-+>及解0y =.原方程的通解还可表为：2[ln()],ln()0,0,x x c x c y ⎧-+-+>=⎨⎩它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的求解方法关键的一步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy duu xdxdx =+，再将其代入齐次方程使方程变为关于,u x 的可分离方程（x 为自变量，y 为因变量）；2.齐次方程也可以通过变换xv y=而化为变量分离方程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v ydy dy =+，将其代入齐次方程dxx f dy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭使方程变为,v y 的可分离方程（y 为自变量，x 为因变量）；2）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数. （1）120c c ==情形. 这时方程属齐次方程，1122a x b y dy y g dx a x b y x +⎛⎫== ⎪+⎝⎭. 分子分母同除以x （2）11220a b a b =，即1122a ba b =的情形. 设1122a b k a b ==，则方程可写成 22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++则方程化为22()dua b f u dx=+这是一变量分离方程（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形.这时方程111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++右端的分子、分母都是,x y 的一次式，因此 1112220a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩代表xy 平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ. 显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至(,)αβ就行了，112200a X b Y a X b y +=⎧⎨+=⎩，原方程化为1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程1112220a x b y c a x by c ++=⎧⎨++=⎩，设其解为,x y αβ==；(2)1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭； (3)再经变换Yu X=将齐次方程化为变量分离方程； (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程的解.例6 求解方程13dy x y dx x y -+=+-解解方程组1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得1, 2.x y ==令12x X y Y =+⎧⎨=+⎩代入方程，则有齐次方程dY X YdX X Y-=+Y uX =分离变量化为2112dX udu X u u +=-- 两边积分，得22ln ln 21X u u c=-+-+因此22(21)c X u u e +-=±2212Y XY X c +-=记1,c e c ±= 并代回原变量，就得 221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----=此外，易验证2210u u +-=即2220Y XY X +-= 也就是齐次方程的解.因此原方程的通解为22262y xy x y x c +---=其中c 为任意的常数.常数变易法（一阶非齐次线性微分方程、n阶非齐次线性微分方程、非齐次常系数线性方程组）是否只能解决常系数？1()dyP x ydx=它的通解为()P x dxy ce⎰=2）求解步骤：求出对应的一阶齐次线性微分方程的通解()P x dxy ce⎰=两边微分，得()()()()()P x dx P x dxdy dc xe c x P x edx dx⎰⎰=+代入原方程，得到()()()()()()()()()P x dx P x dx P x dxdc xe c x P x e P x c x e Q xdx⎰⎰⎰+=+即()()()P x dxdc xQ x edx-⎰=积分后得到()()()P x dxc x Q x e dx c-⎰=+⎰代入()()P x dxy c x e⎰=注: 非齐次线性方程的通解是它对应的齐次线性方程的通解与它的某个特解之和.初值问题()()()dyP x y Q xdxy x y⎧=+⎪⎨⎪=的解为例2 求方程22dy ydx x y=-的通解.解原方程颠倒改写为2dxx ydy y=-把x看作未知函数，y看作自变量先求齐次线性方程2dxxdy y=的通解为2x cy=于是2()2()dx dc yy c y ydy dy=+代入原方程，得到()lnc y y c=-+从而，原方程的通解为2(ln)x y c y=-这里c 是任意的常数,另外0y=也是方程的解.3求解步骤：用n y -乘方程两边，得到1()()nn dyy y P x Q x dx--=+ 引入变量变换1n z y -=（2.40）从而(1)n dz dyn y dx dx-=-（2.41） 将（2.40）、（2.41）代入原方程，得到(1)()(1)()dzn P x z n Q x dx=-+- 这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解， 然后再代回原来的变量，便得到伯努利方程的通解. 此外，当0n >时，方程还有解0y =.例5 求方程331dy dx xy x y=+的解 解将方程改写为33dxyx y x dy=+这是一个自变量为y ，因变量为x 的伯努利方程.解法同上.例4 求方程26dy yxy dx x=-的通解 解这是2n =时的伯努利方程，令1z y -=,得2dz dy y dx dx-=- 代入原方程得到6dz z x dx x =-+这是线性方程，求得它的通解为268c x z x =+代回原来的变量y ，得到2618c x y x =+，或者688x x c y -=这是原方程的通解. 此外，方程还有解0y =.例6 求方程23y dye x dx x+=的通解 原方程改写为2223du x u u dx x x=+便是伯努利方程.4()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数。

常微分方程的变量分离法及其应用常微分方程是描述自然界中很多现象的重要数学模型，它涉及到许多科学和工程领域。

其中，变量分离法是解常微分方程的一种重要方法，可以将含有未知函数y和自变量x的常微分方程转化为易于求解的形式。

本文将介绍常微分方程的变量分离法及其应用。

一、常微分方程的基本概念在进一步讲解变量分离法之前，我们先来回顾常微分方程的基本概念。

常微分方程是指含有未知函数y及其一阶或高阶导数的方程，通常形式为：F(x,y,y',y'',...) = 0其中，x是自变量，y是因变量，y'、y''等是y关于x的一阶、二阶等导数。

如果某个函数y满足上述方程，我们就称其为该方程的解。

二、变量分离法的基本思想在求解常微分方程时，变量分离法通常是一种比较常用的方法，其基本思想是将方程中的变量分离出来，使方程化为两个变量的积的形式：F(x)dx = G(y)dy此时，我们可以将方程分离为两个变量的函数，并对两边同时积分得到：∫F(x)dx = ∫G(y)dy + C其中，C为常数。

三、变量分离法的实例下面，我们将通过一个实例来进一步说明变量分离法的应用。

假设我们要求解如下的常微分方程：y' = (x+y)/(x-y)该方程看上去很难直接求解，但我们可以通过变量分离法来将其化为易于求解的形式。

首先，我们将方程中的x和y分离出来，得到：y'/(x+y) = 1/(x-y)此时，我们将左右两边分别乘以(x+y)(x-y)并进行积分，得到：ln|x+y| - ln|x-y| = ln|y| + ln|C|其中，C为常数。

两边同时取指数，得到：|x+y|/|x-y| = Cy再次对两边同时取指数，得到：y = C'(x-y)/(x+y)其中，C'为常数。

此时，我们就成功地将原方程化为了易于求解的形式。

虽然最终的解看上去比较复杂，但我们只需要借助变量分离法即可得到它。

微分方程中的变量可分离与一阶线性齐次方程微分方程是数学中重要的概念，它描述了变量之间的关系以及它们的变化率。

微分方程可以分为不同的类型，其中包括变量可分离方程和一阶线性齐次方程。

本文将介绍这两种类型的微分方程，并讨论它们的特点和求解方法。

一、变量可分离方程变量可分离方程是指微分方程中的变量可以通过分离变量的方式进行求解。

具体而言，变量可分离方程可以表示为：dy/dx = f(x)g(y)其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。

为了求解这种类型的微分方程，我们可以将方程重新排列，将dy和dx分离开来：g(y)dy = f(x)dx接下来，我们可以对上述方程两边同时积分，得到：∫g(y)dy = ∫f(x)dx通过积分，我们可以求得y关于x的函数表达式，从而得到微分方程的解。

举例来说，考虑微分方程dy/dx = x/y。

我们可以将方程变形为ydy = xdx，然后对两边同时积分，得到y^2/2 = x^2/2 + C，其中C是常数。

因此，微分方程的解为y^2 = x^2 + C。

二、一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程是指微分方程中的一阶导数与原函数成比例的方程。

一般来说，一阶线性齐次方程可以表示为：dy/dx + P(x)y = 0其中P(x)是关于x的函数。

为了求解这种类型的微分方程，我们可以使用分离变量的方法。

首先，将方程变形为：dy/y = -P(x)dx接下来，对上述方程两边同时积分，得到：ln|y| = -∫P(x)dx + C通过求指数，我们可以得到：|y| = e^(-∫P(x)dx + C) = e^C * e^(-∫P(x)dx)其中e^C是常数。

因此，我们可以将常数e^C合并成一个新的常数k，得到：|y| = ke^(-∫P(x)dx)由于|y|是绝对值，我们可以将其拆分为两个方程：y = ke^(-∫P(x)dx) 或者 y = -ke^(-∫P(x)dx)这样，我们得到了一阶线性齐次方程的解。

《常微分方程》复习资料1．（变量分离方程）形如()()dyf x y dxϕ=（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()f x y ϕ分别是,x y 的连续函数． 解法：（1）分离变量，当()0y ϕ≠时，将（1.1）写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得()()dyf x dx c y ϕ=⎰⎰+（1.2），由（1.2）所确定的函数(,)y x c ϕ=就为（1.1）的解． 注：若存在0y ，使0()0y ϕ=，则0y y =也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． 2．（齐次方程）形如(dy yg dx x=的方程称为齐次方程，这里是u 的连续函数． ()g u 解法：（1）作变量代换（引入新变量）y u x =，方程化为()du g u u dx x -=，（这里由于dy dux u dx dx=+）；（2）解以上的分离变量方程；（3）变量还原．3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程()()()0dya xb x yc x dx++=在的区间上可写成()0a x ≠()()dyP x y Q x dx =+（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()P x Q x x 的连续函数．若，则（3.1）变为()0Q x =()dyP x y dx=（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Q x ≠，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． 解法：（1）解对应的齐次方程()dyP x y dx=，得对应齐次方程解()p x y ce dx ⎰=，为任意常数；c （2）常数变异法求解（将常数变为c x 的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的解，则()c x ()()p x dxy c x e ⎰=()()()()()p ⎰⎰p x dx p x dy dc x e c x x e dx dx =+dx ，代入（3.1）得()()()p x dx dc dxx Q x e -⎰=)，积分得；()p x dx c ⎰=+ ()()c x Q x e -⎰（3）故（3.1）的通解为()()(()p x dxp x dxy e Q x e dx -⎰⎰c=+⎰ ． 4．（伯努利方程）形如()()n dyP x y Q x y dx=+的方程，称为伯努利方程，这里为(),()P x Q x x 的连续函数． 解法：（1）引入变量变换，方程变为1nz y -=(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx=-+-；（2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原．5．（可解出的方程）形如y (,)dyy f x dx=(5.1)的方程，这里假设(,)f x y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（5.1）变为(,)y f x p =（5.2）； （2）将（5.2）两边对x 求导，并以dy p dx =代入，得f f pp x p x∂∂∂=+∂∂∂（5.3），这是关于变量,x p 的一阶微分方程；（3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为(,)p x c ϕ=，将它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解(,(,))y f x x c ϕ=，为任意常数；c（ii ）若求得（5.3）的通解形式为(,)x p c ψ=，则得（5.1）的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数；c （iii ）若求得（5.3）的通解形式为，则得（5.1）的参数形式的通解为(,,)0x p c Φ=(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 6．（可解出x 的方程）形如(,)dyx f y dx=(6.1)的方程，这里假设(,)f y y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（6.1）变为(,)x f y p =（6.2）； （2）将（6.2）两边对y 求导，并以1dx dy p=代入，得1f f pp y p y ∂∂∂=+∂∂∂（6.3），这是关于变量,y p 的一阶微分方程；（3）若求得（6.3）的通解形式为，则得（6.1）的参数形式的通解为(,,)0y p c Φ=(,)(,,)0x f y p y p c =⎧⎨Φ=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 7．（不显含的方程）形如y (,)0dyF x dx=的方程，这里假设(,)F x y '有连续的偏导数． 解法：（1）设dyp dx=，则方程变为； (,)0F x p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F x p =()()x t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）； （3）把()x t ϕ=，()p t ψ=代入dy ，并两边积分得pdx =()()y t t dt ψϕ'c =+⎰；（4）通解为()()()x t y t t dt ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩⎰c ．8．（不显含x 的方程）形如(,)0dyF y dx=的方程，这里假设(,)F y y '有连续的偏导数．解法：（1）设dyp dx=，则方程变为；(,)0F y p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F y p =()()y t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）；（3）把()y t ϕ=，()p t ψ=代入dy dx p =，并两边积分得()()t x dt c t ϕψ'=+⎰； （4）通解为()()()t x dt c t y t ϕψϕ'⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰． 9．（型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数()(1)(,,,,)0(1)k n n F x y y y k -=≥ y 及．(1),,k y y -' 解法：令()()k yz x =，则(1)k y z +'=，．代入原方程，得．若能求得，()()n n y z -=k ()(,(),(),,())0n k F x z x z x z x -'= ()z x将()()k yz x =()yf =连续积分次，可得通解．k , 10．（型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量()(1)(,,)n k y y y -n x ．解法：设，则()y 222,(dp dy dP d p dP y P y P P dy dx dy dy dy'''''===+ y p '=2,) ，代入原方程得到新函数的()P y (1n -阶方程，求得其解为1()(,,,)n 1P y y C C ϕ-== dy dx，原方程通解为11(,,,)n n dyx C y C C ϕ-=+⎰ ．11．（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数对(1)(,,,,)n x y y y -'Φ x 的导数，即(1)(,,,,)0n dx y y y dx-'Φ= ． 解法：类似于全微分方程可降低一阶(1)(,,,,)n x y y y C -'Φ ='，再设法求解这个方程．12．（齐次方程）特点：（k 次齐次函数）．()()(,,,,)(,,,,)n k n x ty ty ty t F x y y y '= F zdx解法：可通过变换y e =⎰将其降阶，得新未知函数．因为()z x 2()(1),(),,(,,,)zdxzdxzdxn n y ze y z z e yz z z e -⎰⎰⎰'''''==+=Φ (1)(,,,,)0n f x z z z -'，代入原方程并消去，得新函数的阶方程k z e ⎰dx ()z x (n -1)= ．13．（存在唯一性定理）考虑初值问题00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（13.1），其中(,)f x y 在矩形区域00:,R x x a y y b -≤-≤上连续，并且对满足Lipschitz 条件：即存在，使对所有(,y 0L >12(,)),x y x y R ∈常成立121(,)(,)2f x y f x y L y y -≤-，则初值问题（13.1）在区间0x x -≤h 上的解存在且唯一，这里(,)min(,h a =(,)x y R M Max f x y ∈=bM．初值问题（13.1）等价于积分方程00(,)xx y y f t y =+⎰dt ，构造Picard 逐步逼近函数列}{00001()()()(,())xn nn x x y x x y f ϕϕϕξϕ-=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰dx ξ 00x x x ≤≤+h ，n ．1,= 2,14．（包络的求法）曲线族（14.1）的包络包含在下列两方程(,,)0x y c Φ=(,,)0(,,)0c x y c x y c Φ=⎧⎨'Φ=⎩消去参数而得到的曲线之中．曲线c (,)0F x y =(,)0F x y =称为（14.1）的c -判别曲线．15．（奇解的直接计算法）方程(,,)0dyF 15.1）的奇解包含在由方程组⎨去参数x y dx =（消(,,)0(,,)0c F x y p F x y p =⎧'=⎩p 而之得到的曲线(,Φ=中，此曲线称为（15.1）的)0x y p -别曲线，这里(,F 判,)x y p 0=是,,x y p 的连续可微函数． 注：p -判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论． 16．（克莱罗方程）形如dy dy y xf dxdx ⎛⎫=+ ⎝⎭⎪（16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里． ()0f p ''≠解法：令dy p dx =，得．两边对()y xp f p =+x 求导，并以dyp dx=代入，即得()dp dp p x p f p dx dx '=++，经化简，得[()]0．dpx f p dx '+= 如果0dp dx=，则得到p c =．于是，方程（16.1）的通解为：()y cx f c =+．如果，它与等式()0x f p '+=()y xp f p =+联立，则得到方程（16.1）的以p 为参数的解：()0()x f p y xp f p '+=⎧⎨=+⎩或()0()x f c y xc f c '+==+⎧⎨⎩其中为参数．消去参数c p 便得方程的一个解． 17．（函数向量组线性相关与无关）设12(),(),,()m x t x t x t a t b ≤≤是一组定义在区间[,上的函数列向量，如果存在一组不全为0的常数，使得对所有，有恒等式]a b c 12,,m c c c 1122()()()0m m c x t c x t x t +++ =， 则称12(),(),,()m x t x t x t 在区间[,上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[,上线性无关．]a b ]a b 18．（Wronsky 行列式）设有n 个定义在a t 上的向量函数b ≤≤nn 11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()n n n n n x t x t x t x t x t x x t x t x t t x t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢===⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦ ，由这n 个向量函数所构成的行列式111212122212[(),(12()()()()()()),()()()()()n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x x t W t t x t x t x t x t ≡称为这个向量函数所构成的Wronsky 行列式．n 如果向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在a t 上线性相关，则它们的Wronsky 行列式． b ≤≤()0,t W t a b ≡≤≤19．（基解矩阵的计算公式）（1）如果矩阵具有个线性无关的特征向量，它们相应的特征值为A n 12,,,n v v v 12,,,n λλ λ（不必互不相同），那么矩阵是常系数线性微分方程组12tte λλ12(),,,],n tn v v e v λΦ=-∞<< [t e x +∞x Ax '=的一个基解矩阵； （2）矩阵的特征值、特征根出现复根时（略）； A （3）矩阵的特征根有重根时（略）．A 20．（常系数齐线性方程）考虑方程111[]0n n n n n d x d xL x a a x dt dt--=+++= （20.1），其中为常数，称（20.1）为阶常系数齐线性方程．12,,n a a a n 解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根12,,,k λλλ ；（2）计算方程（20.1）相应的解：（i ）对每一个实单根k λ，方程有解k teλ；（ii ）对每一个重实根1m >k λ，方程有个解：m 21,,,,k k k tttm e te t e te k tλλλ- λ；（iii ）对每一个重数是1的共轭复数i αβ±，方程有两个解：cos ,sin tte t e ααt ββ； （iv ）对每一个重数是的共轭复数1m >i αβ±，方程有个解：2m 11cos ,cos ,,cos ;sin ,sin ,,sin t t m t ttm te t te t t e t e t te t te tααααααββββββ-- ；（3）根据（2）中的（i ）、（ii ）、（iii ）、（iv ）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解．21．（常系数非齐次线性方程）()y py qy f x '''++=二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程，通解结构0y py qy '''++=y Y y =+．设非齐次方程特解()x y Q x e λ=代入原方程 2()(2)()()()()m Q x p Q x p q Q x P x λλλ'''+++++=（1）若λ不是特征方程的根，，可设20p q λλ++≠()()m Q x Q x =，()xm y Q x e λ=；（2）若λ是特征方程的单根，，2020p q λλ++=p λ+≠，可设()()m Q x xQ x =，()xm y xQ x e λ=； （3）若λ是特征方程的重根，，2020p q λλ++=p λ+=，可设，2()()m Q x x Q x =2()xm y x Q x e λ=． ()k x综上讨论，设y m x e Q x λ=，． 012k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是根是单根是重根。

1、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是的朴素思想。

正确答案：【极限】2、公元3世纪，中国数学家刘徽的，就用圆内接正多边形周长去逼近圆周长这一极限思想来近似地计算圆周率率的正确答案：【割圆术】3、极限概念产生于，两个实际问题。

正确答案：【求面积，求切线】4、常微分方程正确答案：【未知函数是一元函数的】5、偏微分方程正确答案：【未知函数是多元函数的】6、变量分离方程正确答案：【形如dy/dx=f(x)/g(y)的微分方程】7、什么是费马定理？正确答案：【设函数数在在的某邻域域内有定义，并且在在处可导，如果对任意的的，有有（或或），】8、什么是罗尔定理？正确答案：【设函数数在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，并且满足足，那么至少存在一点点，使得】9、什么是拉格朗日定理？它的辅助函数是怎样构成的?正确答案：【设函数数在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，那么至少存在一点点，使得得。

辅助函数为：】10、函数的性质有哪些？问题反馈【教师释疑】正确答案：【函数的性质有：有界性，奇偶性，周期性，单调性。

】11、单调函数的图像特点是总是或总是。

正确答案：【上升，下降】12、反函数的图像特点是关于对称。

正确答案：【直线y=x】13、从极限产生的历史背景来看，极限概念产生于解决微积分的基本问题：求、、、以及在一点的切线问题。

正确答案：【面积，体积，弧长，瞬时速度，曲线】14、极限概念描述的是变量在某一变化过程中的。

正确答案：【终极状态】15、线性相关正确答案：【矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示】16、极极正确答案：【个数列或函数其变化趋势的终极状态。

】17、无穷小量问题反馈【教师释疑】正确答案：【极限为零的变量或者常数0。

】18、请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件。

常微分方程的大致知识点一、基本概念1. 微分方程：包含未知函数及其导数的方程。

一般形式为dy/dx = f(x, y)。

2.隐式解：由微分方程定义的函数关系，即常微分方程的解。

3.解的阶：微分方程解中导数的最高阶数。

4.初值问题：给定微分方程解及其导数在其中一点的初始条件，求解在该点上的特定解。

二、分类根据微分方程中未知函数的阶数、系数是否包含自变量，以及方程是否含有非线性项，常微分方程可以分为以下几类：1.一阶微分方程：- 可分离变量方程：dy/dx = g(x)/h(y)，通过变量分离可将方程化为两个变量的乘积。

- 齐次方程：dy/dx = f(x, y)，通过变量代换将方程化为变量分离方程。

- 一阶线性方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)，通过积分因子法求解。

- Bernoulli方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，通过变换化为线性方程求解。

2.二阶微分方程：- 齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，通过特征方程求解。

- 非齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，通过待定系数法和特解法求解。

- 常系数线性方程：d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = f(x)，通过特征方程和特解法求解。

三、解法1.变量分离法：一阶微分方程中的可分离变量方程通过将未知函数与自变量的微分分离，然后两边同时积分得到解。

2.变量代换法：一阶微分方程中的齐次方程通过将未知函数表示为新的变量，从而将方程化为分离变量方程。

3.积分因子法：一阶线性方程通过找到一个适当的函数作为积分因子，然后将方程乘以积分因子，从而使得方程左侧成为一个全微分。

4.特征方程法：二阶齐次线性方程通过设解为指数函数的形式，通过特征方程求解。

5.待定系数法：二阶非齐次线性方程通过假设特解为其中一形式的函数，然后解出系数。

第八章 常微分方程 考试内容常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 贝努利（Ber-noulli ）方程 全微分方程 可用简单变量代换求解的微分方程 可降阶的高微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二姐常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 Euler 方程 微分方程的简单应用 考试要求1. 了解微分方程及其阶，解，通解，初始条件及特解等概念。

2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。

3. 会解Ber-noulli 方程和全微分方程（数二，三不要求），会用简单的变量代换解某些微分方程。

4. 会用降阶法解下列微分方程：()()"'"',(,),(,).()n f x f x f x yy y y y ===数三不要求5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会街某限额高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7. 会解自由项多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非其次线性微分方程。

8. 会解Euler 方程（数二，三不要求）。

9. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。

重点内容和长常见题型1. 求五类典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，当然，有些方程不直接而属于我们学过的类型，此时常用的方法是将x 与y 对调或作适当的变量代换，把原方程化为我们学过的类型; 2. 求解可降阶方程；3. 求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解；4. 根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解；通常是引用物理，力学的定律，几何知识等，运用数学的工具建立微分方程与相应的定解条件（重要）。

5. 综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。

可分离变量微分方程可分离变量微分方程是一种常见的微分方程形式，它具有形式$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$。

这种方程的名称源于其可以被分离成两个单独的方程$M(x,y)dx = -N(x,y)dy$，其中$M(x,y)$ 和$N(x,y)$ 分别是关于$x$ 和$y$ 的函数。

在解决可分离变量微分方程时，我们通常使用积分的方法。

首先，我们将方程分离成两个单独的方程，然后对每个方程求解。

最后，我们将两个解组合起来，得到最终的解。

例如，考虑方程$y' + xy = x^2$。

我们可以将其分离成两个方程$y' = -xy$ 和$dx = x^2$。

对第一个方程求解得到$y = c_1e^{-x^2/2}$，其中$c_1$ 是一个常数。

对第二个方程求解得到$x = \sqrt{2}t + c_2$，其中$t$ 是时间，$c_2$ 是另一个常数。

将两个解组合起来，得到最终解$y = c_1e^{-(\sqrt{2}t + c_2)^2/2}$。

可分离变量微分方程在很多领域中都有应用，例如物理学和生物学。

它们的解决方法是经过广泛验证的，并且在许多情况下能够提供有用的信息。

在继续讨论可分离变量微分方程之前，我们需要了解一些基本概念和术语。

首先，微分方程是一种数学方程，其中有一个或多个变量的变化率是由其他变量决定的。

在本文中，我们将主要讨论一元微分方程，即只有一个未知变量的微分方程。

另一个重要的术语是积分。

积分是一种数学运算，用于计算函数的面积。

在解决可分离变量微分方程时，我们将使用积分的方法来求解方程。

现在，我们来看一个具体的例子。

考虑方程$y' - xy = x^2$。

我们可以将其分离成两个方程$y' = xy + x^2$ 和$dx = 1$。

对第一个方程求解得到$y = \frac{x^2}{2} + c_1e^{x^2/2}$，其中$c_1$ 是一个常数。