微分方程(可分离变量的微分方程)

可分离变量微分方程的意义
可分离变量微分方程（Separable Variable Differential Equation）是物体
沿某一方向移动的情况下，描述受力间相互作用产生的加速度-时间变化的一类常
见的微分方程，它具有几何和动力学的双重含义，深受科学家及数学家的喜爱。

这种微分方程式将具有可分离变量特性的函数以微分形式表示，即对函数中的
变量可以进行“分离”求解。

举个简单的例子来说，一些质点定义在直角坐标系中，在 x-y 平面中受重力影响而运动时，x、y方向上的加速度可分别由以 x 或 y 为
分离变量的函数表示。

将其积分后，就可以得到质点沿不同方向的速度及位置变化的关系式，从而可以描述出其运动规律。

可分离变量微分方程是一种常见的数学模型，大多数时间受力间变化的性质可
以被描述成可分离变量微分方程，因此具有重要的基础地位并应用广泛于物理、化学、地理学等各个领域。

此外，它还有一定的逼近性，能够更为深入地考察解析物体受力的变化特征，对理解定性及定量的物理规律具有重要的指导作用。

总而言之，可分离变量微分方程是一类特殊的微分方程，它可以用来描述复杂
的物理实验的结果，是理解物理实验结果的实用工具。

它能够准确描述某种受力间产生的变化，助力科学家们发掘科学规律、实现定量分析，从而达到更好地研究物理、化学等科学知识的目的。

可分离变量的微分方程是指可以通过分离变量的方法将微分方程转化为两个只包含一个变量的方程，然后分别对这两个方程进行积分的微分方程形式。

具体而言，可分离变量的微分方程可以写成以下形式：
dy/dx = f(x)g(y)
其中，f(x)是关于自变量x的函数，g(y)是关于因变量y的函数。

为了解这个微分方程，我们可以将dy/dx 移至方程的一边，将g(y) 移至方程的另一边，得到：
1/g(y) dy = f(x) dx
然后我们可以对两边同时积分，得到：
∫(1/g(y)) dy = ∫f(x) dx
这样就将原始的微分方程分离成两个只包含一个变量的方程，分别是关于y的方程和关于x的方程。

最后，通过求解这两个方程，可以得到原始微分方程的解析解或者特定的解形式。

需要注意的是，并非所有的微分方程都是可分离变量的微分方程，但可分离变量的微分方程是一类比较容易求解的常见微分方程形式。

可分离变量的微分方程精选
一、常微分方程
该方程由n个未知函数y（x）的n个层次拼接而成，形如：
dy/dx+p1(x)y'+p2(x)y"++pn(x)yn=f(x)
其中pi(x)（i=1，2,…,n）为p (x) 的n次可导函数，f(x)为右端函数。

2.欧拉方程
欧拉方程是一种特殊的线性常微分方程，其极限形式为：
dy/dx=f(x,y);
这里，f(x，y)为连续可导的未知函数。

3.拉普拉斯方程
拉普拉斯方程描述了变量的二阶微分的求解过程，其标准形式为：
4.高阶线性常微分方程
高阶线性常微分方程将公式拓展到包含更高次导数（如三阶及以上）的形式，其标准形式为：
常系数微分方程是m×n次方程组中m次偏微分方程组形式，其标准形式为：
其中c0,c1,…cn为常数，f(x,y)为右端函数。

方程组是m×n的多元方程组的形式，例如：
其中f1(x，y)，f2(x，y)为右端函数。

3.发展方程
发展方程是一种偏微分方程组，可求解压缩性流体流动时物质的动量、能量及密度等物理变量的变化情况。

其标准形式为：
∂ut/∂t+u∂ut/∂x+v∂ut/∂y+w∂ut/∂z=f1(x,y,z)
其中u、v、w分别表示流体的x、y、z方向的速度，t为时间；f1（x，y，z），f2（x，y，z），f3（x，y，z）为右端函数。

常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。

如无意外，本文将不包括解的推导过程。

常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：1.可分离变量的微分方程（一阶）2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利3.二阶常系数微分方程（二阶）4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉1.可分离变量的微分方程（一阶）这类微分方程可以变形成如下形式：f ( x ) d x =g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy函数可以通过同时整合两边来解决。

难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。

p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法：直接套公式：y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)多套几遍熟练就好。

伯努利方程形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x )\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x )\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu+P′(x)u=Q′(x)这是一个可以公式化的一阶线性微分方程。

常见的微分方程类型归纳微分方程是指含有未知函数的导数的方程。

未知函数是一元函数的叫做常微分方程，未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

《微积分》里面的微分方程仅限于常微分方程。

咱们所讲到的微分方程归纳为以下几类：一、可分离变量的微分方程 形如：()()dy f x g y dx= 求解方式：若是()0g y ≠，方程可化为： ()()dy f x dx g y = ,两边取积分, ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰求出积分，那么为方程的通解。

例1：2cos dy y x dx= 解：将变量分离，取得 2cos dy xdx y= 两边积分，即得 1sin x c y-=+ 那么通解为 1sin y x c =-+ 二、一阶线性微分方程形如： )()(x Q y x P dxdy =+ （1） 若0)(=x Q ，那么原方程称为一阶线性齐次方程；假设0)(≠x Q ，原方程称为一阶线性非齐次方程。

求解方式：先解原方程对应齐次方程的通解：对应齐次方程为： 0)(=+y x P dxdy （2） 分离变量，得 dx x P ydy )(-= 两边积分，得 ⎰=-dx x P ce y )( （3）（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。

常数变易法：令对应齐次方程的通解⎰=-dx x P ce y )(中的常数c 为 ()c u x =（常数变函数）则⎰=-dx x P e x u y )()(为非齐次方程(1)的通解；将⎰=-dx x P e x u y )()(代入（1）式，解得()u x 的具体函数表达式，即求出（1）式的通解。

例2：求微分方程x xy y =-'2的通解解：对应齐次方程为： 20y xy '-=分离变量，得 12xdx dy y= 两边取积分，得 12 xdx dy y =⎰⎰解得：22211x c c x x y e e e ce +=±=±⋅=令 ()c u x =那么 ()2x y u x e =为原方程的通解，带入原式。