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2-1.什么叫材料的本构关系？在上述的本构关系中，土的强度和应力-应变有什么联系？ 答：材料的本构关系是反映材料的力学性质的数学表达式，表现形式一般为应力-应变-强度-时间的关系，也成为本构定律，本构方程。
土的强度是土受力变形发展的一个阶段，即在微小的应力增量作用下，土单元会发生无限大或不可控制的应变增量，它实际上是土的本构关系的一个组成部分。
2-7什么是加工硬化？什么是加工软化？请绘出他们的典型的应力应变关系曲线。
答：加工硬化也称应变硬化，是指材料的应力随应变增加而增加，弹增加速率越来越慢，最后趋于稳定。
加工软化也称应变软化，指材料的应力在开始时随着应变增加而增加，达到一个峰值后，应力随应变增加而下降，最后也趋于稳定。
加工硬化与加工软化的应力应变关系曲线如右图。
2-8什么的是土的压硬性？什么是土的剪胀性？答：土的变形模量随着围压提高而提高的现象，称为土的压硬性。
土的剪胀性指土体在剪切时产生体积膨胀或收缩的特性。
2-9简述土的应力应变关系的特性及其影响因素。
答：土是岩石风化形成的碎散矿物颗粒的集合体，通常是固、液、气三相体。
其应力应变关系十分复杂，主要特性有非线性，弹塑性，剪胀性及各向异性。
主要的影响因素是应力水平，应力路径和应力历史。
2-10定性画出在高围压（MPa 303<σ）和低围压（KPa 1003=σ）下密砂三轴试验的v εεσσ--)(131-应力应变关系曲线。
答：如右图。
横坐标为1ε，竖坐标正半轴为)(31σσ-，竖坐标负半轴为v ε。
2-13粘土和砂土的各向异性是由于什么原因？什么是诱发各向异性？答：粘土和砂土的各向异性是由于其在沉积过程中，长宽比大于1的针、片、棒状颗粒在重力作用下倾向于长边沿水平方向排列而处于稳定的状态。
同时在随后的固结过程中，上覆土体重力产生的竖向应力与水平土压力大小不等，这种不等向固结也造成了土的各向异性。
诱发各向异性是指土颗粒受到一定的应力发生应变后，其空间位置将发生变化，从而造成土的空间结构的改变，这种结构的改变将影响土进一步加载的应力应变关系，并且使之不同于初始加载时的应力应变关系。
Unit ThreeSentence Paraphrase and Language Study1. My husband moved into our houses as is the way with us in Esarn. (1)“As” introduces a defining relative clause and functions as its subject, representing what is stated in the main clause.Paraphrase: (When we got married) my husband came to live in our house. It was the tradition here in Esarn that the bridegroom should come to live with the bride’s family.Examples: 1) As is known to all, Taiwan belongs to China. (as—subject of the clause)2) As is often the case, girls learn a language more quickly than boys. (as—subject of the clause) 2.Two died in infancy.infancy: n. a. early childhood; b. early stage of development or growthExamples:1) In the past, many children died in infancy. 2) He came to England in his infancy.1)The research stretched from the infancy of radio broadcasting through to today.2)Genetic engineering is still in its infancy.3. The rest, two boys and two girls, went away as soon as we could afford to buy jeans for them. Paraphrase: Our other children—two boys and two girls—left as soon as we had the money to buy them jeans.Examples:1) Y our father, a proud and unbending（固执的）man, refused all help that was offered him.2)Playing football, his only interest in life, brought him many friends.3) A dry lightning storm, that is, a thunderstorm without rain, started a fire in a remote part of the forest in August.afford: v. a. to have enough money/time to do sth. b.(with can/could) to run a risk by doing sth.c. (fml.) to provide; giveafford a new car afford this high price afford the rent afford a clue toafford a chance afford a pleasant shade (can’t) afford to neglect one’s work4.They come home to see us now and then. now and then: now and again; occasionally Examples: 1) Now and then we heard shots in the woods.2)He loses his temper now and then, but not often. 3)I hear from him every now and then. Phrases with similar structure:here and there处处，到处up and down上上下下，起伏地，来回地，详尽地ups and downs盛衰，浮沉the ins and outs种种复杂详情back and forth来来回回地5.Sometimes they get bullied and insulted, and it is like a knife piercing my heart.bully: v. a. to threaten to hurt someone or frighten them, especially someone smaller or weaker; b. to put pressure on someone in order to make them do what you wantExamples: 1) The child was bullied almost out of its life.2)Don't let them bully you into working on Saturdays.More meanings:a local bully土豪play the bully横行霸道，恃强欺弱 a bully idea绝妙的主意a bully good dinner极其丰盛的饭菜Bully for you!干得好！bullyboy（受人雇佣且尤指与政治集团有关的）流氓，打手insult: v. to offend someone by saying or doing something they think is rudeExamples:1) I hope Andy won't be insulted if I don't come. 2) She insulted him by calling him a coward. 3) Y ou insult my intelligence with your crude methods! (= to say or do something that suggests you think someone is stupid)pierce:v. a. to make a small hole with a sharp point; b. (of cold, pain, sound) to force a way into; c. to force a way through somethingExamples: 1)She had her ears pierced in order to be able to wear earrings.2)Her shrieks pierced the silence. 3) Her memories sometimes pierced her heart.4) Our forces pierced through the enemy’s lines.6. He has always been patient and silent, minding his own life.Paraphrase: He’s always been patient and talks little. He just does his duty and carries on his life. mind one’s own…:to take care of one’s…Examples:1)Will you mind my bag while I buy my ticket? 2)I was minding my own work when he rushed in.3)My father was just driving along, minding his own business, when suddenly a brick camethrough the window.“mind” phrases:mind one’s own business别管闲事mind one’s own p’s and q’s注意举止言行mind one’s manners注意举止行为mind your footing小心，站稳了mind your back当心；让开Mind how you go.（道别时说）您慢走。
普通高中课程标准实验教科书—物理（选修3－5）[人教版]第十六章动量守恒定律新课标要求1．内容标准（1）探究物体弹性碰撞的一些特点。
知道弹性碰撞和非弹性碰撞。
（2）通过实验，理解动量和动量守恒定律。
能用动量守恒定律定量分析一维碰撞问题。
知道动量守恒定律的普遍意义。
（3）通过物理学中的守恒定律，体会自然界的和谐与统一。
16．1 实验：探究碰撞中的不变量★新课标要求（一）知识与技能1、明确探究碰撞中的不变量的基本思路．2、掌握同一条直线上运动的两个物体碰撞前后的速度的测量方法．3、掌握实验数据处理的方法．（二）过程与方法1、学习根据实验要求，设计实验，完成某种规律的探究方法。
2、学习根据实验数据进行猜测、探究、发现规律的探究方法。
（三）情感、态度与价值观1、通过对实验方案的设计，培养学生积极主动思考问题的习惯，并锻炼其思考的全面性、准确性与逻辑性。
2、通过对实验数据的记录与处理，培养学生实事求是的科学态度，能使学生灵活地运用科学方法来研究问题，解决问题，提高创新意识。
3、在对实验数据的猜测过程中，提高学生合作探究能力。
4、在对现象规律的语言阐述中，提高了学生的语言表达能力，还体现了各学科之间的联系，可引伸到各事物间的关联性，使自己溶入社会。
★教学重点及难点本节教学重点是实验方案的设计与筛选;难点是通过实验数据的分析得出物体碰撞前后的不变量.★教学方法教师启发、引导，学生自主实验，讨论、交流学习成果。
★教学用具：投影片，多媒体辅助教学设备；完成该实验实验室提供的实验器材，如气垫导轨、滑块等★课时安排1 课时★教学过程（一）引入新课师：之前，我们分别从动力学的角度、能量的角度研究了物体的运动规律，从今天开始我们将从另一个角度来学习研究物体运动规律的方法，也就是动量。
这节课我们就来学习第十六章第一节实验：探究碰撞中的不变量。
师：提到碰撞现象，不但生活中到处可见，大到宏观天体之间、小到微观粒子之间也同样存在着碰撞。
樱桃还原糖测定-3,5－二硝基水杨酸比色法(DNS法)一．原理3,5－二硝基水杨酸与还原糖共热后被还原成棕红色的氨基化合物，在一定范围内，还原糖的量与反应液的颜色强度成比例关系，利用比色法可测知样品的含糖量。
此法是半微量定糖法，操作简便、快速，杂质干扰较少，是一种很好的糖定量测定方法。
二．试剂1. 3,5－二硝基水杨酸试剂（DNS试剂）先配置1% 3,5－二硝基水杨酸溶液；A液：溶解6.9 g结晶酚（苯酚）于15.2 mL 10％氢氧化钠中，并用水稀释至69 mL，再向此溶液中加入6.9 g亚硫酸氢钠；B液：称取255 g酒石酸甲钠，加到300 mL 10％氢氧化钠中，再加入880 mL 1％3,5－二硝基水杨酸溶液；将A液和B液相混合即得黄色的DNS试剂，保存于棕色试剂瓶中，在室温下放置7~10天后使用，保存期为两个月。
2. 葡萄糖标准曲线配制准确称取100 mg分析纯的葡萄糖（预先在105℃干燥至恒重），用少量蒸馏水溶解后定容至100 mL，保存于冰箱备用。
将1 mg/mL 葡萄糖标准溶液用蒸馏水按照下表进行稀释：三．样品制备和测定将樱桃果肉匀浆后，取约0.08 g的匀浆，加入4 mL蒸馏水混匀后静置进行提取，离心收集上清液备用。
将0.2 mL各浓度的葡萄糖标准溶液或（0.15 ml稀释至合适倍数的样品溶液）与0.15 mL DNS试剂混匀，沸水浴中加热5 min后立即用流动冷水冷却，加入2.15 mL蒸馏水（样品液加水7.2 ml）后测定OD520 nm。
以OD520 nm值为横坐标，以葡萄糖浓度为纵坐标，绘制标准曲线。
（1）标准曲线：以1为例：取了0.2 ml稀释好的葡萄糖溶液，含糖质量0.02 mg，待测液总体积2.5 ml，葡萄糖液浓度为0.008 mg/mL，对应OD值。
OD值对应的是待测液中葡萄糖的浓度。
（2）待测液总糖含量：Y=kX+b。
Y：反应液样品的浓度。
Y*7.5：7.5ml反应液样品的总糖质量。
BSMJ-0.45-30-3电容器BSMJ-0.45-30-3电容器引言：B:代表系列型号,以它作为产品型号的开头是为了让客户更好的区分电容器的功能,这里的B代表"并联", 还有M代表"储能", C代表"串联".S:代表浸渍剂代号,这里的S表示"微晶蜡",还有Z代表"菜籽油",G代表"硅油",其中最常见的还是微晶蜡和菜籽油,市场上使用率最高的还是应当是微晶蜡介质的电容器.MJ:代表介质代号,这个就没什么好说的,基本都一样都是代表金属化聚丙烯薄膜.0.45:代表额定电压,这里的单位是KV,5KV以下的电容器都算是低压电容器,10KV以上的电容器属于高压电容器.30代表额定容量,单位是Kvar,电容量可选的范围一般在1~50,如果对电容容量不了解,可以致电厂家上海昌日电子科技有限公司3:代表相数,就是火线接电柱的数量,一般电压小一点的是都使用单相(1相),电压大一点的都是使用三相(3相),也有特殊的是使用分相(3YN）壹，BSMJ-0.45-30-3电容器适用范围1.1 0.4 系列自愈式低电压并联电容器，适用于标准电压为380V 的低压配电系统，以提高功率因数，降低线路损耗，改善电压质量。
1.2 0.45 系列自愈式低电压并联电容器，适用于标准电压为380V，但电压波动大，或电压偏高的低压配电系统，尤其适宜石油、水泥、冶金等行业，以提高功率因数，减少线损，改善电压质量。
贰，BSMJ-0.45-30-3电容器型号含义B S MJ-0.45-30-3相数额定容量30(KVAR)额定电压（KV）450V介质代号（金属化聚丙烯薄膜）浸渍剂代号（S为石蜡）系列代号（并联电容器）叁，BSMJ-0.45-30-3电容器技术参数表符合标准：GB12747-97，IEC60831-01符合标准：GB12747-2004型号BSMJ-0.45-30-3制造商上海昌日电子科技有限公司额定电压：0.23，0.4，0.415，0.45，0.525，0.69及1.14kV；BSMJ并联电容器外形单元为矩形、椭圆形或圆柱形金属外壳主要作用用于电网提高功率因数，减少无功损耗改善电压质量。
一、单项选择题1、一般来说，典型的机器设备的构成部分中，不包括（）。
A、原动机部分B、传动部分C、工作部分D、人工部分您的答案：D正确答案：D 得分：3.0 分【答疑编号10989259，点击提问】解析：一般来说，典型的机器设备主要是由原动机部分、传动部分、工作部分和控制部分构成。
2、企业的生产经营情况内容不包括（）。
A、企业产品的市场情况和销售情况B、企业生产经营历史数据C、企业的生产能力D、企业的经营成果您的答案：B正确答案：C 得分：0.0 分【答疑编号10989280，点击提问】解析：企业的生产经营情况内容主要包括：①企业产品的市场情况和销售情况；②企业生产经营历史数据；③企业的经营成果。
注意企业的生产能力和企业的生产经营情况同属于宏观调查的内容。
3、在分结构鉴定机器设备新旧程度的基础上，再采取（）的方法计算其总体新旧程度。
A、算术平均B、加权平均C、汇总求和D、取最大值您未做该题正确答案：B 得分：0.0 分【答疑编号10989291，点击提问】解析：在分结构鉴定机器设备新旧程度的基础上，再采取加权平均的方法计算其总体新旧程度。
4、使用替代产品的现行市场价格作为老旧机器设备更新重置成本时，评估人员不需要了解新老产品在（）的差异。
A、性能上B、技术上C、材料上D、所有权上您的答案：C正确答案：D 得分：0.0 分【答疑编号10989308，点击提问】解析：对一些老旧机器设备，制造厂家可能已经停产多年，往往无法查到现行市场价格，对这一类机器设备，我们可以使用其替代产品的现行市场价格作为其更新重置成本。
但使用这种方法，评估人员应注意了解新老产品是否存在性能上、技术上、材料上的差异。
5、评估某企业4年前购建的家用电器生产线，其年产量为15万台，目前市场上同类新型生产线价格为200万元，其设计生产能力为20万台/年，规模经济效益指数为0.8，该生产线的重置成本为（）万元。
A、158.88B、160.21C、172D、174您未做该题正确答案：A 得分：0.0 分【答疑编号10989355，点击提问】解析：被评估设备的重置成本＝参照物的重置成本×（被评估设备的产量/参照物设备的产量）^x＝200×（15/20）^0.8＝158.88（万元）6、在评估一辆汽车时，从市场上获得与被评估对象情况基本相同的参照物，不同的是，参照物的前灯破损需更换，费用约为300元；被估车辆后装音响一套，价值1000元。
在生物化学和分子生物学领域中，3'-5'外切酶和5'-3'外切酶是两种重要的酶类，它们在DNA和RNA的修复、复制和转录过程中起着关键作用。
下面将从深度和广度两个方面，对这两种外切酶进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章，让您能更全面、深入地理解它们的作用和意义。
一、3'-5'外切酶1. 3'-5'外切酶的定义和作用3'-5'外切酶是一种在DNA和RNA修复过程中起着重要作用的酶类。
它能够在DNA或RNA链上识别和切除3'端的核苷酸，从而修复受损的分子。
这种酶在保护细胞免受DNA和RNA损伤方面起着至关重要的作用。
2. 3'-5'外切酶的作用机制当DNA或RNA链上出现损伤时，3'-5'外切酶会识别并结合到这些损伤的位置。
它会从3'端开始切除受损的核苷酸，直到达到未受损的区域。
这个切除的过程能够有效修复DNA或RNA链上的错误和损伤，保证细胞正常的生物学功能。
3. 3'-5'外切酶的重要性对于细胞的正常功能和生存，3'-5'外切酶是至关重要的。
它能够及时、有效地修复DNA和RNA链上的损伤和错误，保护细胞不受外界环境和内部代谢过程的影响。
研究和理解3'-5'外切酶的作用机制对于疾病治疗和基因编辑等领域具有重要意义。
二、5'-3'外切酶1. 5'-3'外切酶的定义和作用与3'-5'外切酶类似，5'-3'外切酶也是一种在DNA和RNA修复过程中起着重要作用的酶类。
它能够在DNA或RNA链上识别和切除5'端的核苷酸，帮助细胞完成对分子的修复和保护。
2. 5'-3'外切酶的作用机制5'-3'外切酶同样会识别和结合到DNA或RNA链上出现的损伤位置。
技能训练3-5将产品特点转化为客户利益以梦洁家纺“加州阳光”四件套为研究对象，根据表3-12中所涉及的内容，对企业产品或服务的特点进行分析。
然后通过采用适当的话术，将企业产品或服务的特点转换为客户利益，并说明相应的理由及给出必要的分析结论如表3-12所示。
表3-12 将企业产品或服务的特点转化为客户的利益技能训练3-6通过探询引导客户需求请先阅读下面的对话，然后根据表3-13中所列的提示对该案例进行分析，最后将相关的分析结果填入表3-13。
陈东是一个网站的电话销售人员，他所销售的产品是中文掌上电脑。
一天，一个客户打电话给他，客户想购买XOX掌上电脑。
可遗憾的是，他们不销售这种产品。
但是，客户最终购买了另外一个牌子的产品。
陈东是如何做的呢？销售人员：您好，我是陈东，请问有什么可以帮助您的吗（问候）？客户：我想咨询一下你们的掌上电脑。
销售人员：首先谢谢您打电话进来，我可以请教您几个问题吗（征求客户同意提问问题）？客户：可以，讲。
销售人员：请问怎么称呼您呢？客户：我姓张。
销售人员：张先生，您这是第一次购买掌上电脑，还是以前有过使用的经历呢？（开始探询需求。
对于高科技产品，并不是所有人都有购买经验。
有购买经验和没有购买经验的人在购买时的心理活动往往不太一样。
有购买经验的客户往往清楚自己想要什么产品，而没有购买经验的客户往往不太清楚自己想要什么产品，也就是他对自己的需求可能并不是很清楚，他可能看不到或想象不到他使用这个产品时的状况。
所以，有时会买下并不适合他的产品。
）客户：第一次。
销售人员：哦，第一次的话，那就应该好好选择一下。
您心中有没有一个比较合乎您心意的品牌和型号？客户：我想买一个XOXV。
销售人员：XOXV，不错。
以前有不少人买这种型号，您觉得它什么地方合乎您的要求（心里知道：他们并没有XOX销售。
但他如果直接告诉客户，客户可能会挂掉电话。
而陈东知道，根据他的经验，客户第一次购买类似产品，往往自己都不很清楚需求。
3个5等于10奥数题
以下是5道3个5等于10的奥数题及其答案：
1.题目：(5 + 5) / 5 = ?
答案：2。
这个表达式的结果是2，不是10。
2.题目：5 + 5 - 5 = ?
答案：5。
这个表达式的结果是5，不是10。
3.题目：5 * 5 / 5 = ?
答案：5。
这个表达式的结果是5，不是10。
4.题目：(55 - 5) / 5 = ?
答案：10。
这个表达式的结果是10。
5.题目：55 / 5 - 5 = ?
答案：6。
这个表达式的结果是6，不是10。
乘、除等基本运算。
在解题过程中，学生需要注意运算的优先级和括号的使用，以确保计算结果的准确性。
同时，这些题目也提醒学生，在解决数学问题时，要仔细阅读题目，确保理解问题的要求和条件，以避免误解和错误。
从三撇端到五撇端的例子
dna复制的方向是从5撇端开始到3'端。
由于DNA聚合酶只能以
5'→3'方向聚合子代DNA链，因此两条亲代DNA链作为模板聚合子代DNA链时的方式是不同的。
以3'→5'方向的亲代DNA链作模板的子代链在聚合时基本上是连续进行的，这一条链被称为领头链（前导），而以5'→3'方向的亲代DNA链为模板的子代链在聚合时则是不连续的，这条链被称为随从链（滞后链）。
DNA的一条单链有两个端点。
分别叫做“3撇端”和“5撇端”。
DNA转录的时候是从“5撇端”到“3撇端”的。
从5‘到3’即表示DNA转录的方向。
DNA复制过程中，两条新生链都只能从5'端向3'端延伸，前导链连续合成，滞后链分段合成。
这些分段合成的新生DNA片段称冈崎片段。
例如：具有5’-CpGpGpTpAp-3’顺序的单链DNA应该是与5’-UpApCpCpGp-3’的RNA杂交而不是和5’-GCCAU-3’的RNA杂交造成这个的原因就是因为冈崎片段冈崎片段相对比较短
的DNA链。
细菌冈崎片段长度1000-2000核苷酸，真核生物冈崎片段长度100-200核苷酸。
2.1 可分离变量型方程的解法[教学内容] 1. 介绍导数、不定积分公式表及其意义; 2.介绍求导和求不定积分的法则; 3. 引入齐次方程的概念及其求解方法; 4. 介绍其他可分离变量型方程及其解法.[教学重难点] 重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程. [教学方法] 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 [考核目标]1. 会熟记、记准导数公式和积分公式;2. 知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分;3. 知道齐次方程的形式)xyf (dx dy =，并会用变换x y u =，将原方程化为变量可分离型方程; 4. 知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法; 5. 知道如何将函数方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解.1. 导数公式和积分表的意义小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。
大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180 列表）练习17. （1） 合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式.（2）双曲正弦2e e sh x x x --=，双曲余弦2e e ch x xx -+=，(有的教材用sinh x 和 cosh x 表示). 证明：1x sh x ch ch x,(sh x)' sh x,(ch x)'22=-==.2. 求导法则和积分法则碰到的函数成千上万，不可能记住所有这些函数的导数(积分)公式，但你要会将这些函数的导数（积分）转化为上面基本初等函数的导数（积分）来算，这就要知道求导（积分）法则. 对于一元函数f(x)y =而言，可导性和可微性是等价的，(x)' f dxdy=(x)dx ' f dy =⇔，导数也称为微商，原因是(x)' f 是y 的微分与x 微分的商. 下面就给出求导、求微分、求积分法则. 设g(x) v f(x),u ==均可导，则 (x)' g (x)' f g(x))'(f(x)+=+, dv du v)d(u +=+； 相应（1）⎰⎰⎰+=+dv du v)d(u ; (x)' g )f(x (x)g(x)' f g(x))'(f(x)+=⋅, dv u du v v)d(u +=⋅；于是相应地有（2）⎰⎰⎰+=⋅dv u du v v)d(u ;(x)g' (g(x))' f (g(x)) (f dxd=，g(x) v dv, )v ('f d(f(g(x)))==；于是相应地有（3）⎰⎰⎰==(x)dx g' (g(x))' f dv (v)' f d(f(g(x)))（从左往右，从右往左，不同思路,都要会）例18. 求下列积分 (a) ⎰+++=6)5x (x 3)dx (2x I 21; (b) ⎰-++=221))(x 1(x 3)dx(2x I ; (3) 教材P32例3.解：(1) (a) 记=f(x)3)2)(x (x 3)(2x 6)5x (x 3)(2x 2+++=+++，将f(x)分解为简单分式的和: 3x B 2x A f (x)+++=, 其中,13x 32x A 2x -=++=-= 32x 32x B 3x =++=-=， 于是， C |2x |ln |3x |3ln dx 3x 3dx 2x 1I 1++-+=+++-=⎰⎰. (b) 记=g(x)21))(x 1(x 3)(2x -++，23211)(x A 1x A 1x A g(x)-+-++=，其中 ,4/11)(x 32x A 1x 21=-+=-= ,2/51)(x 32x A 1x 3=++== 系数2A 确定如下，取x=0(不同于-1,1)，则15/21A 11/43g(0)2+-+==，解得1/4A 2-=. 因此，C 1)(x 125|1x |ln 41|1x |ln 41I 2+----+=. 例19. 求下列积分(a) ⎰=dt ln t t I 3; (b) ⎰=dt sin t t I 4; (c) ⎰=dt et I ta 5.(2)解：(a)C 4t -ln t 2t dt t 12t -ln t 2t ln t) d(2t -ln t 2t /2)d(t ln t I 22222223+=⋅===⎰⎰⎰.(b) ⎰⎰=-==...d(sin t)2t sin t 2t )2t d(sin t I 2224 此路不通！⎰⎰⎰++=+-=--==C sin t t cos -t tdt cos t cos t t)d(t)(-cos t)cos t( t)d(-cos t I 4.(c) 作为练习.例20. 求下列积分(a) ⎰+++=3/2266)3x (x 3)dx(2x I ; (b) ⎰-=dx x 1I 27. 解：(a) 令 3)dx,2x (dv 6,3x x v 2+=++=于是有 C 2v C v 13/21dv v v v d I 1/213/23/23/26+-=++-===-+--⎰⎰. (从右往左) (b) 令dt t cos dx sin t,x ==， 于是有C 42tsin 2t 4d(2t)2t cos dt 21dt 22t cos 1 tdt cos t cos I 7++=+=+==⎰⎰⎰⎰. 作业18. 求下列方程的通解.(1) 21)2)(x (x 1)(x dx dy -++=; (2) 22x11)x(y dx dy -+=; (3) 2x 2e 1x x dx dy -++=; 3. 可分离变量型方程形式、齐次方程形式及其求解方法 （1）可分离变量型方程形式：(y)f (x)dxdyϕ=，其中(y) f(x),ϕ连续. 求解方法：(1) 求出0(y)=ϕ的根0y y =，常函数 0y y =也是方程的解； (2) 0(y)≠ϕ, 分离变量f(x)dx (y)dyf(x)dx,(y)dy ⎰⎰==ϕϕ. 例21. 求解下列方程：(a)2y 1dx dy -=; (b) y ln y dx dy =; (c) cot xytan dx dy =. 解：(a) 令2y 1-=0，得到1y ±=；当0y 12≠-时，原方程改写为,dx y1dy dx,y1dy 22⎰⎰=-=-于是，C)sin(x y C,x y arcsin +=+=为所求的通解，此外，1y ±=也是方程的解. (b) y ln y 的定义域为0}{y >，令y ln y =0，得到1y =. 当0y ln y ≠时，C x |y ln |ln ,dx yln y dydx,y ln y dy +===⎰⎰即为所求通积分，另外1y =也是方程的一个解.(c) 令0y tan =，解得Z k ,k πy ∈=. 当0y tan ≠时，⎰⎰=== xcos sin xdxy sin ydy cos , x cos sin xdx y sin ydy cos ,cot x dx y tan dy ， 于是得到 C e C ~, xcos 1C ~y sin C,| x cos |ln |y sin |ln =±=+-=为所求的通积分，另外， Z k ,k πy ∈=也是方程的解.作业19. 求解如下方程：)y x(1dxdyy2-=. (2) 齐次方程的形式及其解法 称形如⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 为齐次方程，解法如下：令dx du x u dx dy ux,y ,x y u +===，于是新方程为xu f (u)dx du-=，这是可分离变量型方程. 例22. 求解方程(a)x y tan x y dx dy +=;(b) 0 x y,xy 2dxdy x <=+. 解：（a) 令 u tan u dxdux u dx dyux,y ,x y u +=+===，于是u tan dx du x =. 令0u tan =，解得Z k ,k πu ∈=.当0y tan ≠时，⎰⎰===xdxu sin udu cos ,x dx u sin udu cos ,x dx u tan du ， 于是C |x |ln |u sin |ln +=. 返回原变量得到，C |x |ln |xysin |ln +=.另外Z k x,k πy ∈=也是方程的解.(b) 改写原方程为xy x y 2dx dy =-，这是个齐次方程. 令 u 2u dxdux u dx dy ux,y ,x y u +=+===，即u 2dx du x =.当0u ≠时，x dx u 2du =，C |x |ln u ,x dxu2du +==⎰⎰，返回原变量得到， C |x |ln xy+=为所求的通积分. 另外， u=0对应的 y=0也是方程的一个解. 例23. 求解方程(a)y x y x dx dy +-=; (b) 3-y x 1y x dx dy ++-=. 解：(a) 这是改写为齐次方程y/x1y/x1dx dy +-=，令 u 1u 1dx du x u dx dy ux,y ,x y u +-=+===，即u 1u -2u 1dx du x 2+-=. (i) 令0u -2u 12=-，解得212442u =-+±-=. (ii) 当0u -2u 12≠-时，⎰⎰=-+=-+x dxu -2u 1u)du 2(2-21- ,x dx u -2u 1u)du (122， 于是-2C |x |2ln |u -2u 1|ln C,|x |ln |u -2u 1|ln 21- 22=+-+=-， 得到 2C22e)u -2u 1(x ±=-，返回原变量得到，原方程的通积分为2C 22e C ~,C ~ y 2xy x =±=--为任意正实数. 另外，21u =对应两条直线)x 21(y =也是方程的解.(b) 通过线性变换可以将原方程化为(a)的情形. 具体做法(参见教材P38例7. )作业20. 教材P42 习题1（6）、（9）； 教材P43习题2 (3)、(7). （3）常见可经变量替换化为可分离变量型方程例25. 求解下列方程：(a) yx e x y dx dy =+; (b) 2y x 5y x dx dy --+-=; (c) 2522336y 3y y 3x x 012xy 2x dx dy --+-=.解：(a) 令dx dy x y dx dv y,x v +==，改写原方程为y x e x y dx dy x =+，于是，v e x dxdv=. (以下略)(b) 令v7v 7v 1dx dy 1dx dv2,y x v -=+-=-=--=，新方程为.v 7dx dv -=. (以下略) (c) 改写方程为2y x 5y x 2xdx dy 3y 32322--+-=，令23xv ,y u ==，新方程为2v u 5v u dv du --+-=. 注解：更多通过变换化为可分离变量型方程的例子（参见教材P38第一段，P43习题3.）4. 应用题例26. 探照灯反射镜面的形状设计问题（参见教材P41 例9） 思路：（1） 将三维空间曲面约化为平面曲线；（2）建立坐标系，将曲线放在坐标系内，讨论曲线的方程；（3）根据设计要求建立曲线的微分方程；（4）方程求解参见例24.例27. 物体在空气中下落与特技跳伞假设质量为m 的物体在空气中下落，空气阻力物体速度的平方成正比，比例系数为k>0. 以铅直向下直线为正向，建立坐标轴x 轴，记x(t)表示时刻t 时2物体的位置，则由牛顿第二定律有2x k g m xm -=，引入速度x v =，则v 满足的方程为2 v mkg dt dv -=. 先考虑特技跳伞问题，假设跳伞员开伞前阻尼系数为1k ，开伞后阻尼系数为12k k >>，在给定高度1T 00T ,f(t)dt H 1⎰=为落地时间，如何掌握开伞时间T 使得降落时间1T 最小且有安全的降落速度1v 这是一个有趣的数学问题.（参见 丁同仁、李承治《常微分方程教程》 P27例3）例24. 求解方程22yx x ydx dy ++=. 解：(1) 当x>0时，改写为2y/x)(11y/xdx dy ++=.令 2u 11u dx du x u dx dy ux,y ,x y u ++=+===，即22u 11u 1u dx du x +++-=. (i) 当u 0>时，⎰⎰-=+++-=+++x dxu1u )du u 1(1 ,x dx u 1u )du u 1(12222. )1u 1u 1-ln(u ln 1u 1)u 1d(-u ln 1u 1u du u ln u 1u du u du 22222+++=++=++=++⎰⎰⎰⎰+C于是，C ln x )u 1ln(-12-=+++，返回原变量得到C )y x ln(-x 22-=++，-C 22e C ~ x,C ~y x =+=+，化简得到 x.C ~2C ~y 22+=(ii) 当u 0<时，⎰⎰-=+++-=+++x dxu1u )du u 1(1 ,x dx u 1u )du u 1(12222. )1u 1u 1ln(u) ln(-1u 1)u 1d(u) ln(-1u 1u du -u ln u 1u du u du 22222+++=++=++=++⎰⎰⎰⎰+C ， 于是，C ln x )u 1ln(-12-=+++，返回原变量同样得到 x.C ~2C ~y 22+= (iii) 当u=0时，y=0也是方程的一个解. (2) 当x<0时，改写为2y/x)(11y/xdx dy +-=. 令 2u 11u dx du x u dx dy ux,y ,x y u +-=+===，即22u11u 1u dx du x +-+=. (i) 当u 0>时，⎰⎰=++-=++-x dxu 1u )du u 1(1 ,x dx u 1u )du u 1(12222. )1u 1u 1ln(u ln 1u1)u 1d(-u ln 1u1u du u ln u 1u du u du 22222++--=++-=++-=++-⎰⎰⎰⎰+C, 于是，C x)ln(-)u 1ln(1-2-=-++，返回原变量得到C )y x ln(-x 22=++，C 22e C ~ x,C ~y x =+=+，化简得到 x.C ~2C ~y 22+=(ii) 当u 0<时，⎰⎰=++-=++-x dx u 1u )du u 1(1 ,x dx u 1u )du u 1(12222. )1u 1u 1ln(u) ln(-1u 1)u 1d(u) ln(-1u1u du u) ln(-u 1u du u du 22222++--=+--=++-=++-⎰⎰⎰⎰+C ， 于是，C ln x )u 1ln(-12=+++，返回原变量同样得到 x.C ~2C ~y 22+= (iii) 当u=0时，y=0也是方程的一个解.综上知，原方程的通解为 x C ~2C ~y 22+=，其中C ~为任意正实数，此外y=0也是一个解.作业21. 教材P43 习题6.作业22. 跟踪问题：设某人A 从xoy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进，同时某人B 从(0, b)开始跟踪A ，且B 与A 永远保持等距b, 试求B 的光滑运动轨迹. (参见百度搜素： 曳物线(tractrix))。
