D2-8子群

易知H i S（i 1,2,3,4 , ） 3 显然S3 H1 H 2 H 3 H 4 .
这表明：群有可能表成三个或四个真子群的并.
下面介绍一种找一个子群的一般方法.
二、生成子群
定理4：
设S是群G的一个非空子集，令A表示G的包含S的所有 子群的集合：A { H | H G，S H }，那么 (1) 令K ( 2) S K; ( 3) 对于G的任一个子群N , 只要S N , , 则K N; ( 4)
同理可以验证：三次交 错群A 3 {(1), (123), (132)}， 有A 3 S 3 .
例4 模6剩余类加群Z6 {[0],[1],[2],[3],[4],[5]} ， 令H1 {[0],[2]， ]} H 2 {[0],[3]}. [4 ，
可知：H1 Z6，H2 Z6 .
一个群能否表示成它的 三、四个真子集的并集 ？
例5 设K 4 （） 12 (34), (13)(24), (14)(23)}, 则易知 { 1（ ） , K 4 是群。即K 4 S4
现令H1 （） 12 ( 34)}, H 2 {(1), (13)(24)}, { 1（ ） , H 3 {(1), (14)(23)},
由(iii ),
a(b 1 )1 ab H.
证完
定理3： （有限子群的判定定理）
一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的 充分而且必要条件是： , b H ab H . a
证明：必要性是显然的；
(充分性)：
因为H是有限集合，
只需证明，若 适合以上条件， 就适合群定义的条件 II，III. H H I，

这说明子群 中的单位元就是母群 的单位元。 H G
子群的性质2
设H G，a H , 那么若a在G中的逆元为aG1 , a在H中的逆元为a H1 , 则aG1 a H1 .
证明： aa e
aaG1 aaH1 1 aaH e
证完
说明：子群的交不空还是子群.
设{ H i | i I }是G的子群的任意集合，同 理可证，
iI
H i 是G的一个子群.
思考题2：
若H1，H 2都是G的真子群，那么“ H1 H 2 ” G 有可能成立吗？
注意：子群的并一般不再是子群.
事实上，设H1，H 2 是G的两个子群，
取h1 H1 \ H2 , h2 H2 \ H1 , 则有h1h 2 H 1 H 2 .
1 G
a a
1 G
1 H
(由消去律）
定理1（子群的判定定理1）
一个群G的一个非空子集H作成G的一个子群 的充分必要条件是： (i ) a, b H ab H (ii ) a H a 1 H .
证明：必要性（ ） 假如H是一个子群，
(i ) 显然成立；
（ii） 由上述性质2恰说明（）成立. 2
但H G (a) x a k , k Z .
而由子群的性质知 a
k
H.
这说明存在正整数 使a m H， m
于是可证H (a n ).
事实上，a H .
t
那么t nq r ,0 r n
若r 0, 则a a
r
t nq
a (a ) H .
由(ii )，H有元a 1 ,
提示：), (ii )两个条件也可以用一个 (i 条件来代替.
定理2： （子群的判定定理2）
一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的 充分而且必要条件是： (iii) a, b H ab -1 H
证明： 先证明，), (ii )成立 (iii )成立. (i
也就是说，K 4可以由a , b, c中任意两个元素生成， 但不可能由一个元素生 成，即K 4不是循环群.
四、循环群的子群： 结论2： 循环群G (a)的子群H也是循环群 .
证明：若H {e} ，
则H (e )，即H自然是由e生成的循环群.
若H {e} 而 H x H . ，
若令e 1 , a 12 (34), b (13)(24), c (14)(23) （） （ ）
那么a 2 b 2 c 2 e, 且ab ba c, ac ca b, bc cb a,
这说明：K 4 (a, b) (a, c ) (b, c ).
另外，显然G G， 所以G一般至少有两个子群，统称它们为G的平凡子群。 如果G除了平凡子群外还有其 他子群，就称这些子群 为G的真子群，记为H G .
例2 Z为整数加群，而一切偶 数构成的集合 2Z {， 4， 2， 2， }关于Z的加法也构成一个群. 0， 4，
一般有，m Z, mZ Z. 即： Z. 2Z 例3 设三次对称群G {S 3 } {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} ， H {(1), (12)}.那么H S 3 .
I.就是所给的条件，显然 ；
II ，II I在G里成立，在H里也一定成立.
证完
思考题1：
若H1，H 2都是G的子群，那么“H1 H 2 ” 中有可能成立吗？
结论1： 设G为群，而H1 G，H 2 G，那么H1 H 2 G .
证明：设 H1 H2 H
则H不空，
因G的单位元 H1，e H2 , 故e H1 H2 . e
这是因为若h1h 2 h H 1，
则用h1 从左乘h1h 2 h的两侧，
1 . 便得h 2 h1 h H1 , 而这和h2的取法矛盾的
1
同样可证 1h2 H2 . h
但：适合某种条件的子群的并也可以是子群.
例 : 设H i ( i 1,2, )是G的子群，并且H 1 H 2 H n （这时，称{ H i }为子群的一个升链）， 则H H i 是G的一个子群.
第八节
教学目的和要求：
子群
第二章
概括起来，对群的研究可分成相互联系的两个方面，群的结构 和群的表示。我们注意到，群是一个附加了一种运算的集合，所 以群论研究的初步可以仿照集合论去讨论，只是记住要围绕着这 两个运算展开。子群是非常重要的概念，了解子群是了解群结构 的重要渠道。本节要求掌握： （1）子群的判断条件和若干判断条件的等价性； （2）子群的乘积和生成子群的概念； （3）循环群的子群所具有的特征。
rm r r K {a11 a 22 a m | a i S , 且ri 1, m N }. HA
H ,有K G;
说明：定理4的意义在于，对群的任一个子集S 都可以确定唯一一个子群K，它是群G的包含S的一 切子群中的最小者。
提示：
子集S G所以不能构成子群，是 因为S还不够大，
其次，任取a, b H， 则a, b H1，a, b H2 , ab H1，ab H2
ab H1 H2 . 即H对G的乘法封闭.
再者，a H a H1，且a H2， a 1 H1且a 1 H 2 ,
a 1 H1 H 2 ; 由此可见， 是G的一个子群 H .
子群的性质1 设H G，那么若H中的单位元为e H，G中的单位元
为eG，那么e H eG .
证明： eG 是G的单位元，而eH G eG eH eH
eH 是H的单位元，而eH H e H e H e H
eG e H e H e H eG e H (由消去律）
叫做有限生成群，且元 a1 , a2 , , am叫做（S）的生成元素； 素
( 3)如果S {a }是单元素集，那么 S ) (a )叫做循环群， ( 而元素a叫做（S）的生成元.
明示： 如果S G时，那么 S ) S . (
例7 在例5中，K 4 （） 12 (34),(13)(24),(14)(23)}, { 1（ ） ,
u 0(不然u k , 与k是最小者矛盾）
k k | n, n kq 即 | a | q, 故q r。
易知H i 都是K 4的真子集（i 1,2,3 , ） 显然K 4 H1 H 2 H 3 .
例6 对于三次对称群 S 3 （） 12 , Байду номын сангаас13), ( 23), (123), (132)}, { 1（ ） ,
现令H1 （） 12 }, H 2 {(1), (13)}, { 1（ ） , H 3 {(1), ( 23)}, H 4 {(1), (123), (132)}
也就是说S还需进一步扩张 — 往S中添加一些有用的元素.
定义2：
设S是群G的一个非空子集，
rm r r (1) 子群K {a11 a22 am | ai S , 且ri 1, m N }称为由
子集S生成的子群.记做K S），并且称子集S为子群(S) （ 的生成元集.
( 2)如果S {a1 , a2 , , am }是有限集，那么( S ) (a1 , a2 , , am )
重点和难点：
循环群的子群的性质，子群的乘积的性质以及生成子群的特征 都是本节的重点和难点。除此之外，本节补充的中心、中心化子、 正规化子等重要概念，对学生拓宽眼界和扩大知识面都是有极大 的帮助的。
一、子群的定义及判定条件
定义1：
设G是一个群，H是G的一个非空子集，如果 关于 H G的乘法来说做成一个群 ，则称H是G的一个子群。 记为：H G . 例1 设G是一个群， 设e是G的单位元，那么 e} G; {
充分性（）
若是（i）（ii）成立， 做成一个群 H .