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课时提升作业二十八平面向量的数量积及应用举例(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·= ( )A.2B.3C.4D.5【解析】选D.因为四边形ABCD是平行四边形,所以=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以·=2×3+1×(-1)=5.2.已知正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,F为CD的中点,则·=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2【解题提示】结合图形,建立平面直角坐标系,转化为坐标计算.【解析】选B.如图.以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),E(2,1),F(1,2),所以=(2,1),=(-1,2),所以·=-2+2=0.【一题多解】本题还可以采用如下解法：选B.方法一：如图,由平面几何的知识知△ABE≌△BCF,所以∠1=∠2,因为∠1+∠3=90°,所以∠2+∠3=90°,即AE⊥BF,所以·=0.方法二：选取{,}为基底,则=+,=-.因为||=||=2,⊥,所以·=·=-+=0.3.已知e1,e2是单位向量,m=e1+2e2,n=5e1-4e2,若m⊥n,则e1与e2的夹角为( ) A. B. C.π D.π【解析】选B.因为m⊥n,|e1|=|e2|=1,所以m·n=(e1+2e2)·(5e1-4e2)=5e12+6e1·e2-8e22=-3+6e1·e2=0.即e1·e2=.设e1与e2的夹角为θ,则cosθ==.因为θ∈,所以θ=.【加固训练】(2019·厦门模拟)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于 ( ) A.- B. C. D.【解析】选C.因为2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为α,所以cosα===.又α∈,故α=.4.(2019·德州模拟)如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,<,>=60°,则||= ( )A.1B.2C. D.5【解析】选C.根据题意,O为BC中点,所以=(+),||2=(+2·+)=(12+2×1×3×cos60°+32)=;所以||=.5.已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,=,则||= ( )A.2B.4C.6D.8【解析】选A.因为=,所以点D为BC的中点,所以=(+)=2m-2n,又因为|m|=,|n|=2,平面向量m,n的夹角为,所以||=2|m-n|==2=2.6.在平面直角坐标系中,已知O是坐标原点,A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),若|+|=,α∈(0,π),则与的夹角为 ( )A. B. C.π D.π【解题提示】先求角α的大小,再求向量的夹角.【解析】选A.由题意,得+=(3+cosα,sinα),所以|+|===,即cosα=,因为α∈(0,π),所以α=,C.设与的夹角为θ,则cosθ===.因为θ∈,所以θ=.7.(2019·长春模拟)已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A,B两点,且AB=,则·的值是 ( )A.-B.C.-D.0【解析】选A.取AB的中点C,连接OC,AB=,则AC=,又因为OA=1,所以sin=sin∠AOC==,所以∠AOB=120°,则·=1×1×cos120°=-.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2019·湖北高考)已知向量⊥,||=3,则·= .【解析】因为向量⊥,所以·=0,即·(-)=0,所以·-=0,即·==9.答案：99.(2019·济南模拟)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为 .【解析】由|a+b|=|a-b|,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以(a+b)·a=a2+a·b=|a|2.故向量a+b与a的夹角θ的余弦值为cosθ=2()||||||2||||+=+a b a aa b a a a=.又0≤θ≤π,所以θ=.答案：10.已知圆O的半径为2,AB是圆O的一条直径,C,D两点都在圆O上,且||=2,则|+|= .【解题提示】结合图形进行向量的分解与合成,转化,化简后再求模.【解析】如图,连接OC,OD,则=+,=+,因为O是AB的中点,所以+=0,所以+=+,设CD的中点为M,连接OM,则+=+=2,显然△COD是边长为2的等边三角形,所以||=,故|+|=|2|=2.答案：2(20分钟 40分)1.(5分)(2019·福建高考)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于 ( )A.13B.15C.19D.21【解题提示】结合题意建立平面直角坐标系,转化为坐标运算.【解析】选A.以A点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示,C(0,t),B,=(1,0)+4(0,1)=(1,4),从而=,=(-1,t-4),所以·=-4t-+17≤-2+17=13,当且仅当4t=即t=时,等号成立.【加固训练】1.(2019·石家庄模拟)在△ABC中,AB=4,AC=3,·=1,则BC= ( )A. B. C.2 D.3【解题提示】利用已知条件,求得,夹角的余弦,再用余弦定理求BC.【解析】选D.设∠A=θ,因为=-,AB=4,AC=3,所以·=2AC-·=9-·=1.所以·=8.cosθ===,所以BC==3.2.(2019·东营模拟)若a,b是单位向量,a·b=0,且|c-a|+|c-2b|=,则|c+2a|的范围是 ( )A. B.C. D.【解题提示】根据向量a,b的关系,转化为向量的坐标运算.【解析】选D.因为a,b是单位向量,且a·b=0,所以不妨设a,b分别是与x轴,y轴正方向相同的单位向量,即a=(1,0),b=(0,1).设c=(x,y),则c-a=(x-1,y),c-2b=(x,y-2),c+2a=(x+2,y),所以|c-a|+|c-2b|=+=,上式的几何意义是动点P(x,y)到定点A(1,0),B(0,2)的距离之和为的点的集合,而|AB|=,所以点P在线段AB上,如图.|c+2a|=的几何意义是动点P(x,y)到定点C(-2,0)的距离,过C作CD⊥AB,垂足为D,则|CD|=,又|CA|=3,所以≤|c+2a|≤3.2.(5分)(2019·天津高考)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=, 则·的最小值为 .【解析】因为=,=,=-=-==,=+=+λ,=++=++=+,·=·=+λ+·=×4+λ+×2×1×cos120°=+λ+≥2+=.当且仅当=λ即λ=时,·的最小值为.答案：3.(12分)(2019·陕西高考)△ΑΒC的内角Α,Β,C所对的边分别为a,b,c.向量m=与n=平行.(1)求Α.(2)若a=,b=2求△ΑΒC的面积.【解题提示】(1)先利用m∥n得出asinB-bcosA=0,再利用正弦定理转化求得ta n A的值从而得A的值.(2)利用余弦定理得边c的值,代入三角形的面积公式求解.【解析】(1)因为m∥n,所以asinB-bcosA=0,由正弦定理得sinAsinB-sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=,由于0<A<π,所以A=.(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,而a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsinA=.4.(13分)已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=1,(1)若|a-b|=2,试求a与b的夹角的余弦值.(2)若对一切实数x,|a+x b|≥|a+b|恒成立,求a与b的夹角.【解析】(1)因为|a|=,|b|=1,|a-b|=2.所以|a-b|2=4,即a2-2a·b+b2=4,2-2a·b+1=4,所以a·b=-.设a与b的夹角为θ,则cosθ===-.(2)令a与b的夹角为θ.由|a+x b|≥|a+b|,得(a+x b)2≥(a+b)2,化为(x2-1)|b|2+(2x-2)|a|·|b|cosθ≥0,因为|a|=,|b|=1,所以(x2-1)+(2x-2)cosθ≥0,当x=1时,式子显然成立;当x>1时,cosθ≥-=-,由于-<-,故cosθ≥-;当x<1时,cosθ≤-=-,由于->-,故cosθ≤-,所以cosθ=-,解得θ=.【一题多解】本题(2)还可有如下解法：令a与b的夹角为θ,由|a+x b|≥|a+b|, 得(a+x b)2≥(a+b)2,因为|a|=,|b|=1, 所以x2+2xcosθ-2cosθ-1≥0, 对一切实数x恒成立,所以Δ=8cos2θ+8cosθ+4≤0,即(cosθ+1)2≤0,故cosθ=-, 因为θ∈,所以θ=π.。
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 2，f(2) = 5，则下列说法正确的是：A. a > 0，b > 0，c > 0B. a > 0，b < 0，c > 0C. a < 0，b > 0，c < 0D. a < 0，b < 0，c < 02. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的位置是：A. 在实轴上B. 在虚轴上C. 在实轴和虚轴之间D. 在原点3. 下列各式中，正确的是：A. sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβB. cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβC. tan(α + β) = tanα + tanβD. cot(α + β) = cotα + cotβ4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，S5 = 30，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是：A. y = -2x + 1B. y = 2x - 1C. y = x^2D. y = -x^26. 已知双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，若a > 0，b > 0，则双曲线的渐近线方程是：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a^2/b)xD. y = ±(b^2/a)x7. 下列各式中，正确的是：A. log_a(1/a) = -1B. log_a(a) = 0C. log_a(a^2) = 2D. log_a(1/a^2) = -28. 若函数y = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则下列说法正确的是：A. a > 0，b > 0，c > 0B. a < 0，b < 0，c < 0C. a > 0，b < 0，c < 0D. a < 0，b > 0，c > 09. 下列各式中，正确的是：A. sin(π/2) = 1B. cos(π/2) = 0C. tan(π/2) = 1D. cot(π/2) = 010. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，S3 = 9，则公比q为：A. 1B. 3C. 1/3D. -311. 下列函数中，在其定义域内单调递减的是：A. y = 2^xB. y = 2-xC. y = x^2D. y = -x^212. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的位置是：A. 在实轴上B. 在虚轴上C. 在实轴和虚轴之间D. 在原点二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
世纪金榜数学试题及答案世纪金榜数学试题及答案一、精心选一选，想信你一定能选对!(每题3分，共30分)1.下列函数，①y=2x，②y=x，③y=x-1，④y=是反比例函数的个数有().A.0个B.1个C.2个D.3个2.反比例函数y=的图象位于()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限3.已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为()4.已知关于x的函数y=k(x+1)和y=-(k≠0)它们在同一坐标系中的'图象是()5.已知点(3，1)是双曲线y=(k≠0)上一点，则下列各点中在该图象上的点是().A.(，-9)B.(3，1)C.(-1，3)D.(6，-)6.某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于140kPa时(第6题)(第7题)7.某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，如右图所表示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I•的函数解析式为().A.I=B.I=-C.I=D.I=8.函数y=与函数y=x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是().A.1个B.2个C.3个D.0个9.若函数y=(m+2)|m|-3是反比例函数，则m的值是().A.2B.-2C.±2D.×210.已知点A(-3，y1)，B(-2，y2)C(3，y3)都在反比例函数y=的图象上，则().A.y1。
