2019年高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练： 12 Word版含解析

2019-2020年高三数学二轮复习高考大题标准练二理新人教版1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosA=(2c+a)cos(π-B).(1)求角B的大小.(2)若b=4,△ABC的面积为,求a+c的值.【解析】(1)因为bcosA=(2c+a)cos(π-B).所以sinBcosA=(-2sinC-sinA)cosB.所以sin(A+B)=-2sinCcosB,所以cosB=-.即B=.(2)由S△ABC=acsinB=,得ac=4.由余弦定理,得b2=a2+c2+ac=(a+c)2-ac=16.故a+c=2.2.某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些.(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值.【解析】(1)=(7+9+11+13+13+16+23+28)=15，=(7+8+10+15+17+19+21+23)=15，=[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75，=[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25，因为甲、乙两名队员的失分均值相等，甲的方差比乙的方差大，所以乙同学做解答题相对稳定些.(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别是p1=，p2=，两人失分均超过15分的概率为p1p2=，X的所有可能取值为0，1，2，依题意X～B，P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，所以X的分布列为：X 0 1 2PE(X)=2×=.3.如图所示,该几何体是由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成,AD⊥AF,AE=AD=2.(1)证明:平面PAD⊥平面ABFE.(2)求正四棱锥P-ABCD的高h,使得该四棱锥的体积是三棱锥P-ABF体积的4倍.【解析】(1)直三棱柱ADE-BCF中,AB⊥平面ADE,所以AB⊥AD,又AD⊥AF,AB∩AF=A,所以AD⊥平面ABFE,AD⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABFE.(2)P到平面ABF的距离d=1,所以V P-ABF=S△ABF d=××2×2×1=,而V P-ABCD=S四边形ABCD h=×2×2h=4V P-ABF=,所以h=2.4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且=6,直线y=kx与椭圆交于A,B两点.(1)若k=,且A,B,F1,F2四点共圆,求椭圆离心率e的值.(2)在(1)的条件下,设P(x0,y0)为椭圆上一点,且直线PA的斜率k1∈(-2,-1),试求直线PB的斜率k2的取值范围.【解析】(1)方法一:由得(b2+a2)x2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).所以x1+x2=0,x1x2=,由AB,F1F2互相平分且四点共圆,易知,AF2⊥BF2,因为=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),所以·=(x1-3)(x2-3)+y1y2=x1x2+9=0.即x1x2=-8,所以有=-8,结合b2+9=a2.解得a2=12,所以离心率e=.方法二:设A(x1,y1),又AB,F1F2互相平分且四点共圆,所以AB,F1F2是圆的直径, 所以+=9,又由椭圆及直线方程综合可得:前两个方程解出=8,=1,将其代入第三个方程并结合b2=a2-c2=a2-9,解得a2=12,所以e=.(2)椭圆方程为+=1,由题可设A(x1,y1),B(-x1,-y1),k1=,k2=,所以k1k2=,又==-,即k2=-,由-2<k1<-1可知,<k2<.5.设函数f(x)=clnx+x2+bx(b,c∈R,c≠0),且x=1为f(x)的极值点.(1)若x=1为f(x)的极大值点,求f(x)的单调区间(用c表示).(2)若f(x)=0恰有两解,求实数c的取值范围.【解析】f′(x)=+x+b=,因为x=1为f(x)的极值点,所以f′(1)=0,所以b+c+1=0.所以f′(x)=且c≠1,(1)若x=1为f(x)的极大值点,所以c>1,当0<x<1时,f′(x)>0;当1<x<c时,f′(x)<0;当x>c时,f′(x)>0.所以f(x)的递增区间为(0,1),(c,+∞);递减区间为(1,c).(2)①若c<0,则f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,f(x)=0恰有两解,则f(1)<0,即+b<0,所以-<c<0;②若0<c<1,则f(x)的极大值为f(c)=clnc+c2+bc,f(x)极小值=f(1)=+b,因为b=-1-c,则f(x)极大值=clnc+c2+c(-1-c)=clnc-c-c2<0,f(x)极小值=--c<0,从而f(x)=0只有一解;若c>1,则f(x)极小值=clnc+c2+c(-1-c)=clnc-c-c2<0,f(x)极大值=--c<0,则f(x)=0只有一解;综上,使f(x)=0恰有两解的c的范围为-<c<0.。

“皖南八校”2019届高三第二次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，，则，故选D.2. 已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】A【解析】化简，由是纯虚数可得，解得，故选A.3. 已知向量满足，，，则A. B. 3 C. 5 D. 9【答案】B【解析】因为，所以，故选B.........................4. 已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的标准方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，，故选A.5. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得图象的一条对称轴的方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍可得的图象，再向左平移个单位，所得的图象，由，，时图象的一条对称轴的方程是，故选C.6. 函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得函数，为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项；又由可排除选项，故选C.7. 若，展开式中，的系数为-20，则等于A. -1B.C. -2D.【答案】A【解析】由，可得将选项中的数值代入验证可得，符合题意，故选A.8. 当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 28B. 36C. 68D. 196【答案】D【解析】执行程序框图，；；；，退出循环，输出，故选D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 榫卯（）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，这榫卯构件中榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积，表面积，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若在直线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线上存在点使线段的中垂线过点，所以，根据种垂涎的性质以及直角三角形的性质可得，，，又因为，椭圆离心率的取值范围是，故选B.11. 已知，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，令，则原式化为，解得舍去），故，则，即，即，，解得或，则，故选D.12. 已知函数若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，关于的方程至少有两个不同的实数解等价于，至少有两个不同的实数解，即函数的图象与直线至少有两个交点，作出函数的图象如图所示，直线过定点，故可以寻找出临界状态下虚线所示，联立，故，即，令，解得，，故，结合图象知，实数的取值范围为，故选A.【方法点睛】已知函数有零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题：本小题4小题，每小题5分，共20分.13. 在1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个不同的数，取到3的概率为_________．【答案】【解析】在、中任取三个不同的数，共有种取法，其中一定取到的方法有种，在、中任取三个不同的数取到的概率为，故答案为.14. 已知的面积为，角的对边分别为，若，，，则___________．【答案】【解析】，，，可得，所以得，由余弦定理可得，，故答案为.15. 已知函数是偶函数，定义域为，且时，，则曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】曲线在点处的切线方程为，又是偶函数，曲线在点处的切线方程与曲线在点处的切线方程故意轴对称，为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性以及利用导数求曲线切线题，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.16. 已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段长的取值范围为__________ ．【答案】【解析】依题意，正方体的棱长为，如图所示，当点线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，平面与平面也有交线，故截面为五边形，平面截正方体所得的截面为四边形，线段的取值范围为，故答案为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∽21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 已知是等比数列，满足，且.（Ⅰ）求的通项公式和前项和；（Ⅱ）求的通项公式.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）由，令可解得，，从而可得的通项公式和前项和；（II）结合（I）的结论，可得，从而得时，，两式相减、化简即可得的通项公式.试题解析：（Ⅰ），，，，，，是等比数列，，的通项公式为，的前项和.（Ⅱ）由及得，时，，，，，的通项公式为.，18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示：（Ⅰ)以频率估计概率，若在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况在300M∽400M之间，求的期望；（Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值；（Ⅲ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：折扣销售份数试建立关于的的回归方程.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】(Ⅰ)0.75；(Ⅱ)369M；(Ⅲ).【解析】试题分析：（I）直接根据二项分布的期望公式求解即可；（II）根据频率分布直方图中数据，每组数据中间值与纵坐标的乘积之和即是被抽查的居民使用流量的平均值；(Ⅲ)先根据平均值公式求出样本中心点的坐标，利用公式求出，样本中心点坐标代入回归方程可得，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）依题意，∽，故；（Ⅱ）依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为；（Ⅲ)由题意可知，，，所以，关于的回归方程为： .【方法点晴】本题主要考查二项分布的期望公式、直方图的应用和线性回归方程的求法，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点（靠近点），与的延长线交于点，连接.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的正切值【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（I）由线面垂直的性质可得，由矩形的性质可得，从而由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（II）以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得夹角余弦值，利用同角三角函数之间的关系可得正切值.试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面，所以又因为底面是矩形，所以又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（Ⅱ)解：方法一：（几何法)过点作，垂足为点，连接.不妨设，则.因为平面，所以.又因为底面是矩形，所以.又因为，所以平面，所以A.又因为，所以平面，所以所以就是二面角的平面角.在中，由勾股定理得，由等面积法，得，又由平行线分线段成比例定理，得.所以.所以.所以.所以二面角的正切值为.方法二：（向量法）以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设，则由（Ⅱ）可得，.又由平行线分线段成比例定理，得，所以，所以.所以点，，.则，.设平面的法向量为，则由得得令，得平面的一个法向量为；又易知平面的一个法向量为；设二面角的大小为，则.所以.所以二面角的正切值为.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时，. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若抛物线上存在点，使得，求直线的方程.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）利用拋物线的定义,结合即可得，，从而抛物线的方程为；（II）方程为，由得，令，，,利用韦达定理及,建立关于的方程,解方程即可求直线的方程.试题解析：（Ⅰ）的准线方程为，当点纵坐标为1时，，，势物线的方程为.（Ⅱ）在上，，又,设方程为，由得，令，，则，，，，,，或0，当时，过点（舍），，方程为.21. 已知函数.（Ⅰ）若，证明：函数在上单调递减；（Ⅱ）是否存在实数，使得函数在内存在两个极值点？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. （参考数据：，）【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）；求导得，只需利用导数研究函数的单调性，求出最大值，从而证明即可得结论；（II）讨论时，时两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，排除不合题意的情况，从而可得使得函数在内存在两个极值点的实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是.求导得.设，则与同号.所以，若，则对任意恒成立.所以函数在上单调递减.又，所以当时，满足.即当时，满足.所以函数在上单调递减.（Ⅱ）①当时，函数在上单调递减.由，又，时，，取，则，所以一定存在某个实数，使得.故在上，；在上，.即在上，；在上，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.此时函数只有1个极值点，不合题意，舍去；②当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.故函数的单调情况如下表：要使函数在内存在两个极值点，则需满足，即，解得又，，所以.此时，，又，；综上，存在实数，使得函数在内存在两个极值点.选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.22. 平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3.【解析】试题分析：（I）利用代入法消去参数，将直线的参数方程化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，再利用互化公式可得到直线的极坐标方程；（II）将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程,可得关于的一元二次方程,然后根据韦达定理以及极径的几何意义,可以得到的值.试题解析：（Ⅰ）由得，的极坐标方程为即，.（Ⅱ）由得，设，，则，.23. 已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（II）利用基本不等式求得的最小值为，不等式对任意恒成立，等价于，平方后利用一元二次不等式的解法求解即可求得实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）时，，由得，不等式的解集为.（Ⅱ）对成立，又对成立，，，即.。

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高考大题专攻练
.函数与导数(组)
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.已知函数()[()()](其中∈).
()若为()的极值点,求的值.
()在()的条件下,解不等式()>().
【解析】()因为()[()()],
所以′()[()][()()]
[()].
因为为()的极值点,所以由′(),
解得,
检验,当时′(),
当<时′()<,
当>时′()>,
所以为()的极值点,故.
()当时,不等式()>()()⇔()>(),
整理得()>,
即或
令(),
()′()()′(),
当>时′()>,
当<时′()<,
所以()在(∞)上单调递减,在(∞)上单调递增,
所以()>(),即′()>,
所以()在上单调递增,而();
故>⇔>;
<⇔<,
所以原不等式的解集为{<或>}.
.已知函数()，其中∈，令函数()().
()当时，求函数()在处的切线方程.
()当时，证明：()≤.
()试判断方程()是否有实数解，并说明理由.。

题型练2　选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.(2018浙江,1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A .⌀B .{1,3}C .{2,4,5}D .{1,2,3,4,5}2.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( )A .πB .π13+2313+23C .πD .1+π13+26263.已知sin θ=,cos θ=,则tan 等于( )m -3m +54-2m m +5(π2<θ<π)θ2A .B .m -39-mm -3|9-m |C .D .5134.已知实数x ,y 满足约束条件则z=2x+4y 的最大值是( ){x +y +5≥0,x -y ≤0,y ≤0,A .2B .0C .-10D .-155.已知等差数列{a n }的通项是a n =1-2n ,前n 项和为S n ,则数列的前11项和为( ){S nn }A .-45B .-50C .-55D .-666.已知P 为椭圆=1上的一点,M ,N 分别为圆(x+3)2+y 2=1和圆(x-3)2+y 2=4上的点,则|PM|+|PN|x 225+y 216的最小值为( )A .5B .7C .13D .157.(2018全国Ⅰ,理12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A .B .C .D .33233238.已知a>0,a ≠1,函数f (x )=+x cos x (-1≤x ≤1),设函数f (x )的最大值是M ,最小值是N ,则( )4a x +2a x +1A .M+N=8B .M+N=6C .M-N=8D .M-N=69.已知=1+i(i 为虚数单位),则复数z= . (1-i )2z 10.若a ,b ∈R ,ab>0,则的最小值为 . a 4+4b 4+1ab11.已知f (x )为偶函数,当x<0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y=f (x )在点(1,-3)处的切线方程是 .12.已知圆C 的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标{x =cos θ,y =sin θ+2系,直线的极坐标方程为ρsin θ+ρcos θ=1,则直线截圆C 所得的弦长是 . 13.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a 的值为 .14.已知直线y=mx 与函数f (x )=的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m 的取值范围{2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0是 .思维提升训练1.复数z=(i 为虚数单位)的虚部为( )2+iiA .2B .-2C .1D .-12.已知a=,b=,c=2,则( )243425513A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b3.若实数x ,y 满足|x-1|-ln =0,则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )1y4.已知简谐运动f (x )=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T (ω>0,|φ|<π2)和初相φ分别为( )A .T=6π,φ=B .T=6π,φ=π6π3C .T=6,φ=D .T=6,φ=π6π35.(2018天津,理8)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点,则的最小值为( )AE ·BE A .B .211632C .D .325166.在△ABC 中,AC=,BC=2,B=60°,则BC 边上的高等于( )7A .B .32332C .D .3+623+3947.已知圆(x-1)2+y 2=的一条切线y=kx 与双曲线C :=1(a>0,b>0)有两个交点,则双曲线C 的离心34x 2a 2‒y 2b2率的取值范围是( )A.(1,) B.(1,2)3C.(,+∞)D.(2,+∞)38.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1=1,S 2=2,且S n+1-3S n +2S n-1=0(n ∈N *,n ≥2),则此数列为( )A .等差数列B .等比数列C .从第二项起为等差数列D .从第二项起为等比数列9.设集合A={x|x+2>0},B=,则A ∩B= .{x |y =13-x}10.已知x ,y 满足约束条件则z=-2x+y 的最大值是 .{x -y ≥0,x +y -4≤0,y ≥1,11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 m 3.12.设F 是双曲线C :=1的一个焦点.若C 上存在点P ,使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,x 2a 2‒y 2b 2则C 的离心率为 .13.下边程序框图的输出结果为 .14.(x+2)5的展开式中,x 2的系数等于 .(用数字作答)##题型练2　选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.C 解析 ∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C .2.C 解析 由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V 1=,下面是底面积为1,2212×43π×(22)3=2π6高为1的四棱锥,体积V 2=1×1=,故选C .13×133.D 解析 利用同角正弦、余弦的平方和为1求m 的值,再根据半角公式求tan ,但运算较复杂,试根θ2据答案的数值特征分析.由于受条件sin 2θ+cos 2θ=1的制约,m 为一确定的值,进而推知tan 也为一确θ2定的值,又<θ<π,所以,故tan >1.π2π4<θ2<π2θ24.B 解析 实数x ,y 满足约束条件对应的平面区域为如图ABO 对应的三角形区域,当动{x +y +5≥0,x -y ≤0,y ≤0,直线z=2x+4y 经过原点时,目标函数取得最大值为z=0,故选B .5.D 解析 因为a n =1-2n ,S n ==-n 2,=-n ,所以数列的前11项和为=-66.故选n (-1+1-2n )2S n n {S n n }11(-1-11)2D .6.B 解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1,F 2分别是两圆的圆心,且|PF 1|+|PF 2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF 1|+|PF 2|-1-2=7.7.A 解析 满足题设的平面α可以是与平面A 1BC 1平行的平面,如图(1)所示.图(1)再将平面A 1BC 1平移,得到如图(2)所示的六边形.图(2)图(3)设AE=a ,如图(3)所示,可得截面面积为S=[(1-a )+a+a ]2-3(a )2(-2a 2+2a+1),所以当a=时,S max =12×222×32×12×2×32=321232×(-2×14+2×12+1)=334.8.B 解析 f (x )=+x cos x=3++x cos x ,设g (x )=+x cos x ,则g (-x )=-g (x ),函数g (x )是奇函4a x +2a x +1a x -1a x +1a x -1a x +1数,则g (x )的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x ≤1时,设-m ≤g (x )≤m ,则3-m ≤f (x )≤3+m ,∴函数f (x )的最大值M=3-m ,最小值N=3+m ,得M+N=6,故选B .9.-1-i 解析 由已知得z==-1-i .(1-i )21+i =-2i 1+i =-2i (1-i )(1+i )(1-i )=-2-2i210.4　解析 ∵a ,b ∈R ,且ab>0,=4ab+∴a 4+4b 4+1ab ≥4a 2b 2+1ab1ab ≥4(当且仅当{a 2=2b 2,4ab =1ab ,即{a 2=22,b 2=24时取等号).11.y=-2x-1　解析 当x>0时,-x<0,则f (-x )=ln x-3x.因为f (x )为偶函数,所以f (x )=f (-x )=ln x-3x ,所以f'(x )=-3,f'(1)=-2.1x 故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.12.213.32　解析 第一次循环,输入a=1,b=2,判断a ≤31,则a=1×2=2;第二次循环,a=2,b=2,判断a ≤31,则a=2×2=4;第三次循环,a=4,b=2,判断a ≤31,则a=4×2=8;第四次循环,a=8,b=2,判断a ≤31,则a=8×2=16;第四次循环,a=16,b=2,判断a ≤31,则a=16×2=32;第五次循环,a=32,b=2,不满足a ≤31,输出a=32.14.(,+∞)　解析 作出函数f (x )=的图象,如图.2{2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0直线y=mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m ≤0时,直线y=mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx 始终与函数y=2-(x ≤0)的图象有一个公共点,故要使直线(13)xy=mx 与函数f (x )的图象有三个公共点,必须使直线y=mx 与函数y=x 2+1(x>0)的图象有两个公共点,12即方程mx=x 2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x 2-2mx+2=0的判别式Δ=4m 2-4×2>0,解12得m>故所求实数m 的取值范围是(,+∞).2.2思维提升训练1.B 解析 z==1-2i,得复数z 的虚部为-2,故选B .2+ii =(2+i )i i 22.A 解析 因为a==b ,c=2=a ,所以b<a<c.243=423>425513=523>4233.B 解析 已知等式可化为y=根据指数函数的图象可知选项B 正确,故选(1e)|x -1|={(1e)x -1,x ≥1,(1e )-(x -1),x <1,B .4.C 解析 由图象易知A=2,T=6,∴ω=π3.又图象过点(1,2),∴sin =1,(π3×1+φ)∴φ+=2k π+,k ∈Z ,π3π2又|φ|<,∴φ=π2π6.5.A 解析 如图,取AB 的中点F ,连接EF.AE ·BE=(AE +BE 2-(AE -BE )24==||2-(2FE )2-AB24FE 14.当EF ⊥CD 时,||最小,即取最小值.EF AE ·BE 过点A 作AH ⊥EF 于点H ,由AD ⊥CD ,EF ⊥CD ,可得EH=AD=1,∠DAH=90°.因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°.在Rt △AFH 中,易知AF=,HF=,1214所以EF=EH+HF=1+14=54.所以()min =AE ·BE (54)2‒14=2116.6.B 解析 设AB=a ,则由AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BC cos B 知7=a 2+4-2a ,即a 2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).∴BC 边上的高为AB·sin B=3×32=332.7.D 解析 由已知得,解得k 2=3.|k |k 2+1=32由消去y ,得(b 2-a 2k 2)x 2-a 2b 2=0,{y =kx ,x2a2-y 2b2=1,则4(b 2-a 2k 2)a 2b 2>0,即b 2>a 2k 2.因为c 2=a 2+b 2,所以c 2>(k 2+1)a 2.所以e 2>k 2+1=4,即e>2.故选D .8.D 解析 由S 1=1得a 1=1,又由S 2=2可知a 2=1.因为S n+1-3S n +2S n-1=0(n ∈N *,且n ≥2),所以S n+1-S n -2S n +2S n-1=0(n ∈N *,且n ≥2),即(S n+1-S n )-2(S n -S n-1)=0(n ∈N *,且n ≥2),所以a n+1=2a n (n ∈N *,且n ≥2),故数列{a n }从第2项起是以2为公比的等比数列.故选D .9.{x|-2<x<3}　解析 由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A ∩B={x|-2<x<3}.10.-1　解析 作出约束条件的可行域如图阴影部分所示,平移直线l 0:y=2x ,可得在点A (1,1)处z 取得最大值,最大值为-1.11.2　解析 由三视图知四棱锥高为3,底面平行四边形的底为2,高为1,因此该四棱锥的体积为V=13(2×1)×3=2.故答案为2.×12　解析 不妨设F (c ,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为B (0,b ),依题意得点P 为(-c ,2b ),又点P 在.5双曲线上,所以=1,得=5,即e 2=5,因为e>1,所以e=(-c )2a2‒(2b )2b2c 2a25.13.8　解析 由程序框图可知,变量的取值情况如下:第一次循环,i=4,s=;14第二次循环,i=5,s=;14+15=920第三次循环,i=8,s=;920+18=2340第四次循环,s=不满足s<,结束循环,输出i=8.23401214.80　解析 通项公式为T r+1=x 5-r 2r,令5-r=2,得r=3.C r 5则x 2的系数为23=80.C 35·。

【精】【精】高三数学（理人教版）二轮复习高考大题专攻
练： 3 Word版含解析
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高考大题专攻练
3.数列(A组)[来源:Z_xx_]
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1.设数列的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，bn=-1-log2，数列的前n项和为Tn，cn=.世纪金榜导学号
92494439
(1)求数列的通项公式与数列前n项和
An.
(2)对任意正整数m，k，是否存在数列中的项an，使得≤32an成立？若存在，请求出正整数n的取值集合，若不存在，请说明理由
.
【解析】(1)因为an=5Sn+1，令n=1⇒a1=-，[来源:学§科§网
]
由得，an+1=-an，所以等比数列{an}的通项公式an=，
1 / 4。

回扣4数列1．牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n}的常用性质(2)判断等差数列的常用方法①定义法a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．②通项公式法a n＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．③中项公式法2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．④前n项和公式法S n＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法a n＋1a n＝q(q是不为0的常数，n∈N *)⇔{an}是等比数列．②通项公式法a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． ③中项公式法a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c (an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n ·n 或a n ＝a ·(－1)n (其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n 时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，裂项前后的值要相等， 如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.8．通项中含有(－1)n 的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 13>0，S 14<0，若a k ·a k ＋1<0，则k 等于( ) A ．6B ．7C ．13D ．14 答案 B解析 因为{a n }为等差数列，S 13＝13a 7，S 14＝7(a 7＋a 8)， 所以a 7>0，a 8<0，a 7·a 8<0，所以k ＝7.2．已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝12，则a 5＋a 6等于( ) A ．3B ．15C ．48D ．63 答案 C解析 a 3＋a 4a 1＋a 2＝q 2＝4，所以a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·q 2＝48.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12 D ．13答案 C解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零， 又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0， ∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.4．已知数列{a n }满足13n a ＋＝9·3n a(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则15793log ()a a a ＋＋等于( ) A ．－13B ．3C ．－3 D.13答案 C解析 由已知13n a＋＝9·3n a＝23n a ＋，所以a n ＋1＝a n ＋2，所以数列{a n }是公差为2的等差数列，a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋3d )＋(a 4＋3d )＋(a 6＋3d ) ＝(a 2＋a 4＋a 6)＋9d ＝9＋9×2＝27，所以15793log ()a a a ＋＋＝13log 27＝－3.故选C.5．已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1·a 20＝100，那么a 7＋a 14的最小值为( ) A ．20 B ．25 C ．50 D ．不存在答案 A解析 在正数组成的等比数列{a n }中，因为a 1·a 20＝100，由等比数列的性质可得a 1·a 20＝a 7·a 14＝100，那么a 7＋a 14≥2a 7·a 14＝2100＝20，当且仅当a 7＝a 14＝10时取等号，所以a 7＋a 14的最小值为20.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 等于( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2答案 A解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4⇒a 1＝4， ∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，故选A.7．已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3等于( )A ．2B ．3C ．5D ．7 答案 B解析 ∵在等差数列{a n }中，a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2＝a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝a 1，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝15a 15a 1＝3，故选B.8．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)(n ∈N *)，则S 20等于( ) A ．31 B ．122 C ．324 D ．484答案 B解析 由题意可知，因为a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)， 所以a 1＝1，a 2＝25，a 3＝3，a 4＝45，a 5＝5，a 6＝65，…，所以数列{a n }的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成首项为25，公差为25的。

高考大题标准练 ( 一)分 60 分, 模 ,60 分拿到高考主高分!1. 已知数列 {b n} 的前 n 和 B n=.(1)求数列 {b n} 的通公式 .(2)数列 {a n} 的通 a n=[b n+(-1) n] ·2n, 求数列 {a n} 的前 n 和 T n.【分析】 (1) 当 n>1 ,bn =B -Bn-1n=-=3n-2,*当 n=1, 得 b1=1, 所以 b n=3n-2(n ∈ N ).(2) 由意知 a n=[b n+(-1)n] · 2nn n n=b ·2 +(-1) 2 ,n{b n· 2n} 的前 n 和 S n,{(-1)n2n} 的前 n 和 H n,因 b n· 2n=(3n-2)2 n, 所以 S n=(3 × 1-2) · 2+(3 × 2-2)· 22+⋯ +(3n-2)· 2n, 2S n =(3 × 1-2) · 22+(3 × 2-2) · 23+⋯+[3(n-1)-2]· 2n+(3n-2)· 2n+1,两式相减得n23n n+1n+1 -S =2+3· (2+2 +⋯ +2 )-(3n-2)· 2 =-10+(5-3n)·2 ,所以 S n=10+(3n-5)· 2n+1,nn+· (-2),又 H=-n n n·n+1n=+(3n-5) ·2n+1+ · (-2)n.所以 T =S +H =10+(3n-5) 2 +· (-2) -2. 微信是企业推出的一种手机通件，它支持送音短信、、片和文字，一推出便靡全国，甚至涌出一批在微信的朋友圈内售商品的人( 被称微商 ). 了每日微信誉使用微信的，某化品的微商在一广随机采男性、女性用各50 名，此中每日玩微信超6小的用列“微信控” ，否称其“非微信控” ，果以下：微信控非微信控合男性262450女性302050合5644100(1) 依据以上数据，可否在犯的概率不超的前提下( 有 60%的掌握 ) “微信控”与“性”相关？(2) 现从检查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠予营养面膜 1 份，求所抽取 5 人中“微信控”和“非微信控”的人数.(3) 从 (2)中抽取的 5 人中再随机抽取 3 人赠予200 元的护肤品套装，记这 3 人中“微信控”.的人数为X，试求X的散布列与数学希望22参照公式： K (X )=，此中 n=a+b+c+d.参照数据：P(K2≥k0)k0【分析】 (1) 由列联表可得：=≈ <，所以不可以在出错误的概率不超出的前提下( 没有 60%的掌握 ) 以为“微信控” 与“性别” 相关 .(2)依题意可知，所抽取的 5 位女性用户中，“微信控”有 3 人，“非微信控”有 2 人 .(3)X 的全部可能取值为 1， 2， 3.P(X=1)==，P(X=2)== ， P(X=3)= =，所以 X 的散布列为X123PE(X)=1 ×+2×+3×= .3. 如图，在直角梯形ABCD 中， AD∥ BC，∠ ADC=90°， AE⊥平面ABCD， EF∥ CD，BC=CD=AE=EF=AD=1.(1)求证： CE∥平面 ABF.(2)在直线 BC上能否存在点 M，使二面角 E-MD-A 的大小为？若存在，求出 CM的长；若不存在，说明原因.【分析】 (1) 如图，作 FG∥ EA，AG∥ EF，连结 EG交 AF 于 H，连结 BH， BG，因为 EF∥ CD， EF=CD，所以 AG∥ CD，即点 G在平面 ABCD内，由 AE⊥平面 ABCD知 AE⊥ AG，所以四边形 AEFG是正方形，四边形 CDAG为平行四边形， H 为EG的中点， B 为 CG的中点，所以 BH∥ CE，BH在平面 ABF内， CE在平面 ABF外，所以 CE∥平面 ABF.(2) 如图，因为四边形AGCD为平行四边形，∠ADC=90°， AE⊥平面ABCD.以 A 为原点， AG 为 x 轴， AD为 y 轴， AE为 z 轴，成立空间直角坐标系.则 A(0， 0， 0) ， E(0， 0， 1) ，D(0， 2，0) ，设 M(1， y ， 0) ，所以=(0 ， 2， -1) ，=(1 ， y-2 ，0) ，00设平面 EMD的一个法向量为n=(x ， y， z) ，则令 y=1，得 z=2， x=2-y 0，所以 n=(2-y 0， 1， 2).又因为 AE⊥平面 AMD，所以=(0 ， 0，1) 为平面 AMD的一个法向量，所以==cos =，解得y0=2±，所以在直线BC上存在点M，且==.4. 已知椭圆+ =1(a>b>0) 经过点 M(-,), 且离心率等于.(1)求椭圆的方程 .(2) 若直线l :y=x+m 与椭圆交于A,B 两点 , 与圆 x2+y2=2 交于 C,D 两点 .①当=2 时, 求直线l的方程 ; ②若λ =, 试求λ的取值范围.【分析】 (1) 由已知可得解得所以椭圆方程为+=1.(2) ①因为=2, 圆心 (0,0)到直线 l :y=x+m的距离d==1,于是=1 即=,m=或 -,所以直线的方程为y=x+或y=x-.②y=x+m 代入 +=1 整理得3x 22+4mx+2m-8=0,设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 x1+x2=-,x 1x2=.==.又圆心 (0,0) 到直线l的距离 d=,于是=2=.所以λ ===,又因为直线与椭圆、圆都订交,所以2解得 0≤ m<4, 于是≤ -2,1-≥ 3,≥,所以λ≥.5. 已知函数 f(x)=e x(sinx-ax2+2a-e) ，此中 a∈ R， e=⋯自然数的底数 .(1) 当 a=0 ，函数f(x)的性 .(2) 当≤ a≤ 1 ，求：随意的 x∈ [0 ， +∞ ) ， f(x)<0.【分析】 (1) 当 a=0 ， f(x)=e x(sinx-e)， x∈ R，f ′ (x)=e x(sinx+cosx-e)=e x，因当 x∈R ，sin≤，所以 f ′ (x)<0 ，所以函数 f(x) 在 R上减 .(2)g(x)=sinx-ax2+2a-e ， x∈[0 ， +∞ ) ， g′ (x)=cosx-2ax，令 h(x)=g ′ (x)=cosx-2ax ， x∈ [0 ， +∞) ， h′ (x)=-sinx-2a，当≤ a≤ 1 ， x∈ [0 ， +∞) ，有 h′(x) ≤ 0，所以 h(x) 在 [0 ， +∞) 上是减函数，即 g′ (x)在[0 ， +∞ ) 上是减函数，又因 g′(0)=1>0 ， g′=≤<0，所以 g′ (x) 存在独一的 x0∈，000使得 g′ (x )=cosx-2ax=0，所以当 x∈(0 ， x0) ， g′ (x)>0 ， g(x)在区 (0 ， x0) 上增；当 x∈ (x 0， +∞ ) ， g′(x)<0 ，g(x) 在区 (x 0， +∞) 上减，所以在区[0 ， +∞ ) 上，g(x)=g(x )=sinx0-a+2a-e ，max因 为 cosx 0-2ax 0=0 ，所 以x 0= cosx 0 ， 将 其 代 入 上 式 得g(x)max=sinx 0-cos 2x 0+2a-e=sin 2x 0+sinx 0-+2a-e ，令t=sinx0， x 0 ∈，则t ∈，即有 p(t)=t 2 +t- +2a-e ， t ∈ ，因为 p(t) 的对称轴 t=-2a<0 ，所以函数 p(t) 在区间上是增函数，且≤ a ≤ 1，所以 p(t)<p= - +2a-e ≤ + -e<0 ，即随意 x ∈[0 ， +∞ ) ， g(x)<0 ，所以 f(x)=e x g(x)<0 ，所以对随意 x ∈ [0 ，+∞ ) ， f(x)<0.。

2019年高三数学（理人教版）二轮复习高考大题专攻练： 7Word版含解析此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

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高考大题专攻练7.立体几何(A组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC.(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D -AE-C的余弦值.【解题导引】(1)若证明平面ACD⊥平面ABC可根据面面垂直的判定在平面ACD内找一条线垂直平面ABC，从而转化为线面垂直，再利用线线垂直确定线面垂直.(2)利用(1)中的垂直关系建立空间直角坐标系，求平面ADE和平面ACE的法向量，求法向量的余弦值得二面角的余弦值.【解析】(1)如图，取AC中点O，连接OD，OB.[来源:学科网ZXXK]由∠ABD=∠CBD，AB=BC=BD知△ABD≌△CBD，所以CD=AD.由已知可得△ADC 为等腰直角三角形，D 为直角顶点，则OD ⊥AC ，设正△ABC 边长为a ，[来源:学科网ZXXK]则OD=AC=a ，OB=a ，BD=a ，所以OD2+OB2=BD2，即OD ⊥OB.又OB ∩AC=O ，所以OD ⊥平面ABC ，又OD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABC. (2)如图，以OA ，OB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，当E 为BD 中点时，平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，故可得A ，D ，C ，E ，则=，=.设平面ADE 的一个法向量为n1=， 则即令z1=1，则x1=1，y1=，所以n1=.同理可得平面AEC 的一个法向量n2=，所以cos<n1，n2>===.因为二面角D -AE-C的平面角为锐角，所以二面角D -AE-C的余弦值为.[来源:学|科|网]2.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=CD.世纪金榜导学号92494443(1)求证：BF∥平面CDE.(2)求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)因为AF∥DE，AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，[来源:学科网ZXXK]所以AF∥平面CDE，同理，AB∥平面CDE，又AF∩AB=A，所以平面ABF∥平面CDE，又BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE.(2)因为正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，正方形ADEF与梯形ABCD交于AD，CD⊥AD，[来源:Z。

俯视图侧视图正视图334高考复习数学试题(附参考答案)本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合33{|0},{|||},""""122x P x Q x x m P m Q x =≤=-≤∈∈-那么是的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.公差不为0的等差数列{}n a 中,2200520072009330a a a -+=,数列{}n b 是等比数列，且20072007b a =,则20062008b b =（ ）A ．4B ．8C ．16D ．363. 若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ）A ．2-B ．2C ．-4D ．44．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A. 123B. 363C. 273D. 65．已知直线0=++C By Ax （其中0,222≠=+C C B A ）与圆422=+y x 交于N M ,，O 是坐标原点，则OM ·ON =（ ） A ．- 1 B ．- 1 C ． - 2 D ．2 6．设0(sin cos )a x x dx π=+⎰，则二项式61()a x x-，展开式中含2x 项的系数是（ ） A. 192- B. 192 C. -6 D. 6 7．已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）8．关于x 的方程2(1)10(0,)x a x a b a a b +++++=≠∈R 、的两实根为12,x x ，若12012x x <<<<，则ba的取值范围是（ ）A B C DA ．4(2,)5--B ．34(,)25--C ．52(,)43--D ．51(,)42--第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9—12题）9. 右图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出 的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ；方差为 .10.已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为_______．11. 在如下程序框图中，已知：0()x f x xe =，则输出的是_________ _.12. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=，123tan 3PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ． （二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使12OM OP ⋅=.设R 为l 上任意一点，则RP 的最小值 ．14. （不等式选讲选做题）若关于x 的不等式1x x a +-<(a ∈R )的解集为∅，则a 的取值范围是 ．15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．且AD ＝19，BE ＝16，BC ＝4，则AE ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a ﹑b﹑c ，若cos cos A bB a= 且sin cos C A = (Ⅰ)求角A 、B 、C 的大小；(Ⅱ)设函数()()sin cos 222C f x x x A ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的单调递增．．区间，并指出它相邻两对称轴间的距离.17. （本小题满分13分）在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中, A 、B 两个代表队进行对抗赛, 每队三名7 98 4 4 6 4 7 9 3否 是开始 输入f 0 (x ) 0=i )()(1'x f x f i i -= 结束1+=i i i =2009输出 f i (x )队员, A 队队员是123,A A A 、、B 队队员是123,B B B 、、按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间胜负概率如下表, 现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得1分,负队得0分, 设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η, 且3ξη+=.（Ⅰ）求A 队得分为1分的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强.18. （本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左右顶点分别为A C 、，上顶点为B ，过C B F ,,三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为()n m ,.(Ⅰ)当0m n +≤时，椭圆的离心率的取值范围. (Ⅱ)直线AB 能否和圆P 相切？证明你的结论.19. （本小题满分13分）在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）.将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； （III ）求二面角B －A 1P －F 的余弦值. 20. （本小题满分14分）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4， 公差为2的等差数列.(Ⅰ)求证：数列{}n a 是等比数列； (Ⅱ) 若()n n n b a f a =⋅，当2k =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（III ）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由． 21. （本小题满分14分）已知函数F (x )=|2x －t |－x 3+x +1（x ∈R ，t 为常数，t ∈R ）. (Ⅰ)写出此函数F (x )在R 上的单调区间；(Ⅱ)若方程F (x )－k =0恰有两解，求实数k 的值． 对阵队员A 队队员胜 A 队队员负 1A 对1B 23 132A 对2B 2535 3A 对3B 37 35【答案及详细解析】一、选择题：本大题理科共8小题，每小题5分，共40分. 文科共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题型练1　选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.(2018北京,理1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}2.若a>b>1,0<c<1,则( )A.a c<b cB.ab c<ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c3.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为( )A.1B.2C.3D.44.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )555A.2+B.4+C.2+2D.55.(2018全国Ⅰ,理3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是( )A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6.函数f (x )=x cos x 2在区间[0,2]上的零点的个数为( )A .2B .3C .4D .57.如图,半圆的直径AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于A ,B 的任意一点,若P 为半径OC 上的动点,则()·的最小值为( )PA +PB PCA .B .9C .-D .-992928.函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]上的图象大致为( )9.若复数z 满足2z+=3-2i,其中i 为虚数单位,则z= . z 10.已知圆(x-2)2+y 2=1经过椭圆=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=　.x 2a 2+y 2b 211.的展开式中的常数项为 .(用数字表示)(x -13x )412.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6,S 6= . 13.曲线y=x 2与直线y=x 所围成的封闭图形的面积为 .14.在平面直角坐标系中,已知圆C 的参数方程为(θ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的{x =a +cos θ,y =sin θ非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin .若直线l 与圆C 相切,则实数(θ-π4)=22a= .思维提升训练1.设集合A={y|y=2x ,x ∈R },B={x|x 2-1<0},则A ∪B=( )A .(-1,1)B .(0,1)C .(-1,+∞)D .(0,+∞)2.(2018北京,理8)设集合A={(x ,y )|x-y ≥1,ax+y>4,x-ay ≤2},则( )A.对任意实数a ,(2,1)∈A B.对任意实数a ,(2,1)∉A C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A D.当且仅当a ≤时,(2,1)∉A323.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( )A.a+<log 2(a+b )1b <b 2aB.<log 2(a+b )<a+b 2a 1bC.a+<log 2(a+b )<1b b 2aD.log 2(a+b )<a+1b <b 2a4.某算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x 的值可能为( )12A .-1B .0C .1D .55.已知双曲线C :=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C 的离心率为x 2a 2‒y 2b 2( )A .B .C .D .352526.函数y=x sin x 在[-π,π]上的图象是( )7.质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3四个数字,某同学随机地抛掷此正四面体2次,若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m ,n ,且两次结果相互独立,互不影响.记m 2+n 2≤4为事件A ,则事件A 发生的概率为( )A. B.38316C. D.π8π168.已知O 是锐角三角形ABC 的外接圆圆心,∠A=60°,=2m ·,则m 的值为( )cos Bsin C ·AB +cos Csin B ·AC AOA .B .322C .1D .129.(2018天津,理9)i 是虚数单位,复数= .6+7i1+2i 10.若变量x ,y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为 .{x +y ≥-1,2x -y <1,y ≤1,11.在平面直角坐标系中,设直线l :kx-y+=0与圆O :x 2+y 2=4相交于A ,B 两点,,若点2OM =OA +OB M 在圆O 上,则实数k= . 12.一条曲线C 的参数方程为(t 为参数),C 在点(1,1)处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴{x =2cos t ,y =2sin t的非负半轴为极轴建立极坐标系,则切线l 的极坐标方程为 .13.如图,在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ,满足PD=DA ,PB=BA ,则四面体PBCD 的体积的最大值是 .14.已知等差数列{a n }前n 项的和为S n ,且满足=3,则数列{a n }的公差为 .S 55‒S 22##题型练1　选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.A 解析 ∵A={x||x|<2}={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A ∩B={0,1}.2.C 解析 特殊值验证法,取a=3,b=2,c=,12因为,所以A 错;3>2因为3>2,所以B 错;2=183=12因为log 3=-log 32>-1=log 2,所以D 错;1212因为3log 2=-3<2log 3=-2log 32,所以C 正确.故选C .12123.B 解析 由程序框图可知,输入a=1,则k=0,b=1;进入循环体,a=-,a=b 不成立,k=1,a=-2,a=b 不成12立,k=2,a=1,此时a=b=1,输出k ,则k=2,故选B .4.C 解析 由三视图还原几何体如图.∴S 表面积=S △BCD +2S △ACD +S △ABC=2×2+21+212××12×5×12××5=2+=2+25+55.5.A 解析 设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A 不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C 正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D 正确,故选A .6.A 解析 令f (x )=0,即x cos x 2=0,得x=0或cos x 2=0,则x=0或x 2=k π+,x ∈Z .π2∵x ∈[0,2],∴x 2∈[0,4],得k 的取值为0,即方程f (x )=0有两个解,则函数f (x )=x cos x 2在区间上的零点的个数为2,故选A .7.C 解析 =2,∵PA +PB PO ∴()=2=-2||·||.PA +PB ·PC PO ·PC PO PC又||+||=||=3≥||·||,PO PC OC PO PC ≤94∴()-故答案为-PA +PB ·PC ≥92.92.8.C 解析 由函数f (x )为奇函数,排除B;当0≤x ≤π时,f (x )≥0,排除A;又f'(x )=-2cos 2x+cos x+1,令f'(0)=0,则cos x=1或cos x=-,结合x ∈[-π,π],求得f (x )在(0,π]上的极12大值点为,靠近π,排除D .2π39.1-2i 解析 设z=a+b i(a ,b ∈R ),则2z+=3a+b i =3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i .z 10　解析 因为圆(x-2)2+y 2=1与x 轴的交点坐标为(1,0),(3,0),所以c=1,a=3,e=.13ca =13.11　解析 T k+1=x 4-k (-1)k x 4-2k (-1)k ,令4-2k=0,得k=2,展开式中的常数项为.23C k 4(13)k (1x )k =C k 4(13)k 23.12　解析 将正六边形分割为6个等边三角形,.332则S 6=6×(12×1×1×sin60°)=332.13　解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y=x 2与y=x 的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴.16影所示,设其面积为S.由故所求面积S=(x-x 2)d x={y =x 2,y =x ,得{x =0,y =0或{x =1,y =1.∫10(12x 2-13x 3)|10=16.14.-1±　解析 由题意知圆C 的普通方程为(x-a )2+y 2=1,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0.2由题意知=1,解得a=-1±|a +1|12+(-1)22.思维提升训练1.C 解析 A={y|y>0},B={x|-1<x<1},则A ∪B={x|x>-1},选C .2.D 解析 若(2,1)∈A ,则有化简得即a>{2-1≥1,2a +1>4,2-a ≤2,{a >32,a ≥0,32.所以当且仅当a 时,(2,1)∉A ,故选D .≤323.B 解析 不妨令a=2,b=,则a+=4,,log 2(a+b )=log 2(log 22,log 24)=(1,2),即<log 2(a+b )<a+121b b 2a =1852∈b2a 故选B .1b .4.C 解析 由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y=当x>2时y=2x >4,若输出的{sin (π6x ),x ≤2,2x ,x >2,y=,则sin ,结合选项可知选C .12(π6x )=125.C 解析 ∵双曲线C :=1(a>0,b>0)的焦点在x 轴上,∴其渐近线方程为y=±x.x 2a2‒y 2b2ba∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直,∴渐近线的斜率为2,=2,∴ba 即b 2=4a 2,c 2-a 2=4a 2,c 2=5a 2,=5,,双曲线的离心率e=∴c 2a2ca =55.6.A 解析 容易判断函数y=x sin x 为偶函数,可排除D;当0<x<时,y=x sin x>0,排除B;当x=π时,y=0,π2可排除C .故选A .7.A 解析 根据要求进行一一列举,考虑满足事件A 的情况.两次数字分别为(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3),共有16种情况,其中满足题设条件的有(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(0,2),共6种情况,所以由古典概型的概率计算公式可得事件A 发生的概率为P (A )=,故选A .616=388.A 解析 如图,当△ABC 为正三角形时,A=B=C=60°,取D 为BC 的中点,,则有=2m ,AO =23AD 13AB +13AC ·AO )=2m ,∴13(AB +AC ×23AD 2,∴m=,故选A .∴13·AD =43m AD 329.4-i 解析 =4-i .6+7i1+2i =(6+7i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=6-12i +7i +145=20-5i510.-7　解析 画出约束条件对应的可行域(如图).由z=3x-y 得y=3x-z ,依题意,在可行域内平移直线l 0:y=3x ,当直线l 0经过点A 时,直线l 0的截距最大,此时,z 取得最小值.由则A (-2,1),故z 的最小值为3×(-2)-1=-7.{y =1,x +y +1=0,得{x =-2,y =1,11.±1　解析 如图,,则四边形OAMB 是锐角为60°的菱形,此时,点O 到AB 距离为1.OM =OA +OB 由=1,解得k=±1.21+k 212.ρsin (θ+π4)=213　解析 由题意易知△ABD ≌△PBD ,∠BAD=∠BPD=∠BCD=30°,AC=2.123.设AD=x ,则0≤x ≤2,CD=2-x ,在△ABD 中,由余弦定理知BD=334+x 2-23x =设△PBD 中BD 边上的高为d ,显然当平面PBD ⊥平面CBD 时,四面体PBCD 的体积最1+(x -3)2.大,从而V P-BCD d×S △BCD =BC×CD×sin 30°=,≤13×13×PD ×PB ×sin30°BD ×12×16×x (23-x )1+(x -3)2令=t ∈[1,2],则V P-BCD ,即V P-BCD 的1+(x -3)2≤4-t 26t ≤12(易知f (t )=4-t 26t 在[1,2]上单调递减)最大值为12.14.2　解析 ∵S n =na 1+d ,=a 1+d ,n (n -1)2∴S n n n -12 d.∴S 55‒S 22=(a 1+5-12d )‒(a 1+2-12d )=32又=3,∴d=2.S 55‒S 22。

题型练4　大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足(1-q )S n +qa n =1,且q (q-1)≠0.(1)求{a n }的通项公式;(2)若S 3,S 9,S 6成等差数列,求证:a 2,a 8,a 5成等差数列.2.已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d=1,前n 项和为S n ,b n =.1S n(1)求数列{b n }的通项公式;(2)设数列{b n }前n 项和为T n ,求T n .3.(2018浙江,20)已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1-b n)a n}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{b n}的通项公式.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公比为q 的等比数列{b n }的首项是,且12a 1+2q=3,a 2+4b 2=6,S 5=40.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式a n ,b n ;(2)求数列的前n 项和T n .{1a n a n +1+1b n b n +1}5.已知数列{a n }满足a 1=,且a n+1=a n -(n ∈N *).12a 2n (1)证明:1≤≤2(n ∈N *);a nan +1(2)设数列{}的前n 项和为S n ,证明:(n ∈N *).a 2n 12(n +2)≤S n n ≤12(n +1)6.已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *.(1)若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,求数列{a n }的通项公式;(2)设双曲线x 2-=1的离心率为e n ,且e 2=,证明:e 1+e 2+…+e n >.y 2a 2n 534n -3n3n -1题型练4　大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解 当n=1时,由(1-q )S 1+qa 1=1,a 1=1.当n ≥2时,由(1-q )S n +qa n =1,得(1-q )S n-1+qa n-1=1,两式相减,得a n =qa n-1.又q (q-1)≠0,所以{a n }是以1为首项,q 为公比的等比数列,故a n =q n-1.(2)证明 由(1)可知S n =,又S 3+S 6=2S 9,1-a n q1-q 所以,1-a 3q1-q +1-a 6q1-q =2(1-a 9q )1-q化简,得a 3+a 6=2a 9,两边同除以q ,得a 2+a 5=2a 8.故a 2,a 8,a 5成等差数列.2.解 (1)∵在等差数列{a n }中,a 1=1,公差d=1,∴S n =na 1+d=,∴b n =n (n -1)2n 2+n22n 2+n.(2)b n ==2,∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+…+2n 2+n =2n (n +1)(1n -1n +1)[11×2+12×3+13×41n (n +1)]=2+…+=2故T n =(1-12+12‒13+13‒141n ‒1n +1)(1-1n +1)=2n n +1.2nn +1.3.解 (1)由a 4+2是a 3,a 5的等差中项,得a 3+a 5=2a 4+4,所以a 3+a 4+a 5=3a 4+4=28,解得a 4=8.由a 3+a 5=20,得8=20,(q +1q )解得q=2或q=,因为q>1,所以q=2.12(2)设c n =(b n+1-b n )a n ,数列{c n }前n 项和为S n ,由c n =解得c n =4n-1.{S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2,由(1)可知a n =2n-1,所以b n+1-b n =(4n-1)·(12)n -1.故b n -b n-1=(4n-5),n ≥2,·(12)n -2b n -b 1=(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 3-b 2)+(b 2-b 1)=(4n-5)+(4n-9)+…+7+3.·(12)n -2·(12)n -3·12设T n =3+7+11+…+(4n-5),n ≥2,·12·(12)2·(12)n -2T n =3+7+…+(4n-9)+(4n-5),12·12·(12)2·(12)n -2·(12)n -1所以T n =3+4+4+…+4-(4n-5),12·12·(12)2·(12)n -2·(12)n -1因此T n =14-(4n+3),n ≥2,·(12)n -2又b 1=1,所以b n =15-(4n+3)·(12)n -2.4.解 (1)设{a n }公差为d ,由题意得解得故a n =3n-1,b n ={a 1+2d =8,a 1+2q =3,a 1+d +2q =6,{a 1=2,d =3,q =12,(12)n .(2)+22n+1,∵1a n a n +1+1b n b n +1=13(1a n -1a n +1)+1b n b n +1=13(1a n -1a n +1)∴T n =+…+(22n+3-8)=13[(12-15)+(15-18)(13n -1-13n +2)]+8(1-4n )1-4=13(12-13n +2)+1313(22n +3-13n +2)‒52.5.证明 (1)由题意得a n+1-a n =-0,即a n+1≤a n ,故a n 由a n =(1-a n-1)a n-1,得a n =(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a 2n≤≤12.a 1)a 1>0.由0<a n ,得[1,2],≤12a n a n +1=a n a n -a 2n =11-a n ∈即12.≤a nan +1≤(2)由题意得=a n -a n+1,所以S n =a 1-a n+1.①a 2n 由和12,得12,所以n 2n ,1a n +1‒1a n =a n a n +1≤a n a n +1≤≤1a n +1‒1a n ≤≤1a n +1‒1a 1≤因此a n+1(n ∈N *).②12(n +1)≤≤1n +2由①②得(n ∈N *).12(n +2)≤S n n ≤12(n +1)6.(1)解 由已知,S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n ≥1.又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1,故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列.从而a n =q n-1.由2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,可得2a 3=3a 2+2,即2q 2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n =2n-1(n ∈N *).(2)证明 由(1)可知,a n =q n-1.所以双曲线x 2-=1的离心率e n =y 2a 2n1+a 2n =1+q 2(n -1).由e 2=,解得q=1+q 2=5343.因为1+q 2(k-1)>q 2(k-1),所以>q k-1(k ∈N *).1+q 2(k -1)于是e 1+e 2+…+e n >1+q+…+q n-1=,q n -1q -1故e 1+e 2+…+e n >4n -3n 3n -1.。

综合能力训练
第Ⅰ卷(选择题,共分)
一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分)
.已知集合{()},则∩等于()
.(] .[) .[) .[)
.设直线与抛物线(>)交于两点,若⊥,则△的面积为()
..
.已知奇函数()在上是增函数()().若()()(),则的大小关系为()
<<<<<<<<
.(浙江)某几何体的三视图如图所示(单位),则该几何体的体积(单位)是()
.执行如图所示的程序框图.若输入,则输出的()
.
.
.
.
.已知双曲线(>>)被斜率为的直线截得的弦的中点为(),则该双曲线离心率的值是() ..
.
.已知函数()若()(),则的所有可能值为()
,
.已知实数.()
.若≤,则<
.若≤,则<
.若≤,则<
.若≤,则<
第Ⅱ卷(非选择题,共分)
二、填空题(本大题共小题,每小题分,共分)
.已知∈是虚数单位,若()(),则的值为.
.在()的展开式中,含的项的系数是.(用数字填写答案)。

2019-2020学年度最新高三高考数学二轮复习专题训练+12+Word 版含答案8、数列}{n a 的通项公式为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 3cos 222ππn n n a n ，其前n 项和为n S 。

（1）求n S ； （2）设nnn n S b 43⋅=，求数列}{n b 的前n 项和n T 。

解：（1）由于222cos sin cos 333n n n πππ-=，故312345632313222222222()()()1245(32)(31)(3)(6)((3)))222k k k k S a a a a a a a a a k k k --=+++++++++++-+-=-++-+++-+1331185(94)2222k k k -+=+++=，3133(49),2k k kk k S S a --=-=2323131(49)(31)1321,22236k k k k k k k S S a k ------=-=+=-=--故1,3236(1)(13),316(34),36n n n k n n S n k n n n k⎧--=-⎪⎪+-⎪==-⎨⎪+⎪=⎪⎩，*k N ∈。

（2）394,424n n n nS n b n +==⋅⋅21132294[],2444n n n T +=+++1122944[13],244n n n T -+=+++两式相减得：12321991999419419443[13][13]8,12444242214nn n n n n n n n n T --+-++=+++-=+-=---故2321813.3322n n n n T -+=--⋅。

9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足。

（1）求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21122,.n n n n na b S b b b a -==+++。

2019年高考现场模拟名师教你最后一招——考场应试技巧1．“穿”“带”双齐进考场穿着整齐进考场，不要穿拖鞋、背心等。

带齐考试用品：数、理、化可带规定的计算器，2B铅笔、准考证，万一忘带准考证，及时找带队老师，考后一定要把准考证交回。

2．掌握时间心不慌掌握考试时间，迟到15分钟不得进场，一般要提早20分钟。

充分利用开考前的五分钟，认真倾听监考老师宣读有关规则和注意事项，以免事后惹麻烦。

接过考卷，先认真填写姓名、学校、准考证号、座号等，只须检查一下有没有漏项、白页即可，无须把题目从头到尾地详细看一遍，只须看清解题的要求，试卷页数，大致了解一下试题份量、难度等。

然后对每一题要仔细审题，准确解题。

题目读两遍，慢审快解(题目看仔细，想清楚再解题)，最好能做到一次性准确。

先从容易的做起，因为一开始就感觉顺利，可使自己心情放松，利用有利的感觉推向“下一题”，能引起“自信”的连锁反应，有利于情绪的稳定。

3．打响高考第一枪进入考场，调整一下姿势，舒适地坐在位子上；摆好文具，带眼镜的同学把眼镜摘下擦一擦，尽快进入角色；此时心中想着的只是考试的注意事项，不要再多虑考试的结果、成败、得失。

开考前不宜过早地在教室外等待考试，可以在操场等场所有意识地放松。

做到镇定自如，不慌张。

如果出现心律加快，手脚发抖等紧张现象，也属于正常现象，可以适当进行调节，如深呼吸，同时告诫自己别紧张，不害怕，也可以在嘴里放块口香糖以分散紧张情绪。

4．先易后难不慌忙先易后难：按照题号顺序审题，会一道就做一道，一时不会做的就先跳过(有疑问的、不会的在草稿纸上做记录)，这样做的好处是：(1)使自己很快进入答题状态，(2)随着答题数的增加，心中越来越有数，信心不断增强，智力操作效率将越来越高，难题或许不会再难了。

第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U＝{x∈N*|x2－9x＋8≤0}，A＝{1,2,3}，B＝{5,6,7}，则(∁U A)∩(∁U B)＝()A．{4,8} B．{2,4,6,8} C．{1,3,5,7} D．{1,2,3,5,6,7}答案：A解析：因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,4,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝{4,8}，故选A.2．在复平面内，复数z满足i z＝(1＋2i)2，则|z|＝()A．5 B．25 C. 5 D．2 5答案：A解析：由i z＝(1＋2i)2得z＝(1＋2i)2i＝－3＋4ii＝(－3＋4i)(－i)＝4＋3i，所以|z|＝42＋32＝5，故选A.3．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则落在(0,80)内的概率为() A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2答案：B解析：由题意可得P(0<ξ<80)＝P(ξ>120)＝12×(1－0.8)＝0.1，故选B.做题时：整体安排有序，依序答题，先易后难，先简后繁．选择题一般30分钟左右完成，对于较容易的题目可直接在第Ⅰ卷原题空隙附近计算，认真读准题目的每一个字，一定要抓住关键词、关键句，提取有效信息，明白出题人的真正意图何在，千万不要想当然，没读完就开始做．最好认真看清已知条件．即使时间再紧张，看清题目也是至关重要的．否则必定造成不应有的失误．如：选择题题干常常这样问“下列叙述，不正确的是”，“不”字的存在与否使答案完全相反．这样丢分、失分很是可惜．1．先确定集合U中的元素，再进行集合运算，送分题，选A.2．复数的运算法则是高频考点，细心计算，选A.3．注意正态分布的对称性，借助图象解答，选B.2017年高考现场模拟4．定义在R上的函数f(x)满足：f(x－1)＝－1f(x＋1)成立，且f(x)在[－2,0]上单调递增，设a＝f(6)，b＝f(22)，c＝f(4)，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．a>c>b C．b<c<a D．c>b>a答案：D解析：由f(x－1)＝－1f(x＋1)，得f(x)＝－1f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－1f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，则函数f(x)的周期T＝4，a＝f(6)＝f(－2)，b＝f(22)＝f(22－4)，c＝f(4)＝f(0)．因为－2<22－4<0，且f(x)在[－2,0]上单调递增，所以f(－2)<f(22－4)<f(0)，即c>b>a，故选D.5．如图是一个算法框图，若输出的a的值为365，则输入的最小整数t的值为()A．121 B．122 C．123 D．124答案：B解析：第一次循环，a＝3×1－1＝2；第二次循环，a＝3×2－1＝5；第三次循环，a＝3×5－1＝14；第四次循环，a＝3×14－1＝41；第五次循环，a＝3×41－1＝122；第六次循环，a＝3×122－1＝365，此时循环结束，所以输入的最小整数t的值为122，故选B.6．如图所示是某个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A.163 cm 3B.24－2π3 cm 3C.20－π3 cm 3D.20＋π3 cm 3答案：C解析：由三视图知几何体为一个正方体中挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥与一个底面是边长为2的正方形、高为1的四棱锥后余下部分组成的几何体，其体积为V ＝23－13×π×12×1－13×2×2×1＝20－π3(cm 3)，故选C. 7．已知点P (2，t )，Q (2，－t )(t >0)，若圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1上存在点M ，使得∠PMQ ＝90°，则实数t 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．(0,4]∪[6，＋∞)D ．(0,4)∪(6，＋∞) 答案：A解析：因为圆C 上存在点M ，使得∠PMQ ＝90°，则以PQ 的中点(2,0)为圆心、t 为半径的圆(x －2)2＋y 2＝t 2与已知圆C ：(x ＋2)2＋(y－3)2＝1有公共点，则|t －1|≤(2＋2)2＋(0－3)2≤|t ＋1|，解得4≤t ≤6，故选A.8．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何？”意思是：女子从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则该女子第5天所织的布的尺数为( )A ．7 B.10715 C.21931 D.20929答案：D解析：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布，则由题意知30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629，所以第5天所织的布的尺数为5＋(5－1)×1629＝20929，故选D.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )A ．－223 B.223 C ．±223 D.13答案：A解析：由三角函数的图象可得A ＝3，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π＝2πω，所以ω＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝－3，0<φ<π，则φ＝5π6. 因为f (α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝13. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，3π2， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－223，故选A.4．从f (x －1)＝－1f (x ＋1)入手，可得f (x )为周期函数，然后把a ，b ，c 转化为求在[－2,0]上的函数值，选D.常用结论：若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ；若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ；若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .5．逐次把循环结束的结果准确计算出来是解答此类问题的关键，易出现错误判断循环体结束的条件，导致出错，选B.6．根据三视图的规则，还原该几何体为一个正方体中挖去一个圆锥与一个正四棱锥余下的部分组成的几何体．还原空间几何体的实际形状时一般以正视图和俯视图为主，选C.7．根据P ，Q 两点坐标及∠PMQ ＝90°，可得点M 在以PQ 的中点为圆心、t 为半径的圆上，利用两圆相交的条件列不等式求出t 的取值范围．解决圆与圆位置关系问题要以圆心距d 与两圆半径和、差的关系入手，选A.8．将问题转化为等差数列问题解决，确定首项、项数、公差、和分别是多少，再根据通项公式计算，选D.9．由图象易得A ＝3，ω＝2，代入f (x )的解析式中，利用点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3求φ，注意φ∈(0，π)，可得到f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，最后利用同角三角函数的平方关系，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6的值，要关注2α＋5π6的范围，确定cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6的符号，选A.10．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形，若AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.32π3 B ．12π C ．16π D ．32π答案：C解析：设球心O 在平面BCD 上的投影为O 1，则OO 1＝AB 2＝1，因为△BCD 为等边三角形，故DO 1＝23×332＝ 3.又因为△OO 1D 为直角三角形，所以球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.11．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x答案：C解析：设抛物线C 的方程为y 2＝2px ，p >0，经过焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线方程为x ＝my ＋p 2，代入抛物线C 的方程整理得y 2－2pmy －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 44p 2＝p 24，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34p 2＝－12，解得p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x ，故选C.12．定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t ，使得f (t ＋x )＝－tf (x )恒成立，则称f (x )是一个“关于t 函数”．有下列“关于t 函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“关于t 函数”；②“关于12函数”至少有一个零点；③f (x )＝x 2是一个“关于t 函数”．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案：A解析：若f (x )＝c ≠0，取t ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“t 函数”，①不正确．若f (x )是“关于12函数”，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (0)＝0，若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12任意一个为0，则函数f (x )有零点；若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12均不为0，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12异号，由零点存在定理知在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内存在零点，②正确．若f (x )＝x 2是一个“关于t 函数”，则(x ＋t )2＋tx 2＝0对任意x ∈R 恒成立，令x ＝1，求得t ＝0且t ＝－1，矛盾，③不正确．∴正确的结论的个数是1，故选A.10.画出组合体的图形解决本题，确定球心O 与其在平面BCD 上的投影O 1的位置是关键，在Rt △OO 1D 中，球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2.也可将该四面体还原为球内接正三棱柱(底边长为3，高为2)解决，选C.11．解决直线与圆锥曲线的问题，常规方法是联立方程，利用根与系数的关系解决，本题抛物线方程设为y 2＝2px (p >0)，将直线方程设为x ＝my ＋p 2(p >0)较为简便．选C.12．本题属于创新型问题，理解“关于t 函数”这一定义是关键，用反例可说明结论①不正确；可结合零点存在性定理说明②正确；用举例法说明③不正确．选A.本题难度较大，若感到困难，可跳过做后面的填空题，避免耽误较多时间．完成选择题后，及时将答案涂在答题卡指定位置．选择题的作答，要求用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，忌用钢笔、圆珠笔、假2B 铅笔填涂；填涂时要做到“满、深、匀”，忌没有填满、填实、填涂过轻、没有填成小方块或在选项中涂一个很小的点或打一个“√”；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号，忌填错后修改时没有擦干净．否则，机器不能正确读出，会造成丢分．第Ⅱ卷 非选择题(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22,23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．请在答题卡指定区域内作答．13．某校高一年级招收的新生中有男生480人，女生360人．为了解该年级学生的视力情况，用分层抽样的方法从新生中抽取一个容量为42的样本进行调查，则样本中女生人数为________．答案：18解析：样本中女生人数为42×360480＋360＝18. 14．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的二项式系数和为64，则展开式中含有x 的项为________．答案：－540x解析：由二项式系数和为64得2n ＝64，n ＝6，二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2k ＝C k 6·36－k (－1)k x 6－5k 3 ，由6－5k 3＝1得k ＝3，所以展开式中含有x 的项为T 3＋1＝C 36·33(－1)3x ＝－540x .15．若点(1,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，则以a ，b 为直角边的直角三角形的斜边长度的最小值是________．答案：3解析：由题意可得1a 2＋4b 2＝1(a >0，b >0)，以a ，b 为直角边的直角三角形的斜边长为a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝3，当且仅当b 2a2＝4a 2b2，即a 2＝3，b 2＝6时等号成立，所以斜边长度的最小值是3.16．如图，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ，并测量得到一些数据：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB ＝48.19°，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫其中cos 48.19°取近似值23 答案：10解析：在△ADC 中，由正弦定理得|AC |＝|DC |sin D sin ∠DAC＝2×2212＝2 2.在△BCE 中，由正弦定理得|BC |＝|EC |sin E sin ∠CBE ＝23×3222＝3 2.在△ACB 中，由余弦定理可得|AB |2＝(22)2＋(32)2－2×22×32×23＝10，所以|AB |＝10.,填空题用时可在20分钟左右，注意书写答案时要求清楚、规范．13．分层抽样是按比例抽样，抽样比为360480×360＝37，故样本中女生的人数为42×37＝18，本题较易，送分题．14．由二项式系数和为64可得n ＝6，求含有x 的项可根据二项式的通项解决，注意此处运算易出错．另外注意所求结果为含有x 的项应填－540x ，不是含有x 的项的系数，不要错填－540.15．本题条件中有两个变量a ，b ，且易得1a 2＋4b 2＝1，故可想到利用基本不等式求解最小值，关键是巧用“1”的代换：a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2 ＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2 ≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝3.利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”三个条件．16．要求得AB 的长度，在△ABC 中，已知∠ACB ＝48.19°，只需求AC ，BC 的长，再利用余弦定理可得AB 的长，故应分别在△ADC ，△BCE中，根据正弦定理求解AC，BC的长度，本题已知条件较多，解答时可将已知数据分别标注在题中图形的相应位置上，帮助分析问题，灵活运用正、余弦定理是解答本题的关键．完成填空题后将题目答案及时填写在答题卡相应位置，并检查一遍，然后开始做解答题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知正项数列{a n}，{b n}，{c n}满足b n＝a2n－1，c n＝a2n，n∈N*，数列{b n}的前n项和为S n，(b n＋1)2＝4S n.数列{c n}的前n项和T n＝3n－1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前2n项和A2n.解：(1)由(b n＋1)2＝4S n得(b1＋1)2＝4b1，解得b1＝1.又(b n－1＋1)2＝4S n－1，n≥2，则(b n＋1)2－(b n－1＋1)2＝4S n－4S n－1＝4b n，n≥2，化简得b2n－b2n－1＝2(b n＋b n＋1)，n≥2.又b n>0，所以b n－b n－1＝2，n≥2，则数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，所以b n＝1＋2(n－1)＝2n－1＝a2n－1，所以当n为奇数时，a n＝n.由T n＝3n－1得c1＝2，T n－1＝3n－1－1，n≥2，则c n＝3n－3n－1＝2×3n－1，n≥2，当n＝1时，上式也成立，所以c n＝2×3n－1＝a2n，所以当n 为偶数时，a n ＝2×3n －22 ，综上知，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，n 为奇数，2×3n －22 ，n 为偶数.(2)因为前2n 项中有n 个奇数项，n 个偶数项，奇数项的和为n (1＋2n －1)2＝n 2， 偶数项的和为2(1－3n )1－3＝3n －1， 所以A 2n ＝n 2＋3n －1.18．(本小题满分12分)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分别有5个级别：T ∈[0,2)畅通；T ∈[2,4)基本畅通；T ∈[4,6)轻度拥堵；T ∈[6,8)中度拥堵；T ∈[8,10]严重拥堵．早高峰时段(T ≥3)，从郑州市交通指挥中心随机选取了三环以内5个交通路段，依据交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示：(1)据此频率分布直方图估算交通指数T ∈[3,9]时的中位数和平均数；(2)据此频率分布直方图求出该市早高峰三环以内的3个路段中至少有2个严重拥堵的概率是多少？(3)某人上班路上所用时间若畅通为25分钟，基本畅通为35分钟，轻度拥堵为40分钟，中度拥堵为50分钟，严重拥堵为60分钟．求此人所用时间的数学期望．解：(1)由直方图知，当T ∈[3,9]时，交通指数的中位数为5＋1×0.20.24＝356，当T ∈[3,9]时，交通指数的平均数为 3.5×0.1＋4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＋8.5×0.1＝5.92.(2)设事件A 为“一条路段严重拥堵”，则P (A )＝0.1，则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为P ＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＋C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝7250.故3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为7250.(3)由题意，所用时间X 的分布列如下表：则E (X )＝35×0.1＝45.1， 故此人经过该路段所用时间的数学期望是45.1分钟．19．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C 为矩形，BC ＝CC 1＝1，AC ＝2，∠ABC ＝90°.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1B1C；(2)设D为AC的中点，求平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又由条件知BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴BB1⊥AB.又∵BB1∩BC＝B，∴AB⊥平面BB1C1C，∴AB⊥B1C.由BC＝CC1＝1知四边形BB1C1C为正方形，∴B1C⊥BC1.又∵AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1.又∵B1C⊂平面A1B1C，∴平面ABC1⊥平面A1B1C.(2)解：以A为原点，以过点A垂直于AC的直线为x轴，以AC，AA1分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，C (0,2,0)，D (0,1,0)，C 1(0,2,1)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，1，则DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，DC 1→＝(0,1,1)．由(1)知B 1C →为平面ABC 1的一个法向量，易得B 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，－1.设n ＝(x ，y ，z )为平面C 1BD 的法向量，则由⎩⎨⎧ n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0得⎩⎨⎧32x ＋12y ＝0，y ＋z ＝0. 取x ＝1，得n ＝(1，－3，3)，∴cos 〈n ，B 1C →〉＝n ·B 1C →|n ||B 1C →|＝－237×2＝－427，故平面ABC 1与平面C 1BD 所成锐角的余弦值为427.解答题答卷中要做到先易后难，稳扎稳打，答题步骤完整、规范，字字有据，步步准确，尽量一次成功(直接将步骤写在答题卡题号规定的区域，不能超出答题框)，保持卷面整洁．17．本题考查数列由递推公式求通项及数列求和．根据条件：b n ＝a 2n －1与c n ＝a 2n ，可知{a n }的通项公式应分n 为偶数和奇数两种情形，故先分别由(b n ＋1)2＝4S n 求b n ，由T n ＝3n －1求c n .第(2)问A 2n 可根据奇数项与偶数项的和求得．解答此类问题通常以递推关系出发，灵活变形，注意解答步骤规范，步步为赢．18．第(1)问求中位数与平均数是频率分布直方图考点的基本题型，要求考生准确利用直方图中的数据解决．第(2)问为概率问题，先确定为独立重复试验模型，再代入计算公式求解．第(3)问由频率分布直方图和指数T 的划分，可列出此人所用时间的分布列，再计算数学期望．19．(1)证明面面垂直需先证线面垂直，因为BC ＝CC 1，故四边形BB 1C 1C 为正方形，从而B 1C ⊥BC 1，所以只需证明B 1C ⊥AB 即可得到B 1C ⊥平面ABC 1.而由条件不难证明AB ⊥平面BB 1C 1C ，从而B 1C ⊥AB 成立．注意证明过程步骤完整．(2)求二面角的大小，通常是先求出两平面的法向量坐标，再利用夹角公式求解，考虑到平面ABC 1的一个法向量为B 1C →，故只需求出平面C 1BD 的法向量即可．20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且|QF |＝2|PQ |，过F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)求C 的方程；(2)设AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，试判断A ，M ，B ，N 四点是否在同一圆上？若在，求出l 的方程；若不在，请说明理由．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝2×8p ，解得p ＝－4(舍去)或p ＝4，所以C 的方程为y 2＝8x .(2)由题设知，l 与坐标轴不垂直，且过焦点F (2,0)，故可设l 的方程为x ＝my ＋2(m ≠0)，代入y 2＝8x 得y 2－8my －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16.故AB 的中点为D (4m 2＋2,4m )，|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·(8m )2＋64＝8(m 2＋1)．又l ′⊥l ，所以l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋4m 2＋6.将上式代入y 2＝8x ，并整理得y 2＋8m y －8(4m 2＋6)＝0， 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－8m ，y 3y 4＝－8(4m 2＋6)．故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4m 2＋4m 2＋6，－4m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝1＋1m 2·64m 2＋64(2m 2＋3) ＝8(m 2＋1)2m 2＋1m 2. 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，又在Rt △ADE 中，AD 2＋DE 2＝AE 2，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即16(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋4m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4m 2＋42＝16(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4， 化简得m 2－1＝0，m ＝±1，所以当A ，M ，B ，N 四点在同一圆上时，l 的方程为x ＝±y ＋2，即x ±y －2＝0.,20．(1)设Q (x 0,4)，根据抛物线定义，可得|QF |＝x 0＋p 2，把Q 点代入y 2＝2px 中，可得x 0＝8p ，然后由|QF |＝2|PQ |，求得p 的值，得出抛物线方程．(2)设AB 中点为D ，MN 中点为E ，由于MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点共圆等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |.又在Rt △ADE 中，|AD |2＋|DE |2＝|AE |2，故分别将直线l 与直线l ′与抛物线方程联立，求出弦长|AB |与|MN |，代入|AD |2＋|DE |2＝|AE |2中求解m 的值，本题运算量较大，计算时要细心．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋m －x 3，g (x )＝ln(x ＋1)＋2.(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，求实数m 的值；(2)当m ≥1时，证明：f (x )>g (x )－x 3.(1)解：因为f (x )＝e x ＋m －x 3，所以f ′(x )＝e x ＋m －3x 2.因为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，所以f ′(0)＝e m ＝1，解得m ＝0.(2)证明：因为f (x )＝e x ＋m －x 3，g (x )＝ln(x ＋1)＋2，所以f (x )>g (x )－x 3等价于e x ＋m －ln(x ＋1)－2>0.当m ≥1时，e x ＋m －ln(x ＋1)－2≥e x ＋1－ln(x ＋1)－2.要证e x ＋m －ln(x ＋1)－2>0，只需证明e x ＋1－ln(x ＋1)－2>0.设h (x )＝e x ＋1－ln(x ＋1)－2(x >－1)，则h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1. 设p (x )＝e x ＋1－1x ＋1，则p ′(x )＝e x ＋1＋1(x ＋1)>0， 所以函数p (x )＝h ′(x )＝ex ＋1－1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增． 因为h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e 12 －2<0，h ′(0)＝e －1>0，所以函数h ′(x )＝ex ＋1－1x ＋1在(－1，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 因为h ′(x 0)＝0，所以e x 0＋1＝1x 0＋1，即ln(x 0＋1)＝－(x 0＋1)．当x ∈(－1，x 0)时，h ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0，所以当x ＝x 0时，h (x )取得最小值h (x 0)，所以h (x )≥h (x 0)＝e x 0＋1－ln(x 0＋1)－2＝1x 0＋1＋(x 0＋1)－2>0. 综上可知，当m ≥1时，f (x )>g (x )－x 3.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos α，y ＝1＋sin 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π4(a >0)． (1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)；(2)若直线l 与C 2相切，求a 的值．解：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝x 2，x ∈[－2， 2 ]，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4(舍去)， 故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1,1)，其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4.(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0，即(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a >0)．由直线l 与C 2相切，得|－a ＋a －2|2＝2a ，故a ＝1.21.(1)利用导数的几何意义求解即可．第(1)问较容易．(2)可转化为证明e x ＋1－ln(x ＋1)－2>0.此时一般需要构造函数证明其最小值大于0，故设h (x )＝e x ＋1－ln(x ＋1)－2.为了研究h (x )的单调性，需对h (x )求导，得h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1，不能判断h ′(x )的符号，继续求导，设p (x )＝e x ＋1－1x ＋1，求得p ′(x )＝e x ＋1＋1(x ＋1)2>0. 所以p (x )＝h ′(x )在(－1，＋∞)上单调递增，下面只要证明存在x 0满足h ′(x 0)＝0，且h (x )在(－1，x 0)上单调递减，(x 0，＋∞)上单调递增，且h (x 0)>0即可．其中存在x 0满足h ′(x 0)＝0可根据函数的零点定理证明．可取h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0，h ′(0)>0验证，此处若验证感到困难，可实施跳步解答，写出“证实存在h (x 0)＝0之后，继续有……”后面的解题步骤，当想出来后，可将步骤补在后面，如“事实上，存在x 0满足h ′(x 0)＝0可证明如下：……”选修4系列题型基本固定，难度不大，选择自己最拿手的题目解答．22．本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化．(1)将曲线C 1与直线l 的方程化为直角坐标方程，联立即可求出交点坐标．(2)根据圆的切线性质列方程求解a 的值．23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R .(1)若a ＝1，解不等式f (x )≥12(x ＋1)；(2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|的值域为A ，若A ⊆[－1,3]，求a 的取值范围．解：(1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1，x －1，x ≥1. 当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)，解得x ≤13；当x ≥1时，f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x ≥3.综上，不等式f (x )≥12(x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13∪[3，＋∞)． (2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a <x <2，2－a ，x ≥2，g (x )的值域A ＝[a －2,2－a ]，由A ⊆[－1,3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a ≤3，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2； 当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2<x <a ，2－a ，x ≥a ，g (x )的值域A ＝[2－a ，a －2]， 由A ⊆[－1,3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，a －2≤3，解得a ≤3， 又a ≥2，故2≤a ≤3.综上，a 的取值范围为[1,3]．,23.(1)分x <1和x ≥1两种情况讨论求解．(2)对a 分a <2与a ≥2两种情况，分别求得g (x )的值域，再根据A ⊆[－1,3]求a 的取值范围．解答题全部完成后做最后的检查：看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，对解题结果采用特值法，估算法等方法进行检验．模拟2017高考单科考试胜利结束考后立即离开考场，不要在考场外校对答案，不要“看别人脸上的天气预报”，因为太多不准．做到考完一门，忘掉一门，不回忆，不细想，不追究答案，不在已考的科目上浪费时间，集中精力对付下一门．做到胜不骄败不馁．当某一科考试失败或不理想时，要学会安慰自己：每一位同学不可能没有失败，总会有一两科不理想，只不过他们不说，没有表现出来而已，因为我难别人也难，我考不出来，他也未必考得出来．关键是要总结经验教训，调整考试方法，以争取在下面几门考试中加以弥补，把损失夺回来．当某一科考得特别好，自我感觉飘飘然时，要告诫自己：我浅别人也浅，我考得好，要特别谨慎，因为一不小心，就会在下一场考试中失败．因为成功往往存在于再努力一下之中，所以一定要做到胜不骄败不馁，及时调整心态，分分必争，充分发挥水平，考出满意成绩．。

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+,由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1, 从而A,B,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列的前3项和,而,即S n=故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析(举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析(1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2.10.-40解析(2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.12.2解析∵4ρcos+1=0,展开得2cosθ+2ρsinθ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sinθ两边同乘ρ得ρ2=2ρsinθ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解(1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n==1+设c n=,且前n项和为T n,则T n=+…+,①T n=+…+,②①-②,得T n=1++…+=2-故T n=4-,S n=n+4-17.解法一(1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解(1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1,①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-,直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2),②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+,故=,③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=>0,当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln,即<ln,得<ln由于n∈N*,则<ln<e.。