2019届世纪金榜高三数学文二轮复习练习教师独具 标准仿真模拟练一.docx

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用一、选择题1.(2015·济宁模拟)已知向量a=(1,),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,则tanθ=( )A. B. C.- D.-【解析】选B.因为a∥b,所以sinθ-cosθ=0,即sinθ=cosθ.故tanθ=.2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-),n=(cos2B,2cos2-1),且m∥n,则锐角B的值为( )A. B. C. D.【解题提示】根据m∥n,转化为B的三角函数值后求解.【解析】选D.因为m∥n,所以2sinB(2cos2-1)=-cos2B,所以sin2B=-cos2B,即tan2B=-.又因为B为锐角,所以2B∈(0,π).所以2B=,所以B=.3.(2015·临沂模拟)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a 与b一定满足( )A.a与b的夹角等于α-βB.a⊥bC.a∥bD.(a+b)⊥(a-b)【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.【解析】选D.因为a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(α-β).同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b)·(a-b)=0,所以(a+b)⊥(a-b).故选D.4.已知a=,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(0,)D.(0,]【解析】选C.因为a-b=,所以|a-b|====,因为θ∈(0,π),所以∈,cos∈(0,1).故|a-b|∈(0,).5.(2015·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=,·=-2且a+b=5,则c等于( )A. B. C.4 D.【解题提示】由已知cosC=,·=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC可求c.【解析】选A.由已知cosC=,·=-2,得b·a·cos(π-C)=-2⇒b·a·cosC=2,所以ab=8,利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5.所以c=.故选A.二、填空题6.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,则△ABC的形状是.【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解.【解析】由m∥n可得,b=2ccosA.由正弦定理可得sinB=2sinCcosA,即sin(A+C)=2sinCcosA.从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,故sinAcosC-cosAsinC=0.即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,所以A-C=0,即A=C.由m⊥p可得c-2bcosA=0,从而sinC-2sinBcosA=0,故sin(A+B)-2sinBcosA=0.即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B.所以A=B=C.故三角形为等边三角形.答案:等边三角形7.(2015·银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量的夹角为α,则sinα的值为.【解析】设向量与x轴正向的夹角为β,则α+β=π+=,且有sin β=,cosβ=-,sinα=sin(π-α)=sin=sinβ-cosβ=×-×=.答案:8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,若a=4,b=5,则在方向上的投影为. 【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解.【解析】由2cos2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.由0<A<π,得sinA=,由正弦定理,有=,所以,sinB==.由题知a>b,则A>B,故B=,根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cosB=.答案:三、解答题9.(2015·晋中模拟)已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1).(1)若(a+b)⊥(a-b),求cos2x的值.(2)若a∥b,求cos2x-sin2x的值.【解析】(1)因为(a+b)⊥(a-b),a+b=(sin x+cos x,-),a-b=(sin x-cos x,),所以(a+b)·(a-b)=sin2x-cos2x-=0,即cos2x=-.(2)因为a∥b,所以-sin x-cos x=0,即tan x=-,所以cos2x-sin2x====.10.已知向量a=（sin(x+),sin x）,b=(cos x,-sin x),函数f(x)=m(a·b+sin2x),m为正实数.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移个单位得到y=g(x)的图象,试探讨:当x∈[0,π]时,函数y=g(x)与y=1的图象的交点个数.【解析】(1)f(x)=m(a·b+sin2x)=m[sin(x+)cos x-sin2x+sin2x]=m(cos2x-sin2x+sin2x)=2msin(2x+).由m>0知,函数f(x)的最小正周期T=π.又2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).所以函数的递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).(2)将函数f(x)的图象横坐标扩大到原来的两倍,得y=2msin(x+),再向右平移个单位,得y=2msin[(x-)+],所以:g(x)=2msin x.由0≤x≤π及m>0得0≤g(x)≤2m,所以当0<m<时,y=g(x)与y=1无交点.当m=时,y=g(x)与y=1有唯一公共点,当m>时,y=g(x)与y=1有两个公共点.11.(2015·保定模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-),且m⊥n.(1)求A的大小.(2)现给出下列四个条件:①a=1;②b=2sinB;③2c-(+1)b=0;④B=45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的△ABC的面积.【解析】(1)因为m⊥n,所以-cosBcosC+sinBsinC-=0,即cosBcosC-sinBsinC=-,cos(B+C)=-,因为A+B+C=180°,所以cos(B+C)=-cosA,所以cosA=,又0°<A<180°,所以A=30°.(2)选择①③可确定△ABC.因为A=30°,a=1,2c-(+1)b=0,由余弦定理12=b2+-2b·bcos30°,整理得b2=2,b=,c=.所以S△ABC=bcsinA=×××=.【一题多解】(2)选择①④可确定△ABC.因为A=30°,a=1,B=45°,所以C=105°.因为sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=,由正弦定理=,得b===,所以S△ABC=absinC=×1××=.12.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin α,cosx+2cosα),其中0<α<x<π.(1)若α=,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值.(2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan2α的值.【解析】(1)因为b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),α=,所以f(x)=b·c=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=2sinxcosx+(sinx+cosx).令t=sinx+cosx,则2sinxcosx=t2-1,且-1<t<.则y=t2+t-1=-,-1<t<,所以t=-时,y min=-,此时sinx+cosx=-,即sin=-,因为<x<π,所以<x+<π,所以x+=π,所以x=.所以函数f(x)的最小值为-,相应x的值为.(2)因为a与b的夹角为,所以cos==cosαcosx+sinαsinx =cos(x-α).因为0<α<x<π,所以0<x-α<π,所以x-α=.因为a⊥c,所以cosα(sinx+2sinα)+sinα(cosx+2cosα)=0,所以sin(x+α)+2sin2α=0,即sin+2sin2α=0.所以sin2α+cos2α=0,所以tan2α=-.关闭Word文档返回原板块。

2019届高三数学第二次模拟考试试题 文第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=(){}lg 21x x -<，集合B={}2230x x x --<，则．A ∪B 等于A ．(2，12)B ．(－1，3)C ．(－1，12)D ．(2，3)2．已知复数z 满足3iz i =-+，z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．计算0sin 35sin 65cos145sin 25-等于A ．-B ．12-C ．12D 4．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α是一个平面，则“m α⊥，l 与m 无交点”是“l ∥m ，l α⊥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某年级的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是：150，则该年级的学生人数是 A ．600 B ．550 C ．500D ．4506．函数()()()2ln ln f x x e x e x =+-+的图象大致为7．根据如下程序框图，运行相应程序，则输出n 的值为A ．3B ．4C ．5D ．68．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过F 点且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点(,22p-)，则该抛物线的方程为 A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．216y x =9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为A．3π+B．()41π+C．(4π+D ．()41π+10．设函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕ=+>>的最小正周期为π，且()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是 A ．()f x 的一个零点为8π-B ．()f x 的一条对称轴为8x π=C ．()f x 在区间35,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 是偶函数 11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 为减函数，则不等式()()132log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为 A ．541216xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．132x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．541132162xx x ⎧⎫<<>⎨⎬⎩⎭或D ．541132162x x x ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或 12．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若OF FB =，则C 的离心率是A．3B．2CD ．2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题。

2019届好教育云平台高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·乐山调研]若iia b +(),a b ∈R 与()21i -互为共轭复数，则a b -的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．3- D ．3【答案】A 【解析】∵()()2i i i i i ia b a b b a +-+==--，()21i 2i -=-， 又i ia b +与()21i -互为共轭复数，∴0b =，2a =-，则2a b -=-．故选A ． 2．[2019·济南外国语]已知集合{A x x =<，{}220x B x x =-->，则A B =（ ）A．{x x < B．{1x x -<< C．{}1x x <- D ．{}12x x -<<【答案】C【解析】∵集合{A x x =<，{}220x B x x =-->，∴{A x x =<，{}12B x x x =<->或，∴{}1Ax x B =-<-．故选C ．3．[2019·九江一模]()2ln cos πx f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()()f x f x -=，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D ，()πln πcos πln π10f =-=+>，排除C ，故选B ．4．[2019·榆林一模]已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+a b -=a b （ ） A ．2 BCD【答案】A【解析】根据题意得，()2222-=+-⋅a b a b a b ，又()22221426+=+⋅+=++⋅=a b a a b b a b ，∴21⋅=a b ， ∴()21414-=+-=a b ，∴2-=a b ．故选A ．5．[2019·湘潭一模]以双曲线22145x y -=的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ） A ．221x y -= B ．2219x y -=C ．22193x y -=D ．22199x y -=【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为()3,0±， 又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴3a b ==，则该双曲线的方程为22199x y -=．故选D ．6．[2019·武邑中学]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =，45B =︒，则角A =（ ）A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒【答案】A【解析】∵1a =，b =，45B =︒，∴由正弦定理可得1sin 1sin 2a BA b===，∵1a b =<=045A ︒<<︒，∴解得30A =︒．故选A ．7．[2019·新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（ ） A ．6i <；i s s a =+ B ．6i ≤；i s a = C ．6i ≤；i s s a =+D ．6i >；12i s a a a =+++【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数， ∴该程序框图要算出126s a a a =+++所得到的和，①当1i =时，1s a =，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此i 变成2，进入下一步； ②当2i =时，用前一个s 加上2a ，得12s a a =+，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成3，进入下一步； ③当3i =时，用前一个s 加上3a ，得123s a a a =++，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成4，进入下一步； ④当4i =时，用前一个s 加上4a ，得1234s a a a a =+++，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成5，进入下一步； ⑤当5i =时，用前一个s 加上5a ，得12345s a a a a a =++++，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成6，进入下一步；⑥当6i =时，用前一个s 加上6a ，得123456s a a a a a a =+++++， 刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的s 值，由以上的分析，可得图中判断框应填“6i ≤”，执行框应填“i s s a =+”．故选C ．8．[2019·优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ） A ．19B ．318C ．29D ．518【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有021，001，031，130共4个基本事件， 根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为42189=，故选C ． 9．[2019·成都一诊]在各棱长均相等的四面体A BCD -中，已知M 是棱AD 的中点，则异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为（）ABCD 【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体A BCD -中棱长为2，取CD 中点N ，连结MN ，BN ，∴M 是棱AD 的中点，∴MN AC ∥，∴BMN ∠是异面直线BM 与AC 所成角（或所成角的补角），BM BN =1MN=，∴222cos 2BM MN BN BMN BM MN +-∠===⨯⨯，∴异面直线BM 与AC ，故选C ． 10．[2019·长沙一模]已知()1,2P 是函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．设BPC θ∠=，若3tan24θ=，则()f x 的图象对称中心可以是（ ）A ．()0,0B ．()1,0C ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】结合题意，绘图又132tan 244BC θ==，6BC =，∴周期2π6T ω==，解得π3ω=，∴πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πππ2π2π236k k ϕ=+-=+，令0k =，得到π6ϕ=，∴ππ2sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ36x m +=，m ∈Z ，得对称中心13,02m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 令1m =，得到对称中心坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．11．[2019·湖北联考]已知偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=，现给出下列命题：①函数()f x 是以2为周期的周期函数；②函数()f x 是以4为周期的周期函数；③函数()1f x -为奇函数；④函数()3f x -为偶函数，则其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=，即有()()()2f x f x f x -==--， 即为()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x +=-+=， 可得()f x 的最小正周期为4，故①错误；②正确； 由()()2f x f x +=-，可得()()11f x f x +=--，又()()11f x f x --=+，即有()()11f x f x --=--，故()1f x -为奇函数，故③正确； 由()()33f x f x --=+，若()3f x -为偶函数，即有()()33f x f x --=-，可得()()33f x f x +=-，即()()6f x f x +=，可得6为()f x 的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选B ．12．[2019·宜昌调研]已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上存在A 、B 两点恰好关于直线l ：10x y --=对称，且直线AB 与直线l 的交点的横坐标为2，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13BCD ．12【答案】C【解析】由题意可得直线AB 与直线l 的交点()2,1P ，1AB K =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x +=，122y y +=，∵A 、B 是椭圆22221x y a b+=上的点，∴2211221x y a b +=①，2222221x y a b +=②，①﹣②得：()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴()1212222x x y y a b --=-，∴21221221AB y y b K x x a -==-=--，∴222a b =，∴c a ==C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·泉州质检]若函数()ln f x x x a =+的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,2，则a =______． 【答案】1【解析】函数()ln f x x x a =+，可得()ln 1f x x '=+，∴()11f '=，又()1f a =，∴切线方程为1y x a =-+，切线经过()2,2，∴221a =-+，解得1a =．故答案为1．14．[2019·湖北联考]设x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则34z x y =-+的最大值为____．【答案】5【解析】作出x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所示的平面区域，如图：作直线340x y -+=，然后把直线L 向可行域平移，结合图形可知，平移到点A 时z 最大， 由23010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩可得()1,2A ，此时5z =．故答案为5．15．[2019·镇江期末]若π2cos 2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=_______．【答案】78-【解析】由π2cos 2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭得ππ2sin 2sin 24αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πππ4sin cos sin 444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又πsin 04α⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，解得π1cos 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2ππ7sin 2cos 22cos 1248ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．[2019·遵义联考]已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】52π【解析】取SB 的中点O ，连结OA 、OC ，∵SA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴SA AB ⊥，可得Rt ASB △中，中线12OA SB =，由4AB =，BC =，30ABC ∠=︒，可知AC BC ⊥，又∵SA BC ⊥，SA 、AB 是平面SAB 内的相交直线，∴BC ⊥平面SAC ，可得BC SC ⊥， 因此Rt BSC △中，中线12OC SB =，∴O 是三棱锥S ABC -的外接球心，∵Rt SBA △中，4AB =，6SA =，∴SB =12r SB =，因此，外接球的表面积24π52πS r ==，故答案为52π．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·潍坊期末]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列的1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ．【答案】（1）2n n a =；（2）21nn +． 【解析】（1）∵2，n a ，n S 成等差数列，∴22n n a S =+， 当1n =时，1122a a =+，∴12a =， 当2n ≥时，22n n S a =-，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=-，∴12nn a a -=， ∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴2n n a =．（2）()212221log log log 122n n n n b a a a n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，∴()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴1211111111122121223111n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 18．（12分）[2019·惠州调研]随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92． （1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在(),x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”．试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？5.48≈5.74≈5.92）【答案】（1）见解析；（2）均值83x =，方差233s =；（3）50%．【解析】（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40； 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89． （2）由（1）中的样本评分数据可得()1928486788974837877898310x =+++++++++=， 则有()()()()()22222219283848386837883898310s ⎡=-+-+-+-+-⎣()()()()()222227483838378837783898333+-+-+-+-⎤⎦-+=，∴均值83x =，方差233s =．（3）由题意知评分在(83-+，即()77.26,88.74之间满意度等级为“A 级”， 由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人， 则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为50.550%10==． 19．（12分）[2019·揭阳毕业]如图，在三棱锥P ABC -中，正三角形PAC 所在平面与等腰三角形ABC 所在平面互相垂直，AB BC =，O 是AC 中点，OH PC ⊥于H ．（1）证明：PC ⊥平面BOH ；（2）若OH OB =A BOH -的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）12． 【解析】（1）∵AB BC =，O 是AC 中点，∴BO AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，且BO ⊂平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，∴BO ⊥平面PAC ，∴BO PC ⊥，又OH PC ⊥，BO OH O =，∴PC ⊥平面BOH ．（2）∵HAO △与HOC △面积相等，∴A BOH B HAO B HOC V V V ---==， ∵BO ⊥平面PAC ，∴13B HOC OHC V S OB -=⋅△，∵OH =30HOC ∠=︒，∴1HC =，∴12OHC S CH OH =⋅=△，∴1132B OCH V -=，即12A BOH V -=． 20．（12分）[2019·河北联考]在直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与抛物线()2:20C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥．（1）求C 的方程；（2）试问：在x 轴的正半轴上是否存在一点D ，使得ABD △的外心在C 上？若存在，求D 的坐标；若不存在，请说明理由．．【答案】（1）24x y =；（2）在x轴的正半轴上存在一点()4D +，使得ABD △的外心在C 上． 【解析】（1）联立224x pyy x ⎧=⎨=+⎩，得2280x px p --=，则122x x p +=，128x x p =-，从而()()()1212121244416y y x x x x x x =++=+++．∵OA OB ⊥，∴()1212121224160OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+++=， 即168160p p -++=，解得2p =，故C 的方程为24x y =． （2）设线段AB 的中点为()00,N x y ， 由（1）知，12022x x x +==，0046y x =+=， 则线段AB 的中垂线方程为()62y x -=--，即8y x =-+．联立248x y y x ⎧=⎨=-+⎩，得24320x x +-=，解得8x =-或4，从而ABC △的外心P 的坐标为()4,4或()8,16-． 假设存在点()(),00D m m >，设P 的坐标为()4,4，∵AB ==，∴PA =DP =．∵0m>，∴4m =+ 若P 的坐标为()8,16-，则PA =DP =>P 的坐标不可能为()8,16-．故在x 轴的正半轴上存在一点()4D +，使得ABD △的外心在C 上． 21．（12分）[2019·遵义联考]已知函数()()21ln 1f x a x x =-++． （1）当14a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间[]2,4上是减函数，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【解析】（1）当14a =-时，()()2211131ln 1ln (0)4424f x x x x x x x =--++=-+++>，()()()21111(0)222x x f x x x x x-+'=-++=->，由()0f x '>解得02x <<，由()0f x '<解得2x >，故当02x <<时，()f x 的单调递增；当2x >时，()f x 单调递减，∴当2x =时，函数()f x 取得极大值()32ln 24f =+，无极小值． （2）()()1'21f x a x x=-+，∵函数()f x 在区间[]2,4上单调递减， ∴()()1'210f x a x x =-+≤在区间[]2,4上恒成立，即212a x x ≤-+在[]2,4上恒成立， 只需2a 不大于21x x -+在[]2,4上的最小值即可．而()2211241124x x x x =≤≤-+⎛⎫--+⎪⎝⎭， 则当24x ≤≤时，2111,212x x ⎡⎤∈--⎢⎥-+⎣⎦， ∴122a ≤-，即14a ≤-，故实数a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·九江一模]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系（0ρ>，[)0,2πθ∈），点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C ． （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点C 的极坐标为π2,2⎛⎫⎪⎝⎭，求ABC △面积的最小值．【答案】（1）12:cos C ρθ=；2co 4:s C ρθ=；（2）2．【解析】（1）∵曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），∴曲线1C 的普通方程为2220x y x -+=，∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 设点B 的极坐标为(),ρθ，点A 的极坐标为()00,ρθ， 则OB ρ=，0OA ρ=，002cos ρθ=，0θθ=， ∵8OA OB ⋅=，∴08ρρ⋅=，∴82cos θρ=，cos 4ρθ=，∴2C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（2）由题设知2OC =，212cos cos 42cos ABC OBC OAC B A S S S OC ρθρθθ=-=⋅-=-△△△， 当0θ=时，ABC S △取得最小值为2． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·湘潭一模]设函数()1f x x x a =++-． （1）当1a =时，求关于x 的不等式()3f x ≥的解集； （2）若()4f x ≤在[]0,2上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）13a ≤≤． 【解析】（1）∵()2,1112,112,1x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩，∴()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． （2）∵[]0,2x ∈，∴14x x a ++-≤，即3x a x -≤-，则332a x -≤-≤-， ∴13a ≤≤．。

仿真模拟练(限时120分钟,满分150分)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.已知集合A=--,B={y|y=lg x,x∈A},则A∪B=()A.{1}B.⌀C.[0,10]D.(0,10]2.复数-=()A.1B.-1C.iD.-i3.在区间[0,8]上随机取一个x的值,执行如图的程序框图,则输出的y≥3的概率为()A.3B. C.3D.34.根据三视图求空间几何体的体积为()A.2B.3C.3D.35.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠,本题说它一共有7层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有381盏灯,问塔顶有几盏灯?你算出顶层有()盏灯.A.2B.3C.5D.66.(2018福建泉州质检)用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色,每个小球只涂一种颜色,则两个小球颜色不同的概率为()A.3B.C.3D.7.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若a3=3,且a2 016+a2 017=0,则S101等于()A.3B.303C.-3D.-3038.已知向量a=(x-1,3),b=(1,y),其中x,y都为正实数.若a⊥b,则3的最小值为() A.2 B.2C.4 D.239.已知平面区域D=-33-,Z=.若命题“∀(x,y)∈D,Z≥m”为真命题,则实数m的最大值为()A. B. C.3D.10.设点M,N为圆x2+y2=9上两个动点,且|MN|=4,若点P为线段3x+4y+15=0(xy≥ 上一点,则||的最大值为()A.4B.6C.8D.1211.在平面直角坐标系中,若不同的两点A(a,b),B(-a,b)在函数y=f(x)的图象上,则称(A,B)是函数y=f(x)的一组关于y轴的对称点((A,B)与(B,A)视为同一组),则函数f(x)=3关于y轴的对称点的组数为()A.0B.1C.2D.412.已知F1,F2分别是椭圆mx2+y2=m(0<m<1)的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,若的最小值为3,则椭圆的离心率是()A. B.3C. D.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(2018全国Ⅲ,文14)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是.14.抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,抛物线上一点(x0,2)到焦点的距离为3,则抛物线方程为.15.(2018江苏,10)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.16.设e1,e2为单位向量,非零向量b=x e1+y e2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2sin A cos C=2sin B-sin C.(1)求A的大小;(2)在锐角三角形ABC中,a=3,求c+b的取值范围.18.(12分)某手机厂商推出一款6吋大屏手机,现对500名该手机用户(200名女性,300名男性)进(1)完成下列频率分布直方图,并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定(不计算具体值,给出结论即可);女性用户男性用户(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户,求两名用户中评分都小于90分的概率.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC,BD相交于点O,点E,F,G分别为PC,AD,PD的中点,OP=OA,PA⊥PD.求证:(1)FG∥平面BDE;(2)平面BDE⊥平面PCD.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程;(2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,☉N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与☉N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.21.(12分)已知函数f(x)=e x sin x-cos x,g(x)=x cos x-e x(其中e是自然对数的底数).(1)∀x1∈,∃x2∈使得不等式f(x1)+g(x2 ≥m成立,试求实数m的取值范围;(2)若x>-1,求证:f(x)-g(x)>0.22.选修4—4坐标系与参数方程(10分)在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=3,点R.(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,点R的极坐标化为直角坐标;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时点P的直角坐标.23.选修4—5不等式选讲(10分)设函数f(x)=|x-a|,a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x ≥ -|2x-5|;(2)若关于x的不等式f(x ≤ 的解集为[-1,7],且两正数s和t满足2s+t=a,求证:≥ .仿真模拟练答案1.D 解析 集合A=- -={x|1<x ≤ } B={y|y=lg x ,x ∈A }={y|0<y ≤ } ∴A ∪B={x|0<x ≤ }=(0,10].故选D .2.D 解析--=-i 2 017=-(i 4)504·i =-i .故选D .3.B 解析 由题意 ≤x ≤ x- ≥3 ∴ ≤x ≤ .∵6<x ≤ 3≥3无解,∴输出的y ≥3的概率为- -,故选B .4.B 解析 由三视图得到几何体为如图的三棱台:其中上底面是腰长为1的等腰直角三角形,下底面是腰长为2的等腰直角三角形,棱台的高为2,所以体积为 3 ×2=3,故选B .5.B 解析 设第七层有a 盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a 为 首项,以2为公比的等比数列,则由等比数列的求和公式可得- -=381,解得a=3,因此顶层有3盏灯,故选B .6.C 解析 三种不同的颜色分别用A,B,C 表示,随机事件所包含的基本事件有(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)共9个,其中表示两个小球颜色不同的有6个,则两个小球颜色不同的概率为P=3.故选C . 7.A 解析 ∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,且a 2 016+a 2 017=0,∴ 3解得a 1=3,q=-1, ∴S 101=- -3 - -- -3=3.故选A .8.C 解析 ∵a ⊥b ,∴a ·b =x-1+3y=0,即x+3y=1.又x ,y 为正实数,∴3 =(x+3y )3 =2+33 ≥ +2 3 ·3 =4,当且仅当x=3y=时取等号.∴3的最小值为4.故选C . 9.B 解析 由题意命题“∀(x ,y )∈D ,Z ≥m ”为真命题即求Z 的最小值,平面区域如图:Z=表示区域内的点与定点(-2,0)连接直线的斜率, 所以与过点N 的n 直线斜率最小,由 - 3 3 -得到N (5,2),所以最小值为,所以实数m ≤ ,所以m 的最大值为,故选B .10.D 解析 由已知得| |=| |=3,则| |2=| |2=| |2+| |2-2 =32,得2 =-14.| |=| |=|2 |, 而| |=·= - =2.如图,由图可知,当P 在点(5,0)处,且向量2 与向量( )同向共线时,| |有最大值为12.故选D .11.C 解析 由题意,在同一平面直角坐标系内,作出y 1=(x>0),y 2=|log 3x|(x>0)的图象,根据定义,可知函数f (x )=3关于y 轴的对称点的组数就是关于y 轴对称后图象交点的个数,所以关于y 轴的对称点的组数为2,故选C .12.B 解析 令| |=s ,| |=t ,则为,其最小值为3,则的最小值为3.由椭圆mx 2+y 2=m ,得x 2+=1.∵0<m<1,∴椭圆的长轴长为2. ∴-+s- ≥3,∴+s ≥ 33,由+s= 33,解得s=3或s=3(舍).由对勾函数的单调性可知,当s 有最大值为a+c=3时,有最小值为3, 即1+c=3,得c=3.∴椭圆的离心率e=3.故选B .13.分层抽样 解析 因大量客户且具有不同的年龄段,分层明显,故根据分层抽样的定义可知采用分层抽样最为合适.14.x 2=4y 解析 由题意可知抛物线方程为x 2=2py ,抛物线上一点(x 0,2)到焦点的距离为3,可得 =1,解得p=2,所求的抛物线方程为x 2=4y. 15.3 解析 由题图可知,该多面体为两个全等的正四棱锥的组合体,且正四棱锥的高为1,底面正方形的边长为 ,所以该多面体的体积为2×3×1×( )2=3. 16.2 解析 因为b ≠0,所以b =x e 1+y e 2,x ≠0,y ≠0.又|b|2=(x e1+y e2)2=x2+y2+3xy,33,不妨设=t,则3,当t=-3时,t2+3t+1取得最小值,此时取得最大值,所以的最大值为2.17.解 (1)∵B=π-(A+C),∴2sin A cos C=2sin B-sin C=2sin A cos C+2cos A sin C-sin C,∴2cosA sin C=sin C.∵sin C≠0,∴cos A=.由A∈(0,π),可得A=3.(2)∵在锐角三角形ABC中,a=3,由(1)可得A=3,B+C=3,∴由正弦定理可得:33=2,∴c+b=2sin C+2sin B=2sin B+2sin3-=3sin B+3cos B=23sin.∵B∈,可得B+33,∴sin3,可得b+c=23sin∈(3,23].18.解 (1)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下图:女性用户男性用户由图可得女性用户更稳定.(2)运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,评分不低于80分的有6人,其中评分小于90分的人数为4,记为A,B,C,D,评分不小于90分的人数为2,记为a,b,设事件M为“两名用户评分都小于90分”,从6人中任取2人,基本事件空间为Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D, b),(a,b)},共有15个元素.M={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共有6个元素.P(M)=.19.证明 (1)连接OE,GE,GF,FO.∵点E,F,G分别为PC,AD,PD的中点,四边形ABCD为平行四边形,∴GE∥DC,且GE=DC,OF∥DC,且OF=DC,∴OF∥GE且GE=OF,故得四边形OFGE为平行四边形.∴FG∥EO,EO⊂平面BDE,FG⊄平面BDE,∴FG∥平面BDE.(2)由题意,FG∥AP,PA⊥PD,∴FG⊥PD.∵FG∥EO,∴EO⊥PD,又OP=OA,取AP的中点Q,连接OQ, 则OQ⊥AP,OQ∥PC,∴PC⊥AP,AP∥FG∥EO,∴EO⊥PC,∵⊂平面⊂平面∴EO⊥平面PCD.∵EO⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面PCD.20.解 (1)由椭圆的离心率为,得a2=2(a2-b2),又当y=1时,x2=a2-,得a2-=2,所以a2=4,b2=2.因此椭圆方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,由Δ>0得m2<4k2+2.(*)且x1+x2=-,因此y1+y2=,所以D-,又N(0,-m),所以|ND|2=-,整理得|ND|2=3,因为|NF|=|m|,所以3=1+3.令t=8k2+3,t≥3故2k2+1=,所以=1+=1+.令y=t+,所以y'=1-.当t≥3时,y'>0,从而y=t+在[3,+∞)上单调递增,因此t+3,等号当且仅当t=3时成立,此时k=0,所以≤ +3=4,由(*)得-<m< 且m≠0,故.设∠EDF=2θ,则sin θ=.所以θ的最小值为,从而∠EDF的最小值为3,此时直线l的斜率是0.综上所述,当k=0,m∈(-,0)∪(0,)时,∠EDF取到最小值3.21.(1)解∵f(x1)+g(x2 ≥m,∴f(x1 ≥m-g(x2),∴f(x1)min≥ m-g(x2)]min,∴f(x1)min≥m-g(x2)max,当x ∈时,f'(x )=e xcos x+(e x+1)sin x>0,函数f (x )在上单调递增,∴f (x )min ≥f (0)=-1.由已知g'(x )=cos x-x sin x- e x,∵x ∈,∴ ≤c x ≤ x sin x ≥ e x ≥ e,∴g'(x ≤ ∴函数g (x )在上单调递减,∴g (x )max ≥g (0)=- , ∴- ≥m+ ,∴m ≤-1- ,∴实数m 的取值范围为(-∞,-1- ].(2)证明 当x>-1,要证f (x )-g (x )>0,只要证f (x )>g (x ),只要证e x sin x-cos x>x cos x- e x ,即证e x(sin x+ )>(x+1)cos x , 由于sin x+ >0,x+1>0, 只要证,令h (x )=(x>-1), ∴h'(x )=,当x ∈(-1,0)时,h'(x )<0,h (x )单调递减,当x ∈(0,+∞)时,h'(x )>0,h (x )单调递增,∴h (x )min =h (0)=1.令k= ,其可看作点A (sin x ,cos x )与点B (- ,0)连线的斜率, ∴直线AB 的方程为y=k (x+ ),由于点A 在圆x 2+y 2=1上,∴直线AB 与圆相交或相切, 当直线AB 与圆相切且切点在第二象限时,直线AB 的斜率取得最大值为1, ∴当x=0时,k=<1=h (0),当x ≠0时,h (x )> ≥k , 综上所述,当x>-1,f (x )-g (x )>0.22.解 (1)由于x=ρcos θ,y=ρsin θ,曲线C 的方程为ρ2=3,转化成3+y 2=1.点R 的极坐标转化成直角坐标为R (2,2). (2)设P ( 3cos α,sin α), 由题意不妨设Q (2,sin α),则|PQ|=2- 3cos α,|QR|=2-sin α, 所以|PQ|+|QR|=4-2sin3.当α=时,(|PQ|+|QR|)min =2,矩形的最小周长为4,点P 3. 23.(1)解 当a=2时,不等式f (x ≥ -|2x-5|,可化为|x-2|+|2x-5|≥ .①x ≥ .5时,不等式可化为x-2+2x- ≥ ∴x ≥ 33;② ≤x<2.5,不等式可化为x-2+5-2x ≥ ∴x ∈⌀;③x<2,不等式可化为2-x+5-2x ≥ ∴x ≤3.综上所述,不等式的解集为 -∞3 33 ∞ .(2)证明 不等式f (x ≤ 的解集为[a-4,a+4]=[-1,7],∴a=3,∴ 3 (2s+t )= 3≥ 当且仅当s=,t=2时取等号.。

2019届高考数学仿真模拟试卷及答案（二）（总分：150分 时间：120分钟）一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内) 1.设复数z 满足i i21=+z，则 z =( )A.i 2+-B.i 2--C.i 2+D.i 2- 考察内容：复数的四则运算、共轭复数 答案：C 解析：省略点评：本题考查基础知识，较简单，全国卷命题特点也是把复数作为第一小题考查2.设集合{}0,0)6103(|20>=+-⎰=x dt t t x P x,则集合P 的非空子集个数是( )A.2B.3C.7D.8 改编考查内容：定积分的计算、集合的真子集个数 答案：B 解析：省略点评：本题具有一定的综合性3．如图给出的是计算1＋13＋15＋17＋19的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是 ( ) A．2,5?n n i =+>B ． 2,5?n n i =+= C．1,5?n n i =+=D ．1,5?n n i =+>考查内容：程序框图答案：A 解析：省略点评：本题考察基础知识，只要学生读懂程序框图即可 4.已知R x x ∈21,，则021>+x x 是221>+x x e e 的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 原创考查内容：命题的充分必要条件 答案：A解析：充分性可由基本不等式得到，反之，已知221>+x x e e ，可举出反例，比如， 1,321=-=x x5.在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（ ） A.)3,0(π B.]3,0(π C.),3[ππ D.),3(ππ考查内容：余弦定理与导数 答案：D 解析：省略点评：本题具有一定的综合性6.已知y x ,的取值如下表所示：若y 与x 线性相关，且 ax y +=∧95.0，则=a （ ）x0 1 3 4 y2.2 4.3 4.8 6.7A.2.6B. 2.9C. 2.8D.2.2考查内容：线性回归方程 答案：A解析：由样本中心点在回归直线上可得正确答案点评：本题考察基础知识，实际上，从近三年全国卷的命题特点看，统计和概率什么地方都 可能考7.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A.π36B.π9C.π29 D.π827考查内容：三视图，球心位置的确定，球的体积公式 答案：C解析：可以把几何体补成一个正四棱柱求解 点评：本题难点在于球心位置的确定8.已知点),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，B A ,为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A ．4B ．22C ．2D ．2 考查内容：直线与圆 答案：C 解析：省略 点评：9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的任意一点，若212||||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．()1+∞，B ．(]1,2C ．(1,3⎤⎦D ．(]1,3考查内容：双曲线的定义，基本不等式，离心率的计算 答案：D解析：利用定义，把||1PF 换掉，再由基本不等式可得正确答案 点评：本题具有一定难度10.已知函数x x a x f ln 2)1)(2()(---=，若函数)(x f 在)21,0(上无零点，则a 的一个值可以是 （ ）A.4-B.2-C.1-D.21-改编考查内容：导数 答案：D解析：分离变量法求出a 的范围即可，也可由排除法得出正确答案 点评：从近三年看，导数都作为选择题的压轴题，命题与全国卷相符合.第Ⅱ卷二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.4)31(x x -的展开式中常数项为 .（用数字表示）考查内容：二项展开式答案：23解析：根据二项式定理直接展开，可得出正确答案 点评：本题考察基础知识，属于容易题12.在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB 上的两个动点，且2MN =，则CM CN ⋅的取值范围为 . 考查内容：向量 答案：[]4,6 解析：可以建系求解点评：本题在向量当中属于中档题，全国卷中考察的向量较为简单13.已知奇函数)(x f 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足0)()()()(111098=+++x f x f x f x f ，则2015x 的值为 ． 原创考查内容：函数单调性、奇偶性、数列 答案：4011解析：1,1109=-=x x ，可推出2015x 的值点评：本题具有一定的综合性，有一定的难度，质量不错14.圆122=+y x 上有三点，坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，),(33y x ，且0321321=++=++y y y x x x ，则=++232221x x x ．改编：考查内容：三角函数定义，三角恒等变换答案：23解析：省略点评：本题是北京大学自主招生考试上的大题改编的，改成填空题已经降低了难度，学生可以去特殊值进行计算，具有一定的区分度15.如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1(不含端点）上的动点，则下列结论正确的有 .①11DC D P ⊥ ②平面11D A P ⊥平面1A AP ③1APD ∠的最大值为90 ④1AP PD +的最小值为22+⑤当P 为B A 1中点时，用过P 点、1CC 中点、1D 的平面去截正方体，则所得的截面为 菱形. 改编考查内容：立体几何 答案：①②④ 解析：省略点评：本题具有一定的综合性，有一定的难度，尤其考了几何体的展开与截面问题，是一道 好题三.解答题(本大题共6小题,共75分.请你注意解答本题时,一定要详细地写出文 字说明、证明过程及演算步骤等) 16．（本小题满分12)如图，已知单位圆上有四点()()1,0,cos ,sin ,E A θθxy AEBCO θ（第16题图）（第15题图）()()cos 2,sin 2,cos3,sin 3,03B C πθθθθθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，分别设OAC ABC ∆∆、的面积为12S S 和. （1）用sin cos θθ，表示12S S 和； （2）求12cos sin S Sθθ+的最大值及取最大值时θ的值. 考查内容：三角函数，三角形的面积公式，三角恒等变换解析：（1）根据三角函数的定义，知,2,3,xOA xOB xOC θθθ∠=∠=∠=所以xOA AOB BOC θ∠=∠=∠=，所()11111sin 3sin222S θθθ=⋅⋅⋅-=. 又因为12S S =+四边形OABC 的面积＝θsin ， 所以()21s i n s i 2S θθθ=-=-. （6分）（2）由（1）知()12sin 1cos sin cos sin cos 12sin 1cos sin cos sin 4S S θθθθπθθθθθθθ-⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭. 因为03πθ<≤，所以4412πππθ-<-≤，所以262sin()sin 24124ππθ--<-≤=， 所以12cos sin S S θθ+的最大值为4232+，此时θ的值为3π. （12分）点评：本题属于基础题，较简单 17.（本小题满分12分）某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名. 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核. （1）求抽取的5人中男、女同学的人数；（2）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定.设甲、乙两位同学间隔的人数为X ，X 的分布列为求数学期望EX ；（3）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105， 111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115， 121，119. 这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小. （只需写出结论）考查内容：抽样、分布列及数学期望、方差答案：（1）男3，女2（2）：2323551(3)10A A P X A ===. 因为 321105a b +++=， 所以15b =.所以 113232101105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（3）2212s s =.解析：第三问可由方差的性质得到，即)()(2x D a b ax D =+点评：本题主要考察基础知识，第三小问考察了学生的观察能力，如果硬算，既费时也费力18.（本题满分12分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点．在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点G ， H .（1）求证：FG AB //；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且AE PA =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，X 3 21 0 Pab310 25并求线段PH 的长．考查内容：线线平行的证明方法、线面角解析：（Ⅰ）在正方形MADE 中，因为B 是AM 的中点，所以//AB DE ，又因为AB ⊄平面PDE 所以//AB 平面PDE因为AB ⊂平面ABF ，且ABF ⋂平面PDE FG =， 所以//AB FG（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以,PA AB PA AE ⊥⊥如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)F ，(1,1,0)BC =，设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0x y z =⎧⎨+=⎩ 令1z =，则1y =-，所以(0,1,1)n =-， 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=<>==⋅因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6π设点H 的坐标为(,,)u v w ，因为点H 在棱PC 上，所以可设(01)PH PC λλ=<<，即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-，所以2,,22u v w λλλ===-因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AH ⋅=，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ--= 解得23λ=，所以点H 的坐标为422(,,)333， 所以222424()()()2333PH =++-=点评：学生在学习立体几何时，容易遗忘线面平行的性质定理，而本题恰恰考了该考点，很好19．(本题满分13分）已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->．（1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值； （2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围.改编考察内容：函数的极值，求参数范围解析： 2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->，()2ln(21)4(21)1f x x a x '=+-++．∵()f x 在0x =处取极值，∴(0)410f a '=-+=．∴14a =（经检验14a =符合题意）．……………（2）因为函数的定义域为1(,)2-+∞，且当0x =时，(0)0f a =-<．又直线y x =-恰好通过原点，所以函数()y f x =的图象应位于区域Ⅳ内，Ⅲ12-Ⅰy xⅡO Ⅳ（第19题） Ⅲ12-ⅠyxⅡO Ⅳ（第19题）于是可得()f x x <-，即2(21)ln(21)(21)x x a x x x ++-+-<-．…………………………∵210x +>，∴l n (21)21x a x +>+．令l n (21)()21x h x x +=+，∴222l n (21)()(21)x h x x -+'=+． 令()0h x '=，得e 12x -=． ∵12x >-，∴1e 1(,)22x -∈-时，()0m x '>，()m x 单调递增， e 1(,)2x -∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减． ∴max e 11()()2eh x h -==． ∴a 的取值范围是1e a >． ……………………………………………点评：本题将图与函数结合起来，要求学生具有很好的推理能力，该题考察了学生的能力20.（本题满分13分）已知椭圆的焦点坐标为1F )0,1(-，2F )0,1(，过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于Q P ,两点，且3||=PQ .（1） 求椭圆的方程；（2） 过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点N M ,，则MN F 1∆的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.考察内容：椭圆的标准方程、内切圆半径公式，直线与圆锥曲线的位置关系解析：(1)设椭圆方程为12222=+by a x （a >b >0）,由焦点坐标可知1=c 由3=PQ 可得1,332222=-=b a b 得3,2==b a 故椭圆的方程为13422=+y x . (2)设),,(),,(2211y x N y x M 不妨1y >0,2y <0,设MN F 1∆的内切圆半径为R ,则MN F 1∆的周长为8，=S ,4)(2111R R N F M F MN =++因此要使S 最大，则R 最大.=S 212121)(21y y y y F F -=- 由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为,1+=my x 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+113422my x y x 得439,436096)43(22122122+-=+-=+=-++m y y m m y y m y y m1113121)1(3112431124)(2222222122121+++=+++=++=-+=-=m m m m m m y y y y y y S 当0=m 时S 取最大值为3，∴=R 43.这时所求内切圆的面积最大值为π169，此时的直线方程为1=x .点评：本题具有一定的综合性，有一定难度21.（本题满分13分）设函数2)1()(x x x f n n -=在]1,21[上的最大值为n a . (1)求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：),2()2(12*∈≥+≤N n n n a n ； （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：)(167*∈<N n S n . 改编：考察内容：用导数的方法研究函数的最值、二项式定理放缩证明不等式、数列放缩求和解析：点评：该题将函数与数列结合起来，综合性大，难度大。

仿真冲刺卷(一)(时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数z=+i5的共轭复数为( )(A)1-2i (B)1+2i (C)i-1 (D)1-i2.(2018·安徽淮北一模)已知A={x|x2-2x-3≤0},B={y|y=x2+1},则A∩B等于( )(A)[-1,3] (B)[-3,2] (C)[2,3] (D)[1,3]3.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件4.(2018·吉林调研)从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计,其结果的频率分布直方图如图所示:若某高校A专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A专业的人数为( )第4题图(A)30 (B)25 (C)22 (D)205.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(2m,m+1),若∥,则实数m的值为( )(A)(B)-(C)3 (D)-36.函数f(x)=x2+ax+b的部分图象如图所示,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( )第6题图(A)(,) (B)(1,2) (C)(,1) (D)(2,3)7.执行如图所示的程序框图,输出的S值为-4时,则输入的S0的值为( )第7题图(A)7 (B)8 (C)9 (D)108.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几何?”其意思:“共有五头鹿,5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述,一般表示等差分配,在本题中表示等差分配).”在这个问题中,若大夫得“一鹿、三分鹿之二”,则簪裹得( )(A)一鹿、三分鹿之一 (B)一鹿(C)三分鹿之二 (D)三分鹿之一9.(2018·上饶校级一模)观察下列各式:=2·,=3·,=4·,…,若=9·,则m等于( )(A)80 (B)81 (C)728 (D)72910.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为( )(A)29π (B)30π (C) (D)216π11.已知O为坐标原点,点A的坐标是(2,3),点P(x,y)在不等式组所确定的平面区域内(包括边界)运动,则·的取值范围是( )(A)[4,10] (B)[6,9] (C)[6,10] (D)[9,10]12.(2018·太原模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若f(0)=-f(),在(0,)上有且仅有三个零点,则ω可能为( )(A)(B)2 (C)(D)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2018·泉州质检)已知椭圆C:+=1的左顶点、上顶点、右焦点分别为A,B,F,则·= .14.已知函数f(x)=4x+1,g(x)=4-x.若偶函数h(x)满足h(x)=mf(x)+ng(x)(其中m,n为常数),且最小值为1,则m+n= .15.(2018·河南一诊)已知S n为数列{a n}的前n项和,a1=1,当n≥2时,恒有ka n=a n S n-成立,若S99=,则k= .16.(2018·浙江高考全真模拟)设函数f(x)=(1)若a=1,则f(x)的最小值为;(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△A B C中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,b s i n(-C)-csin(-B0=a.(1)求B和C;(2)若a=2,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)求三棱锥D AA1C1的体积.19.(本小题满分12分)某校高三年级为了解文科班学生对会议的知晓情况,随机对100名学生进行调查,调查问卷共10道题,答题情况如表:答对题目数[0,8) 8 9 10 女 2 13 12 8男 3 37 16 9 (1)如果某学生答对题目大于等于9,就认为该学生对会议的知晓情况比较好,试估计该校高三文科班学生对会议知晓情况比较好的概率;(2)从答对题目数小于8的学生中选出2人做进一步的调查,求选出的2人中至少有一名女生的概率.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b≥1)的离心率e=,且椭圆C过点P(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)直线的l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.求△PAB面积的最大值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2- 4ρ(sin θ+cos θ)+4=0.(1)写出直线l的极坐标方程;(2)求直线l与曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ <2π).23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R.(1)若不等式f(x)≤2-|x-1|有解,求实数a的取值范围;(2)当a<2时,函数f(x)的最小值为3,求实数a的值.1.A 因为z=+i5,所以z=+i=i(1-i)+i=1+2i.所以=1-2i.故选 A.2.D A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},B={y|y=x2+1}={y|y≥1},则A∩B={x|1≤x≤3}=[1,3],故选D.3.B ln(x+1)<0?0<x+1<1?-1<x<0,而(-1,0)是(-∞,0)的真子集,所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.4.D 50×(1.00+0.75+0.25)×0.2=20,故选 D.5.D 向量=(3,-4),=(6,-3),=(3,1),=(2m,m+1),若∥,可得3m+3=2m,解得m=-3.故选 D.6.C 由图象得a+b+1=0,0<b<1,所以-2<a<-1,因为g(x)=ln x+2x+a在(0,+∞)上是增函数,且g(1)=a+2>0,g()=a+1-ln 2<0,所以函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是(,1).7.D 根据程序框图,知当i=4时,输出S,因为第一次循环得到:S=S0-2,i=2;第二次循环得到:S=S0-2-4,i=3;第三次循环得到:S=S0-2-4-8,i=4;所以S0-2-4-8=-4,解得S0=10.8.B 由题意可知,五人按等差数列进行分五鹿,设大夫得的鹿数为首项a1,且a1=1+=,公差为d,则5a1+d=5,解得d=-,所以a3=a1+2d=+2×(-)=1,所以簪裹得一鹿,故选 B.9.C =2·=2·,=3·=3·,=4·=4·,…所以=n·,所以=9·=9·,所以m=93-1=729-1=728;故选 C.10.A 由三视图复原几何体,几何体是底面为直角三角形,一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥,把它扩展为长方体,两者有相同的外接球,它的对角线的长为球的直径d==,球的半径R=.该三棱锥的外接球的表面积S=4×π×()2=29π,故选 A.11.C 设z=·,则z=2x+3y,作出不等式组对应的平面区域如图:由z=2x+3y得y=-x+z,平移直线y=-x,由图象可知当直线y=-x+z经过点C(3,0)时,直线y=-x+z的截距最小,此时z最小,此时z min=2×3=6,直线y=-x+z经过点B时,直线y=-x+z的截距最大,此时z最大,由解得即B(2,2),此时z max=2×2+3×2=10,故6≤z≤10.故选 C.12.C 由f(0)=-f()得sin(-)=-sin(-),所以-=+2kπ或π+2kπ,k∈Z,所以ω=+4k或2+4k,k∈Z,又f(x)在(0,)上有且仅有三个零点.所以T<<1.5T,由f(x)=0得ωx-=nπ,n∈Z,x=+,n∈Z,当n=0时x=,当n=1时x=,当n=2时x=,当n=3时x=,所以<≤得<ω≤,由ω=+4k,当k=1时ω=.故选C.13.解析:由椭圆方程知A(-2,0),B(0,),F(1,0),则=(2,),=(3,0),所以·=6. 答案:614.解析:由题意,h(x)=mf(x)+ng(x)=m·4x+m+n·4-x,h(-x)=m·4-x+m+n·4x,因为h(x)为偶函数,所以h(x)=h(-x),所以m=n,所以h(x)=m(4x+4-x)+m,因为4x+4-x≥2,所以h(x)min=3m=1,所以m=,所以m+n=.答案:15.解析:当n≥2时,恒有ka n=a n S n-成立,即为(k-S n)(S n-)=-,所以kS n-kS n-1-+S n S n-1=-.即k(S n-1-S n)=S n S n-1.所以k(-)=1,即-=.所以-=,-=,…-=,故-=.所以-=.所以=1+.可得S n=.由S99=,可得=,解得k=2.答案:216.解析:(1)当a=1时,f(x)=当x<1时,f(x)=2x-1为增函数,f(x)>-1,当x>1时,f(x)=4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=-1, 当1<x<时,函数单调递减,当x>时,函数单调递增,故当x=时,f(x)min=f()=-1,(2)设h(x)=2x-a,x<1,g(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1,令h(x)=0,则2x=a,因为x<1,所以0<2x<2,即当0<a<2时,函数h(x)有一个零点;令g(x)=0,易知函数g(x)的零点与x=a,x=2a有关.当a≤0时,g(x)无零点;当a>0时,若2a<1时,即0<a<时,g(x)无零点.若a<1≤2a时,即≤a<1时,g(x)有一个零点.若a≥1时,g(x)有两个零点,综上所述,可知当≤a<1或a≥2时,函数f(x)恰有2个零点.答案:(1)-1 (2)≤a<1或a≥217.解:(1)由正弦定理得bsin(-C)-csin(-B)=a可化为sin Bsin(-C)-sin Csin(-B)=sin A.所以sin B(cos C-sin C)-sin C(cos B-sin B)=, 即sin Bcos C-cos Bsin C=1,所以sin (B-C)=1.因为0<B<π,0<C<π,所以-π<B-C<π,所以B-C=.又A=,所以B+C=π,解得B=π,C=.(2)由(1)B=π,C=,由正弦定理,得b===4sin π.所以△ABC的面积S=absin C=×2×4sin πsin=4sinπsin=4cos sin=2sin =2.18.(1)证明:因为AC=3,AB=5,BC=4,所以AC⊥BC.由题意得CC1⊥平面ABC,AC?平面ABC,所以AC⊥CC1,又BC∩CC1=C,BC?平面BCC1B1,CC1?平面BCC1B1,所以AC⊥平面BCC1B1.因为BC1?平面BCC1B1,所以AC⊥BC1.(2)证明:设CB1与C1B的交点为E,连接DE.因为四边形BCC1B1是平行四边形,所以E是BC1的中点.因为D是AB的中点,所以DE∥AC1.又因为DE?平面CDB1,AC1?平面CDB1,所以AC1∥平面CDB1.(3)解:===S△ABC·CC1=××3×4×4=8.因为D是AB的中点,所以==4.19.解:(1)答对题目数小于9的人数为55,记“答对题目数大于等于9”为事件A,P(A)=1-=0.45.(2)设答对题目数小于8的学生为A,B,C,D,E,其中A,B为女生,任选出2人包含AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10种,至少有一名女生的事件为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,共7种,记“选出的2人中至少有一名女生”为事件M,则P(M)==0.7.20.解:(1)因为e2===,所以a2=4b2,则椭圆方程为+=1,即x2+4y2=4b2.因为椭圆过点P(2,1),所以代入上式得b2=2,a2=8,所以椭圆方程为+=1.(2)设l的方程为y=x+m,代入椭圆方程中整理得x2+2mx+2m2-4=0,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,Δ=4m2-4(2m2-4)>0?m2<4.则|AB|=×=.点P到直线l的距离d==.因此S△PAB=d|AB|=·=≤=2.当且仅当m2=2∈[0,4),即m=±时取得最大值 2.21.解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4. 而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2,则F′(x)=2ke x(x+2)-2x-4=2(x+2)(ke x-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F′(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.①若1≤k<e2,则-2<x1≤0,从而当x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增, 故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x-e-2).从而当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].22.解:(1)因为直线l的参数方程为(t为参数), 所以消去参数t,得到直线l的普通方程x+y-2=0,再将代入x+y-2=0,得ρcos θ+ρsin θ=2. (2)联立直线l与曲线C的极坐标方程因为ρ≥0,0≤θ<2π,所以解得或所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为(2,0),(2,).23.解:(1)由f(x)≤2-|x-1|,即为|x-|+|x-1|≤1.而由绝对值的几何意义知|x-|+|x-1|≥|-1|,由不等式f(x)≤2-|x-1|有解,所以|-1|≤1,即0≤a≤4.所以实数a的取值范围为[0,4].(2)当a<2时,知<1.所以f(x)=如图可知f(x)在(-∞,)上单调递减,在[,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f()=-+1=3,得a=-4<2(合题意),即a=-4.。