2019版高考数学(理)一轮复习：等比数列及其前n项和含解析

（1）理解等比数列的概念.（2）掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式. （3）了解等比数列与指数函数的关系.一、等比数列 1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(0)q q ≠，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n 无关的常数. 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时2G ab =．3．等比数列的通项公式及其变形首项为1a ，公比为q 的等比数列的通项公式是111(,0)n n a a q a q -=≠． 等比数列通项公式的变形：n m n m a a q -=． 4．等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=还可以改写为1nn a a q q=⋅，当1q ≠且10a ≠时，x y q =是指数函数，1x a y q q =⋅是指数型函数，因此数列{}n a 的图象是函数1x ay q q=⋅的图象上一些孤立的点．①当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是递增数列；②当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是递减数列； ③当1q =时，{}n a 为常数列(0)n a ≠；④当0q <时，{}n a 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 二、等比数列的前n 项和公式首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和的公式为111,1.(1),111n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩（1）当公比1q =时，因为10a ≠，所以1n S na =是关于n 的正比例函数，则数列123,,,,,n S S S S L L 的图象是正比例函数1y a x =图象上的一群孤立的点．（2）当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是1(1)1n n a q S q -=-，即11n n a S q q =-⋅-11a q+-，设11am q =-，则上式可写成n n S mq m =-+的形式，则数列123,,,,,n S S S S L L 的图象是函数x y mq m =-+图象上的一群孤立的点．由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和n S 是一个关于n 的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数． 三、等比数列及其前n 项和的性质若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S ，则有如下性质：（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ． 推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===①L L ②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a =． （2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列． （3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列； 数列1{}n a 是公比为1q的等比数列； 数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列．（4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++L 成等比数列，公比为m q ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(k q 或2)k q 的等比数列．（6）当1q =时，n m S n S m =；当1q ≠±时，11nn m m S q S q-=-． （7）m n n m m n n m S S q S S q S +=+=+． （8）若项数为2n ，则S q S =偶奇，若项数为21n +，则1S a q S -=奇偶． （9）当1q ≠-时，连续m 项的和（如232,,,m m m m m S S S S S --L ）仍组成等比数列（公比为m q ，2m ≥）．注意：这里连续m 项的和均非零．考向一 等比数列的判定与证明注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足()10n n a qa q +=≠的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要10a ≠.典例1 已知数列{}n a 满足()*2n n S a n n =-∈N.（1）证明：{}1n a +是等比数列； （2）求()*13521n a a a a n ++++⋅⋅⋅+∈N.【答案】（1）证明见解析；（2）232353n n +--.【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点.形如1n n a a λμ+=+（1λ≠），在构造数列时，可在等式两边同时加上1μλ-构成等比数列.（1）利用递推公式可以得到1n S -的表达式，两个式子相减即可得到n a 与1n a -的表达式；构造数列{1n a +}，即可证明{1n a +}为等比数列.（2）利用{1n a +}为等比数列，可求得{n a }的通项公式；将{n a }分为等比数列和等差数列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和.1．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()1121,1,2,3,n n n a a S n n++===.（1）试写出223,,a S a ； （2）设nn S b n=，求证：数列{}n b 是等比数列； （3）求出数列{}n a 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式.考向二 等比数列的基本运算等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题. （1）等比数列的基本运算方法：①等比数列由首项1a 与公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕1a 与q 进行．②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出1a 与q ，对于1,,,,n n a a q n S 五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：①方程思想．等比数列的通项公式和前n 项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量1a 和q ，问题可迎刃而解．②分类讨论思想．等比数列的前n 项和公式为111,1(1),111n n n na q S a a q a q q q q ì=ïï=í--=ï--ïî≠，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分1q =和1q ≠进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．典例2 已知{}n a 是等比数列，且263a a +=，61012a a +=，则812a a +等于 A ．B ．24C ．D ．48 【答案】B【解析】由题意知4446102626261243a a a q a q q a a a a ++====++，则22q =，所以()22281261061021224a a a q a q qa a +=+=+=⨯=，故选B ．典例3 各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则3445++a a a a 的值为A．2 B．12CD【答案】B【名师点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S a =A ．14n - B ．41n- C ．12n -D ．21n-考向三 求解等比数列的通项及前n 项和若所给等比数列的项数为21()n n *+?N ，则这个数列可设为1n a q -，…，,,aa aq q，…，1n aq -. 2．当1q ≠时，若已知1,,a q n ，则用1(1)1n n a q S q -=-求解较方便；若已知1,,n a q a ，则用11n n a a qS q-=-求解较方便.3．（1）形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式，①利用待定系数法可化为1n a +-()11n q q p a p p =--- ，当101q a p -≠-时，数列{}1n qa p --是等比数列；②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p 的等比数列．（2）形如+1(,0)n n n a ca d c d cd =+≠≠的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以1n d +，进而化归为等比数列．典例4 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且42S S =5，则84S S 等于 A ．5 B ．16 C ．17D ．25【答案】C【解析】当公比1q =时，4225S S =≠，故公比不为1， 当公比1q ≠时，()()4124221111511a q S q q S a qq--==+=--，∴24q =，∴()()81484411111711a q S q q S a qq--==+=--，故选C. 【名师点睛】本题重点考查了等比数列的前n 项和，注意对公比q 的分类讨论，这是一个易错点,同时注意首项与公比均不为零.解决本题时，对公比q 进行分类讨论，利用前n 项和公式及条件，求出24q =，从而得到结果.典例5 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且26a =，3472a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()*n n b a n n =-∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）1*23()n n a n -∈=⨯N ；（2）2312nn n+--.3．设等比数列{n a }的各项都为正数，数列{n b }满足2121n n n b a a -+=⋅，且124,64b b ==. （1）求数列{n a }的通项； （2）求数列{n b }的前n 项和T n .考向四 等比数列的性质的应用等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n 项和公式的变形应用等.注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.典例6 在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2680x x -+=的根，则1179a a a = A． B ．2 C ．1 D ．2- 【答案】A【解析】由等比数列的性质知2117315998a a a a a a ===⇒=故1179a a a ==，故选A.典例7 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，20=60S ，则30S =_______． 【答案】140【解析】方法1：由1020S =，20=60S ，易得公比1q ≠±，根据等比数列前n 项和的性质，可得020101011S q S q 2-=-，即010106011201q q q 2-==+-，解得102q =， 又3030101011S q S q -=-，所以33012=72012S -=-，30140S =． 方法2：根据等比数列前n 项和的性质，可得10201010S S q S =+，即10602020q =+，解得102q =，所以1030102020260140S S q S =+=+⨯=．方法3：根据等比数列前n 项和的性质，可知10S ，2010S S -，3020S S -成等比数列，则22010103020()()S S S S S -=-，即230(6020)20(60)S -=-，解得30140S =．4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中, 1232a a a ⋅⋅=,56732a a a ⋅⋅=,则456a a a ⋅⋅等于 A ．4B ．8C ．16D ．24考向五 数列的新定义问题数列新定义问题能充分考查对信息的阅读、提取及转化能力，综合性强，难度较高，在实际问题中往往需要对题目进行阅读，再借助定义进行转化即可进行求解．对于此类问题，应先弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．典例8 若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数． （1）证明：数列{+1}n a 是“平方递推数列”，且数列{lg(+1)}n a 为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，求lg n T ； （3）在（2）的条件下，记lg lg(+1)nn n T b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使4032n S >成立的n 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）21n -；（3）2017．（2）由（1）知1111lg(1)lg(+1)22n n n a a --++=⋅=， 则12121(12)lg lg[(1)(1)(1)]lg(1)lg(1)lg(1)2 1.12n n n n n T a a a a a a ⨯-=+++=++++++==--（3）由（2）知11lg 2112()lg(+1)22nn n n n n T b a ---===-，111122221212n n n S n n --=-=-+-， 又4032n S >，所以112240322n n --+>，即120172nn +>， 又1012n<<， 所以min 2017n =，故使4032n S >成立的n 的最小值为2017．5．在数列{}n a 中，21nn a =-，一个7行8列的数表中，第i 行第j 列的元素为ij i j i j c a a a a =⋅++ ()1,2,,71,2,,8i j ==；，则该数表中所有不相等元素之和为 A ．16210- B ．16210+ C ．16218-D ．16213+1．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,3339,22a S ==,则公比q = A ．12B ．12-C ．1或12-D ．1或122．已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a += A ．7B ．5C ．5-D ．7-3．已知等比数列{}n a 中,1a ，25a 为方程2540x x -+=的两根，则31323a a a 的值为A ．16B ．8C ．64±D ．16±4．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5 C ．4D ．35．等比数列的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为A ，B ，C ，则 A ．A B C +=B ．2B AC =C ．3A B C B +-=D ．()22A B A B C +=+6．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于 A ．9B ．3C ．3-D ．6-7．设()()4681021022222n f n n +=+++++∈N ，则()f n 等于A ．()16413n-B ．()116413n +- C ．()316413n +- D ．()416413n +- 8．已知各项均不为0的等差数列{}n a 满足2731102a a a -+=，数列{}nb 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅=A ．4B ．8C ．16D ．259．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和是n S ，则“0q >”是“2016201820172S S S +>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．《张丘建算经》中有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何．”其大意为：“现有一匹马行走速度越越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少？”依据上述记载，计算第7天行走的距离大约是 （结果采用四舍五入，保留整数） A ．10里 B ．8里 C ．6里D ．4里11．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 A ．14B ．12C ．20D ．5412．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足()312n n S a =+()*n ∈N ，则4a 的值为__________. 13．已知数列}n 是等比数列，且129,36a a ==，则n a =________________．14．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+. （1）求证：数列{}1n a -是等比数列； （2）设()2log 1n n b a =-n 项和n T .15．已知公比为整数的正项等比数列{}n a 满足：3124a a -=，10193a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．1．（2017新课标全国II 理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏2．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =________．3．（2017新课标全国Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 =___________．4．（2018新课标全国I 理科）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_________．1．【答案】（1）2233,4,8a S a ===；（2）证明见解析；（3）()1*2n n S n n -=⋅∈N ；()212n n a n -=+⋅.【点睛】本题为数列常见考题，属于高考高频考点，常涉及： ①利用递推公式，已知数列的前几项利用赋值法求出后面； ②对递推关系式变形，证明某数列为等比（差）数列； ③根据所证明的数列成等比（差）数列，求出第n 项；④已知数列的前n 项和，求第n 项.这些都是数列常规问题，考查面较大.对于本题，当数列提供n a 与n S 之间的递推关系时，借助首项的值，利用赋值法，可求出第二项及以后的项，并求出前几项的和，证明某数列是等比数列，就是证明第n +1项与第n 项的比是一个常数，这个分析给证明提供一个暗示，有了证明的目标，从递推关系式向着这个目标进行等价变形，就可得出所要证明的式子，达到证明的目的；利用所证明的等比数列求出通项公式得出n S ，进而求出通项n a . 2．【答案】D【名师点睛】该题考查的是有关等比数列的问题，涉及的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.对于本题，设出等比数列的公比为q ，利用等比数列的性质，根据已知等式求出q 的值，进而求出1a 的值，表示出n S 与n a ，即可求出结果. 3．【答案】（1）12n n a -=；（2）()416115n n T =-. 【解析】（1）因为{n a }为等比数列，所以由2121n n n b a a -+=⋅可得22n n b a =， 由124,64b b ==可得22244,64a a ==， 因为n a >0,所以242,8a a ==，可得11,2a q ==公比， 所以12n n a -=. （2）因为()2212n n b -==214n -，所以数列{n b }为等比数列，且首项为4，公比为16， 从而()()4116416111615n n nT -==--. 4．【答案】C【解析】因为等比数列{}n a 中，1232a a a ⋅⋅=,56732a a a ⋅⋅=，所以由等比数列的性质可知123345567,,a a a a a a a a a 成等比数列，所以()()()234512356764a a a a a a a a a ==，因为等比数列{}n a 中各项均为正数，所以3458a a a =，因为345a a a ，456a a a ，567a a a 成等比数列，所以()()()2456345567256a a a a a a a a a ==，可得45616a a a =.故选C ．【名师点睛】本题主要考查等比数列中连续三项积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.由等比数列的性质求得3458a a a =，再由等比数列的性质可得()()()2456345567256a a a a a a a a a ==，从而可得结果. 5．【答案】C【解析】该数表中的第i 行第j 列的元素·ij i j i j c a a a a =++=（2i ﹣1）（2j ﹣1）+2i ﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1 （i =1，2，…，7；j =1，2，…，8），其数据如下表所示：由表可知，该数表中所有不相等元素之和为22﹣1+23﹣1++1521-=)1441212--−14=16218-. 故答案为C.【名师点睛】（1）本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握能力.（2）解答本题时，要注意审题，本题求的是“所有不相等．．．元素的和”.1．【答案】C【解析】由已知33312332a a S a a a a q q =++=++，所以23119122q q ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得1q =或12q =-，故选C ．2．【答案】D【名师点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素1a 和q ，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． ③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解． 3．【答案】B【解析】因为1a ，25a 为方程2540x x -+=的两根，所以1254a a =,且12505a a +=>,因此130a >，1331323125132,428a a a a a a a ==∴==⨯=， 故选B ．【名师点睛】在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度． 4．【答案】C【解析】由等比数列的性质知()4412384510a a a a a a ==，所以128lg lg lg a a a +++()4128lg lg104a a a ===．故选C.5．【答案】D【解析】由等比数列的性质可知，等比数列的第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，则有,,A B A C B --构成等比数列，()()2B A AC B ∴-=-，即222B AB A AC AB -+=-，()22A B A B C ∴+=+，故选D ．【名师点睛】本题考查了等比数列的性质以及等比数列前n 项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.解本题时，由等比数列的性质，可知其第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.8．【答案】C【解析】∵等差数列{}n a 中2731102a a a -+=，∴()27311724a a a a =+=，又70a ≠，∴74a =，∴74b =．∴在等比数列{}n b 中，2113716b b b ⋅==．故选C ．【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列中项的下标和的性质，即若m n p q +=+()*,,,m n p q ∈N ，则等差数列中有mn p q aa a a +=+，等比数列中有m n p q a a a a =．利用数列这个性质解题，可简化运算、提高解题的效率．解本题时，先根据等差数列下标和的性质求出7a ，进而得到7b ，再根据等比数列下标和的性质求113b b ⋅即可． 9．【答案】D【解析】由2016201820172S S S +>得20182017a a >，∴2017201611a q a q>，∴()2016110a qq ->，解得10,1a q >>或10,1a q <<．∴“201620182012S SS+>”等价于“10,1a q >>或10,1a q <<”．故“0q >”是“2016201820172S S S +>”的既不充分也不必要条件．故选D ．【名师点睛】先求出“2016201820172S S S +>”的等价条件，再根据题意作出判断．等比数列的单调性除了和公比q 有关外，还与数列的首项1a 有关．当10,1a q >>或10,01a q <<<时，数列为递增数列；当10,01a q ><<或10,1a q <>时，数列为递减数列． 10．【答案】C【解析】记该匹马每天行走的距离成等比数列{}n a ，其公比为12，前7项的和为700，此问题可以转化为求数列{}n a 的第7项，00,6171647001700,61272127a a a ⨯⎛⎫===≈ ⎪⎝⎭，故选C ．11．【答案】C【名师点睛】本题考查了等比数列的前项和公式，利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正，即首先要判断参数是否为正；二定，即其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等，即最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.解本题时，利用等比数列的前n 项和公式求出96S S -，由数列的单调性可得1q >，根据基本不等式的性质求解即可.12．【答案】−81 【解析】()312n n S a =+()*n ∈N ，∴当1n =时，13a =-， ∴当2n ≥时，()1132n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=， ∴{}n a 是以首项为−3，公比为3的等比数列，∴3n n a =-.∴481a =-.故答案为−81.【名师点睛】掌握n a 与n S 的关系，利用n a 与n S 的关系式求出n a 的通项公式即可得到答案.13．【答案】()22n n +【名师点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式的求法，灵活运用公式进行变形求解，属于中档题.解本题时，根据数列}n 是等比数列，将19a =、236a =分别代入，可以得到数列}n -的公比2q =，从而求得通项公式n a .14．【答案】（1）见解析；（2）1n n +. 【解析】（1）当1n =时，11121a S a ==+，计算得出11a =-，当1n >时，根据题意得，()1121n n S a n --=+-，所以()()111221221n n n n n n S S a n a n a a ---⎡⎤-=+-+-=-+⎣⎦，即121n n a a -=-.()1121n n a a -∴-=-，即1121n n a a --=-， ∴数列{}1n a -是首项为−2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，()11222n n n a --=-⋅=-，12n n a ∴=-，()22log 1log 2n n n b a n ∴=-==，()1111111n n b b n n n n +∴==-++， 1n n ⎛++- ⎝【名师点睛】本题考查了等比数列的证明，数列求和的常用方法；数列求和的常用方法有：分组求和，用于当数列中相邻两项的和或者差是定值的；错位相减法，用于一个等比数列和等差数列乘到一起；裂项相消法主要用于分式型的通项.15．【答案】（1）3n n a =；（2）()1121334n n S n +⎡⎤=+-⎣⎦.【名师点睛】该问题属于数列的综合问题，属于常考的题型，第一问考查的是有关等比数列的性质以及数列通项公式的求解问题，根据等比数列的通项公式以及性质，结合题中的条件，转化为关于首项和公比的等量关系式，从而求得结果；第二问是典型的数列求和问题——错位相减法，在求解的过程中，一定要注意最后一项应该是减号，以及最后求和的时候要看清项数.1．【答案】B【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．2．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．3．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.4．【答案】63-【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数n ，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，列是等比数列，之后令1只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式：an －1an ＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或an an ＋1＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝ 1－q a1（1－qn ）＝1－q a1－anq. 3．等比数列及前n 项和的性质(1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m ． (4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ．【必会结论】等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a k 2.(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，an 1，{a n 2}，{a n ·b n }，bn an (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . (6)等比数列{a n }满足q>1a1>0，或0<q<1a1<0，时，{a n }是递增数列；满足0<q<1a1>0，或q>1a1<0，时，{a n }是递减数列．高频考点一 等比数列基本量的运算例1、(1)[2017·全国卷Ⅱ]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 答案 B解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝1－q 1－q7＝1－21－27＝381，解得a 1＝3.故选B.(2)[2017·江苏高考]等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝47，S 6＝463，则a 8＝________. 答案 32【感悟提升】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．【变式探究】(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.215 B.431 C.433 D.217(2) (2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________. 答案 (1)B (2)6(2) 设等比数列{a n }的公比为q ，∴a2＋a4＝5a1＋a3＝10，⇒a1q ＋a1q3＝5，a1＋a1q2＝10，解得，1∴a 1a 2…a n ＝a 1n q 1＋2＋…＋(n －1)＝2－2n2＋27n .记t ＝－2n2＋27n ＝－21(n 2－7n )，结合n ∈N ＋，可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数.所以a 1a 2…a n 的最大值为64.【变式探究】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________. (2)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3＝7，且a 1＋3，3a 2.a 3＋4构成等差数列，则a n ＝________.解析 (1)由已知条件，得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即an ＋1an ＋2＝－2. (2)由已知得：＝3a2.（a1＋3）＋（a3＋4）解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝q 2，a 3＝2q .又S 3＝7，可知q 2＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝21.由题意得q ＞1，所以q ＝2，所以a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.答案 (1)－2 (2)2n －1高频考点二 等比数列的判定与证明例2、已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n ，且a 1＝8. (1)证明：数列{a n －3n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝3n an，求数列{b n }的前n 项和T n .(2)由(1)知，b n ＝3n an ＝3n 3n ＋5n ＝1＋35n ，则数列{b n }的前n 项和T n ＝1＋351＋1＋352＋…＋1＋35n ＝n ＋35＝2·3n 5n ＋1＋n －25. 【方法技巧】等比数列的判定方法(1)定义法：若an an ＋1＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或an －1an＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a n ＋12＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列． 【举一反三】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式. (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴an －1an ＋1－1＝21，∴{a n －1}是等比数列. 又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝21，又c n ＝a n －1，首项c 1＝a 1－1，∴c 1＝－21，公比q ＝21. ∴{c n }是以－21为首项，以21为公比的等比数列.【变式探究】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3231，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝1－λ1，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以an an ＋1＝λ－1λ. 因此{a n }是首项为1－λ1，公比为λ－1λ的等比数列， 于是a n ＝1－λ1λ－1λ. (2)解 由(1)得S n ＝1－λ－1λ.由S 5＝3231得1－λ－1λ＝3231，即λ－1λ＝321. 解得λ＝－1.高频考点三 等比数列的性质及应用例3、(1)已知等比数列{a n }满足a 1＝41，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( ) A.2 B.1 C.21D.81(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S3S6＝3，则S6S9＝( ) A.2 B.37 C.38D.3法二 因为{a n }为等比数列，由S3S6＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S6S9＝3a 7a ＝37.答案 (1)C (2)B【举一反三】(1)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.81 B ．－81 C.857 D.855 答案 A解析 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝81.故选A.(2)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 答案 B解析 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列． 设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.故选B. 【方法技巧】等比数列的性质应用问题(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．【变式探究】 (1)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝－1，a 5＝＋1，则a 32＋2a 2a 6＋a 3a 7＝________. (2)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为________.答案 (1)8 (2)－31. （2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则A. B.C.D.【答案】B【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意； 若公比，则但， 即，不合题意；因此，，选B.2. （2018年全国Ⅲ卷理数）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【答案】（1）或（2）1、[2017·全国卷Ⅱ]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 答案 B解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝1－q 1－q7＝1－21－27＝381，解得a 1＝3.故选B.2、[2017·江苏高考]等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝47，S 6＝463，则a 8＝________. 答案 32解析 设{a n }的首项为a 1，公比为q ， 则，63两式相除得1－q61－q3＝1＋q31－q3＝91， 解得q ＝2，，所以a 8＝41×27＝25＝32.3．[2017·北京高考]已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.1..【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ．【答案】64【解析】设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.2.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分） 记.对数列和的子集T ，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设,求证：.【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析【解析】（3）下面分三种情况证明.①若是的子集，则.②若是的子集，则.③若不是的子集，且不是的子集.令，则，，.于是，，进而由，得.设是中的最大数，为中的最大数，则.由（2）知，，于是，所以，即. 又，故，从而，故，所以，即.综合①②③得，.【2015高考浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】B.【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.【答案】【解析】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和.1．（2014·重庆卷）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9，成等比数列【答案】D【解析】因为在等比数列中a n，a2n，a3n，…也成等比数列，所以a3，a6，a9成等比数列．2．（2014·安徽卷）数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q ＝________.【答案】1【解析】因为数列{a n}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q＝1.3．（2014·广东卷）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．【答案】504．（2014·全国卷）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg a n}的前8项和等于()A．6 B．5C．4 D．3【答案】C 【解析】设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，根据题意可得，a1q4＝5，a1q3＝2，解得，5所以a n ＝a 1qn －1＝12516×25＝2×25，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 25，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 25＝8lg 2＋4lg 25＝4lg 25＝4.5．（2014·湖北卷） 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.6．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明21是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明a11＋a21＋…＋an 1＜23.【解析】(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋21＝321.又a 1＋21＝23，所以21是首项为23，公比为3的等比数列，所以a n ＋21＝23n，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝23n －1.(2)证明：由(1)知an 1＝3n －12. 因为当n≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以3n －11≤2×3n －11，即an 1＝3n －12≤3n －11. 于是a11＋a21＋…＋an 1≤1＋31＋…＋3n －11＝233n 1<23. 所以a11＋a21＋…＋an 1<23.7．（2014·山东卷） 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1anan ＋14n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋22×1×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋24×3×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.8.（2014·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．【解析】(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b.由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B.∵sin B ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac.由余弦定理得cos B ＝2ac a2＋c2－b2＝2ac a2＋c2－ac ≥2ac 2ac －ac ＝21， 当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为21.9．（2014·天津卷）设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．【答案】－21【解析】∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋24×3×(－1)＝4a 1－6，S 1，S 2，S 4成等比数列， ∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－21.10．（2014·天津卷）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x|x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n}．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n.证明：若a n <b n ，则s<t.【解析】(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x|x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1 ≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1 ＝1－q （q －1）（1－qn －1）－q n －1 ＝－1<0，所以s<t.11．（2013·新课标全国卷Ⅰ）若数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n ＋31，则{a n }的通项公式是a n ＝________． 【答案】(－2)n －112．（2013·北京卷）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n＋1，a n＋2，…的最小值记为B n，d n＝A n－B n.(1)若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，a n＋4＝a n)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：d n＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，d n＝1(n＝1，2，3，…)，则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.【解析】(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(3)因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，a n≥B1＝1.假设{a n}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足a m>2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k<m，a k≤2.又因为a1＝2，所以A m－1＝2，且A m＝a m>2，于是，B m＝A m－d m>2－1＝1，B m－1＝min{a m，B m}>1.故d m－1＝A m－1－B m－1<2－1＝1，与d m－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有a n≤2，即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1，a n≤2＝a1，所以A n＝2.故B n＝A n－d n＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m满足m>n，且a m＝1，即数列{a n}有无穷多项为113．（2013·北京卷）若等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和S n＝________．【答案】22n＋1－2【解析】∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴40＝20q，q＝2，又∵a2＋a4＝a1q＋a1q3＝20，∴a1＝2，∴a n＝2n，∴S n＝2n＋1－2.14．（2013·江西卷）等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于()A ．－24B ．0C ．12D ．24【答案】A【解析】(3x ＋3)2＝x(6x ＋6)得x ＝－1或x ＝－3.当x ＝－1时，x ，3x ＋3，6x ＋6分别为－1，0，0，则不能构成等比数列，所以舍去；当x ＝－3时，x ，3x ＋3，6x ＋6分别为－3，－6，－12，且构成等比数列，则可求出第四个数为－24.15．（2013·江苏卷）在正项等比数列{a n }中，a 5＝21，a 6＋a 7＝3. 则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．【答案】1216．（2013·湖南卷） 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)na n －2n 1，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________． 【答案】(1)－161 (2)31－11【解析】(1)因S n ＝(－1)na n －2n 1，则S 3＝－a 3－81，S 4＝a 4－161，解得a 3＝－161.(2)当n 为偶数时，S n ＝a n －2n 1，当n 为奇数时，S n ＝－a n －2n 1，可得当n 为奇数时a n ＝－2n ＋11， 又S 1＋S 2＋…＋S 100＝21＋221＋…＋2991＋21001＝－a 1＋a 2＋…－a 99＋a 100－21001＝S 100－2(a 1＋a 3＋…＋a 99)－21001＝S 101－a 101－221001－21001＝－21021－21021＋2×221－21001 ＝－3121001＝31－11.17．（2013·辽宁卷） 已知等比数列是递增数列，S n 是的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．【答案】63【解析】由题意可知a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.又因为{a n }为递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，所以S 6＝1－21×（1－26）＝63.18．（2013·全国卷）已知双曲线C ：a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|＜2 ，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝k2－86k2，x 1x 2＝k2－89k2＋8. 于是|AF 1|＝1212＝12－82＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝2222＝22－82＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－32. 故k2－86k2＝－32，解得k 2＝54，从而x 1x 2＝－919. 由于|AF 2|＝1212＝12－82＝1－3x 1，|BF 2|＝2222＝22－82＝3x 2－1，故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4，|AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．19．（2013·全国卷）已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－34，则{a n }的前10项和等于( ) A ．－6(1－3－10)B.91(1－310)C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)【答案】C20．（2013·陕西卷）设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．【解析】(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1；当q≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q)S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝1－q a1（1－qn ），∴S n ＝，q ≠1.a1（1－qn ） (2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，即a k ＋12＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， 即a 12q 2k＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．21．（2013·四川卷）在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．22．（2013·新课标全国卷Ⅱ） 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.31 B ．－31 C.91 D ．－91 【答案】C【解析】S 3＝a 2＋10a 1a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1a 3＝9a 1q 2＝9，a 5＝9a 3q 2＝9a 3＝1a 1＝q2a3＝91，故选C.23．（2013·重庆卷）已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________．【答案】64【解析】设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 2，a 5成等比数列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以S 8＝8×1＋28（8－1）×2＝64.。

第30讲 等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数．( ) (2)公比q 是任意一个常数，它可以是任意实数．( ) (3)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36 C ．812D ．54解析：选C ．由a 3＝12，a 4＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得a 1＝163，q ＝32，所以a 6＝a 1q 5＝163×⎝⎛⎭⎫325＝812.故选C ．(教材习题改编)设等比数列{an }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64解析：选C ．由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C ．在单调递减的等比数列{an }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝________．解析：在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.答案：4在数列{an }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________． 解析：由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列， 由S n ＝2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.答案：6(教材习题改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案：27，81等比数列基本量的运算[典例引领](1)(2017·高考江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.①若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； ②若T 3＝21，求S 3.【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3得q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.故填32.(2)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.(ⅰ) ①由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.(ⅱ)联立(ⅰ)和(ⅱ)解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.②由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5，q ＝4. 当q ＝－5时，由(ⅰ)得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由(ⅰ)得d ＝－1，则S 3＝－6.解决等比数列有关问题的2种常用思想1．(2018·武汉调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( )A ．－2B ．－1C ．12D ．23解析：选B ．由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1.故选B ．2．(2018·东北四市模拟)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝________．解析：由题意得，2(a 1＋a 2＋a 3)＝8a 1＋3a 2，所以2a 3－a 2－6a 1＝0.设{a n }的公比为q (q >0)，则2a 1q 2－a 1q －6a 1＝0，即2q 2－q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－32(舍去)．因为a 4＝16，所以a 1＝2，则S 4＝2(1－24)1－2＝30.答案：30等比数列的判定与证明[典例引领]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．【解】 (1)因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， 所以当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， 所以a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， 所以a 3＝8.综上，a 2＝4，a 3＝8.(2)证明：因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．① 所以当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②，得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.所以－S n ＋2S n －1＋2＝0， 即S n ＝2S n －1＋2， 所以S n ＋2＝2(S n －1＋2)． 因为S 1＋2＝4≠0，所以S n －1＋2≠0，所以S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．等比数列的4种常用判定方法择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[通关练习]设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝⎛⎭⎫1＋32＝8⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78. (2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． 因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．等比数列的性质(高频考点)等比数列的性质是每年高考的重点，多与等比数列基本量的计算综合考查，难度适中，既有选择、填空题，也有解答题，主要命题角度有：(1)等比数列项的性质；(2)等比数列前n 项和的性质．[典例引领]角度一 等比数列项的性质(1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________． 【解析】 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×(1－25)1－2＝31.【答案】 (1)50 (2)31角度二 等比数列前n 项和的性质(1)等比数列{a n }中，前n 项和为48，前2n 项和为60，则其前3n 项和为________． (2)数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式为a n ＝________．【解析】 (1)法一：设数列{a n }的前n 项和为S n . 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由前n 项和公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48，①a 1(1－q2n)1－q＝60，②②÷①，得1＋q n ＝54，所以q n ＝14.③将③将入①，得a 11－q＝64. 所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63.法二：设数列{a n }的前n 项和为S n ， 因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63.法三：设数列{a n }的前n 项和为S n ， 因为S 2n ＝S n ＋q n S n ， 所以q n ＝S 2n －S n S n ＝14，所以S 3n ＝S 2n ＋q 2nS n ＝60＋⎝⎛⎭⎫142×48＝63.(2)设此数列{a n }的公比为q ， 由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶， 所以S 奇＝3S 偶， 所以q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1a 2a 3＝64，即a 1(a 1q )(a 1q 2)＝a 31q 3＝64，所以a 1q ＝4.又q ＝13，所以a 1＝12，所以a n ＝a 1qn －1＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1.【答案】 (1)63 (2)12×⎝⎛⎭⎫13n －1等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类 (1)通项公式的变形； (2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[注意] 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．[通关练习]1．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18解析：选C ．法一：因为a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 24＝4(a 4－1)， 所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又因为q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C ．法二：因为a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C ．2．(2018·云南11校跨区调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50解析：选B ．由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60，选B ．3．已知等比数列{a n }的首项a 1＝－1，其前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．解析：由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，则S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案：－12等比数列基本量的计算方法等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．判定等比数列的方法要证明一个数列是等比数列，最终需归结到定义上，即证a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数)．具体方法见本讲[例2]的[规律方法]．求解等比数列问题常用的数学思想 (1)方程思想：如求等比数列中的基本量．(2)分类讨论思想：如求和时要分q ＝1和q ≠1两种情况讨论，判断单调性时对a 1与q 分类讨论．等比数列中的4个易误点(1)特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选B ．由题意知，q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q 3－23a 1(1－q 2)1－q＝a 1q 2－2，两式相减可得－3(q 3－q 2)1－q ＝q 3－q 2，即－31－q＝1，所以q ＝4.2．(2018·成都第二次诊断检测)在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝( )A ．12B ．18C ．36D ．24解析：选B ．a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝6(1＋q 2＋q 4)＝78⇒1＋q 2＋q 4＝13⇒q 2＝3，所以a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.故选B ．3．(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B ．每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3，选择B ．4．(2018·广州综合测试(一))已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A ．5－12B ．5＋12C ．3－52D ．3＋52解析：选A ．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝25＋1＝2(5－1)(5＋1)(5－1)＝5－12，故选A ．5．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选C ．因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9，a 10a 11a 12，…也成等比数列．不妨令b 1＝a 1a 2a 3，b 2＝a 4a 5a 6，则公比q ＝b 2b 1＝124＝3.所以b m ＝4×3m －1.令b m ＝324，即4×3m －1＝324，解之得m ＝5，所以b 5＝324，即a 13a 14a 15＝324. 所以n ＝14.6．在等比数列{a n }中，若a 1a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________．解析：因为a 1a 5＝16，所以a 23＝16，所以a 3＝±4.又a 4＝8，所以q ＝±2. 所以a 6＝a 4q 2＝8×4＝32. 答案：327．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.答案：2n －18．(2018·郑州第二次质量预测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．解析：由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1(1－q n )1－q ，得S 6＝a 1(1－36)1－3，S 3＝a 1(1－33)1－3，所以S 6S 3＝a 1(1－36)1－3·1－3a 1(1－33)＝28.答案：289．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10. 解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9. 解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.10．(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2[－23＋(－1)n 2n ＋13]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．1．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A ．因为{a n }为等比数列， 所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64. 又a 1＋a n ＝34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2. 又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q ＝42，解得q ＝4.由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3.故选A ．2．设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0.又a 1＝2，则S 101的值为( )A ．2B ．200C ．－2D ．0解析：选A ．设等比数列的公比为q .由a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0， 得a n (1＋2q ＋q 2)＝0.因为a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，解得q ＝－1，所以S 101＝a 1＝2.故选A ．3．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N ＋，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n项和S n ＝________．解析：因为a n ＋ma m ＝a n ，令m ＝1，则a n ＋1a 1＝a n ，即a n ＋1a n＝a 1＝2， 所以{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝2的等比数列， S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－24．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 5＝3(1－25)1－2＝93.答案：935．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得 d ＝a 4－a 13＝12－33＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n 1－2＝2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：因为a n ＋S n ＝n ①， 所以a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②. ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，所以2a n ＋1＝a n ＋1，所以2(a n ＋1－1)＝a n －1， 当n ＝1时，a 1＋S 1＝1，所以a 1＝12，a 1－1＝－12，所以a n ＋1－1a n －1＝12，又c n ＝a n －1，所以{c n }是首项为－12，公比为12的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n，所以a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.所以当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n.又b 1＝a 1＝12也符合上式，所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n.。

6.3等比数列及其前n 项和考情分析高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质，在解答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查基础知识1、等比数列的判定：（1）定义法：*1()n na q q n N a +=∈为非零常数，（2）等比中项法：2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且（3）通项公式法：*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数，（4）1()1n n a S kq k k q=-=≠≠-是常数且q 0且q 1 （5）若{},{}n n a b 均为等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n nka k a ma b a a ≠；；；公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---，相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比；由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比2、等比数列的性质[:（1）通项公式：①11n n a a q -=②n m n ma q a -= （2）前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩（3）下脚标性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a =（4）两个常用技巧：若三个数成等比通常设成,,a a aq q ，若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ，方便计算 注意事项1.利用错位相减法推导等比数列的前n 项和：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1， 同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ，两式相减得(1－q)S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1－q n 1－q (q≠1)．2.(1)由a n ＋1＝qa n ，q≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．3.等比数列的判断方法有：(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q(q 为非零常数)或a n a n －1＝q(q 为非零常数且n≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． 题型一 等比数列基本量的计算【例1】设S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求a 2的值；(2)若{a n }是等比数列，且a n ＋1<a n (n ∈N *)，试求S n 的表达式．解：(1)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝7，1＋＋3＋2＝3a 2. ∴a 2＝2.(2)设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q. 又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0， 解得q 1＝12，q 2＝2(舍去，a n ＋1<a n (n ∈N *))． ∵q ＝12，∴a 1＝4. 故数列{a n }的前n 项和S n ＝8－23－n (n ∈N *)．【变式1】 等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．解 (1)∵a 3·a 4＝a 1·a 6＝329， 又a 1＋a 6＝11，故a 1，a 6看作方程x 2－11x ＋329＝0的两根， 又q ∈(0,1)∴a 1＝323，a 6＝13， ∴q 5＝a 6a 1＝132，∴q ＝12， ∴a n ＝323·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －6. (2)由(1)知S n ＝643⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝21，解得n ＝6. 题型二 等比数列的判定或证明【例2】已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1.当n≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 当n≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1， ∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)． 【变式2】设d 为非零实数，a n ＝1n[C 1n d ＋2C 2n d 2＋…＋(n －1)C n －1n d n －1＋nC n n d n ](n ∈N *)． (1)写出a 1，a 2，a 3并判断{a n }是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(2)设b n ＝nda n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知可得a 1＝d ，a 2＝d(1＋d)，a 3＝d(1＋d)2.当n≥2，k≥1时，k nC k n ＝C k －1n －1，因此 a n ＝∑n k ＝1k n C k n d k ＝∑n k ＝1C k －1n －1d k ＝d ∑n －1k ＝0C k n －1d k ＝d(d ＋1)n －1. 由此可见，当d≠－1时，{a n }是以d 为首项，d ＋1为公比的等比数列；当d ＝－1时，a 1＝－1，a n ＝0(n≥2)，此时{a n }不是等比数列．(2)由(1)可知，a n ＝d(d ＋1)n －1，从而b n ＝nd 2(d ＋1)n －1 S n ＝d 2[1＋2(d ＋1)＋3(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －2＋n(d ＋1)n －1]．①当d ＝－1时，S n ＝d 2＝1.当d≠－1时，①式两边同乘d ＋1得 (d ＋1)S n ＝d 2[(d ＋1)＋2(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －1＋n(d ＋1)n ]．② ①，②式相减可得－dS n ＝d 2[1＋(d ＋1)＋(d ＋1)2＋…＋(d ＋1)n －1－n(d ＋1)n] ＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋n －1d －＋n .[:数理化] 化简即得S n ＝(d ＋1)n (nd －1)＋1.综上，S n ＝(d ＋1)n(nd －1)＋1.题型三 等比数列的性质及应用【例3】已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a(a ∈R)，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知(1a 2)2＝1a 1·1a 4， 即(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋3d)， 从而a 1d ＝d 2， 因为d≠0，所以d ＝a 1＝a.故通项公式a n ＝na.(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n， 因为a 2n ＝2n a ， 所以T n ＝1a (12＋122＋…＋12n )＝1a ·12[1－12n ]1－12＝1a [1－(12)n ]． 从而，当a>0时，T n <1a 1； 当a<0时，T n >1a 1. 【变式3】在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q|＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.[:数理化]答案 －2 2n －1－12重难点突破【例4】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．[: [解析] (1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d.依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d.依题意，由(7－d)(18＋d)＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2，由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3(2)证明 数列{b n }的前n 项和S n ＝54－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n－2所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．巩固提高1. 公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则a 5＝( )A. 1B. 2C. 4D. 8答案：A解析：∵a 2a 12＝16，∴a 27＝16，∴a 7＝4＝a 5×22，∴a 5＝1.2.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A. 1或－12B. －12C. 1D. －1或12答案：A解析：设数列的公比为q ，∵a 3＝32，S 3＝92，∴a 1q 2＝32，a 1(1＋q ＋q 2)＝92.两式相除得1＋q ＋q2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或q ＝－12.3.在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5的值为() A. 33 B. 72C. 84D. 189答案：C[: 解析：由题意可知该等比数列的公比q≠1，故可由S 3＝－q 31－q ＝21，得q 3－7q ＋6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)．所以a 3＋a 4＋a 5＝3×(22＋23＋24)＝84，故选C.4.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( )A. 64B. 32C. 16D. 8 答案：B解析：∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1， 两式相除得a n ＋2a n＝2. ∵a 1＝1.∴a 1，a 3，a 5，a 7，a 9构成以1为首项，以2为公比的等比数列，∴a 9＝16. 又a 10·a 9＝29，∴a 10＝25＝32.5.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A. 334B. 314C.172 D. 152 答案：B解析：依题意知，a 21q 4＝1，又a 1>0，q>0，则a 1＝1q 2.又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，于是有(1q ＋3)(1q－2)＝0，因此有q ＝12，所以S 5＝41－1251－12＝314，选B.。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1，S 2＋a 2，S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为( ) A ．1 B ．2 C.21D ．3解析：因为S 1，S 2＋a 2，S 3成等差数列，所以2(S 2＋a 2)＝S 1＋S 3,2(a 1＋a 2＋a 2)＝a 1＋a 1＋a 2＋a 3，a 3＝3a 2，q ＝3。

选D 。

答案：D2．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋log 35答案：B3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝25，a 2＋a 4＝45，则an Sn＝( ) A ．4n －1 B ．4n －1C ．2n －1 D ．2n －1解析：∵，5∴，(25由(1)除以(2)可得q ＋q31＋q2＝2，解得q ＝21， 代入(1)得a 1＝2，∴a n ＝2×21n －1＝2n 4， ∴S n ＝21＝42n 1，∴an Sn ＝2n 4＝2n －1，选D 。

答案：D4．在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为17，则S 6＝( ) A.463B ．16C ．15 D.461答案：A5．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的一个可能的值是( ) A.25 B.21 C ．2 D.23解析：由题意可设三角形的三边分别为q a ，a ，aq ，因为三角形的两边之和大于第三边，所以有q a＋a ＞aq ，即q 2－q －1＜0(q ＞1)，解得1＜q ＜25，所以q 的一个可能值是23，故选D 。

答案：D6．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m a n ＝16a 12，则m 1＋n 4的最小值为( ) A.625 B.413 C.37 D.23解析：由a 3＝a 2＋2a 1得q 2＝q ＋2，∴q ＝2(q ＝－1舍去)， 由a m a n ＝16a 12得2m －12n －1＝16， 因为m ＋n －2＝4，m ＋n ＝6， 所以m 1＋n 4＝6m ＋n n 4 ＝61n 4m≥61n 4m ＝23。

第3讲 等比数列及其前n 项和配套课时作业1．(2019·某某某某模拟)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝8，则a 3a 4a 5＝( ) A ．±64 B ．64 C ．32 D ．16答案 B解析 因为a 2＝2，a 6＝8，所以由等比数列的性质可知a 2·a 6＝a 24＝16，而a 2，a 4，a 6同号，所以a 4＝4，所以a 3a 4a 5＝a 34＝64.故选B.2．(2019·某某调研)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，a 4＝24，则S 6＝( ) A ．93 B ．189 C ．99 D ．195答案 B解析 ∵a 4＝a 1q 3＝3q 3＝24，∴q ＝2，∴S 6＝a 11－q 61－q＝189.故选B.3．已知正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝( ) A.56 B.65 C.23 D.32答案 D解析 由等比数列性质可知a 2a 8＝a 4a 6＝6，故a 4，a 6分别是方程x 2－5x ＋6＝0的两根．因为a n ＋1<a n ，所以a 4＝3，a 6＝2，故a 5a 7＝a 4a 6＝32.故选D.4．(2019·某某模拟)设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5答案 C解析 因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12. a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.5．(2019·某某某某中学调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36答案 B解析 由a 2a 5＝a 3a 4＝2a 3，得a 4＝ 2.又a 4＋2a 7＝2×54，所以a 7＝14，又因为a 7＝a 4q 3，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝16×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.故选B.6．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，即q 4＋q 2＋1＝7，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)×q 2＝21×2＝42.故选B.7．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64(n >2)，且前n 项和S n ＝42，则n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析 由a 1＋a n ＝34，a 1a n ＝a 3a n －2＝64及{a n }为递增数列，得a 1＝2，a n ＝32＝a 1qn －1，又S n ＝a 11－q n1－q＝42，∴q ＝4，n ＝3.故选A.8．(2019·某某模拟)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( ) A ．2 B ．73 C ．310 D ．1或2答案 B解析 设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.故选B.9．(2019·延庆模拟)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C ．n n ＋12D ．n n －12答案 A解析 ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )， 将d ＝2代入上式，解得a 1＝2， ∴S n ＝2n ＋n n －1·22＝n (n ＋1)．故选A.10．(2019·北大附中模拟)若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝22n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝22n ＋1D ．a n ＝22n －3答案 A解析 ∵a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝(a n ＋1－4a n )(a n ＋1＋a n )＝0，又a n ＋1＋a n >0，∴a n ＋1＝4a n ，∴a n ＝2×4n －1＝22n －1.故选A.11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 8＝2a 4，S 4＝4，则S 8的值为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．12答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1.因为a 8＝2a 4，S 4＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 7a 1q 3＝2，a 11－q 41－q＝4，解得q 4＝2，a 1＝－4(1－q )，所以S 8＝a 11－q 81－q＝－41－q 1－221－q＝12.故选D.12．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为( )A ．4B ．7C ．10D ．12答案 A解析 因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m .又a m －1a m ＋1－2a m ＝0，则a 2m －2a m ＝0，所以a m ＝2.由等比数列的性质可知前2m －1项积T 2m －1＝a 2m －1m ，即22m －1＝128，故m ＝4.故选A.13．(2019·某某模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________.答案 66解析 依题意有a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，与原式作差，得a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5×1－331－3＝66.14．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 3n －1解析 由3S 1,2S 2，S 3成等差数列可得4S 2＝3S 1＋S 3，所以3(S 2－S 1)＝S 3－S 2，即3a 2＝a 3，a 3a 2＝3.所以q ＝3，所以a n ＝3n －1. 15．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 2n解析 ∵a 25＝a 10，∴(a 1q 4)2＝a 1q 9，∴a 1＝q ，∴a n ＝q n.∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n (1＋q 2)＝5a n q ，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝2或q ＝12(舍去)．∴a n ＝2n.16．(2019·启东模拟)已知等比数列{a n }中，a 2>a 3＝1，则使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≥0成立的最大自然数n 是________．答案 5解析 设公比为q ，由a 2>a 3＝1知0<q <1，a n ＝q n －3，∴不等式的左端＝q －21－q n1－q－q 21－q －n 1－q －1＝1－q n1－q q2·(1－q 5－n)≥0，∵0<q <1，∴n ≤5. 17．(2018·高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式； (2)求e a 1＋e a 2＋…＋e an . 解 (1)设{a n }的公差为d .因为a 2＋a 3＝5ln 2，所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. (2)因为ea 1＝eln 2＝2，eane a n －1＝e an －an －1＝eln 2＝2，所以{e an }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以ea 1＋ea 2＋…＋e an ＝2×1－2n1－2＝2(2n－1)．18．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝a n ＋1－a n . (1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)设＝b n4n 2－12n，求数列{}的前n 项和S n .解 (1)证明：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3a n ＋1－2a n －a n ＋1a n ＋1－a n ＝2a n ＋1－a na n ＋1－a n＝2， 又b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝1×2n －1＝2n －1，因为＝b n4n 2－12n，所以＝122n ＋12n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n4n ＋2.19．(2019·某某省实验中学模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，S 2＝2a 2－2，S 3＝a 4－2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝n a n，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 2＝2a 2－2，①S 3＝a 4－2，②所以由①②两式相减得a 3＝a 4－2a 2，即q 2－q －2＝0. 又因为q >0，所以q ＝2.又因为S 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 1q ＝2a 1q －2， 代入q ＝2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n. (2)由(1)得b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，①将①式两边同乘12，得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②由①②两式错位相减得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1，整理得T n ＝2－n ＋22n.20．(2019·正定模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意n ∈N *，k ≤S n 恒成立，某某数k 的最大值． 解 (1)因为3a n ＋1＋2S n ＝3，① 所以当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3.②由①－②，得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0(n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝13(n ≥2)． 因为a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13，所以a 2a 1＝13.所以数列{a n }是首项为1，公比为13的等比数列．所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)由(1)知S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .由题意，可知对于任意n ∈N *，恒有k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 成立．因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 单调递增，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 中的最小项为23，所以k ≤32×23＝1，故实数k 的最大值为1.。

考点规范练29 等比数列及其前n 项和基础巩固组1.若等比数列{a n }满足a n a n+1=16n ,则公比q 为( )A.2B.4C.8D.162.(2017浙江湖州考试)已知{a n }是等比数列,则“a 2<a 4”是“{a n }是单调递增数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了4个伙伴;第2天,5只蜜蜂飞出去,各自找回了4个伙伴,……按照这个规律继续下去,第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( ) A.420只B.520只C.520-5只D.421-4只4.设实数列{a n },{b n }分别为等差数列与等比数列,且a 1=b 1=4,a 4=b 4=1,则以下结论正确的是( ) A.a 2>b 2B.a 3<b 3C.a 5>b 5D.a 6>b 65.数列{a n }满足a n+1=λa n -1(n ∈N *,λ∈R ,且λ≠0),若数列{a n -1}是等比数列,则λ的值等于( ) A .1B .-1C .12D .26.(2017浙江联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 1,S 2,5成等差数列,则数列{a n }的公比q= .7.(2017浙江丽水调研)在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 3= 2-1,a 5= 2+1,则a 32+2a 2a 6+a 3a 7= .8.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0,则a 3= ,a n = .能力提升组9.设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“q<0”是“对任意的正整数n ,a 2n-1+a 2n <0”的( ) A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件10.(2017浙江温州模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1+a 3=30,S 4=120,设b n =1+log 3a n ,那么数列{b n }的前15项和为( ) A.152 B.135 C.80D.1611.已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1·a n =2n ,则S 2 015=( )A .22 015-1B .21 009-3C .3×21 007-3D .21 008-312.(2017安徽蚌埠质检)数列{a n}是以a为首项,b为公比的等比数列,数列{b n}满足b n=1+a1+a2+…+a n(n=1,2,…),数列{c n}满足c n=2+b1+b2+…+b n(n=1,2,…),若{c n}为等比数列,则a+b=()A.2B.3C.5D.613.(2017浙江模拟)已知a,b为实常数,{c i}(i∈N*)是公比不为1的等比数列,直线ax+by+c i=0与抛物线y2=2px(p>0)均相交,所成弦的中点为M i(x i,y i),则下列说法错误的是()A.数列{x i}可能是等比数列B.数列{y i}是常数列C.数列{x i}可能是等差数列D.数列{x i+y i}可能是等比数列14.如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=22,过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=.15.(2017浙江台州调研)已知数列{a n}的前m(m≥4)项是公差为2的等差数列,从第m-1项起,a m-,a m,a m+1,…成公比为2的等比数列.若a1=-2,则m=,{a n}的前6项和S6=.116.(2017湖南邵阳大联考)已知数列{b n}为等比数列,且b1 008=e(e为自然对数的底数),数列{a n}首项为1,且a n+1=a n·b n,则ln a2 016的值为.,…构成首项a1=1的等差数列,偶17.(2017浙江绍兴模拟)已知正项数列{a n}的奇数项a1,a3,a5,…,a2k-1数项构成公比q=2的等比数列,且a1,a2,a3成等比数列,a4,a5,a7成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;,T n=b1b2…b n,求正整数k,使得对任意n∈N*,均有T k≥T n.(2)设b n=a2n+12n18.等差数列前n项和为S n,已知a1=2,S6=22.(1)求S n,并求S n的最小值;},其中k1=1,且k1<k2<…<k n<…,k n∈N*,当q取最小(2)若从{a n}中抽取一个公比为q的等比数列{a kn值时,求{k n}的通项公式.答案：1.B由a n a n+1=16n,可得a n+1a n+2=16n+1,两式相除得,a n+1a n+2 a n a n+1=16n+116n=16,∴q2=16.∵a n a n+1=16n,可知公比q为正数,∴q=4.2.B在等比数列-1,2,-4,8…中,满足a2<a4,但{a n}是单调递增数列不成立,即充分性不成立,若{a n}是单调递增数列,则必有a2<a4,即必要性成立,则“a2<a4”是“{a n}是单调递增数列”的必要不充分条件,故选B.3.B由题意,可设蜂巢里的蜜蜂数为数列{a n},则a1=1+4=5,a2=5×4+5=25,…,a n=5a n-1,故数列{a n}为等比数列,首项a1=5,公比q=5,故第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有a20=5×519=520只蜜蜂.4.A∵a1=4,a4=1,∴d=-1.∵b1=4,b4=1,又0<q<1,∴q=2-23,b2=243<a2=3,b3<223<a3=2,b5=2-23>a5=0,b6=2-43>a6=-1.5.D由a n+1=λa n-1,得a n+1-1=λa n-2=λ a n-2λ.由{a n-1}是等比数列,所以2=1,得λ=2.6.2由题意得2S2=a1+5,即2(1+q)=1+5,q=2.7.8由等比数列性质,得a3a7=a52,a2a6=a3a5,所以a32+2a2a6+a3a7=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=(2-1+2+1)2=(22)2=8.8.112n-1由题意得a2=1,a3=1.(等比数列的定义、通项公式)由a n2-(2a n+1-1)a n-2a n+1=0得2a n+1(a n+1)=a n(a n+1).因为{a n}的各项都为正数,所以a n+1a n =12.故{a n}是首项为1,公比为12的等比数列,因此a n=12n-1.9.C由题意,得a2n-1+a2n<0⇔a1(q2n-2+q2n-1)<0⇔q2(n-1)(q+1)<0⇔q∈(-∞,-1),因此,q<0是对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0的必要不充分条件.故选C.10.B 由题设可得a 2+a 4=S 4-(a 1+a 3)=90,即q (a 1+a 3)=90⇒q=3,所以a 1=301+9=3,则a n =3·3n-1=3n ,所以b n =1+log 3(3n )=1+n ,则数列{b n }是首项为b 1=2,公差为d=1的等差数列,所以S 15=2×15+15×14=135,应选答案B .11.B ∵a 1=1,a n+1·a n =2n ,∴a n ≠0,a 2=2,当n ≥2时,a n ·a n-1=2n-1. ∴a n +1a n -1=2n 2n -1=2(n ≥2),∴数列{a n }中奇数项,偶数项分别成等比数列,∴S 2015=1-210081-2+2(1-21007)1-2=21009-3,故选B .12.B 由题意,a n =ab n-1,则b n =1+a (1-b n)1-b =1+a 1-b −ab n1-b ,得c n =2+ 1+a 1-b n-a1-b·b (1-b n)1-b =2-ab (1-b )2+1-b +a 1-b ·n+abn +1(1-b )2,要使{c n }为等比数列,必有2-ab (1-b )2=0,1-b +a1-b=0,得 a =1,b =2,a+b=3,故选B .13.C 由直线ax+by+c i =0,当a=0,b ≠0时,直线by+c i =0与抛物线y 2=2px (p>0)仅有一个交点,不合题意.当a ≠0,b=0时,直线ax+c i =0,化为x=-c i a ,则x i =-c i a ,y i =0,x i +y i =-ci a .由{c i }(i ∈N *)是公比不为1的等比数列,可得{x i }是等比数列,{x i +y i }是等比数列,不是等差数列.当a ≠0,b ≠0时,直线ax+by+c i =0化为x=-b y-ci ,代入抛物线y 2=2px (p>0),∴y 2+2pb y+2pci =0.根据根与系数的关系可得M i : pb 22-c i ,-pb.{y i }是常数列,是等比数列,是等差数列.综上可得:A,B,D 都有可能,只有C 不可能. 故选C .14.14 由题意知数列{a n }是以首项a 1=2,公比q= 22的等比数列,∴a 7=a 1·q 6=2× 22 6=14.15.4 28 a m-1=a 1+(m-2)d=2m-6,a m =2m-4,而2m -42m -6=2,解得m=4,所以{a n }的前6项依次为-2,0,2,4,8,16,所以S 6=28.16.2 015a n+1=a n ·b n ⇒a 2016=a 2015·b 2015=a 2014b 2014·b 2015=…=a 1·b 1b 2·…·b 2015=(b 1b 2015)20152=(b 10082)20152=e 2015,因此ln a 2016=lne 2015=2015.17.解 (1)由题意:a 22=a 1a 3,2a 5=a 4+a 7,设a 1,a 3,a 5,…,a 2k-1,…的公差为d ,则a 3=1+d ,a 5=1+2d ,a 7=1+3d ,a 4=2a 2,代入 a 22=1(1+d ),1+d =2a 2,又a 2>0,故解得 a 2=2,d =3.故数列{a n }的通项公式为a n = 3n -1,n 为奇数,2n2,n 为偶数,(2)b n =3n +12n,显然b n >0, ∵bn +1n=3n +42n +13n +12n =3n +4<1,∴{b n }单调递减.又b 1=2,b 2=7,b 3=10,b 4=13, ∴b 1>b 2>b 3>1>b 4>b 5>…,∴当k=3时,对任意n ∈N *,均有T 3≥T n .18.解 (1)设等差数列的公差为d ,则S 6=6a 1+1·6·5d=22, 解得d=2,所以S n =n (n +5). 因为数列{a n }是正项递增等差数列, 所以S n 的最小值为S 1=2.(2)因为数列{a n }是正项递增等差数列, 所以数列{a k n }的公比q>1, 若k 2=2,则由a 2=83,得q=a2a 1=43,此时a k 3=2· 43 2=329,由32=2(n+2),解得n=10∉N *,所以k 2>2,同理k 2>3; 若k 2=4,则由a 4=4,得q=2,此时a k n =2·2n-1,另一方面,a k n =2(k n +2), 所以2(k n +2)=2n ,即k n =3×2n-1-2,所以对任何正整数n ,a k n 是数列{a n }的第3·2n-1-2项. 所以最小的公比q=2. 所以k n =3·2n-1-2.。

第30讲 等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的有关概念一般地，如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的比等于__同一__常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q __表示．(2)等比中项如果三个数a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a 和b 的等比中项，那么__G a ＝b G __，即__G 2＝ab __.2．等比数列的有关公式 (1)等比数列的通项公式设等比数列{}a n 的首项为a 1，公比为q ，q ≠0，则它的通项公式a n ＝__a 1·q n －1__.(2)等比数列的前n 项和公式等比数列{}a n 的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝__na 1__；当q ≠1时，S n ＝__a 1(1－q n )1－q __＝__a 1－a n q 1－q__.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·__q n－m__(n ，m ∈N *)．(2)若{}a n 为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{}a n ，{}b n (项数相同)是等比数列，则{}λa n (λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{}a 2n ，{}a n ·b n ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn 仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __.1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)常数列一定是等比数列．( × )(2)等比数列中不存在数值为0的项．( √ )(3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{}a n 为等比数列．( × ) (4)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(5)若等比数列{}a n 的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n .( × ) (6)数列{}a n 的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(7)q ＞1时，等比数列{}a n 是递增数列．( × )(8)在等比数列{}a n 中，若a m ·a n ＝a p ·a q ，则m ＋n ＝p ＋q .( × ) 解析 (1)错误．常数列0,0,0，…不是等比数列，故错误．(2)正确．由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项，故正确． (3)错误．当q ＝0时，{a n }不是等比数列，故错误．(4)错误．当G 2＝ab ＝0时，G 不是a ，b 的等比中项，故错误． (5)错误．等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1，故错误．(6)错误．当a ＝1时，S n ＝n ，故错误．(7)错误．当q >1，a 1<0时，等比数列递减，故错误．(8)错误．若a n ＝1，a 1·a 3＝a 4·a 5＝1，但1＋3≠4＋5，故错误．2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 满足的条件是( D ) A ．a ≠1 B ．a ≠0或a ≠1 C ．a ≠0D ．a ≠0且a ≠1解析 由等比数列定义可知，a ≠0且1－a ≠0，即a ≠0且a ≠1，故选D ． 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝( C ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3解析 由等比数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.4．在等比数列{}a n 中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则q ＝__－4__，S 4＝__51__. 解析 ∵a 4＝a 1·q 3，∴q 3＝－64，q ＝－4，S 4＝－[1－(－4)4]1－(－4)＝256－15＝51.5．在等比数列{}a n 中，若a 7·a 12＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11＝__25__. 解析 由等比数列的性质知a 8·a 11＝a 9·a 10＝a 7·a 12＝5， ∴a 8·a 9·a 10·a 11＝25.一 等比数列的基本量计算解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{}a n 的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{}a n 的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.【例1】 (1)已知等比数列{}a n 满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( B ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84(2)(2018·河南开封模拟)正项等比数列{}a n 中，a 2＝4，a 4＝16，则数列{}a n 的前9项和等于__1_022__.(3)在数列{}a n 中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{}a n 的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__6__. 解析 (1)∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2＋3q 4＝21. ∴1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42. (2)∵{a n }为正项等比数列，∴q 2＝a 4a 2＝164＝4，∴q ＝2，a 1＝2，∴S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝2(1－29)1－2＝210－2＝1 022.(3)∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，∴n ＝6.二 等比数列的性质及应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【例2】 (1)已知等比数列{}a n 满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( C )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)设等比数列{}a n 中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( A ) A ．18B ．－18C ．578D ．558(3)已知等比数列{}a n 中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( A ) A ．4 B ．6 C ．8D ．－9解析 (1)∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)， ∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C ．(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，在等比数列中S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.(3)a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2，∵a 4＋a 8＝－2，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝4.三 等比数列的判定与证明(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．【例3】 数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＋a n ＝－12n 2－32n ＋1(n ∈N *)．(1)设b n ＝a n ＋n ，证明：数列{}b n 是等比数列； (2)求数列{}nb n 的前n 项和T n .解析 (1)证明：因为a n ＋S n ＝－12n 2－32n ＋1，所以当n ＝1时，2a 1＝－1，则a 1＝－12；当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝－12(n －1)2－32(n －1)＋1，所以2a n －a n －1＝－n －1，即2(a n ＋n )＝a n －1＋n －1. 所以b n ＝12b n －1(n ≥2)．又因为b 1＝a 1＋1＝12，所以数列{b n }是首项为12，公比为12的等比数列．所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n. (2)由(1)，得nb n ＝n 2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋424＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①2T n ＝1＋22＋322＋423＋…＋n －12n －2＋n2n －1，②②－①，得T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ，即T n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n .1．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{}a n －1是等比数列，则λ的值等于( D )A ．1B ．－1C ．12D ．2解析 由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2. 2．设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝__34__.解析 由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34.3．已知正项数列{}a n 是首项为2的等比数列，且a 2＋a 3＝24.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝2n3a n，求数列{}b n 的前n 项和T n .解析 (1)设正项数列{a n }的公比为q ，则2q ＋2q 2＝24， ∴q ＝3(q ＝－4舍去)，∴a n ＝2×3n －1.(2)∵b n ＝2n 3a n ＝2n 3×2×3n 1＝n3n ， ∴T n ＝13＋232＋333＋…＋n3n ，①∴13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n3n ＋1，② 由①－②，得23T n ＝13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1，∴T n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13－n 3n ＋1＝3n ＋1－2n －34×3n. 4．(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{}a n 是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n ，由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1.易错点 不知等比数列中奇数项同号、偶数项同号错因分析：①等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号也都相同．②只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数．【例1】 等比数列{}a n 中，a 5，a 9是方程7x 2＋18x ＋7＝0的两个根，试求a 7. 解析 由韦达定理得a 5＋a 9＝－187，a 5a 9＝1，∴a 5＜0，a 9＜0.∵a 27＝a 5a 9＝1，且a 7＝a 5q 2＜0，∴a 7＝－1.【跟踪训练1】 若在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别为解析 设这五个数依次为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5.∵a 23＝a 1a 5＝4，且a 3＞0，∴a 3＝2.又a 22＝a 1a 3＝2，∴a 2＝±2，当a 2＝2时，a 4＝22；当a 2＝－2时，a 4＝－2 2. ∴插入的三个数依次为2，2,22或－2，2，－2 2.课时达标 第30讲[解密考纲]主要考查等比数列的通项公式，等比中项及其性质，以及前n 项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( A ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( C )A ．13B ．－13C ．12D ．－12解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16，①当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫x ·3n －1－16－⎝⎛⎭⎫x ·3n －2－16＝x ·(3n －1－3n －2)＝2x ·3n －2， 因为{a n }是等比数列，所以a 1＝a 2q ＝2x ·32－23＝2x 3，②由①②得x －16＝2x 3，解得x ＝12.3．(2018·云南昆明模拟)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5＝( B )A ．－2B ．－ 2C ．±2D ． 2解析 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，所以a 5＝－a 3a 7＝－ 2.4．已知等比数列{a n }中的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( D )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1解析 ∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12， 代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ， ∴S n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴Sn a n＝2n －1，故选D ． 5．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( B )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析 由题意可知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9，而log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10.6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( B )A ．16B ．8C ．22D ．4解析 由题意知a 4>0，a 14>0，a 4·a 14＝8，a 7>0，a 11>0，则2a 7＋a 11≥22a 7·a 11＝22a 4·a 14＝216＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 7·a 11＝8，2a 7＝a 11，即a 7＝2，a 11＝4时取等号，故2a 7＋a 11的最小值为8，故选B ．二、填空题7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是__4__. 解析 设公比为q ，则由a 8＝a 6＋2a 4，得a 1q 7＝a 1q 5＋2a 1q 3，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2(q 2＝－1舍去)，所以a 6＝a 2q 4＝4.8．等比数列的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝__5__.解析 由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，于是由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 232＝5.9．(2018·江苏徐州模拟)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝__2__；前n 项和S n ＝__2n ＋1－2__.解析 由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q (1＋q 2)＝20，a 1q 2(1＋q 2)＝40，解得q ＝2，a 1＝2， 所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.三、解答题10．已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64，且a 4，a 5的等差中项为3a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64，a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6435，q ＝－3(舍去)，所以a n ＝2n .(2)因为b n ＝n a 2n －1＝n 22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1， 所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3×22n ＋1，故T n ＝89－16＋12n 9×22n ＋1＝89－4＋3n9×22n －1.11．(2018·天津模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1 ,2S 2,3S 3成等差数列，且S 4＝4027.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n <32.解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 1,2S 2,3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)， 所以a 2＝3a 3，所以q ＝a 3a 2＝13.又S 4＝4027，即a 1(1－q 4)1－q ＝4027，解得a 1＝1，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1.(2)证明：由(1)得S n ＝a 1(1－q n)1－q＝1－⎝⎛⎭⎫13n1－13＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n .因为n ∈N *，所以0<⎝⎛⎭⎫13n<1，所以0<1－⎝⎛⎭⎫13n <1，所以S n＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <32. 12．(2018·湖北华师一附中期中)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，b 4＝54，a 1＋a 2＋a 3＝b 2＋b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝542＝27，从而q ＝3，b n ＝2·3n －1.又∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝b 2＋b 3＝6＋18＝24， ∴a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝8－2＝6， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋6(n －1)＝6n －4. ∴a n ＝6n －4，b n ＝2·3n －1.(2)c n ＝a n b n ＝4(3n －2)·3n －1.令S n ＝4[1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n －5)×3n －2＋(3n －2)×3n －1]，则3S n ＝4[1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n －5)×3n －1＋(3n －2)×3n ]．两式相减得－2S n ＝4[1＋3×31＋3×32＋…＋3×3n －1－(3n －2)×3n ]，∴－2S n ＝4[1＋32＋33＋…＋3n －(3n －2)×3n ]＝2[(7－6n)·3n－7]．∴S n＝7＋(6n－7)·3n.。

5．3 等比数列及其前n 项和[知识梳理]1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2)，q 为常数，q ≠0.(2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n＝a 1q n －1；可推广为a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.3．等比数列的相关性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)． (3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，公比为q k .当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列．(6)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n，T 3nT 2n，…成等比数列．(7)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .[诊断自测] 1．概念思辨(1)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)在等比数列{a n }中，如果m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，那么a m ·a n＝a 2k .( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化(1)(必修A5P 53T 1)若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝20，a 2＋a 4＝40，则公比q ＝( )A ．1B ．2C ．－2D ．4答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 2＝20，a 1q ＋a 1q 3＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝2.故选B.(2)(必修A5P 56例1)设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．答案 127解析 a 5＝a 1q 4得q ＝2， 所以S 7＝1－271－2＝127.3．小题热身(1)(2018·华师一附中联考)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( )A ．1B ．±1C ．2D ．±2答案 A解析 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，a 1＝a 3q 2＝1.故选A.(2)(2018·安徽芜湖联考)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或12答案 C解析 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，②②÷①得1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.故选C.题型1 等比数列基本量的运算典例1(2017·广东惠州第二次调研)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7 方程组法．答案 D解析 由a 5a 6＝a 4a 7，得a 4a 7＝－8，解⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4，∴q 3＝－12或q 3＝－2.当q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 4q 6＝4－12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－7；当q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 4q 6 ＝－2－2＋(－2)·(－2)2＝－7.故选D. 典例2(2017·金凤区四模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝10，S 10＝50，则S 20等于( )A ．90B ．250C ．210D ．850把a 11－q看成一个整体． 答案 D解析 由题意数列的公比q ≠1，设首项为a 1， ∵S 5＝10，S 10＝50，∴a 1(1－q 5)1－q ＝10，a 1(1－q 10)1－q ＝50，∴两式相除可得1＋q 5＝5，∴q 5＝4， ∴a 11－q＝－103， ∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q ＝－103·(1－256)＝850.故选D.方法技巧等比数列的基本运算方法及数学思想1．等比数列的基本运算方法(1)对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a 1，q .如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，q ，n ，S n 的“知三求二”问题．(2)对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，x q ，x ，xq ，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，x q 3，x q ，xq ，xq 3，…(注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况)这样即可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．2．基本量计算过程中涉及的数学思想方法 (1)方程思想，即“知三求二”．(2)分类讨论思想，即分q ＝1和q ≠1两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视．(3)整体思想．应用等比数列前n 项和时，常把q n，a 11－q当成整体求解．见典例2.冲关针对训练(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.答案 32解析 设{a n }的首项为a 1，公比为q ，当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1＝2S 3，不符合题意，所以q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.题型2 等比数列的判断与证明典例 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *有an ＋S n ＝n .(1)设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c 1＝a 1且c n ＝a n －a n －1(n ≥2)，求{c n }的通项公式．本题用定义法．解 (1)证明：由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1，得a 1＝12. 又由 a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，得 a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1. ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2b n ＋1＝b n .∴数列{b n }是以b 1＝a 1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)知2a n ＋1＝a n ＋1.∴2a n ＝a n －1＋1(n ≥2)． ∴2a n ＋1－2a n ＝a n －a n －1.∴2c n ＋1＝c n (n ≥2)． 又c 1＝a 1＝12，a 2＋a 1＋a 2＝2，∴a 2＝34. ∴c 2＝34－12＝14，c 2＝12c 1.∴数列{c n }是首项为12，公比为12的等比数列． ∴c n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . [条件探究] 将典例条件“a n ＋S n ＝n ”变为“a 1＝1，S n ＋1＝4a n＋2，若b n ＝a n ＋1－2a n ”，(1)求证{b n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)若c n ＝a n3n －1，证明{c n }为等比数列．解 (1)a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n . b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝(4a n ＋1－4a n )－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2，∴数列{b n }是公比为2的等比数列，首项为a 2－2a 1. ∵S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2， ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3. b n ＝3·2n －1＝a n ＋1－2a n ， ∴a n ＋12n －1－a n2n －2＝3. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －2是等差数列，公差为3，首项为2.∴a n2n －2＝2＋(n －1)×3＝3n －1. ∴a n ＝(3n －1)·2n －2.(2)证明：由(1)知a n ＝(3n －1)·2n －2，所以c n ＝2n －2. 所以c n ＋1c n＝2n －12n －2＝2.又c 1＝a 13×1－1＝12，所以数列{c n }是首项为12，公比为2的等比数列． 方法技巧等比数列的判定方法1．定义法：若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．见典例．2．等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．3．通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．4．前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．冲关针对训练(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.题型3 等比数列前n 项和及性质的应用角度1 等比数列性质的综合应用典例(2015·安徽高考)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．方程组法．答案 2n －1解析 由已知得，a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1.又数列{a n }是递增的等比数列，∴a 1＜a 4，∴a 1＝1，a 4＝8，从而q 3＝a 4a 1＝8，即q ＝2，则前n 项和S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝2n －1.角度2 等比数列的前n 项和典例各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16q ≠1，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．答案 B解析 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n－S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n，S2n－S n，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故选B.角度3等差数列与等比数列的综合典例(2015·湖南高考)设S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则a n＝________.利用方程思想方法．答案3n－1解析设等比数列{a n}的公比为q(q≠0)，依题意得a2＝a1q＝q，a3＝a1q2＝q2，S1＝a1＝1，S2＝1＋q，S3＝1＋q＋q2.又3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(1＋q)＝3＋1＋q＋q2，解得q＝3(q＝0舍去)．所以a n＝a1q n－1＝3n－1.方法技巧1．在解答等比数列的有关问题时，为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质：(1)通项公式的推广：a n＝a m q n－m；(2)等比中项的推广与变形：a2p＝a m·a n(m＋n＝2p)及a k·a t＝a m·a n(k ＋t＝m＋n)(m，n，p，k，t∈N*)．见角度1典例．2．对已知条件为等比数列的前几项和，求其前多少项和的问题，应用公比不为－1的等比数列前n项和的性质：S n，S2n－S n，S3n－S2n 仍成等比数列比较简便．见角度2典例．冲关针对训练(2017·滨海新区期中)已知递增等比数列{a n}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列．(1)求{a n}的首项和公比；(2)设S n＝a21＋a22＋…＋a2n，求S n.解(1)根据等比数列的性质，可得a3·a5·a7＝a35＝512，解之得a5＝8.设数列{a n }的公比为q ，则a 3＝8q 2，a 7＝8q 2，由题设可得⎝⎛⎭⎪⎫8q 2－1＋(8q 2－9)＝2(8－3)＝10，解之得q 2＝2或12.∵{a n }是递增数列，可得q ＞1，∴q 2＝2，得q ＝ 2. 因此a 5＝a 1q 4＝4a 1＝8，解得a 1＝2.(2)由(1)得{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝2×(2)n －1＝(2)n ＋1，∴a 2n ＝[(2)n ＋1]2＝2n ＋1，可得{a 2n }是以4为首项，公比等于2的等比数列．因此S n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－2n)1－2＝2n ＋2－4.1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏答案 B解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.故选B.2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84 答案 B解析 设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2(负值舍去)．∴a 3＋a 5＋a 7＝a 1q 2＋a 3q 2＋a 5q 2＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.故选B.3．(2017·北京高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.答案 1解析 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1＋3d ，得d ＝a 4－a 13＝8－(－1)3＝3， 由b 4＝b 1q 3得q 3＝b 4b 1＝8－1＝－8，∴q ＝－2.∴a 2b 2＝a 1＋db 1q ＝－1＋3－1×(－2)＝1.4．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．答案 64解析 等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5， 可得q (a 1＋a 3)＝5，解得q ＝12. a 1＋q 2a 1＝10，解得a 1＝8. 则a 1a 2…a n ＝a n 1·q 1＋2＋3＋…＋(n －1)＝8n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)2 ＝23n －n 2－n 2 ＝27n －n 22 ，当n ＝3或4时，表达式取得最大值2122＝26＝64.故答案为64.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·邢台摸底)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( )A ．9或－9B ．9C ．27或－27D ．27答案 B解析 依题意得a 27＝a 5·a 9＝81，又注意到a 7a 5＝q 2>0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9.故选B.2．(2018·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12 D ．2答案 D解析 由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.故选D.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里 答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里．故选B.4．(2018·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m＝－2.又S m ＝a 1－a m q 1－q ＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m－1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.故选C.5．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝33.故选D. 6．(2017·安徽六校素质测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )A ．1008B ．2016C ．2032D ．4032答案 B解析 由题意知2(a 4＋2)＝a 2＋a 5，即2(2q 3＋2)＝2q ＋2q 4＝q (2q 3＋2)，得q ＝2，所以a n ＝2n ，S 10＝2(1－210)1－2＝211－2＝2046，S 4＝2(1－24)1－2＝25－2＝30，所以S 10－S 4＝2016.故选B.7．(2018·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A.158或4 B.4027或4 C.4027 D.158答案 C解析 设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84，S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027. 8．(2018·衡水模拟)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值时n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由9S 3＝S 6知，q ≠1，故9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，又a 1＝120， 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －120.因为T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，故当T n 取最小值时a n ≤1，且a n ＋1≥1，即⎩⎨⎧2n －120≤1，2n20≥1，得n ＝5.故选C.9．(2018·河南洛阳模拟)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D解析 ∵a ，b 是函数f (x )＝x 2－px 十q (p >0，q >0)的两个不同的零点，∴a ＋b ＝p ，ab ＝q .∵p >0，q >0，∴a >0，b >0.又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a －2，ab ＝4①或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4，② 解①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，解②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝a ＋b ＝5，q ＝1×4＝4. ∴p ＋q ＝9.故选D.10．(2017·广东清远一中一模)已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.256 D ．不存在答案 A解析 ∵正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，∴a 1q 2＝a 1q ＋2a 1，即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1(舍)或q ＝2， ∵存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1， ∴a m a n ＝16a 21，∴(a 1·2m －1)·(a 1·2n －1)＝16a 21， ∴a 21·2m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(m ＋n )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32(当且仅当n ＝2m 时取等)， ∴1m ＋4n 的最小值是32.故选A. 二、填空题11．(2014·天津高考)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案 －12解析 S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.故(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.12．(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析 因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12，所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，可解得a 10·a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1·a 2·…·a 20) ＝ln (a 10·a 11)10＝10ln (a 10·a 11)＝10ln e 5＝50.13．(2017·广东潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2×3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.答案 12－13n ＋1－1解析 由a n ＝2×3n －1可知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1，则b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n－1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1. 14．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项．答案 6解析 由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211＝255.当抽去一项后所剩下的10项之积为3210＝250， ∴抽去的一项为255÷250＝25.又因a 1·a 11＝a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 4·a 8＝a 5·a 7＝a 26， ∴a 1·a 2·…·a 11＝a 116.故有a 116＝255，即a 6＝25.∴抽出的应是第6项． 三、解答题15．(2017·海淀区模拟)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值． 解 (1)设{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 13＝4， ∴a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2(n ∈N *)．设c n ＝a n －b n ，则{c n }为等比数列．c 1＝a 1－b 1＝2－1＝1，c 4＝a 4－b 4＝14－6＝8， 设{c n }的公比为q ，则q 3＝c 4c 1＝8，故q ＝2.则c n ＝2n －1，即a n －b n ＝2n －1. ∴b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)．故{b n }的通项公式为b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)． (2)由题意，b k 应为数列{b n }的最大项．由b n ＋1－b n ＝4(n ＋1)－2－2n －4n ＋2＋2n －1＝4－2n －1(n ∈N *)． 当n ＜3时，b n ＋1－b n ＞0，b n ＜b n ＋1，即b 1＜b 2＜b 3； 当n ＝3时，b n ＋1－b n ＝0，即b 3＝b 4；当n ＞3时，b n ＋1－b n ＜0，b n ＞b n ＋1，即b 4＞b 5＞b 6＞…. 综上所述，数列{b n }中的最大项为b 3和b 4. 故存在k ＝3或4，使∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立．16．(2015·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列； (3)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)∵4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，∴4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×( 1＋32＋54 )＋1，解得a 4＝78. (2)证明：∵n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴4(S n ＋2－S n ＋1)－2(S n ＋1－S n ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1)，∴(S n ＋2－S n ＋1)－12(S n ＋1－S n ) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1)，∴a n ＋2－12a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12a n .又a 3－12a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列． (3)由(2)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，两边同乘以2n ＋1，得a n ＋1·2n ＋1－a n ·2n ＝4. 又a 2·22－a 1·21＝4，∴{a n ·2n }是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ·2n ＝2＋4(n －1)＝2(2n －1)， ∴a n ＝2(2n －1)2n ＝2n －12－.。

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课时分层作业三十二等比数列及其前n项和一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,且S3=14,a3=8,则a6= ( )A.16B.32C.64D.128【解析】选 C.由题意得,等比数列的公比为q,由S3=14,a3=8,则解得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=2×25=64,故选C.2.(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为 ( )A.-24B.-3C.3D.8【解析】选 A.设等差数列的公差为d,d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-2d(d≠0),所以d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24.3.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯世纪金榜导学号12560576 ( )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【解析】选B.设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381可得x=3.4.(2018·临沂模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=a·2n-1+,则a的值为( )A.-B.C.-D.【解析】选 A.当n≥2时,a n=S n-S n-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,又因为{a n}是等比数列,所以a+=,所以a=-.5.在公比为的等比数列{a n}中,若sin(a1a4)=,则cos(a2a5)的值是( )A.-B.C.D.【解析】选 B.由等比数列的通项公式可知a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos(a2a5)=1-2sin2(a1a4)=1-2×=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017·北京高考)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=______.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由题意得-1+3d=-q3=8⇒d=3,q=-2⇒==1.答案:17.已知数列{a n}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2=________.【解析】设数列{a n}的公比为q,则q3==,解得q=,a1==4.易知数列{a n a n+1a n+2}是首项为a1a2a3=4×2×1=8,公比为q3=的等比数列,所以a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2==(1-2-3n).。