2019年高中数学必修四世纪金榜课件向量

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向量加法的运算
【例 1】 (2017 年山东济南校级月考)已知四边形 ABCD，
连接 AC，BD，则A→B＋B→C＋C→D为( )
A．A→D
B．B→D
C．A→C
D．0
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【解题探究】根据平面向量的加法运算法则，进行化简即 可．
【答案】A 【解析】根据平面向量的加法运算，得A→B＋B→C＋C→D＝A→C ＋C→D＝A→D.故选 A．
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三角形 图
法则 形
法 则 平行四
边形法 则
前 已知不共线的两个向量 a，b，在平面内任取 提 一点 O 作 以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻 法 边作平行四边形 OACB
第四页，编辑于星期日：点 三十七分。
平行 结论 对角线__O_→_C__就是 a 与 b 的和 四边 法则 形法 图形 则 规定 对于零向量与任一向量 a，都有 a＋0＝0＋a＝__a__
2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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目标定位
重点难点
1.通过实例了解向量加法定义的 重点：向量加法运算，并理 由来
解其几何意义 2.掌握向量加法运算，并理解其
难点：掌握向量加法的运算 几何意义
律，并会应用它们进行向量 3.掌握向量加法的运算律，并会
→
|A→B|＝|D→C|，A→B∥D→C
→
四边形ABCD 是平行四边形
【解析】A→B＝A→O＋O→B，D→C＝D→O＋O→C，
∵A→O＝O→C，O→B＝D→O，∴A→B＝D→C.
∴AB∥DC 且 A．

3.向量共线定理以及向量的线性运算 (1)向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ , 使_b_=_λ__a_. (2)向量的加、减、数乘运算统称为向量的_线__性__运__算__. 对于任意向量a、b及任意实数λ 、μ 1,μ 2,恒有 λ (μ 1a±μ 2b)=_λ__μ__1_a_±__λ_μ__2_b_.
【思维脉图】
【自主预习】 1.向量的数乘运算
定义 记法 长度
方向
向量的数乘 实数λ 与向量a的乘积是一个_向__量__
_λ__a_
λ ＞0 λ ＜0
|λa|= __|λ_|_|_a|_ 方向与a的方向_相__同__ 方向与a的方向_相__反__
2.向量数乘的运算律 设λ 、μ 为任意实数,则有: (1)λ (μ a)= _(_λ__μ__)_a_. (2)(λ +μ )a=_λ__a_+_μ__a_. (3)λ (a+b)=_λ__a_+_λ__b_. 特别地,有(-λ )a=_-_(_λ__a_)_=_λ__(_-_a_)_. λ (a-b)=_λ__a_-_λ__b_
②当0<|λ |<1时,有|λ a|<|a|,这意味着表示向量a的 有向线段在原方向(0<λ <1)或反方向(-1<λ <0)上缩短 到|a|的|λ |倍.
2.共线向量定理中规定a≠0的原因 若将条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线. (1)若b≠0,则不存在实数λ ,使b=λ a. (2)若b=0,则对任意实数λ ,都有b=λ a.
,所以
uuur AC＝
3
uur AB
, BuuCr＝

2
uur AB
.
AB 5

4.如何利用向量的方法求线段的长度? 提示:根据向量的有关运算,求出对应向量的模,即为线 段的长度.
结论: 1.向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)转化:建立平面几何与向量的联系,用_向__量__表示问 题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为_向__量__问 题.
(2)运算:通过_向__量__运算,研究几何元素之间的关系, 如距离、夹角等问题. (3)翻译:把_运__算__结__果__“翻译”成_几__何__关__系__.
(2)设OA a,OB b,则 AM 1 b a, NB b 1 a, AB b a.
2.用向量方法解决平面几何中的常见问题 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0且b≠0),a与b的夹角为θ . (1)求线段的长度或证明线段相等,可利用向量的_线__性__ _运__算__、向量的_模__. (2)证明垂直或涉及垂直问题,常用向量垂直的等价条 件:a⊥b⇔_a_·_b_=_0__⇔_x_1x_2_+_y_1_y_2=_0_.
4.物理学中的功是一个标量,即为力F与位移s的_数__量__积__. 即W=F·s= __|_F_|_|_s_|_c_o_s_θ_(θ 为F与s的夹角).
【微思考】 1.向量数量积运算的物理背景是什么? 提示:向量数量积运算的物理背景是力做功的计算. 2.用平面向量可解决物理中的哪些问题?试举例说明. 提示:(1)与力有关的问题.(2)与速度有关的问题.
4.一条河宽为800m,一船从A出发垂直航行到达河正对
岸的B处,船速为20km/h,水速为12km/h,则船到达B处所
需时间为
分钟.
【解析】 因为v实际=v船+v水=v1+v2, |v1|=20,|v2|=12, 所以|v|= v1 2 v2 2

其他正确.
3.若|a|=5,b与【解析】因为|a|= 5 |b|,且a与b方向相反,所以a=- 5 b.
7
7
答案:- 5
7
4.若向量方程5(x+a)+3(x-b)=0,则向量x=
.
【解析】原方程可变形为5x 5a 3x 3b 0,即8x 5a 3b, 所以x 5 a 3 b.

3a

2b,
代入①得33a 2b 2y a,所以y 4a 3b.
所以x 3a 2b, y 4a 3b.
【方法总结】向量的线性运算的思路 (1)利用实数与向量的积的运算律可以化简有关向量式. 其化简方法与代数式的化简有些类似. (2)已知某些向量,而要化简与它们有关的向量式,其解 题方法可类比初中所学的“求代数式的值”,即先化简 向量式,再代入求值.这样能简化解题过程.
(3)解向量的线性方程组的方法同解实数系中的一次方 程组一样,即进行消元,其消元方法也有代入消元法、 加减消元法.
【巩固训练】化简下列各式.
【微思考】 1.实数与向量能否进行加减运算? 提示:不能.实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行 加减运算. 2.在什么情况下λ a=0(λ 为实数)? 提示:当λ =0或a=0时,λ a=0.
3.向量数乘得到的依然是向量,那么它的方向由谁确定? 提示:实数λ 与向量a数乘,得到向量λ a,其方向由λ 的 正负及向量a的方向共同确定. 4.数乘向量满足什么运算律? 提示:数乘向量满足分配律、结合律.
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
主题1 向量的数乘运算 1.类比:实数运算,x+x+x=3x,思考a+a+a能否写成3a呢? 提示:可以,即a+a+a=3a. 2.3a与a的方向有什么关系?-3a与a的方向呢? 提示:3a与a的方向相同,-3a与a的方向相反.

3
3
33
故CE CA AE CA 1 AD AC 1 ( 2 AB 1 AC)
2
23 3
1 AB 5 AC， 36
类型一 对平面向量基本定理的理解
【典例1】(1)(2017·金华高一检测)设e1,e2是表示平
面内所有向量的一组基底,则向量a=e1+λ e2与向量b=
-e1+2e2共线的条件是
.
(2)(2017·惠州高一检测)如图,已知△ABC中,D为边BC
上靠近B点的三等分点,连接AD,E为线段AD的中点,若
结论:平面向量基本定理 1.定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_不__共__线__向量, 那么对于这一平面内的_任__意__向量a,有且只有一对实数
λ 1,λ 2,使a=λ 1e1+λ 2e2. 2.基底:_不__共__线__的向量e1,e2叫做表示这一平面内_所__有__ 向量的一组基底.
【微思考】 1.在平面向量基本定理中为何要求向量e1,e2不共线? 提示:若向量e1,e2共线,则λ 1e1+λ 2e2与向量e1,e2共线, 即向量λ 1e1+λ 2e2只能表示与向量e1,e2共线的向量,无 法表示平面内其他的向量.
【预习自测】 1.设e1,e2是同一平面内的两个向量,则有 ( ) A.e1,e2一定平行 B.e1,e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a=λ e1+μ e2(λ ,μ ∈R) D.若e1,e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有 a=λ e1+μ e2(λ ,μ ∈R)
【解析】选D.由平面向量基本定理可知.
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理

UITANGYANLIAN
1234
4.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=b+a;
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 【做一做 4-1】 在▱ABCD 中,������������ + ������������ + ������������等于( )
A.������������
B.������������
名师点拨应用向量加法的三角形法则,关键是要做到“首尾相接”, 即将向量b平移,使其始点与另一向量a的终点重合,则以向量a的始 点为始点,以向量b的终点为终点的向量就是向量a与b的和.
-3-
2.1.2 向量的加法
1234
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
【做一做2】 在四边形ABCD中, ������������ + ������������ = ������������,则四边形ABCD
是( )
A.梯形
B.矩形
C.正方形 D.平行四边形
答案:D
-5-
2.1.2 向量的加法
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知识梳理
HISHI SHULI
2.n个向量的和仍是一个向量; 3.多边形法则的要领是“首尾相连,首是首,尾是尾”,与向量加法的 三角形法则相同.
-7-
2.1.2 向量的加法
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知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练

|AB |= x2 x1 2 y2 y1 2 ,即| AB |的实质是A,B两点
间的距离或线段AB的长度,这也是模的几何意义.
【自主检测】
1.已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b的值是 ( )
A.23
B.7
C.-23
D.-7
【解析】选D.由数量积的计算公式得,a·b=(-3,4)·
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【课标要求】 新课程标准: 1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向 量的夹角. 2.能用坐标表示平面向量垂直的条件.
教学目标: 1.掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算. 2.能运用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、 垂直有关的问题.
【思路导引】1.先求出_(_a_+_2_b_)_,然后利用平面向量的 数量积求出(a+2b)·c. 2.利用平面向量的数量积运算求出_a_·__b_,由a·b=-1得 出关于x的方程求解. 3.设c=(x,y),利用平面向量的数量积运算,列出_关__于__ _x_,_y_的__方__程__组__求解.
【解析】1.选C.依题意可知,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)= (-5,6),所以(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2= -3. 2.选D.因为a=(1,2),b=(2,x),所以a·b=(1,2)·(2,x) =1×2+2x=-1,解得x=- 3 .
2
3.设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5,
【提示】(1)×.因为当x1y2-x2y1=0时,向量a,b的夹角 也可能为180°. (2)√.由向量数量积定义可知正确. (3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.

.
【解题指南】(1)根据向量加法的平行四边形法则判断 四边形的形状. (2)根据多边形各边顺序来判断向量的顺序.
【解析】(1)选C.因为 AC=AB+AD, 所以 DC=DA+AC =DA+AB+AD=DA+AD+AB=AB, 即 DC=AB,所以四边形 ABCD为平行四边形. (2)根据多边形各边顺序判断这些向量的排列顺序为
主题2 向量加法的运算律 实数的加法运算律有哪些?向量的加法是否也有相似的 运算律? 提示:实数的运算律有:交换、结合律,向量的加法也有 类似的运算律.
结论:向量加法的运算律 1.交换律:a+b=_b_+_a_. 2.结合律:(a+b)+c=a+(_b_+_c_) 特别地:对于任意向量a与零向量的和有:a+0=_0_+_a_=_a_.
(3)当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三 角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的 一半,在多个向量的加法中,利用三角形法则更为简便.
【巩固训练】(2017·阜阳高一检测)如图所示,试用几 何法分别作出向量 BA+BC,CA+CB.
类型一 向量的加法法则及应用 【典例1】(1)如图所示,在四边形ABCD中, AC=AB+AD, 则四边形为 ( )
A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形
(2)(2017·苏州高一检测)如图(1),某人想要从点A出发
绕阴影部分走一圈,他可按图(2)中提供的向量行走,则
这些向量的排列顺序为
回答下列问题: 1.从物理学的角度,上面实例中位移、牵引力说明了什 么? 提示:后面一次位移是前面两次位移的合位移,四边形 OACB的对角线的力是 OA与 OB 表示的力的合力.

2.选D.如图,取AB的中点E,连接OE,
则 OA OB＝2OE. 又 OA OB OC =0, 所以 OC =-2 OE .又O为公共点, 所以O,C,E三点共线,且| OC|=2| OE |. 所以O为△ABC的重心.
3.方法一:设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0<a<1), 则EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP= 2 a,
2.5 平面向量应用举例
【课标要求】 新课程标准: 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以 及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的 作用.
教学目标: 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些 实际问题.
【思维脉图】
【自主预习】 1.用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系,用_向__量__表示问题中涉 及的几何元素,将平面几何问题转化为_向__量__问__题__.
【自主总结】
向量方法解决平面几何问题的六个应用
(1)证明线段相等:通过向量运算,证明
2
AB

2
CD ,
即可
证明AB=CD.
(2)证明线段平行:利用 AB CD, 点A,B,C,D不共线,可 以证明AB∥CD,特别地,当λ =1时,AB������ CD.
(3)证明线段垂直:利用 AB CD 0, 证明两线段垂直. (4)证明三点共线:利用 AB AC(λ ∈R)可以证明 A,B,C三点共线,也可变形为 OA xOB＋yOC (x,y∈R,x+y=1),其中O为空间任意一点.
【思维辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法 则. ( ) (2)若△ABC为直角三角形,则有 AB BC =0. ( ) (3)若向量 AB ∥CD ,则AB∥CD. ( )

【思维脉图】
【自主预习】 1.相反向量 (1)定义:①非零向量a的相反向量是与a__长__度__相__等__,_ _方__向__相_反___的向量;②零向量的相反向量是_零__向__量__. (2)记法:向量a的相反向量,记作_-_a_.
(3)结论.
文字语言
任一向量 与其相反 向量的和 是零向量
形式1 形式2
符号语言 _a_+_(_-_a_)_=_(_-_a_)_+_a_=0 若a,b是相反向量,则
a=_-_b_, b=_-_a_,_a_+_b_=0
2.向量的减法 (1)定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这 个向量的_相__反__向__量__.
(2)作法:在平面内任取一点O,作
uuur uuur CA＝BA

uur BC

a

b.
2.非零向量m与n是相反向量,下列不正确的是( )
A.m=n
B.m=-n
C.|m|=|n|
D.方向相反
【解析】选A.零向量m与n是相反向量,则有m=-n, |m|=|n|.
3.下列运算中正确的是 ( )
A.
uuur OA

uur OB

uur AB

b.
因
为四边形OACB是平行四边形,所以|a+b|=|
uuur OC
|,
|a-b|=|
uuur BA
|,分别是以OA,OB为邻边的平行四边形的两
条对角线的长.
【自主检测】
1.在△ABC中,若
BuuAur＝a，BuuCr＝b，则
uuur CA
等于
(
)
A.a B.a+b C.b-a