2019年高中数学必修四世纪金榜课件向量

第九页，编辑于星期日：点 三十七分。
向量加法的运算
【例 1】 (2017 年山东济南校级月考)已知四边形 ABCD，
连接 AC，BD，则A→B＋B→C＋C→D为( )
A．A→D
B．B→D
C．A→C
D．0
第十页，编辑于星期日：点 三十七分。
【解题探究】根据平面向量的加法运算法则，进行化简即 可．
【答案】A 【解析】根据平面向量的加法运算，得A→B＋B→C＋C→D＝A→C ＋C→D＝A→D.故选 A．
第三页，编辑于星期日：点 三十七分。
三角形 图
法则 形
法 则 平行四
边形法 则
前 已知不共线的两个向量 a，b，在平面内任取 提 一点 O 作 以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻 法 边作平行四边形 OACB
第四页，编辑于星期日：点 三十七分。
平行 结论 对角线__O_→_C__就是 a 与 b 的和 四边 法则 形法 图形 则 规定 对于零向量与任一向量 a，都有 a＋0＝0＋a＝__a__
2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
第一页，编辑于星期日：点 三十七分。
目标定位
重点难点
1.通过实例了解向量加法定义的 重点：向量加法运算，并理 由来
解其几何意义 2.掌握向量加法运算，并理解其
难点：掌握向量加法的运算 几何意义
律，并会应用它们进行向量 3.掌握向量加法的运算律，并会
→
|A→B|＝|D→C|，A→B∥D→C
→
四边形ABCD 是平行四边形
【解析】A→B＝A→O＋O→B，D→C＝D→O＋O→C，
∵A→O＝O→C，O→B＝D→O，∴A→B＝D→C.
∴AB∥DC 且 A．

3.向量共线定理以及向量的线性运算 (1)向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ , 使_b_=_λ__a_. (2)向量的加、减、数乘运算统称为向量的_线__性__运__算__. 对于任意向量a、b及任意实数λ 、μ 1,μ 2,恒有 λ (μ 1a±μ 2b)=_λ__μ__1_a_±__λ_μ__2_b_.
【思维脉图】
【自主预习】 1.向量的数乘运算
定义 记法 长度
方向
向量的数乘 实数λ 与向量a的乘积是一个_向__量__
_λ__a_
λ ＞0 λ ＜0
|λa|= __|λ_|_|_a|_ 方向与a的方向_相__同__ 方向与a的方向_相__反__
2.向量数乘的运算律 设λ 、μ 为任意实数,则有: (1)λ (μ a)= _(_λ__μ__)_a_. (2)(λ +μ )a=_λ__a_+_μ__a_. (3)λ (a+b)=_λ__a_+_λ__b_. 特别地,有(-λ )a=_-_(_λ__a_)_=_λ__(_-_a_)_. λ (a-b)=_λ__a_-_λ__b_
②当0<|λ |<1时,有|λ a|<|a|,这意味着表示向量a的 有向线段在原方向(0<λ <1)或反方向(-1<λ <0)上缩短 到|a|的|λ |倍.
2.共线向量定理中规定a≠0的原因 若将条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线. (1)若b≠0,则不存在实数λ ,使b=λ a. (2)若b=0,则对任意实数λ ,都有b=λ a.
,所以
uuur AC＝
3
uur AB
, BuuCr＝

2
uur AB
.
AB 5

4.如何利用向量的方法求线段的长度? 提示:根据向量的有关运算,求出对应向量的模,即为线 段的长度.
结论: 1.向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)转化:建立平面几何与向量的联系,用_向__量__表示问 题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为_向__量__问 题.
(2)运算:通过_向__量__运算,研究几何元素之间的关系, 如距离、夹角等问题. (3)翻译:把_运__算__结__果__“翻译”成_几__何__关__系__.
(2)设OA a,OB b,则 AM 1 b a, NB b 1 a, AB b a.
2.用向量方法解决平面几何中的常见问题 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0且b≠0),a与b的夹角为θ . (1)求线段的长度或证明线段相等,可利用向量的_线__性__ _运__算__、向量的_模__. (2)证明垂直或涉及垂直问题,常用向量垂直的等价条 件:a⊥b⇔_a_·_b_=_0__⇔_x_1x_2_+_y_1_y_2=_0_.
4.物理学中的功是一个标量,即为力F与位移s的_数__量__积__. 即W=F·s= __|_F_|_|_s_|_c_o_s_θ_(θ 为F与s的夹角).
【微思考】 1.向量数量积运算的物理背景是什么? 提示:向量数量积运算的物理背景是力做功的计算. 2.用平面向量可解决物理中的哪些问题?试举例说明. 提示:(1)与力有关的问题.(2)与速度有关的问题.
4.一条河宽为800m,一船从A出发垂直航行到达河正对
岸的B处,船速为20km/h,水速为12km/h,则船到达B处所
需时间为
分钟.
【解析】 因为v实际=v船+v水=v1+v2, |v1|=20,|v2|=12, 所以|v|= v1 2 v2 2

其他正确.
3.若|a|=5,b与【解析】因为|a|= 5 |b|,且a与b方向相反,所以a=- 5 b.
7
7
答案:- 5
7
4.若向量方程5(x+a)+3(x-b)=0,则向量x=
.
【解析】原方程可变形为5x 5a 3x 3b 0,即8x 5a 3b, 所以x 5 a 3 b.

3a

2b,
代入①得33a 2b 2y a,所以y 4a 3b.
所以x 3a 2b, y 4a 3b.
【方法总结】向量的线性运算的思路 (1)利用实数与向量的积的运算律可以化简有关向量式. 其化简方法与代数式的化简有些类似. (2)已知某些向量,而要化简与它们有关的向量式,其解 题方法可类比初中所学的“求代数式的值”,即先化简 向量式,再代入求值.这样能简化解题过程.
(3)解向量的线性方程组的方法同解实数系中的一次方 程组一样,即进行消元,其消元方法也有代入消元法、 加减消元法.
【巩固训练】化简下列各式.
【微思考】 1.实数与向量能否进行加减运算? 提示:不能.实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行 加减运算. 2.在什么情况下λ a=0(λ 为实数)? 提示:当λ =0或a=0时,λ a=0.
3.向量数乘得到的依然是向量,那么它的方向由谁确定? 提示:实数λ 与向量a数乘,得到向量λ a,其方向由λ 的 正负及向量a的方向共同确定. 4.数乘向量满足什么运算律? 提示:数乘向量满足分配律、结合律.
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
主题1 向量的数乘运算 1.类比:实数运算,x+x+x=3x,思考a+a+a能否写成3a呢? 提示:可以,即a+a+a=3a. 2.3a与a的方向有什么关系?-3a与a的方向呢? 提示:3a与a的方向相同,-3a与a的方向相反.

3
3
33
故CE CA AE CA 1 AD AC 1 ( 2 AB 1 AC)
2
23 3
1 AB 5 AC， 36
类型一 对平面向量基本定理的理解
【典例1】(1)(2017·金华高一检测)设e1,e2是表示平
面内所有向量的一组基底,则向量a=e1+λ e2与向量b=
-e1+2e2共线的条件是
.
(2)(2017·惠州高一检测)如图,已知△ABC中,D为边BC
上靠近B点的三等分点,连接AD,E为线段AD的中点,若
结论:平面向量基本定理 1.定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_不__共__线__向量, 那么对于这一平面内的_任__意__向量a,有且只有一对实数
λ 1,λ 2,使a=λ 1e1+λ 2e2. 2.基底:_不__共__线__的向量e1,e2叫做表示这一平面内_所__有__ 向量的一组基底.
【微思考】 1.在平面向量基本定理中为何要求向量e1,e2不共线? 提示:若向量e1,e2共线,则λ 1e1+λ 2e2与向量e1,e2共线, 即向量λ 1e1+λ 2e2只能表示与向量e1,e2共线的向量,无 法表示平面内其他的向量.
【预习自测】 1.设e1,e2是同一平面内的两个向量,则有 ( ) A.e1,e2一定平行 B.e1,e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a=λ e1+μ e2(λ ,μ ∈R) D.若e1,e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有 a=λ e1+μ e2(λ ,μ ∈R)
【解析】选D.由平面向量基本定理可知.
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理

UITANGYANLIAN
1234
4.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=b+a;
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 【做一做 4-1】 在▱ABCD 中,������������ + ������������ + ������������等于( )
A.������������
B.������������
名师点拨应用向量加法的三角形法则,关键是要做到“首尾相接”, 即将向量b平移,使其始点与另一向量a的终点重合,则以向量a的始 点为始点,以向量b的终点为终点的向量就是向量a与b的和.
-3-
2.1.2 向量的加法
1234
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
【做一做2】 在四边形ABCD中, ������������ + ������������ = ������������,则四边形ABCD
是( )
A.梯形
B.矩形
C.正方形 D.平行四边形
答案:D
-5-
2.1.2 向量的加法
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
2.n个向量的和仍是一个向量; 3.多边形法则的要领是“首尾相连,首是首,尾是尾”,与向量加法的 三角形法则相同.
-7-
2.1.2 向量的加法
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练

|AB |= x2 x1 2 y2 y1 2 ,即| AB |的实质是A,B两点
间的距离或线段AB的长度,这也是模的几何意义.
【自主检测】
1.已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b的值是 ( )
A.23
B.7
C.-23
D.-7
【解析】选D.由数量积的计算公式得,a·b=(-3,4)·
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【课标要求】 新课程标准: 1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向 量的夹角. 2.能用坐标表示平面向量垂直的条件.
教学目标: 1.掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算. 2.能运用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、 垂直有关的问题.
【思路导引】1.先求出_(_a_+_2_b_)_,然后利用平面向量的 数量积求出(a+2b)·c. 2.利用平面向量的数量积运算求出_a_·__b_,由a·b=-1得 出关于x的方程求解. 3.设c=(x,y),利用平面向量的数量积运算,列出_关__于__ _x_,_y_的__方__程__组__求解.
【解析】1.选C.依题意可知,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)= (-5,6),所以(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2= -3. 2.选D.因为a=(1,2),b=(2,x),所以a·b=(1,2)·(2,x) =1×2+2x=-1,解得x=- 3 .
2
3.设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5,
【提示】(1)×.因为当x1y2-x2y1=0时,向量a,b的夹角 也可能为180°. (2)√.由向量数量积定义可知正确. (3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.

.
【解题指南】(1)根据向量加法的平行四边形法则判断 四边形的形状. (2)根据多边形各边顺序来判断向量的顺序.
【解析】(1)选C.因为 AC=AB+AD, 所以 DC=DA+AC =DA+AB+AD=DA+AD+AB=AB, 即 DC=AB,所以四边形 ABCD为平行四边形. (2)根据多边形各边顺序判断这些向量的排列顺序为
主题2 向量加法的运算律 实数的加法运算律有哪些?向量的加法是否也有相似的 运算律? 提示:实数的运算律有:交换、结合律,向量的加法也有 类似的运算律.
结论:向量加法的运算律 1.交换律:a+b=_b_+_a_. 2.结合律:(a+b)+c=a+(_b_+_c_) 特别地:对于任意向量a与零向量的和有:a+0=_0_+_a_=_a_.
(3)当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三 角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的 一半,在多个向量的加法中,利用三角形法则更为简便.
【巩固训练】(2017·阜阳高一检测)如图所示,试用几 何法分别作出向量 BA+BC,CA+CB.
类型一 向量的加法法则及应用 【典例1】(1)如图所示,在四边形ABCD中, AC=AB+AD, 则四边形为 ( )
A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形
(2)(2017·苏州高一检测)如图(1),某人想要从点A出发
绕阴影部分走一圈,他可按图(2)中提供的向量行走,则
这些向量的排列顺序为
回答下列问题: 1.从物理学的角度,上面实例中位移、牵引力说明了什 么? 提示:后面一次位移是前面两次位移的合位移,四边形 OACB的对角线的力是 OA与 OB 表示的力的合力.

2.选D.如图,取AB的中点E,连接OE,
则 OA OB＝2OE. 又 OA OB OC =0, 所以 OC =-2 OE .又O为公共点, 所以O,C,E三点共线,且| OC|=2| OE |. 所以O为△ABC的重心.
3.方法一:设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0<a<1), 则EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP= 2 a,
2.5 平面向量应用举例
【课标要求】 新课程标准: 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以 及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的 作用.
教学目标: 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些 实际问题.
【思维脉图】
【自主预习】 1.用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系,用_向__量__表示问题中涉 及的几何元素,将平面几何问题转化为_向__量__问__题__.
【自主总结】
向量方法解决平面几何问题的六个应用
(1)证明线段相等:通过向量运算,证明
2
AB

2
CD ,
即可
证明AB=CD.
(2)证明线段平行:利用 AB CD, 点A,B,C,D不共线,可 以证明AB∥CD,特别地,当λ =1时,AB������ CD.
(3)证明线段垂直:利用 AB CD 0, 证明两线段垂直. (4)证明三点共线:利用 AB AC(λ ∈R)可以证明 A,B,C三点共线,也可变形为 OA xOB＋yOC (x,y∈R,x+y=1),其中O为空间任意一点.
【思维辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法 则. ( ) (2)若△ABC为直角三角形,则有 AB BC =0. ( ) (3)若向量 AB ∥CD ,则AB∥CD. ( )

【思维脉图】
【自主预习】 1.相反向量 (1)定义:①非零向量a的相反向量是与a__长__度__相__等__,_ _方__向__相_反___的向量;②零向量的相反向量是_零__向__量__. (2)记法:向量a的相反向量,记作_-_a_.
(3)结论.
文字语言
任一向量 与其相反 向量的和 是零向量
形式1 形式2
符号语言 _a_+_(_-_a_)_=_(_-_a_)_+_a_=0 若a,b是相反向量,则
a=_-_b_, b=_-_a_,_a_+_b_=0
2.向量的减法 (1)定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这 个向量的_相__反__向__量__.
(2)作法:在平面内任取一点O,作
uuur uuur CA＝BA

uur BC

a

b.
2.非零向量m与n是相反向量,下列不正确的是( )
A.m=n
B.m=-n
C.|m|=|n|
D.方向相反
【解析】选A.零向量m与n是相反向量,则有m=-n, |m|=|n|.
3.下列运算中正确的是 ( )
A.
uuur OA

uur OB

uur AB

b.
因
为四边形OACB是平行四边形,所以|a+b|=|
uuur OC
|,
|a-b|=|
uuur BA
|,分别是以OA,OB为邻边的平行四边形的两
条对角线的长.
【自主检测】
1.在△ABC中,若
BuuAur＝a，BuuCr＝b，则
uuur CA
等于
(
)
A.a B.a+b C.b-a

是向量的为( )
A.①② B.②③
C.②④
D.③④
解析:由向量的概念可知,浮力和拉力是向量,密度和温度是数量.
答案:C
【做一做1-2】 下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
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知识梳理
典例透析
题型一
题型二
题型三
解:(1)正确.∵a=b, ∴a,b 的长度相等,且方向相同.
又 b=c,
∴b,c 的长度相等,且方向相同. ∴a,c 的长度相等,且方向相同,故 a=c.
(2)正确. ������������ = ������������有两重含义: ������������与������������
典例透析
随堂演练
【变式训练1】 判断下列命题是否正确,并简述理由. (1)若a=b,b=c,则a=c; (2)在四边形ABCD中,若������������ = ������������, 则四边形������������������������为平行四边形; (3)模为0的向量方向不确定; (4)若|a|=|b|,且a∥b,则a=b.
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知识梳理
典例透析
123
【做一做 2-1】 如图, ������������ = ������������, ������������与������������相交于点������,
则相等的向量是( )
A. ������������与������������B. ������������与������������
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知识梳理

【解析】选A.只有a∥b,且a与b方向相同时才有 |a+b|=|a|+|b|成立,故A正确.
4.设a表示“向东走5 km”,b表示“向南走5 km”,则
a+b表示 ( )
A.向东走10 km
B.向南走10 km
C.向东南走10 km D.向东南走5a+b, AB 5，BC =5,且 AB⊥BC,则 AC 5 2，∠BAC=45°.
【自主总结】 1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形 法则只适用于两个不共线的向量求和.
(2)当两个向量不共线时,两个法则是一致的. 如图所示, AC AB AD (平行四边形法则),又因为
BC AD，
5.在△ABC中, AB a，BC b，CA c，则 a+b+c=________.
【解析】由向量加法的三角形法则,得 AB BC AC， 即a+b+c= AB BC CA =0. 答案:0
类型一 向量加法法则 【典例】1.如图,已知三个向量a、b、c,试用三角形法 则和平行四边形法则分别作向量a+b+c.
2.如图,设O为正六边形ABCDEF的中心,求下列和向量:
1OA OC.2BC FE.
世纪金榜导学号77476051
【思路导引】本题是求向量的和问题,方法是使用 _三__角__形__法__则__或_平__行__四__边__形__法__则__.
【解析】1.利用三角形法则作a+b+c,如图①所示,作 OA =a,以A为起点,作AB =b,再以B为起点,作 BC =c,则 OC OB BC OA AB BC =a+b+c. 利用平行四边形法则作a+b+c,如图②所示,作 OA =a, OB =b, OC =c,以 OA、OB 为邻边作▱OADB,则OD =a+b,再 以 OD、OC 为邻边作▱ODEC,则 OE OD OC=a+b+c.

【解析】1.选B.加速度是既有大小又有方向的量,是向 量.而时间、面积、长度是只有大小的量,是数量. 2.由零向量的方向是任意的,知①错误,③正确;由零向 量的定义知②正确;由单位向量的模是1,知④正确. 答案:②③④
【方法技巧】 1.判断一个量是否为向量的两个关键条件 关键看它是否具备向量的两要素: (1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.
② AB CD.
③ AB CD. 以上结论中正确的个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分后,共 有16个交点,从中选取两个交点作为向量,则与 AC 平行 且长度为2 2 的向量个数有________个.
世纪金榜导学号77476049
素养 本题主要考查相等向量与共线向量的概念, 立意 突出考查数学直观的核心素养.
2.给出下列说法: 世纪金榜导学号77476048 ①零向量是没有方向的; ②零向量的长度为0; ③零向量的方向是任意的; ④单位向量的模都相等, 其中正确的是________(填上序号).
【思路导引】1.既有_大__小__又有_方__向__的量是向量. 2.长度为_0_的向量是零向量.长度为_1_的向量是单位向 量.零向量的方向是_任__意__的.
【思维脉图】
【自主预习】 1.向量的定义及表示 (1)定义:既有_大__小__,又有_方__向__的量.
(2)表示: ①有向线段:带有_方__向__的线段,它包含三个要素: _起__点__、方向、长度;
②向量的表示:
长度 | AB |
a，b，c
2.特殊向量 (1)零向量:长度为_0_的向量叫做零向量,记作_0_. (2)单位向量:长度等于_1_个单位的向量叫做单位向量. (3)相等向量:长度_相__等__且方向_相__同__的向量叫做相等 向量.

.
2.向量数量积性质的坐标表示 剖析 :设两个非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),a 与 b 的夹角为 θ. (1)a· b=a1b1+a2b2; (2)a⊥b⇔a1b1+a2b2=0; (3)a· a=|a| 2⇔| a| = (4)cos θ=
������· ������ ⇔ cos θ= |������||������|
������1 ������2+������1 ������2
2 2 2 ������2 1+������1 ������2 +������2
求解.
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
仅供学习交流！！！
-16-
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)a· b=2 3 + 2 3 = 4 3. (2)cos θ=
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会用向量的坐标形式求数量 积、向量的模以及两个向量的夹角. 2.会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系.
平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则有下表:
题型四
【变式训练1】 已知向量a与b共线,b=(1,2),a· b=10,求a的坐标. 解:∵a与b共线,且a,b都是非零向量,∴设a=λb. ∵a· b=10,∴λb· b=λb2=10. ∵b=(1,2),∴b2=5,∴λ=2. ∴a=2b=2(1,2)=(2,4).
-12-
题型一
题型二
题型三
. 同理可得,向量 a 在向量 b 方向上的投 =

(2)向量减法的几何意义 如图,设 OA =a, OB =b,
则 BA =a-b,即a-b表示从向量_b_的终点_B_指向被减向量 _a_的终点_A_的向量.
【微思考】 1.移项法则对向量等式适用吗?即若a-c=b-d,则 a+d=c+b成立吗? 提示:成立,移项法则对向量等式适用.
2.若|a|=|b|,则a=b或a=-b吗? 提示:若|a|=|b|,但两向量不一定共线,故不一定有 a=b或a=-b成立.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
主题 向量减法及其几何意义 1.实数a的相反数是-a,-a的相反数是a,0的相反数是0, 若把实数a换成向量a,结论还成立吗? 提示:成立.向量a的相反向量是-a,-a的相反向量是a,0 的相反向量是0.
பைடு நூலகம்
2.我们知道,在数的运算中,减去一个数等于加上这个 数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则?如何理 解向量的减法呢? 提示:向量的减法有类似的法则,即a-b可理解为向量a 加上向量b的相反向量.
(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向,且|ab|=|a|+|b|. 综上所述,对于任意两个非零向量,总有下列向量不等 式成立:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
【预习自测】
1.给出下列运算:
①AB AC BC 0;②AB CB CA 0;
③AB AC BD CE ED;④ AB CD AC BC
(2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
【解题指南】(1)可以通过相反向量,把向量减法运算 转化为加法运算也可直接利用向量减法的三角形法则. (2)在平面内任取一点O,先利用向量加法的三角形法则 作出a+b,然后再用向量减法的三角形法则作a+b-c.

【微思考】 1.共线定理的坐标表示中,若b=0,结论是否成立? 提示:当b=0时,x2=y2=0,x1y2-x2y1=0仍成立. 2.向量共线的等价条件有哪几种形式? 提示:有两种,a∥b(b≠0)⇔a=λ b⇔x1y2-x2y1=0.
3.对于两个非零平行向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何根 据向量的坐标判断两个向量的方向是相同的还是相反 的? 提示:根据向量的坐标,由(x1,y1)=λ (x2,y2),当λ >0时, 两向量的方向相同;当λ <0时,两向量的方向相反.
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
主题 向量共线的坐标表示 已知下列几组向量: (1)a=(0,3),b=(0,6). (2)a=(2,3),b=(4,6).
(3)a=(-1,4),b=(3,-12).
(4)a=
(1 ,1) ,b=
2
( 1 , 1) .
2
回答下列问题: (1)上面几组向量中,a,b有什么关系? 提示:(1)(2)中b=2a,(3)中b=-3a,(4)中b=-a. (2)以上几组向量中,a,b共线吗?a,b的坐标满足什么条 件? 提示:共线,向量a,b的横纵坐标成比例.
4.两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)平行的条件x1y2-
x2y1=0与
x1 y1 x2 y2
有什么区别吗?
提示:x1y2-x2y1=0对任意两个向量平行时都满足,具有
一般性;而
x1 y1 x2 y2
只对x2≠0且y2≠0时,成立.
【预习自测】
1.设a= (3 ,sin) ,b=
因为u∥v,所以(2x+1)×1-3×(2-x)=0,解得x=1.
答案:1
类型一 根据向量共线求参数

【预习自测】
1.已知向量a·b=10,|a+b|=5 2 ,|a|= 5,则|b|等于 ()
A. 5 B. 10 C.5
D.25
【解析】选C.因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=5+20+b2=50,
所以b2=25,所以|b|=5.
2.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为120°,则
.
【解析】因为 AB 13，BC 5，CA 12，
5.对于任意向量a与b,是否总有(a·b)2=a2·b2成立? 提示:不一定,因为a·b=|a||b|cosθ, 所以(a·b)2=(|a||b|cosθ)2=|a|2|b|2cos2θ, 而a2·b2=|a|2·|b|2,所以(a·b)2与a2·b2不一定相等.
6.若两个向量的数量积大于零,则这两个向量的夹角一 定是锐角吗?若两个向量的数量积小于零,则这两个向 量的夹角一定是钝角吗? 提示:不一定.当a·b>0时,a与b的夹角θ为锐角或零角, 当a·b<0时,a与b的夹角θ为钝角或平角.
3.向量的数量积的正负由哪个量决定? 提示:向量的数量积的正负由向量之间的夹角决定.
4.根据数量积的几何意义.请思考如何用数量积表示向
量的投影.
提示:|a|cosθ
=
ab |b|
,|b|cosθ
= ab
|a|
.
主题2 数量积的性质 已知两个非零向量a,b,θ 为a与b的夹角,回答下列问题: 1.若a·b=0,则a与b有什么关系? 提示:由a·b=|a||b|cosθ=0得cosθ=0. 所以θ=90°,则a⊥b.
4.试讨论当两向量a,b的夹角θ 取不同的值时,其数量 积的变化情况. 提示:当θ=0°时,cosθ=1,a·b=|a||b|; 当θ为锐角时,cosθ>0,a·b>0; 当θ为钝角时,cosθ<0,a·b<0; 当θ为直角时,cosθ=0,a·b=0;