1有理数总复习(共2课时)

第一章：有理数复习【一】知识要点 【1】有理数的分类 1.2.按正负分【例题1】（1）把下列各数进行分类 ① 0 ②-5 ③ 1 ④ 1.5 ⑤2 ⑥ 722- ⑦ -（-3）⑧ 312--⑨ -12018 ⑩ （-2）3整数集合（ ） 分数集 合（ ）非负整数集合 （ ） 非负数集合（ ） （2）下列说法正确的有（ ）个①0是最小的数 ②绝对值最小的数是0 ③任何数的绝对值都是正数 ④最大的负整数是-1 ⑤倒数等于它本身的有1，-1,0有理数正有理数负有理数温馨提示： 1.化简结果中含有π或无限不循环的小数都不是有理数 2.正数和零统称非负数，负数和零统称非正数 正整数正分数 负整数 负分数有理数【2】相关概念1.数轴：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线2.相反数：3.绝对值①几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示这个数a 的点离开原点的距离，绝对值越大离原点越远②代数定义：⎩⎨⎧≤-≥=)0()0(a a a a a （注意0）4.倒数：若两个数的积是1，那么这两个数互为倒数5.科学计数法6．近似数和有效数字7.数的大小比较方法：数轴上从左到右依次递增，数轴上的点与实数．．是一一对应 ①代数定义：只有符号不同．．．．．．的两个数叫做相反数 ②几何定义：数轴上在原点的两旁，到原点距离相等的两个点代表的数互为相反数③求一个数或式子的相反数，就在它的前面加上‘-’④a 的相反数是-a ，a-b 的相反数是-（a-b ）=b-a,a+b 的相反数是-(a+b)=-a-b （注意括号），相反数等于它本身的只有0 ⑤性质：若a,b 互为相反数，则a+b=0,或a=-b 1、非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值是它的相反数 2、绝对值符号去掉规律：非负数各项不变号，非正数各项都变号 3、一个数的绝对值（或者平方）等于正数．．．．．．．．．．．．．，那么这个数有两个．．①a,b 互为倒数 ab=1②倒数等于它本身只有±1，切记0没有倒数形式：ax10n （a 是整数位数只有一位的数，n 是整数）， 当a ≥10时，n=原数整数位数-1 ， 当a <1时，n=-（原数第一个非0数字前所有0的个数） ①保留近似数的方法有：四舍五入法、进一法、去尾法 ②近似数可以用计数单位或科学计数法表示 ③有效数字是从左边第一个不是零的数字起以后的所有数字都是这个数的有效数字 ④通过测量得到的数都是近似数 ①差法 ②数轴法 ③两个负的绝对值法 ④平方法 ⑤商法8.非负数性质【例题2】正负数应用（1）如果提高10分表示+10分，那么下降8分表示____，不升不降用___表示. （2）巴黎与北京的时间差为-7时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数），如果北京时间是7月2日14：00，那么巴黎时间是（）A. 7月2日21时B. 7月2日7时C. 7月1日7时D. 7月2日5时 （3）某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如9：15记为-1，10：45记为1等等，依此类推，上午7：45应记为【例题3】数轴、相反数、绝对值、倒数、非负数应用（1）已知 a ,b 互为相反数，c ,d 互为倒数，m-1的绝对值是2，则m dccd b a -+-+222=（2）在数轴上到表示-1的点的距离为7个单位长度的点有_____个，它们表示27（4）绝对值不大于2的整数有________，它们的和是 ，积是 （（6）已知|x|=4，|y|=2且y ＜0，则x+y 的值为（7） ①π-14.3=②20171-2018131-4121-311-21++++。

第一讲有理数基础复习基本要求（1）有理数的分类，并准确判断一个数是哪一类有理数；（2）了解正数负数的实际意义、相反数、倒数、负倒数、绝对值的概念；（3）能熟练进行有理数的加、减、乘、除及其混合运算；正确性和速度——两手都要抓，两手都要硬！【预习1】⑴2的负倒数是；15-的相反数是.⑵2017年元旦上海和北京的夜间气温分别是6C ︒和3C -︒，两者相差C ︒.【分析】⑴12-；15⑵9【预习2】⑴()()3256=-++---.⑵()()()296=-⨯-÷-.【分析】⑴0⑵3-有理数的认识一、有理数：1.正数与负数（1）正数：大于0的数叫做正数，如2018、12、0.3+ ．正数前面的“+”可以省略，3与3+表示是同一个正数．（2）负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数,负数小于0．如 3.1415926-、227-、2018-．【注意】①数0既不是正数，也不是负数．②一个数前面的“+”，“-”号叫做它的符号．③用正、负数表示相反意义的量．．．．．．：比如用正数表示向南，那么向北3 km 可以用负数表示为 3 km -．2.有理数的定义整数和分数统称为有理数（rational number ）,一切有理数都可以写成分数形式.3.有理数的分类（1）⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数（按定义分类）负整数正分数分数负分数（2）⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数（按符号分类）零负整数负有理数负分数【注意】①正数和零统称为非负数；②负数和零统称为非正数；③正整数和零统称为非负整数；④负整数和零统称为非正整数．4.小数与有理数⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩有限小数可化成分数形式，是有理数小数无限循环小数无限不循环小数——不可化成分数形式，不是有理数，是无理数(初一内容)二、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线．【注意】①原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可．②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变．2.有理数与数轴的关系：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来；（2）注意：数轴上的点不都代表有理数，如π；（3）一般地，数轴上右边的数总大于左边的数．3.数轴画法的常见错误举例：三、相反数1.定义：只有符号不同．．．．．．的两个数叫做互为相反数．特别地，0的相反数仍是0．2.注意点：（1）相反数必须成对出现，不能单独存在．例如：3+与3-互为相反数，而3+与2-虽然符号不同，但它们不互为相反数．（2）实数a 的相反数是a -，零的相反数是零；（3）数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；（4）如果a 与b 互为相反数，那么0a b +=，a b =-，b a =-；（5）如果a 与b 互为相反数，且都不为零，那么1ab=-．四、绝对值1.绝对值的意义（1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．（2）几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．（3）求字母a 的绝对值：①()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②()()00aa a aa ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩③()()00aa a aa >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩2.绝对值的非负性任何一个有理数的绝对值不是正数就是0，即绝对值的结果都是非负的，记作0a ≥【注意】①去绝对值也是一种运算，运算符号是“”，一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号．②任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-的符号是负号，绝对值是5．五、倒数1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数．, a b 互为倒数，则1a b ⋅=；反之亦然．2.负倒数：乘积为1-的两个数互为负倒数．若, a b 互为负倒数，则1a b ⋅=-．反之亦然．【注意】①倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；②互为倒数的两个数乘积为1；零没有倒数；③如果a 与b 互为倒数，那么1ab =，1b a =，1a b=；④如果a 与b 互为负倒数，那么1ab =-，1b a =-，1a b=-；⑤求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可．【例题1】★☆☆☆☆在下表适当的空格里打上“√”号．整数分数正数负数有理数非正数非负整数非正分数13-53.142018-π0.31 0【例题2】★★☆☆☆⑴将110-，325， 1.63- ，0.01-，83，2-，2π-这七个数，按照从小到大的顺序排列为.⑵三个有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则（）A.111c a c b a b >>--- B.111b c c a b a>>---C.111c a b a b c>>--- D.111a b a c b c >>---⑶已知10x -<<，试比较x ，x -，1x ，1x -，2x ，21x的大小，按照从大到小的顺序排列为.【例题3】★★☆☆☆⑴下列说法中错误的是（）A.互为相反数的两个数的绝对值相等B.有理数可以用数轴上的点表示C.任何一个有理数都有相反数D.一切小数都是有理数⑵下列说法中，正确的序号是（）①一个负数的绝对值是它的相反数；②倒数等于本身的数是0和1±；③若一个数的绝对值是它本身，则这个数一定是正数；④零的绝对值和相反数都是它本身；⑤两个负数，绝对值较大的负数反而小A.①②④B.①③④C.①③⑤D.①④⑤⑶下列说法中，正确的有（）句①一个有理数不是整数，就是分数；②一个有理数不是正的，就是负的；③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的；⑤没有最大的非正数，也没有最小的非负数；A.1B.2C.3D.4⑷a 和b 是满足0ab ≠的有理数，下面四句话中，正确的有（）句①224a b -+的相反数是224ab -+；②a b -的相反数是a 的相反数与b 的相反数的差；③ab 的相反数是a 的相反数和b 的相反数的乘积；④ab 的倒数是a 的倒数和b 的倒数的乘积A.1B.2C.3D.4⑸若,,a b c 三个数互不相等，则在a b b c --，b c c a --，c aa b--中，正数一定有（）A.1个B.2个C.3个D.0个【例题4】★★★☆☆⑴()3n -的相反数是.⑵已知(5)a -的倒数是13，则a 的负倒数为.⑶若122x y -=，则2x y -+=；若1x -=-，则x =.⑷已知()235x y -=--，则x y 的值是.【例题5】★★★☆☆⑴数轴上有A ,B ,C 三点，点A 所对应的数是3-，点B 到点A 的距离是1，点C 到点B 的距离是3，则点C 所对应的数是.⑵数轴上点A 对应的数为a ，点B 对应的数为b ，则AB 的中点C 对应的数为.（用,a b 表示）⑶如图所示，数轴上三个点对应的数分别为a ，b ，c ，相邻的两个点之间的距离相等，且满足5c a +=-，则b =.【例题6】★★★☆☆三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a b +，a 的形式，也可以表示为0，ba，b 的形式，求a b -的值.有理数的四则运算一、有理数的加法1.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．（3）一个数同0相加，仍得这个数．2.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差．3.有理数加法的运算律：（1）加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变，即a b b a +=+.（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即()()a b c a b c ++=++.4.有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式；②带分数可分为整数与分数两部分参与运算；③多个数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零；④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起；⑥符号相同的数可以先结合在一起．二、有理数的减法1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即()a b a b -=+-2.有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算．3.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果．【注意】根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和．为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式．例如：()()()()30.15951130.15+9511++-++++-=-+-，它的含义是正3，负0.15，正9，正5，负11的和．三、有理数的乘法1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0．2.有理数乘法的运算步骤：先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.3.有理数乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab ba =．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即()()ab c a bc =．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即()a b c ab ac +=+．4.有理数乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数．（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0．（3）在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算．5.“奇负偶正”口诀的应用一：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：①多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”的个数，例如：()33---=-⎡⎤⎣⎦；()33-+-=⎡⎤⎣⎦．②有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：()()()32636-⨯-⨯-=-，而()()()32636-⨯-⨯+=．四、有理数的除法1.有理数除法法则：（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数：1a b a b÷=⨯（0b ≠）；（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（3）0除以任何一个不等于0的数，都等于0．2.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值．【例题7】★★☆☆☆⑴下列说法正确的是（）A.两个有理数的和一定大于任何一个加数B.两个有理数的和一定大于其中的一个加数C.两个有理数的和一定大于这两个数的差D.较小的有理数减去较大的有理数的差一定是负数⑵2018个不全相等的有理数之和为0，那么一定有结论（）A.至少有一个是零B.至少有1009个正数C.至少有一个负数D.至多有1009个负数⑶若0a b c d <<<<，则下列四个结论中，正确的是（）A.a b c d +++一定是正数B.d c a b +--可能是负数C.d c b a ---一定是正数D.c d b a ---一定是正数【例题8】★★★☆☆计算：⑴()()()()()()12.5%25%0.50.6472.4 6.2172.4 3.8-⨯-⨯+⨯--⨯--+⨯-⑵()()()()()20171934343086574827---÷----÷--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⑶()()(){}()()()24253739758242742 2.3 5.7 3.4-⨯----⨯-⨯-⨯+------⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【例题9】★★★☆☆⑴已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，m 为最大的负整数，e 为绝对值最小的数，则()22017434c d m me ab m ++⨯++的值是.⑵已知0ab ≠且a 、2b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，e 的绝对值为3，则代数式201610088a b cd ae e e b++-的值是.【例题10】★★★☆☆如果4个不同的正整数,,,m n p q 满足()()()()77774m n p q ----=，那么m n p q +++的值是多少？【例题11】★★★★☆数轴上标有21n +个点对应的都是整数（它们称为整点），它们对应的整数分别是()(),1,2,,3,2,1,0,1,2,,2,1,n n n n n n ---------- ，为了确保从这些整点中可以取出2017个，其中任何个点之间的距离不等于4，问n 的最小值是多少？【悬赏题】在整数1,3,5,7,,2021 之间填入符号""+和""-号，那么在所有可能的代数和中，最小的非负数是多少？【练习1】在下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是非负整数？哪些是有理数？7，2-，162，19-，69，0，0.33 ，215-， 3.1-，π，0.10010001 【练习2】⑴学而思校车上原来有22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：()8,4-+，()5, +_____-，()3, 2-+，()7, +1-，最后有9人，横线上应填的数字是．⑵学而思老师进行吃大米饭比赛，以10碗为标准，超过次数用正数表示，不足的用负数表示，其中8名老师的成绩如下表：张俊俊黄孔孔王阳阳罗小小周虎虎吴疯疯方捷捷邢飞飞103-11-223-问：这8名老师吃掉米饭的平均值是碗．【练习3】⑴427⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭的相反数的倒数是，4b +的相反数是.⑵已知()2230x y -+-=，则xy =.⑶已知3a +的负倒数是最大的负整数，则a =.⑷已知a 的绝对值和倒数都等于本身，若b a =-，则b =【练习4】⑴已知a 、b 都为有理数，且0a <，0b >，b a <，则a 、b 、a -、b -的大小关系是（）A.b a b a -<<<-B.b b a a -<<-<C.a b b a<-<<- D.a b b a-<<-<⑵有理数a 、b 在数轴上如图所示，则（）A.111a b<< B.111a b<< C.111b a<< D.111b a<<⑶数轴上有A ，B 两点，如果点A 对应的数是2-，且A ，B 两点的距离为5，则点B 对应的数的倒数为.⑷如图，如果数a 到原点的距离是数b 到原点的距离的3倍，则数轴的原点是A ,B ,C ,D四点中的点.【练习5】计算：⑴()()()5.5 3.2 2.5 4.8-+-----⑵()()216937.49.2455⎛⎫⎛⎫--+-+--+----⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⑶()()8.48.450.844083--⨯+⨯----【拓展1】数轴的原点O 上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第100次处在B 点．⑴求O 、B 两点之间的距离（用单位长度表示）．⑵若点C 与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，多长时间后到达C 点？⑶若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O 点多远？【拓展2】有一个无穷小数123120.n n n A a a a a a a ++=……，其中()12k a k =，，…是0129，，，…，中的一个数，且1a 为奇数，2a 为偶数，3a 等于12a a +的个位数，4a 等于23a a +的个位数，…，2n a +等于1n n a a ++的个位数．证明：A 是一个有理数．。