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专题一 梁的内力和内力图例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。
解：1）求反力kN 5=A F ，kN 4=B F2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。
0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F0=∑O M ，02=+⨯左A p M F ， m kN 6⋅-=左A M3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。
0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F0=∑O M ，02=+⨯右A p M F ， m kN 6⋅-=右A M4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--左SC P A F q F F ，0=左SC F0=∑O M ，01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ，=左C M m kN 4⋅-=5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6⋅-=【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。
一般取外力比较简单的一段进行分析。
②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。
③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。
图1(a)(b)(c)(d) (e)例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。
解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M ++==取C 截面左段研究，, 2SC C Fl F F M == 取B -截面左段研究， , SB BF F M Fl ==(b) 求A 、B 处约束反力如图(d)所示，l M F F e B A /==取A +截面左段研究，, e SA A A e M F F M M l++=-=-=取C 截面左段研究，, 22e e SC A A e A M Ml F F M M F l +=-=-=-⨯=取B 截面右段研究，, 0e SB B B MF F M l=-=-=(c) 求A 、B 处约束反力 取A +截面右段研究，233, 22248SA A l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取C -截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q --=⨯==-⨯⨯=-取C +截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --==图2 (b) (a) qB (c) B图(d)例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
专题一 梁的内力和内力图例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。
解：1）求反力kN 5=A F ，kN 4=B F2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。
0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F0=∑O M ，02=+⨯左A p M F ， m kN 6⋅-=左A M3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。
0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F0=∑O M ，02=+⨯右A p M F ， m kN 6⋅-=右A M4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--左SC P A F q F F ，0=左SC F0=∑O M ，01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ，=左C M m kN 4⋅-=5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6⋅-=【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。
一般取外力比较简单的一段进行分析。
②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。
③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。
图1(a)(b)(c)(d) (e)例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。
解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M ++==取C 截面左段研究，, 2SC C Fl F F M == 取B -截面左段研究， , SB BF F M Fl ==(b) 求A 、B 处约束反力如图(d)所示，l M F F e B A /==取A +截面左段研究，, e SA A A e M F F M M l++=-=-=取C 截面左段研究，, 22e e SC A A e A M Ml F F M M F l +=-=-=-⨯=取B 截面右段研究，, 0e SB B B MF F M l=-=-=(c) 求A 、B 处约束反力 取A +截面右段研究，233, 22248SA A l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取C -截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q --=⨯==-⨯⨯=-取C +截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --==图2 (b) (a) qB (c) B图(d)例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：(a ) 求支反力0=∑C M ： 0310126=⨯--⋅Ay F ， kN 7=Ay F0=∑Y ：010=-+By Ay F F ， kN 3=By F列内力方程，⎩⎨⎧<<-<<=63kN 330 kN 7)(S x x x F ， ⎩⎨⎧≤≤≤≤⋅-⋅-=63 30 m kN )6(3m kN 127)(x x x x x M 作剪力图和弯矩图。
(b ) 求支反力0=∑B M ：02212=⋅+-⋅lql ql l F Ay ， F Ay =0 0=∑Y ：0=-⋅-+ql l q F F By Ay ，ql F By 2=列内力方程230 )(S l x l lx ql qx x F <<<≤⎩⎨⎧-= ⎩⎨⎧≤≤≤≤---=230 )23()(2l x l l x x l ql qx x M作剪力图和弯矩图。
(b) 图3(a)(a) (b) (c)图4例4利用内力方程作图4(a)所示 简支梁的剪力图和弯矩图。
解：AC 段有：x x q 5)(=25.210)(x x F S -=，（0<x <2） 36510)(x x x M -=，（0≤x ≤2）其剪力图和弯矩图如图(b)(c)所示。
由于结构是对称的，荷载也是对称的，BC 段与AC 段的F S 图是反对称的，M 图 是对称的，据此特点可方便地作出AC 段的剪力图和弯矩图。
例5试用剪力、弯矩与荷载集度之间的微分关系判断图5所示各梁的内力图形态，画出剪力图和弯矩图。
解：(a ) 根据微分关系：()()x F xx M S d d = 和 ()()q x x M x x F ==22S d d d d AC 段：q 为常数，且0<q ，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。
CB 段：q 为常数，且0>q ，F S 图从左到右为向上的斜直线，M 图为向下凹的抛物线。
在C 截面处，F S 图连续，M 图光滑。
求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。
(b ) 求支反力0=∑A M ： ()0221322=⋅⋅-+⋅a q qa a F By ， 3qa F By =0=∑Y ： 02=⋅-+a q F F By Ay ， 35qaF Ay =(a)(b)判断内力图形态并作内力图AC 段：q 为常数，且q <0，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线，在距A 端a 35截面处，M 取极大值。
CB 段：0=q ，F S 图为水平直线，且F S <0，M 图从左到右为向下的斜直线。
在C 截面处，F S 图连续，M 图光滑。
求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。
(c) 求支反力0=∑A M ：()022132=⋅-⋅⋅-⋅a qa a q a F By， qa F By = 0=∑Y ： 02=-⋅-+qa a q F F By Ay ， qa F Ay 2= 判断内力图形态并作内力图AC 段：q 为常数，且0<q ，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。
C截面处，有集中力F 作用，F S 图突变，M 图不光滑。
CD 段：q 为常数，且0<q ，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。
DB 段：0=q ，Q F 图为水平直线，且F S <0； M 图从左到右为向下的斜直线。
(d)求支反力0=∑B M ： 04621862=⨯⨯--⋅Ay F ，kN 33.9=Ay F 0=∑Y ： 046=⨯-+By Ay F F ， kN 67.14=By F 判断内力图形态，作内力图F S 图：AD 段，0=q ，为水平直线；DB 段，0<q ，从左到右为向下的斜直线。
M 图：AC 段，0=q ，且F S >0，从左到右为向上的斜直线； C 截面处，有集中力偶e M 作用，有突变；(c) 图5 (d)CD 段，0=q ，且F S >0，从左到右为向上的斜直线，且ab c b //'； DB 段，0<q ，为向上凸的抛物线，且c b '与ce 在c 点相切；在距D端m 922截面处，F S=0，M 取极大值17.93kN •m 。
例6试用叠加法画出图6所示梁的弯矩图。
解：(a)(b)图6例7试用画出图7 (a )所示梁的剪力图和弯矩图。
【解】1）将梁从铰B 处分开，计算梁的外约束反力，如图7 (b)。
F Ax =F Bx =F'Bx =0，F Ay =F By =F'By =F D =qa ， M A = qa 22）该梁的内力图应分成AB ，BC 和CD 三段绘制，各段的起点和终点内力值时应首先确定，用截面法计算出这些截面的内力并列于表1中，其中2a -和2a +分别为C偏左和偏右侧截面的坐标。
3）根据梁的内力微分关系，逐段判断内力图的大致形状并作梁的剪力图和弯矩图。
①先作剪力图。
按一定比例，在坐标系中首先确定AB 、BC 和CD 梁段端点的剪力坐标点。
AB段梁无分布载荷，由)()(S x q dxx dF =可以知道其剪力图线为水平直线；BC 段梁因q <0，剪力图为下斜直线；同理，CD 段梁因q >0，剪力图为上斜直线，用上述直线连接这三段梁的端点，即可得到该梁的剪力图，如图7 (c )所示。
②再作弯矩图。
AB 梁段因q =0，剪力图为水平线，且其剪力F S =qa >0，则知道弯矩图为上斜直线；同理，BC 梁段因)()(22x q dxx dM =，弯矩图为上凸抛物线，CD 梁段由于q >0，为下凸抛物线。
在C 截面作用有集中力偶qa 2，弯矩数值由qa 2/2突变到-qa 2/2。
根据关于梁的弯矩图的曲线形状的分析，从梁左端A 截面开始，连接各梁段端截面的坐标点，即可方便地绘制出梁的弯矩图，如图(d )所示。
例8试用分段叠加法作图8(a )所示梁的弯矩图。
解：1）计算支座反力kN 15A =F ，kN 11B =F 2）求控制截面处的弯矩。
本例中控制截面为C 、A 、D 、E 、B 、F各处，其弯矩分别为：0C =Mm kN 1226A ⋅-=⨯-=Mm kN 824241566D ⋅=⨯⨯-⨯+⨯-=M m kN 10211322E ⋅=⨯+⨯⨯-=Mm kN 4122B ⋅-=⨯⨯-=M0F =M图7(a) (b) (c) (d) (b) (a) 图83）把整个梁分为CB 、AD 、DE 、EB 、BF 五段，然后用区段叠加法绘制各段的弯矩图。
方法是：先用一定比例绘出CF 梁各控制截面的弯矩纵标，然后看各段是否有荷载作用，如果某段范围内无荷载作用（例如CA 、DE 、EB 三段），则可把该段端部的弯矩纵标连以直线，即为该段弯矩图。
如该段内有荷载作用（例如AD 、BF 二段），则把该段端部的弯矩纵标连一虚线，以虚线为基线叠加该段按简支梁求得的弯矩图。
整个梁的弯矩图如图8(b)所示，其中AD 段中点的弯矩为：m kN 2⋅=AD M 。
例9图9(a )为梁的剪力图，试求此梁的荷载图与弯矩图（已知梁上无集中力偶）。
解：1）求荷载图由F SA =－50kN 知梁在A 处有一向下集中力为50kN ，B 截面两侧剪力由－50kN 突变到50kN ，故梁在B 截面必有一向上荷载100kN 。
AB 段、BC 段F S 图为水平线，故两段无分布荷载作用，q =0。
CE 段为右下斜直线，斜率为常量，故梁上必有向下的均布荷载，荷载集度大小等于剪力图的斜率，即5025/2q kN m == E 截面的剪力由－50kN 变到0，故梁上必有向上的集中力50kN 。
