(完整版)梁的内力计算
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梁的内力分析
FQ 3 为负剪力， M 3 为正弯矩。
在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算： （1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所 有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负） 以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生 正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则 向下的外力产生正剪力，反之为负。 (2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该 截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负） 以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩， 反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生 正弯矩，反之为负。
F
Q1
、 M 1 为正值，表示该截面上剪力和弯矩与所设方向一致，故为正剪力，正弯矩。
例 7－ 1
（3）求 2-2 截面的内力。用截面法把梁从 2-2 截面处切成两段，取左段为研究对象，受 力如图 7－6c。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得 ∑Fy＝0,
FA － F Q 2 ＝0, F Q 2 ＝ FA =2 kN
FQ1 FA 2kN M1 FA 2 2 2 4kN m
图
FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN
M 2 FA 2 2 2 4kN m
(3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。
FQ 3 FB 1kN
M3 FB 4 m 1 4 2 2kN m
MA 0
MB ql ql 2 l 0 2 2 ql l q l ql 2 M C ( )2 2 2 2 2 8
当x ＝l 时
当x＝l/2时,
时将三点用一光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，见图7－9c。
主梁内力计算
主梁的内力计算主梁的内力计算包括恒载内力计算和活载内力计算。
根据上述梁跨结构纵、横截面的布置，计算活载作用下的梁桥荷载横向分布系数，求出各主梁控制截面（取跨中、四分点、变化点截面及支点截面）的恒载和最大活载内力，然后再进行主梁内力组合。
一、恒载内力计算1、恒载集度⑴预制梁自重（第一期恒载）①．跨中截面段主梁自重（四分点截面至跨中截面，长7.25m ）(1)0.861625.07.25156.165g KN =⨯⨯=②．马蹄抬高与腹板变宽段梁的自重近似计算（长3.7m ） 主梁端部截面面积为A=1.176m 2()(2) 1.17600.8616 3.725.0/294.239g KN =+⨯⨯=③．支点段梁的自重（长3.55m ）(3) 1.1760 3.5525.0=104.37g KN =⨯⨯④．横隔梁的自重 中横隔梁体积为：()30.16 1.590.920.240.72/20.120.12/20.219072m ⨯⨯-⨯-⨯= 端横隔梁体积为：()30.25 1.840.80.20.6/20.353m ⨯⨯-⨯=故半跨内横隔梁重量()(4)20.21907210.3532519.7786g KN =⨯+⨯⨯=⑤．主梁永久作用集度()156.16594.239104.3719.7786/14.9825.00/g KN m KN m I =+++= （2）第二期恒载①翼缘板中间湿接缝集度()50.40.1625.0 1.6/g KN m =⨯⨯=②现浇部分横隔梁一片中横隔梁（现浇部分）体积：30.16 1.590.20.05088m ⨯⨯= 一片端横隔梁（现浇部分）体积：30.250.2 1.840.092m ⨯⨯= 故()()630.0508820.09225.0/29.960.2809/g KN m =⨯+⨯⨯=③桥面铺装层6cm 沥青混凝土铺装：0.0612.52317.25/KN m ⨯⨯=将桥面铺装重量均分给五片主梁，则()717.25/5 3.45/g KN m ==④防撞栏：两侧防撞栏均分给五片主梁，则()87.52/53/g KN m =⨯=⑤主梁二期永久作用集度II 1.60.2809 3.4538.3309/g KN m =+++=2、永久作用效用：下面进行永久作用效用计算（参照图1-4），设c 为计算截面至左侧支座的距离，并令/a c l =。
本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分析计算1
图10
图11
图12
3.3.2
多跨静定梁的内力计算
由层次图可见，作用于基本部分上的荷载，并不 影响附属部分，而作用于附属部分上的荷载，会以支 座反力的形式影响基本部分，因此在多跨静定梁的内 力计算时，应先计算高层次的附属部分，后计算低层 次的附属部分，然后将附属部分的支座反力反向作用 于基本部分，计算其内力，最后将各单跨梁的内力图 联成一体，即为多跨静定梁的内力图。
例6 试作出如图13(a)所示的四跨静定梁的弯矩图和剪 力图。
解：（1） 绘制层次图，如图13(b)所示。
（2） 计算支座反力，先从高层次的附属部分开 始，逐层向下计算：
① EF段：由静力平衡条件得
∑ME=0: ∑Y=0: YF×4-10×2=0 YF=5kN YE=20+10-YF=25kN
解：（1）求支座反力 先假设反力方向如图所示，以 整梁为研究对象： ∑X=0: XA-P=0 XA=P=4kN ∑MB=0: YA*l-q*l*0.5*l=0 YA=0.5ql =0.5×3×4kN=6kN ∑Y=0: YA+YB=ql YB=ql-VA =(3×4-6) kN=6kN
即:
q′l′=ql q=q′l′/l=q′/cosα
下面以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为例进 行内力分析，如图(b)所示。 根据平衡条件，可以求出支座反力为： XA=0, YA=YB=1/2ql
则距A支座距离为x的截面上的内力可由取隔离体求出。 如图(c)所示，荷载qx、YA，在梁轴方向（t方向）的分 力分别为qxsinα、YAsinα；在梁法线方向（n方向） 的分力分别为：qxcosα、YAcosα。则由平衡条件得： ∑T=0： YAsinα-qxsinα+NX=0 NX=(qx-1/2ql)sinα ∑N=0: YAcosα-qxcosα-QX=0 QX=(1/2ql-qx)cosα ∑MX=0: YAx-qx· x/2-MX=0 MX=1/2qx(1-x)
结构力学二3-静定结构的内力计算
以例说明如下
例 绘制刚架的弯矩图。 解：
E 5kN
由刚架整体平衡条件 ∑X=0 得 HB=5kN← 此时不需再求竖向反力便可 绘出弯矩图。 有：
30
20 20 75 45
40
0
MA=0 , MEC=0 MCE=20kN· m（外） MCD=20kN· m（外） MB=0 MDB=30kN· m（外） MDC=40kN· m（外）
有突变
铰或 作用处 自由端 (无m）
m
Q图
M图
水平线
⊕
⊖㊀
Q=0 处 突变值为P 如变号 无变化
有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0 有尖角
斜直线
→
↑
利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。 （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控制 截面。如集中力和集中力偶作用点两侧的截面、均 布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力值， 按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图的各 控制点。
说明：
（a）M图画在杆件受拉的一侧。 （b）Q、N的正负号规定同梁。Q、N图可画在杆的 任意一侧，但必须注明正负号。 （c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。 MAB
例 作图示刚架的内力图
RB↑
←HA
VA→
CB杆：
由∑ X=0 可得： M = CD RB=42kN↑ HA=48kN←， H （左） A=6×8=48kN← 由∑M144 VA=22kN↓ 48 A=0 可得： MEB=MEC=42×3 ↑ （2）逐杆绘M图 R=126kN = 126 · m （下） B 192 MDC=0 CD杆： M =42 × 6-20 × 3 由 ∑Y=0 可得： CB MCD=48kN·m（左） =192kN· m（下） VA=42-20=22kN↓
梁的计算简图3
1、悬臂梁：梁的一端自由， 另一端是固定支座。
返回
第 1 节 梁的计算简图
2、简支梁：梁的支座一端 是固定铰支座，另一端 是活动铰支座。
第五章 梁弯曲时内力
返回
第 1 节 梁的计算简图
3、外伸梁：梁的支座与 简支梁相同，只是梁 的一端或两端伸出在 支座之外。
第五章 梁弯曲时内力
返回
第 1 节 梁的计算简图
通用机床都具有较宽的工艺范围；数控机床的工艺范 围比传统通用机床更宽，使其具有良好的柔性；专用机 床和专门化机床则应合理地缩小工艺范围。
第 1 节 Leabharlann 的计算简图第五章 梁弯曲时内力
2.柔 性
机床的柔性，是指其适应加工对象变化的能力，包括 空间上的柔性和时间上的柔性。
所谓空间柔性也就是功能柔性。包括机床的通用性和同 一时期的机床重构能力；例如：对加工控制软件进行调 整或修改，适应多种零件的加工要求。
加工精度 指加工后零件对理想尺寸、形状、位置的符 合程度。影响加工精度的因素很多，与机床本身的几何 精度、传动精度、运动精度、定位精度和低速平稳性、 动态刚度、热变形等有关。
第 1 节 梁的计算简图
第五章 梁弯曲时内力
5.生产率和自动化程度
生产率是指在单位时间内机床加工合格产品的数量。要提 高生产率，必须缩短单个零件的加工时间、装卸时间和分 摊的准备终了时间。
2.2.3 抗振性
指抵抗受迫振动的能力（即抗振性）和抵抗自激 振动的能力（即切削稳定性）。
1、受迫振动 2、自激振动
3、影响机床振动的因素：
（１）机床的静刚度 （２）机床的阻尼特征 （３）机床系统的固有频率
第 1 节 梁的计算简图
第五章 梁弯曲时内力
主梁内力计算
主梁的内力计算主梁的内力计算包括恒载内力计算和活载内力计算。
根据上述梁跨结构纵、横截面的布置，计算活载作用下的梁桥荷载横向分布系数，求出各主梁控制截面（取跨中、四分点、变化点截面及支点截面）的恒载和最大活载内力，然后再进行主梁内力组合。
一、恒载内力计算1、恒载集度⑴预制梁自重（第一期恒载）①．跨中截面段主梁自重（四分点截面至跨中截面，长7.25m ）(1)0.861625.07.25156.165g KN =⨯⨯=②．马蹄抬高与腹板变宽段梁的自重近似计算（长3.7m ） 主梁端部截面面积为A=1.176m 2()(2) 1.17600.8616 3.725.0/294.239g KN =+⨯⨯=③．支点段梁的自重（长3.55m ）(3) 1.1760 3.5525.0=104.37g KN =⨯⨯④．横隔梁的自重 中横隔梁体积为：()30.16 1.590.920.240.72/20.120.12/20.219072m ⨯⨯-⨯-⨯= 端横隔梁体积为：()30.25 1.840.80.20.6/20.353m ⨯⨯-⨯=故半跨内横隔梁重量()(4)20.21907210.3532519.7786g KN =⨯+⨯⨯=⑤．主梁永久作用集度()156.16594.239104.3719.7786/14.9825.00/g KN m KN m I =+++= （2）第二期恒载①翼缘板中间湿接缝集度()50.40.1625.0 1.6/g KN m =⨯⨯=②现浇部分横隔梁一片中横隔梁（现浇部分）体积：30.16 1.590.20.05088m ⨯⨯= 一片端横隔梁（现浇部分）体积：30.250.2 1.840.092m ⨯⨯= 故()()630.0508820.09225.0/29.960.2809/g KN m =⨯+⨯⨯=③桥面铺装层6cm 沥青混凝土铺装：0.0612.52317.25/KN m ⨯⨯=将桥面铺装重量均分给五片主梁，则()717.25/5 3.45/g KN m ==④防撞栏：两侧防撞栏均分给五片主梁，则()87.52/53/g KN m =⨯=⑤主梁二期永久作用集度II 1.60.2809 3.4538.3309/g KN m =+++=2、永久作用效用：下面进行永久作用效用计算（参照图1-4），设c 为计算截面至左侧支座的距离，并令/a c l =。
结构力学第3章静定梁的内力计算
➢ 上一步所作的直线为新的基线， 叠加梁中部荷载作用下的弯矩 图。
精品课件
简支梁在两支座端有外力偶作 用时，梁两端截面有等于该端 力偶的弯矩，无外力偶在端部 作用时端部截面的弯矩为零。 所以简支梁两端支座处的弯矩 值竖标可直接绘出。
精品课件
注意：
❖ 图的叠加是弯矩竖标的叠加，而 不是图形的简单叠加。 ❖ 每叠加一个弯矩图，都以紧前一 次弯矩图外包线为新基线，并由此 基线为所叠加的弯矩图的拉压分界 线。见图3-1-6。
精品课件
❖ 又由于区段AB两端的轴力在 弯曲小变形的假设下对弯矩不 产生影响
❖ 所以从弯矩图的角度说， (a)右、(b)右两受力图是相 同的。
精品课件
区段AB的弯矩图可以利用与简支 梁相同的叠加法制作。其步骤相 类似：
➢ 求出直杆区段两端的弯矩值， 在杆轴原始基线相应位置上画出 竖标，并将两端弯矩竖标连直线。
1)求支座反力
去掉支座约束，以整体为隔离 体，由静力平衡条件得
MB 0
MA 0
精品课件
F A y 7 1(1 4 4376)3k0N m(↑)
F B y7 1(1 44471)3k3N m (↑)
FAx=0 FAy=30kN
q=14kN/m
精品课件
(a) FBy=33kN
2)计算控制截面弯矩值
取D截面以左（下侧受拉）
精品课件
➢ 在新的基线上叠加相应简支 梁与区段相同荷载的弯矩图。 （相应简支梁，指与所考虑区段 等长且其上荷载也相同的，相应
于该区段的简支梁）
上述方法即为直杆区段弯矩图的 叠加法。
精品课件
例3-1-3 计算图示简支梁，并作 弯矩图和剪力图。
q=14kN/m
1m 1m
精品课件
简支梁在两支座端有外力偶作 用时，梁两端截面有等于该端 力偶的弯矩，无外力偶在端部 作用时端部截面的弯矩为零。 所以简支梁两端支座处的弯矩 值竖标可直接绘出。
精品课件
注意：
❖ 图的叠加是弯矩竖标的叠加，而 不是图形的简单叠加。 ❖ 每叠加一个弯矩图，都以紧前一 次弯矩图外包线为新基线，并由此 基线为所叠加的弯矩图的拉压分界 线。见图3-1-6。
精品课件
❖ 又由于区段AB两端的轴力在 弯曲小变形的假设下对弯矩不 产生影响
❖ 所以从弯矩图的角度说， (a)右、(b)右两受力图是相 同的。
精品课件
区段AB的弯矩图可以利用与简支 梁相同的叠加法制作。其步骤相 类似：
➢ 求出直杆区段两端的弯矩值， 在杆轴原始基线相应位置上画出 竖标，并将两端弯矩竖标连直线。
1)求支座反力
去掉支座约束，以整体为隔离 体，由静力平衡条件得
MB 0
MA 0
精品课件
F A y 7 1(1 4 4376)3k0N m(↑)
F B y7 1(1 44471)3k3N m (↑)
FAx=0 FAy=30kN
q=14kN/m
精品课件
(a) FBy=33kN
2)计算控制截面弯矩值
取D截面以左（下侧受拉）
精品课件
➢ 在新的基线上叠加相应简支 梁与区段相同荷载的弯矩图。 （相应简支梁，指与所考虑区段 等长且其上荷载也相同的，相应
于该区段的简支梁）
上述方法即为直杆区段弯矩图的 叠加法。
精品课件
例3-1-3 计算图示简支梁，并作 弯矩图和剪力图。
q=14kN/m
1m 1m
有限元分析梁单元内力计算
1.385 0 3.462 1.385 0 3.462 0 0 0
0 252 0 0 252 0 0 0 0
3.462 0 11.541 3.462 0 5.711 0 0 0
K
103
1.385 0
0 252
3.462 0
253.385 0 0 253.385
3.462 3.462
py3 m3
px3
6.25
5.208
py3 m3
6. 引入约束条件, 构成总体方程
2 px1 p y1
2.5 m1 3
4.25
1.385
0
3.462
103
1.385 0
0 252 0 0 252
3.462 0
11.541 3.462
0
1.385 0
0
0 1.385 3.462 0 1.385 3.462
[
K112
]
[
K
2 23
]
103
0 252
3.462 0
11.542 0
0 252
3.462 0
5.771 0
0 1.385 3.462 0 1.385 3.462
0 3.462 5.771 0 3.462 11.542
3. 单元刚度矩阵的座标变换
求：每根梁的内力。
P2 1kN P1 4kN
2.5m
解：
1.建座标系，对梁单元各节点编号 如图所示。
2.5m
2单元，三节点系统(即自然划分。也可以在集中 力作用处设一节点)。由于每一节点有3个自由度 ，故系统有9个自由度。总刚度矩阵[K]为9×9阶
y 2
5m
②3
梁的内力
MA=0
MC=FA×2=30×2kN·m=60kN·m
CD段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MC和MD左 MD左=FA×4-F×2=(30×4-20×2)kN·m=80kN·m
D截面：有逆时针方向的集中力偶M作用，弯矩图向上突变M=40kN·m
MD右=MD左-M=(80-40)kN·m=40kN·m
截面上必有弯矩M，且M=FAC。当左段梁若平衡，横截面 上必有两个内力分量：平行于横截面的竖向内力Fs以及位 于荷载作用面的内力偶M。内力Fs称梁横截面内的剪力， 而内力偶M称为梁横截面内的弯矩。
Fs
C
A
M
FA
x
若以右段梁为研究对象，由作用力与反作用力定律可知，
右段梁横截面上的内力值仍为Fs和M，指向与左段梁横截面
MBF0
F 6 M q 4 2 F A 8 0
解之得：
FA 30kN FB 30kN
（2）画剪力图
从左向右作图，全梁分为A端、AC段、C端、CD段、DB段和B端。
31
FA=30kN AC段：没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：FC左=FA右=30kN C端：有向下的集中力F作用，剪力图向下突变F=20kN
Mx=FA x-qx2/2= 81/32qa2
BC段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MB和MC。
MC 0
29
剪力图与弯矩图
30
[例] 如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。
F=20kN M=40kN
FA
FB
解：（1）计算支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得：
MAF0
F B 8 M F 2 q 4 6 0
M144 kNm
受静载荷梁的内力及变位计算公式
受静载荷梁的内力及变位计算公式1.集中力的作用下的受静载荷梁内力计算公式：(1)弯矩(M)的计算公式：M=F*x其中，M是梁的弯矩，F是集中力，x是集中力作用点到支点的距离。
(2)剪力(V)的计算公式：V=F其中，V是梁的剪力，F是集中力。
2.均布力的作用下的受静载荷梁内力计算公式：(1)弯矩(M)的计算公式：M=w*x^2/2其中，M是梁的弯矩，w是均布力的单位长度的大小，x是梁上的任意一点到支点的距离。
(2)剪力(V)的计算公式：V=w*x其中，V是梁的剪力，w是均布力的单位长度的大小，x是梁上的任意一点到支点的距离。
3.其他外力作用下的受静载荷梁内力计算公式：当存在多个外力作用在梁上时，我们可以将其分解为集中力和均布力的叠加。
然后可以使用前面提到的公式来计算相应的内力。
变位计算公式主要有两种方法，分别是力偏心法和位移法。
4.力偏心法：利用力偏心引起的弯矩和剪力，根据梁的弹性理论和材料的本构关系，可以计算出梁的变位。
其中，弯矩引起的变位可由以下公式计算：δ=M*l^2/(2*E*I)其中，δ是梁的变形，M是梁上弯矩的最大值，l是梁的长度，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩。
剪力引起的变位可由以下公式计算：δ=V*l/(G*A)其中，δ是梁的变形，V是梁上剪力的最大值，l是梁的长度，G是梁的剪切模量，A是梁的截面面积。
5.位移法：利用位移函数法，将梁的各个节点的位移表示为节点位移和激励项的组合，可以通过解线性代数方程组得到梁的节点位移。
其中，节点位移可以用来计算梁的变位。
综上所述，受静载荷梁的内力和变位计算可以通过公式和方法进行求解。
具体的计算公式和方法取决于梁的受力情况和边界条件。
在实际工程中，通常会采用数值分析方法，如有限元法等，来计算受静载荷梁的内力和变位。
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工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样， 较为复杂。为计算方便，必须对实际梁进
行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。
选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2） 尽可能使力学计算简便。
图4-2梁的平面弯曲
一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：
(如图4—6(c)、(d))。
根据如上符号规定，图4—5中m-n截面内力符号均为正。
下面举例说明怎样用截面法求梁任一截面的内力。
例4—1外伸梁如图4—7(a)，已知均布荷载q和集中力偶m qa2,求指定1-1、2-2、3-3截面内力。
所求反力无误。
(2)求1-1截面内力
由1-1截面将梁分为两段，取左段梁为脱离体，并假设截面剪力为正，如图4-7(b)所示
的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。
1.1梁的受力与变形特点
综合上述杆件受力可以看出： 当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面
内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线， 这种变形形式称为弯曲.。在工程实际中受
弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。
承面，用YA表示。
（b）固定铰支座，其构造与支座简图如图4—3（b）所示。这种支座限制梁在 支承处沿任何方向的线位移，但不限制角位移，其支座反力过铰心两互相垂直分 力，用XA、YA表示。
（c）固定端支座，其构造与支座简图如图4—3（c）所示。这种支座限制梁端 的线位移（移动）及角位移（转动），其反力可用三个分量XYA及mA来表示。 图4—1中所示几种工程实际中梁的计算简图就是采用上述简化方法得出来的。
YaQ10
3
得QiYaqa
4
由Mj0YAa M1m 0
232q2
得Mrm YAa qa qa a
4 4
求得的Q结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为负剪力；M结果为正
值，说明弯矩实际转向与假设相同，且为正弯矩。
（3）求2-2截面（B截面右侧一点）内力
由2-2截面将梁分为两段，取右段梁为脱离体，截面上剪力Q和弯矩M均设为
(a)为例，梁在外力(荷载P和反力W、Yb)作用下处于平衡状态。在需求梁 的内力x处用一假想截面m-n将梁截开分为两段。取任意一段，如左段为脱离体。 由于梁原来处于平衡状态，取出的任一部分也应保持平衡。 从图4-5(b)可知， 左脱离体A端原作用有一向上的支座反力X,要使它保持平衡，由丫0和
M0，在切开的截面m-n上必然存在两个内力分量：内力Q和内力偶矩M内力分量Q位于横截面上，称为剪力.；内力偶矩M位于纵向
（1）某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代数和，即
(4-2-1)
q
HIU{<TTT
(i)两端外伸梁
p
IJHale Waihona Puke (i)悬臂梁(3)
梁的支座为一端固定,
0
()一端外伸梁
悬臂梁
()简支梁
图4-4梁的类型
这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个， 可由静力平衡条件全部求得，故也称 为静定梁。
第二节 梁的内力——剪力和弯矩
2.1截面法求梁的内力
为进行梁的设计，需求梁的内力，求梁任一截面内力仍采用截面法，以图4—5
辊轴
枢轴
a活动铰支座
Ya
支承垫板
I
[r|ya
b固定铰支座
mA
AXaa
1飞—
Ya
c固定端支座
图4-3三种典型支座
1.4梁的基本形式
根椐梁的支座形式和支承位置不同，简单形式的梁有如下三种形式：
(1)简支梁。梁的支座为一端固定铰，一端活动铰(如图4—4(a))；
(2)外伸梁。简支梁两端或一端伸出支座之外(如图4—4(b),(c));席自由(如图4—4(d))。
（1） 梁本身简化一一以轴线代替梁，梁的长度称为跨度；
（2） 荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等；
（3） 支座简化——主要简化为以下三种典型支座：
（a）活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4—3（a）所示。这
种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移， 其支座反力过铰心且垂直于支
对称平面内，称为弯矩
则得
由Mc0，有YaxM0
则得MYaX
注意此处是对截面形心C取矩，因剪力Q通过截面形心C点，故在力矩方程中为 零。同样可取右脱离体，由平衡方程求出梁截面m-n上的内力Q和M,其结果与 左脱离体求得的Q M大小相等，方向(或转向)相反，互为作用力与反作用力 关系。
为使梁同一截面内力符号一致，必须联系到变形状态规定它们的正负号。 若从梁m-n处取一微段梁dx，由于剪力Q作用会使微段发生下错动的剪切变形。 我们规 定：使微段梁发生左端向上而右端向下相对错动的剪力Q为正(如图4—6(a))，反之为负(如图4—6(b));使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M为正，反之为负
1.2平面弯曲的概念
工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴， 该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对..
称面（如图4—2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴 线变形后的曲线也在此纵向对称面内， 这种弯曲称为平面弯曲.。它是工程中最常见也最基本
的弯曲问题。
1.3梁的简化一一计算简图的选取
第四章 梁的内力
第一节 工程实际中的受弯杆
受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图4—
i中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（a表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结
构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载口；图（b）表示的是一种简易挡 水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力； 图（c）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中
正，如图4-7（c）o
由
Y0
Q2
qa
0
得
Q2qa
由
M20
m2
a小
qa 0
2
得
m2
2
qa
2
（4）求3-3截面（D截面左侧边一点）内力
取右端为脱离体，3-3截面无限靠近D点，线分布力q的分布长度趋于0,则3-3
截面上Q=0，M=0o
2.2截面法直接由外力求截面内力的法则
上例说明了运用截面法求任一截面内力的方法。因脱离体的平衡条件丫0的 含义为：脱离体上所有外力和内力在丫轴方向投影的代数和为零。其中只有剪力Q为未知量，移到方程式右边即得直接由外力求任一截面剪力的法则：
行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。
选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2） 尽可能使力学计算简便。
图4-2梁的平面弯曲
一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：
(如图4—6(c)、(d))。
根据如上符号规定，图4—5中m-n截面内力符号均为正。
下面举例说明怎样用截面法求梁任一截面的内力。
例4—1外伸梁如图4—7(a)，已知均布荷载q和集中力偶m qa2,求指定1-1、2-2、3-3截面内力。
所求反力无误。
(2)求1-1截面内力
由1-1截面将梁分为两段，取左段梁为脱离体，并假设截面剪力为正，如图4-7(b)所示
的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。
1.1梁的受力与变形特点
综合上述杆件受力可以看出： 当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面
内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线， 这种变形形式称为弯曲.。在工程实际中受
弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。
承面，用YA表示。
（b）固定铰支座，其构造与支座简图如图4—3（b）所示。这种支座限制梁在 支承处沿任何方向的线位移，但不限制角位移，其支座反力过铰心两互相垂直分 力，用XA、YA表示。
（c）固定端支座，其构造与支座简图如图4—3（c）所示。这种支座限制梁端 的线位移（移动）及角位移（转动），其反力可用三个分量XYA及mA来表示。 图4—1中所示几种工程实际中梁的计算简图就是采用上述简化方法得出来的。
YaQ10
3
得QiYaqa
4
由Mj0YAa M1m 0
232q2
得Mrm YAa qa qa a
4 4
求得的Q结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为负剪力；M结果为正
值，说明弯矩实际转向与假设相同，且为正弯矩。
（3）求2-2截面（B截面右侧一点）内力
由2-2截面将梁分为两段，取右段梁为脱离体，截面上剪力Q和弯矩M均设为
(a)为例，梁在外力(荷载P和反力W、Yb)作用下处于平衡状态。在需求梁 的内力x处用一假想截面m-n将梁截开分为两段。取任意一段，如左段为脱离体。 由于梁原来处于平衡状态，取出的任一部分也应保持平衡。 从图4-5(b)可知， 左脱离体A端原作用有一向上的支座反力X,要使它保持平衡，由丫0和
M0，在切开的截面m-n上必然存在两个内力分量：内力Q和内力偶矩M内力分量Q位于横截面上，称为剪力.；内力偶矩M位于纵向
（1）某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代数和，即
(4-2-1)
q
HIU{<TTT
(i)两端外伸梁
p
IJHale Waihona Puke (i)悬臂梁(3)
梁的支座为一端固定,
0
()一端外伸梁
悬臂梁
()简支梁
图4-4梁的类型
这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个， 可由静力平衡条件全部求得，故也称 为静定梁。
第二节 梁的内力——剪力和弯矩
2.1截面法求梁的内力
为进行梁的设计，需求梁的内力，求梁任一截面内力仍采用截面法，以图4—5
辊轴
枢轴
a活动铰支座
Ya
支承垫板
I
[r|ya
b固定铰支座
mA
AXaa
1飞—
Ya
c固定端支座
图4-3三种典型支座
1.4梁的基本形式
根椐梁的支座形式和支承位置不同，简单形式的梁有如下三种形式：
(1)简支梁。梁的支座为一端固定铰，一端活动铰(如图4—4(a))；
(2)外伸梁。简支梁两端或一端伸出支座之外(如图4—4(b),(c));席自由(如图4—4(d))。
（1） 梁本身简化一一以轴线代替梁，梁的长度称为跨度；
（2） 荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等；
（3） 支座简化——主要简化为以下三种典型支座：
（a）活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4—3（a）所示。这
种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移， 其支座反力过铰心且垂直于支
对称平面内，称为弯矩
则得
由Mc0，有YaxM0
则得MYaX
注意此处是对截面形心C取矩，因剪力Q通过截面形心C点，故在力矩方程中为 零。同样可取右脱离体，由平衡方程求出梁截面m-n上的内力Q和M,其结果与 左脱离体求得的Q M大小相等，方向(或转向)相反，互为作用力与反作用力 关系。
为使梁同一截面内力符号一致，必须联系到变形状态规定它们的正负号。 若从梁m-n处取一微段梁dx，由于剪力Q作用会使微段发生下错动的剪切变形。 我们规 定：使微段梁发生左端向上而右端向下相对错动的剪力Q为正(如图4—6(a))，反之为负(如图4—6(b));使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M为正，反之为负
1.2平面弯曲的概念
工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴， 该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对..
称面（如图4—2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴 线变形后的曲线也在此纵向对称面内， 这种弯曲称为平面弯曲.。它是工程中最常见也最基本
的弯曲问题。
1.3梁的简化一一计算简图的选取
第四章 梁的内力
第一节 工程实际中的受弯杆
受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图4—
i中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（a表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结
构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载口；图（b）表示的是一种简易挡 水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力； 图（c）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中
正，如图4-7（c）o
由
Y0
Q2
qa
0
得
Q2qa
由
M20
m2
a小
qa 0
2
得
m2
2
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2
（4）求3-3截面（D截面左侧边一点）内力
取右端为脱离体，3-3截面无限靠近D点，线分布力q的分布长度趋于0,则3-3
截面上Q=0，M=0o
2.2截面法直接由外力求截面内力的法则
上例说明了运用截面法求任一截面内力的方法。因脱离体的平衡条件丫0的 含义为：脱离体上所有外力和内力在丫轴方向投影的代数和为零。其中只有剪力Q为未知量，移到方程式右边即得直接由外力求任一截面剪力的法则：