第3章 二自由度系统的振动

x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
( K 2 M ) 0
1 1 1 2 1 1
有非零
det( K 2 M ) 0
1
k (1 2 )k , 2 m m
多自由度系统的固有振动
u1 k1 m1 k2 m2 u2 k3
固有振动：
k (1 2 ) k 1 1 u1 (t ) sin t 2 m t 1 , u2 (t ) 1 sin m 1
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的?
( K r2 M ) r 0
结论: 当 r 不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见 <<振动力学>>刘延柱第74页).
多自由度系统的固有振动
【例】设图中二自由度系统的物理参为 m1 m2 m, k 1 k 3 k , k 2 k , 0 1 ,确定系统的固有振动.

x1 A1 sin(nt ) x2 A2 sin(nt )
x2 A2 sin(nt ) A2 x1 A1 sin(nt ) A1
这样，在振动过程中系统其他各点的位移都可由x1和x2 所决定，并且系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。
2 上式是关于 n 的一元二次方程，称为频率方程或特征方程，

装备制造学院
2 n 1, 2
ad ad 2 ( ) bc （3-9） 2 2
College of Equipment Manufacture
由于刚度K1、K2、K3和质量m1、m2都是正的，所以，式 n1 和 n 2 为实 中a、b、c、d系数都是正数，根号项恒为正， 数；而且由于 ad>bc，式（3-9）中的根号项小与前面的项， 2 2 n1 和 n 2 只与振动 所以 n 1 和 n 2 为方程的两个正实根。 系统本身的物理性质有关，称为系统的固有频率，也可称为 主频率。 较低的 n1 ，称为第一阶固有频率，简称基频；较高的 n 2 称为第二阶固有频率。 理论证明，n个自由度系统的频率方程是 的n次代数方 程，在无阻尼的情况下，频率方程有n个正实根，故固有频 率的个数与系统的自由度数相等。
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
振幅的大小可由振动系统的初始条件来确定，但当系统 按任一固有频率振动时，振幅比和固有频率一样，取决于振 动系统本身的物理性质。 由式（3-6）可以看出，在任一瞬时两质量m2和m1的 位移比值，同样也是确定的，并等于振幅比，即：
3.1.1二自由度振动微分方程
机械、汽车等的实际结构简化成二自由度系统模型后， 要研究其振动问题，关键在于建立系统的运动微分方程。 在选定广义坐标后，利用牛顿第二定律求系统运动方程。 下图为所示的二自由度系统，建立运动微分方程。

b.微分方程
m1&&1 + (k1 + kc ) x1 − kc x2 = F1 (t ) x （3.1-1） ） m2 &&2 + (k 2 + kc ) x2 − kc x1 = F2 (t ) x
5
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
m1 0
0 &&1 k1 + kc x && + −k m2 x2 c
（3.1-12） ）
讨论（ 讨论（3.1-11）的解，假定 ）的解，
f (t ) = Be
st
代入（ 代入（3.1-11）得 ）
10
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
QQ1094860954
s +λ =0
2
（3.1-13） ）
− −λt
（3.1-11）的通解 ）
f (t ) = B1e
（3.1-22） ）
17
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
叫做特征向量, 叫做特征向量 振型向量或模态向量 r 1 r 2 叫做振型比 固有频率和振型向量构成系统的固有模态的基 或简称模态参数),它们表明了系统自由振动 本参数(或简称模态参数 本参数 或简称模态参数 它们表明了系统自由振动 的特性。 的特性。 两自由度系数有两个固有模态,即 两自由度系数有两个固有模态 即系统的固有 模态等于系统的自由度数。 模态等于系统的自由度数。 对于给定的系统, 对于给定的系统 特征向量或振型向量的相对比值 是确定的唯一的,和固有频率一样取决于系统的物 是确定的唯一的 和固有频率一样取决于系统的物 理参数,是系统固有的 而振幅则不同。 是系统固有的,而振幅则不同 理参数 是系统固有的 而振幅则不同。

1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2

1 3
cos1t

1 3
cos2t

1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2

C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1

1 3
cos1t

2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l

2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2