04-1zf_两自由度系统的振动

m2 x2 K2 (x2 x1) K3 x2
整理得系统运动微分方程：
m1x1 (K1 K2 )x1 K2 x2 0 m2 x2 K2 x1 (K2 K3 )x2 0
引入符号：
m1x1 m2 x2
(K1 K2
x1
K2 (
安装两个齿轮的传动轴示意图
假设： (1)相对于齿轮来说，轴的质量较小 可以忽略； (2)轴的变形较大，考虑其弹性； (3)齿轮可视为集中质量元件的刚性 圆盘。
若研究系统在纸面平面内的横向振动，
在上述假设条件下，系统可简化成图两
自由度横向振动力学模型。
两自由度横向振动力学模型
若研究系统的扭振问题，两圆盘具有 转动惯量，轴具有扭转弹性，系统可 简化为两自由度扭转振动力学模型。
(K1 K2
x1
K 2 )x1 (K2

K2 x2 K3 )x2
0 0
简化为标准形式：
各系数：
x1 x2
ax1 cx1

bx2 dx2

0 0
a K1 K2 2K , b K2 K
m1
m
m1 m
c K2 K , d K2 K3 2K

a


2 n2

c
b
d

2 n2
A1(1)、A2(1) — — 按第1阶固有频率振动时，质块m1、m2的振幅；
A1(2)、A2(2) — — 按第2阶固有频率振动时，质块m1、m2的振幅。
A
(i j
)
上下标约定：下标
j
为质块序号；
上标
i
为固有频率阶数。
由于a、b、c、d和ωn1与ωn2都是由系统固有特性参数所决定的
sin(n2t

2 )
结论：系统作主振动时，各点同时经过平衡位置、同时达到最 大极限位置，并以相同的频率和确定的振型作简谐振动。
例 图示系统中，m1=m，m2=2m， k1=k2=k，k3=2k， 试 求 系 统 的 固 有频率和固有振型。
解：振动的微分方程为
m1x1 (k1 k2 )x1 k2 x2 0 m2 x2 k2 x1 （k2 k3 )x2 0
振幅比： 1

a


2 n1
b

2K m
K
K m
1
主振型向量：
m
2

a
4.1 两自由度系统无阻尼自由振动
4.1.1 两自由度系统振动微分方程
如图所示的弹簧质量系统。质块m1和 m2在光滑水平面上移动，m1、m2之间 及其与支撑面之间用弹簧分别联接。
显然，该系统为2自由度系统。
取质块位移xl和x2为广义坐标。
取质块m1和m2 为分离体，受力如图所示。 根据牛顿定律： m1x1 K2 (x2 x1) K1x1
两自由度扭转振动力学模型
再如：双摆振动系统
若不考虑杆的弹性变形，上述系统均为两自由度振动系统。 工程实际中有许多系统都可简化为两自由度振动系统，所以本 章研究两自由度系统的振动特性。 实际上，两自由度系统的分析方法与多自由度系统的分析方法 相同，两自由度系统是最简单的多自由度系统。 本章的重点：通过两自由度振动系统的分析，掌握多自由度系 统振动分析中的基本概念、基本方法。

x20 )2

(1x10 x20 )2 2
n2
1


arctan

n1 (2 x10 2 x10
x20 x20
)


2

arctan

n
2 (1x10 1x10
x20 x20
)

例1 图示两自由度系统。已知，ml=m2=m=0.05kg， K1=K2=K3=K=20N／m。

n21

a
d 2


n22


ad 2


a

d
2


bc
2

a

d
2

bc
2
ωn1——第1阶固有频率，数值较小的固有频率； ωn2——第2阶固有频率，数值较大的固有频率。
主振型
将固有频率ωn1和ωn2代入代数方程：
(a 2
cA1
12
与

2 2
均为实根。
(2)因为 ad bc 正实根。
， a d 2 (ad bc) a d
2
2
，所以 12
与

2 2
均为
显然，12 与

2 2
是由系统本身参数所决定的，故称ω1、ω2
为系统的固有频率。
将两个固有频率ωn1、ωn2按 从小到大的顺序排列：


cA1 (d 2 ) A2
sin(t ) 0
为使xl、x2是方程组的解，方程成立的条件为：
(a 2 ) A1 bA2 0

cA1
(d
2 ) A2

0
上式是关于A1和A2的二元齐次线性代数方程组，具有无穷多组 解。显然，A1=A2=0是方程的一组零解，即系统处于平衡状态。
x1(1) A1(1) sin(n1t 1 )

x2(1)

A2(1)
sin(n1t
1)

1 A1(1)
sin(n1t

1 )
第二阶主振动：
x1(2) A1(2) sin(n2t 2 )

x
(2) 2

A2( 2 )
sin(n2t
2 )

2 A1(2)
由于我们的目的是研究的系统振动规律，因此感兴趣的是A1和 A2的非零解。 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式为0，即：
(a 2 ) b
0
c (d 2 )
(a 2 ) b
0
c (d 2 )
将上式展开得： ω4- (a+d)ω2+(ad-bc)=0
2mmx1x2
2kx1 kx1

kx2 0 3kx2
0
x1 ax1 bx2 0

x2
cx1

dx2

0
a 2K , b K
m
m
c K , d 3K
2m
2m
2、固有频率
2 n1, n 2

a
d 2
则：

a
2
d
2

bc


7 4
3K 4 m
2 n1

K m
,
n1
K m
2 n2

5K 2m
,
n2
5K 2m
3、主振型向量与振型图
振幅比：
1ห้องสมุดไป่ตู้

a


2 n1
b

2K m
K
K m
1
2

a

2 n2
b

2K 5K m 2m
K

0.5
m
m
主振型向量：


A(1)

1 1
，所以某一阶固有频率振动时的振幅比也是由系统固有特性参数
所决定的，是常数，与初始条件无关。
主振型
振幅比为常数，说明系统在振动过程中各点的相对位置是确
定的，因此振幅比所确定的振动形态是系统的固有特性。
主振型（固有振型）：当系统按某阶固有频率振动时，由振幅比
所决定的振动形态。
第一阶主振型：与ωn1所对应的主振型； 第二阶主振型：与ωn2所对应的主振型。 主振型向量或模态向量：
x2

x2(1)

x
(2) 2

1 A1(1) sin(n1t 1 ) 2 A1(2) sin(n2t
2 )


A(1) 1


1
2 1
(2 x10

x20 )2

(2 x10 x20 )2 2
n1


A1(
2
)


1
2 1
( 1 x10
(1)第1个方程既含有 x1 项，也含有-bx2项； 性常微分方程组。
(2)第2个方程既含有 x2 项，也含有-cxl项。
显然，这两个方程是相互耦联的，将-bx2、-cxl称为耦合项。
与单自由度振动系统运动微分方程比较：两自由度振动系统运动
微分方程是含有耦合项的二级常微分方程组。
4.1.2 固有频率与主振型
设两质量块按同频率和同相位作简谐振动，即设：
x1 A1 sin(t )

x2

A2
sin(t
)
则：

x1 x2

A1 cos(t ) A2 cos(t )
xx12

A1 2 sin(t ) A2 2 sin(t )
主振型向量 或模态向量


A(1)

1

1




A( 2 )
1

2

振型图：以横坐标表示系统中各点的静平衡位置，以纵坐标表示各
点在振动过程中振幅比的大小，由此所画出的图形。
主振动
主振动：系统按某一阶固有频率和相应主振型所作的振动。 第一阶主振动：
m2 m
m2
m
2、固有频率
2 n1,n 2

a
d 2


a

d
2

bc

[2
1]
K
2
m
则：
2 n1

K m
,
n1
K m
20 20 rad/s 0.05
2 n2

3K m
,
n2
3K m
3 20 34.64 rad/s 0.05
3、主振型向量与振型图
第4章 两自由度系统的振动
前两章，介绍了单自由度系统的振动理论。 在工程实际当中，有许多振动问题是相当复杂的，用 单自由度的模型研究分析，往往不能得到满意的结果。 为了提高振动系统的分析精度，常将振动系统简化为 更为复杂的模型： 两自由度系统； 多自由度系统； 连续系统。
例如 图示安装两个齿轮的传动轴系统。
初始条件：
t0 x1 x10 x1 x10
x2 x20 x2 x20
t0

x1

x10
x1 x10
x2 x20 x2 x20
将初始条件代入运 动微分方程的通解
x1 x1(1) x1(2) A1(1) sin(n1t 1 ) A1(2) sin(n2t 2 )
x1 x1(1) x1(2) A1(1) sin(n1t 1 ) A1(2) sin(n2t 2 )
x2

x2(1)

x
(2) 2

1 A1(1)
sin(n1t
1)
2 A1(2)
sin(n2t
2 )
式中：A1(1) 、A1(2) 、φ1和φ2——常数，由系统的初始条件决定。
) A1 bA2
(d 2 ) A2
0
0
则可以得到关于A1和A2的齐次线性方程组。由于方程组具有无穷
多组解，所以不能求得A1和A2的具体值，但可以求得二者的比值，
即振幅比：

1

2

A(1) 2
A(1) 1
A(2) 2
A(2) 1

a

2 n1

c
b
d


2 n1
(1)写出系统运动微分方程； (2)求固有频率； (3)求主振型向量，并画出振型图； (4)求以下两种不同初始条件的响应方程：
① xl0= 1cm，x20=-2cm， x10 x20 =0
② xl0= x20= lcm， x10 x20 =0
解：
1、运动微分方程
m1x1 m2 x2
) x1 K2

K2 x2 K3 )x2
0 0
a K1 K2 , m1
b K2 , m1
c K2 , m2
d K2 K3 m2
运动微分方程简化为标准 形式：
x1 x2
ax1 cx1

bx2 dx2

0 0
方程的特点：
二阶常系数齐次线

1


1



A( 2 )
1 1

2


0.5
第一阶主振型
第二阶主振型
4.1.3 无阻尼自由振动的通解
由上述分析可见： (1)两自由度线性系统的自由振动，有两个固有频率，也对应两种 简谐振动。 (2)根据线性微分方程理论，两自由度线性系统的自由振动是两种 简谐振动的叠加：
将上述关系代入运动 微分方程：
x1 x2
ax1 cx1

bx2 dx2

0 0
整理得：
(a 2 ) A1 bA2 sin(t ) 0
cA1 (d 2 ) A2 sin(t ) 0
(a 2 ) A1 bA2 sin(t ) 0
称为频率方程或特 征方程
特征根：
2 1,2

ad 2

a d 2 (ad bc) 2
ad

a

d
2


bc
2 2
固有频率
2 1,2

a
d 2

a
d 2
2

(ad
bc)

a
d 2

a
2
d
2


bc
(1)a、b、c、d是由弹簧刚度和质量所决定的正数，所以