教师版第五单元第4讲 离散型随机变量的分布列（6课时） 一.基本理论
(一)基本概念
(1) 随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量来表示, 随机变量常用希腊字母ηξ,等表示. (2) 离散型随机变量:
如果对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.例如,射击命中环数ξ是一个离散型随机变量.
(3) 连续型随机变量
如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量. （二）离散型随机变量的分布列
1.设离散型随机变量ξ可能取的值为 ,,,21n x x x ,ξ取每一个值)4,3,2,1( =i x i 的概率
i i p x P ==)(ξ,则称下表
为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分布列.
分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式; (B)一组等式 (C)压缩为一个帶i 的形式.
2.由概率的性质知,任一离散型随机变量的分布列具有下列二个性质:
(A),3,2,1,0 =≥i p i (B)121=++ p p 3. 求分布列三种方法
(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；
(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列．
4..离散型随机变量的期望与方差
一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布列为
则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望或平均数.或均值.
+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的均方差.简称方
差.ξD 叫标准差.
性质: (1)22)()(ξξξE E D -= (2)b aE b a E +=+ξξ)( (3)ξξD a b a D 2)(=+
（三）几种常见的随机变量的分布 1.两点分布
如果随机变量X 的分布列为
其中0
2.二项分布
在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.若在一次试验中某事件发生的概率是P,则在n 次独立重复试验中
这个事件恰好发生k 次的概率是,,2,1,0,1,)(n k p q q p C k P k
n k k n
=-===-ξ 得到随机变量ξ的概率分布如下
称随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p),并记k
n k k n
q p C -=b(k;n,p) 3. 超几何分布
一般地,在含有M 件次品中的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{}X k =发
生的概率为(),0,1,2,3,,,k n k
M N M
n
N
C C P x k k m C --===
其中{}min ,,,,,,m M n n N
M N n M N N *=≤≤∈ (1)若ξ～(,
)g k p ，则1E p
ξ=
(2) 若ξ～(,)g k p ，则2
1p D p ξ-=
二.题型分析
题型1.由统计数据求离散型随机变量的分布列
题1. (2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数
分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数y 的分布列；
(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．
[审题视点] 本题解题的关键是求出Y 的取值及取每一个值的概率，注意用分布列的性质进行检验．
解 (1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y 的取值分别为 17,18,19,20,21，
P (Y ＝17)＝216＝18 P (Y ＝18)＝416＝14 P (Y ＝19)＝416＝14 P (Y ＝20)＝416＝14 P (Y ＝21)＝216＝1
8
则随机变量Y 的分布列是：
(2)由(1)知E (Y )＝178＋184＋194＋204＋21
8＝19， 设这名同学获得钱数为X 元，则X ＝10Y ， 则E (X )＝10E (Y )＝190.
题2. 【2012高考真题广东理17】（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]． （1）求图中x 的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的
人数记为ξ，求ξ得数学期望．
【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。
【解析】
题型2 由古典概型求离散型随机变量的分布列 题3. （20XX 年韶关二模）有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望. （１）60
个
1×1×1
的小正方体中，没有涂上颜色的有
6
个，
61
(0)6010
P ξ==
= … （3分） （２）由（1）可知
1(0)10P ξ==
；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2
(3)15P ξ== … （7分）
分布列
