高考数学分布列专题及复习资料

高考数学复习考点题型专题讲解专题48 随机变量及其分布高考定位离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.1.(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________.答案16 35 127解析由题意知P(ξ＝2)＝C12C24＋C22C14C37＝1635.ξ的可能取值为1，2，3，4，P(ξ＝1)＝C26C37＝1535＝37，P(ξ＝3)＝C23C37＝335，P(ξ＝4)＝1C37＝135，所以ξ的分布列为E(ξ)＝1×37＋2×1635＋3×335＋4×135＝127.2.(2022·北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)解(1)甲在以往的10次比赛成绩中，有4次比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)，故由频率估计概率可得，甲获得优秀奖的概率为0.4.(2)设甲获得优秀奖为事件A1，乙获得优秀奖为事件A2，丙获得优秀奖为事件A3，则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.5.X的可能取值为0，1，2，3，故P(X＝0)＝P(A－1A－2A－3)＝0.6×0.5×0.5＝320，P(X＝1)＝P(A1A－2A－3)＋P(A－1A2A－3)＋P(A－1A－2A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝820＝25，P(X＝2)＝P(A1A2A－3)＋P(A1A－2A3)＋P(A－1A2A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝7 20，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝0.4×0.5×0.5＝220＝110.∴X的分布列为∴E(X)＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.(3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为1 4，甲获得9.80的概率为1 10，乙获得9.78的概率为1 6 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.热点一分布列的性质及应用离散型随机变量X的分布列为则(1)p i≥0，i＝1，2，…，n.(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n .(4)D (X )＝∑n i ＝1[x i－E (X )]2p i .(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X ). 例1 (1)(多选)设离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量Y ＝－3X ＋1，且E (X )＝3，则( ) A.m ＝0.1 B.n ＝0.1 C.E (Y )＝－8 D.D (Y )＝－7.8(2)已知随机变量ξ的分布列如表所示，若E (ξ)＝D (ξ)，则下列结论中不可能成立的是( )A.a ＝13B.a ＝23C.k ＝12D.k ＝32答案 (1)BC (2)D解析 (1)由E (X )＝1×m ＋2×0.1＋3×0.2＋4×n ＋5×0.3＝3，得m ＋4n ＝0.7， 又由m ＋0.1＋0.2＋n ＋0.3＝1， 得m ＋n ＝0.4，从而得m ＝0.3，n ＝0.1，故A 选项错误，B 选项正确；E (Y )＝－3E (X )＋1＝－8，故C 选项正确；因为D (X )＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6， 所以D (Y )＝(－3)2D (X )＝23.4，故D 选项错误. (2)由题意得E (ξ)＝ka ＋(k －1)(1－a )＝k －1＋a ，D (ξ)＝[k －(k －1＋a )]2·a ＋[k －1－(k －1＋a )]2·(1－a )＝a (1－a ). 因为E (ξ)＝D (ξ)， 所以k －1＋a ＝a (1－a )， 所以k ＝1－a 2，又⎩⎨⎧a ≥0，1－a ≥0，所以0≤a ≤1， 所以k ＝1－a 2∈[0，1]，故k ＝32不成立.规律方法 分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.训练1 (1)(2022·温州模拟)已知随机变量X ，Y 的分布列如下：则( )A.D(X)＝3D(Y)B.D(Y)＝3D(X)C.D(X)＝9D(Y)D.D(Y)＝9D(X)(2)(2022·长沙模拟)设a>0，若随机变量ξ的分布列如下：则下列方差值中最大的是( )A.D(ξ)B.D(|ξ|)C.D(2ξ－1)D.D(2|ξ|＋1)答案(1)D (2)C解析(1)从表中可知Y＝3X－1，∴D(Y)＝D(3X－1)，∴D(Y)＝9D(X)，故选D.(2)由题意知a＋2a＋3a＝1，a＝1 6，E(ξ)＝－1×16＋0×13＋2×12＝56，E(|ξ|)＝1×16＋0×13＋2×12＝76，D(ξ)＝16×⎝⎛⎭⎪⎫－1－562＋13×⎝⎛⎭⎪⎫0－562＋12×⎝⎛⎭⎪⎫2－562＝5336，D(|ξ|)＝16×⎝⎛⎭⎪⎫1－762＋13×⎝⎛⎭⎪⎫0－762＋12×⎝⎛⎭⎪⎫2－762＝2936.D(ξ)>1>D(|ξ|)，D(2ξ－1)＝4×5336＝539，D(2|ξ|＋1)＝4×2936＝299.所以D(2ξ－1)最大.热点二随机变量的分布列1.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，E(X)＝n·M N .考向1 二项分布例2 (2022·南昌模拟)接种新冠疫苗可以有效降低感染新冠肺炎的概率.某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种.假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码(产生每个号码的可能性都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗(例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推).若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗.(1)求这四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的概率；(2)记甲，乙，丙，丁四个人中接种A 种疫苗的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.解 (1)记四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的事件为M ， 则P (M )＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，所以四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的概率为3281. (2)由题意可知，X 的取值依次为0，1，2，3，4，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，P (X ＝k )＝C k4⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－k(k ＝0，1，2，3，4)，故随机变量X 的分布列：故E (X )＝4×13＝43.考向2 超几何分布例3(2022·烟台模拟)2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办.某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况(单位：分钟)，并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的85%分位数；(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200，280]的学生中抽取6人.若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在[200，240)的人数为X，求X的分布列和数学期望.解(1)由题意，40×(0.000 5＋0.002×2＋2a＋0.006＋0.006 5)＝1，解得a＝0.004. 由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下占比为40×(0.000 5＋0.002＋0.004＋0.006＋0.006 5)＝0.76.观看时长在240分钟以下占比为0.76＋40×0.004＝0.92.所以85%分位数位于[200，240)内，85%分位数为200＋40×0.85－0.760.92－0.76＝222.5.(2)由题意，观看时长[200，240)、[240，280]对应的频率分别为0.16和0.08，所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取4人和2人.于是抽取的3人中观看时长在[200，240)中的人数X的所有可能取值为1，2，3.所以，P(X＝1)＝C14·C22C36＝15，P(X＝2)＝C24·C12C36＝35，P(X＝3)＝C34C36＝15.X的分布列为所以，E(X)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.规律方法求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值对应的概率，写出随机变量X的分布列；(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.训练2(2022·茂名二模)冰壶是冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为13，14；甲、乙得2分的概率分别为25，12；甲、乙得1分的概率分别为15，16.(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X ，求X 的分布列和期望. 解 (1)由题意知，甲得0分的概率为1－13－25－15＝115，乙得0分的概率为1－14－12－16＝112，所以甲、乙两人所得分数相同的概率为 13×14＋25×12＋15×16＋115×112＝2990. (2)X 可能取值为0，1，2，3，4，5，6， 则P (X ＝0)＝115×112＝1180，P (X ＝1)＝115×16＋15×112＝136，P (X ＝2)＝115×12＋15×16＋25×112＝110，P (X ＝3)＝115×14＋15×12＋25×16＋13×112＝1990，P (X ＝4)＝15×14＋25×12＋13×16＝1136， P (X ＝5)＝25×14＋13×12＝415，P(X＝6)＝13×14＝112，所以，随机变量X的分布列为所以E(X)＝0×1180＋1×136＋2×110＋3×1990＋4×1136＋5×415＋6×112＝4712.热点三正态分布解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.例4 (1)(2022·滨州二模)设随机变量X～N(μ，σ2)，则“μ≥1”是“P(X＜2)＜1 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(多选)(2022·沈阳模拟)已知某种袋装食品每袋质量(单位：g)X～N(500，16).P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3，则下面结论正确的是( )A.σ＝4B.P(496≤X≤504)＝0.954 5C.随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量在区间[492，504]的约8 186袋D.随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量小于488 g的一定不多于14袋答案(1)B (2)AC解析(1)当μ＝1时，根据正态曲线的对称性可知P(X＜2)＞1 2，故μ≥1不是P(X＜2)＜12的充分条件；反之，若P(X＜2)＜1 2，由对称性可知μ≥1，故μ≥1是P(X＜2)＜12的必要条件；故μ≥1是P(X＜2)＜12的必要不充分条件.故选B.(2)对于A，∵袋装食品每袋质量(单位：g)X～N(500，16)，∴σ＝4，故A正确；对于B，P(496≤X≤504)＝P(500－4≤X≤500＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，故B错误；对于C，∵P(500≤X≤504)＝12P(496≤X≤504)＝12×0.682 7＝0.341 35，P(492≤X≤500)＝12P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝12×0.954 5＝0.477 25，∴P(492≤X≤504)＝P(492≤X≤500)＋P(500≤X≤504)＝0.818 6，10 000×0.818 6＝8 186，故随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量在区间[492，504]的约8 186袋，故C正确；对于D，P(X≤488)＝12[1－P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)]＝12(1－0.997 3)＝0.001 35，10 000×0.001 35＝13.5，故随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量小于488 g的约为13.5袋，但抽取时有可能多于14袋，故D错误.故选AC.规律方法利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的活用：(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0).(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a).训练3 (1)设随机变量ξ～N(μ，1)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(0≤ξ≤1)等于( )(附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5)A.0.158 7B.0.135 9C.0.271 8D.0.341 3(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________.答案(1)B (2)0.14解析(1)∵函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点，即一元二次方程x2＋2x－ξ＝0无实根，∴Δ＝4＋4ξ＜0，即ξ＜－1，又f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，∴P (ξ＜－1)＝0.5，由正态曲线的对称性知μ＝－1， ∴ξ～N (－1，1)，∴μ＝－1，σ＝1，∴μ－σ＝－2，μ＋σ＝0，μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝1， ∴P (－2≤ξ≤0)≈0.682 7，P (－3≤ξ≤1)≈0.954 5，∴P (0≤ξ≤1)＝12[P (－3≤ξ≤1)－P (－2≤ξ≤0)]≈0.954 5－0.682 72＝0.135 9.(2)因为X ～N (2，σ2)， 所以P (X >2)＝0.5，所以P (X >2.5)＝P (X >2)－P (2<X ≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.一、基本技能练1.(2022·金华模拟)已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则数学期望E (ξ)为( ) A.45B.910 C.1 D.65答案 D解析 ξ可取0，1，2， P (ξ＝0)＝C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 12C 13C 25＝610，P (ξ＝2)＝C 23C 25＝310，∴E(ξ)＝0×110＋1×610＋2×310＝65，故选D.2.(2022·海南模拟)已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(X＜0)·P(X＞6)＝0.04，则P(0＜X＜3)＝( )A.0.2B.0.3C.0.4D.0.1答案 B解析因为随机变量X～N(3，σ2)，所以曲线关于x＝3对称，且令P(X＜0)＝P(X＞6)＝t，∴t2＝0.04，∴t＝0.2，即P(X＜0)＝P(X＞6)＝0.2，∴P(0＜X＜3)＝0.5－P(X＜0)＝0.3，故选B.3.设随机变量X，Y满足Y＝3X－1，X～B(2，p)，若P(X≥1)＝59，则D(Y)等于( )A.4B.5C.6D.7 答案 A解析由题意可得，P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C02(1－p)2＝5 9，解得p＝1 3，则D(X)＝np(1－p)＝2×13×23＝49，D (Y )＝32D (X )＝4.故选A.4.(2022·武汉模拟)已知随机变量X ～N (1，σ2)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a )，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6的展开式中常数项为( ) A.－240 B.－60 C.240 D.60 答案 D解析 根据正态分布曲线关于直线x ＝1对称，且P (X ≤0)＝P (X ≥a )，可得a ＝2，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6，通项为T r ＋1＝C r 6(x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x6－3r 2，若此项为常数项，则6－3r ＝0，解得r ＝2， 所以常数项为(－2)2C 26＝60，故选D.5.(2022·广州二模)某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布ξ～N (10，σ2)，根据检测结果可知P (9.98≤ξ≤10.02)＝0.98，某公司购买该种包装的大米2 000袋，则大米质量在10.02 kg 以上的袋数大约为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 答案 B解析 因为大米质量ξ～N (10，σ2)，且P (9.98≤ξ≤10.02)＝0.98， 则P (ξ＞10.02)＝1－P （9.98≤ξ≤10.02）2＝0.01，所以大米质量在10.02 kg 以上的袋数大约为2 000×0.01＝20.故选B.6.(多选)若随机变量X 服从两点分布，其中P (X ＝0)＝13，E (X )，D (X )分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( ) A.P (X ＝1)＝23B.E (3X ＋2)＝4C.D (3X ＋2)＝2D.D (X )＝49答案 ABC解析 ∵随机变量X 服从两点分布，其中P (X ＝0)＝13，∴P (X ＝1)＝23，E (X )＝0×13＋1×23＝23，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×23＝29，在A 中，P (X ＝1)＝23，故A 正确；在B 中，E (3X ＋2)＝3E (X )＋2＝3×23＋2＝4，故B 正确；在C 中，D (3X ＋2)＝9D (X )＝9×29＝2，故C 正确；在D 中，D (X )＝29，故D 错误.7.已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，P (ξ≤6)＝0.84，则P (ξ≤0)＝________. 答案 0.16解析 因为随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)， 所以P (ξ≤0)＝P (ξ≥6)，又P(ξ≤6)＝0.84，所以P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤6)＝1－0.84＝0.16.8.已知某小组7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗.从这7人中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X的数学期望为________；记“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”为事件A，则P(A)＝________.答案12 7 6 7解析由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝C33C37＝135，P(X＝1)＝C14C23C37＝1235，P(X＝2)＝C24C13C37＝1835，P(X＝3)＝C34C37＝435，∴E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝1235＋1835＝67.9.(2022·宁波二模)一个袋中装有大小质地完全相同的m个红球和2m个白球(m∈N*)，从中任取3个球.记取出的白球个数为ξ，若P(ξ＝1)＝15，则m＝________，E(ξ)＝________. 答案 2 2解析根据题意，取出的三个球中恰好有一个白球的概率为P(ξ＝1)＝C12mC2mC33m＝15，解得m＝2.所以袋中有2个红球，4个白球，则取出的三个球中白球个数ξ的可能取值为1，2，3，所以P(ξ＝1)＝15，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C36＝15，∴E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.10.甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局.根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3∶2获胜的概率为________.答案0.18解析由题意知，甲队以3∶2获胜，则甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中胜两局，有两种情况：一种为三个主场胜两场，一种为客场胜一场主场胜一场，其概率为C23×0.62×0.4×0.5×0.5＋C13×0.6×0.42×0.5×0.5＝0.18.11.(2022·唐山模拟)甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局(在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛)中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4.(1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了ξ局比赛，求随机变量ξ的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；(2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？解(1)由题意知：ξ的可能取值为3，4，5.则P(ξ＝3)＝0.63＋0.43＝0.28；P(ξ＝4)＝C13×0.4×0.63＋C13×0.6×0.43＝0.374 4；P(ξ＝5)＝C24×0.42×0.62＝0.345 6. 则ξ的分布列为∵0.374 4＞0.345 6＞0.28，∴进行四局比赛的可能性最大.(2)作为甲队领队，希望甲队最终获胜，若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为p 1＝0.63＋C13×0.4×0.63＋C24×0.42×0.62×0.5＝0.648；若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为p 2＝0.62＋C12×0.4×0.6×0.5＝0.6；∵p1＞p2，∴作为甲队领队，希望采用五局三胜制.12.(2022·济宁模拟)血液检测是诊断是否患疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性(即样本携带病毒)的概率均为p(0＜p＜1).现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”. (1)若p ＝13，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列；(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p 的取值范围. 解 (1)由题意知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则P (X ＝0)＝C 04⎝⎛⎭⎪⎫1－134＝1681；P (X ＝1)＝C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝3281；P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝2481＝827；P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝881；P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181.则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列为(2)方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4.方案二中，设化验次数为Y ，则Y 的所有可能取值为2，4，6. 每组两个样本化验呈阴性的概率为(1－p )2，设x ＝(1－p )2. 则P (Y ＝2)＝x 2；P (Y ＝4)＝C 12x (1－x )； P (Y ＝6)＝(1－x )2.所以E (Y )＝2×x 2＋4×C 12x (1－x )＋6×(1－x )2＝6－4x .若方案二比方案一更“优”，则E (Y )＝6－4x ＜4，解得x ＞12，即x ＝(1－p )2＞12，解得0＜p ＜1－22.所以当0＜p ＜1－22时，方案二比方案一更“优”. 二、创新拓展练13.(多选)(2022·苏州模拟)已知随机变量X 服从二项分布B (4，p )，其数学期望E (X )＝2，随机变量Y 服从正态分布N (p ，4)，且P (X ＝3)＋P (Y ＜a )＝1，则( ) A.p ＝14B.p ＝12C.P (Y ＞1－a )＝14D.P (Y ＞1－a )＝34答案 BD解析 由题意知E (X )＝np ＝4p ＝2，即p ＝12，P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫124－3＝14，∴P (Y ＜a )＝34，由于Y ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，对称轴x ＝12，所以P (Y ＞1－a )＝P (Y ＜a )＝34.故选BD.14.(多选)(2022·南京模拟)下列命题中，正确的命题的选项为( ) A.已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝23B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ＞1)＝p ，则P (－1＜ξ≤0)＝12－pD.某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，X ～B (10，0.8)，则当X ＝8时概率最大 答案 BCD解析 对于A ，⎩⎨⎧E （X ）＝np ＝30，D （X ）＝np （1－p ）＝20，解得⎩⎨⎧p ＝13，n ＝90，A 错误； 对于B ，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B 正确；对于C ，ξ服从正态分布N (0，1)，P (－1＜ξ≤0)＝P (0≤ξ＜1)＝12－P (ξ＞1)＝12－p ，C 正确；对于D ，X ～B (10，0.8)，则P (X ＝k )＝C k 100.8k ×0.210－k， 由⎩⎨⎧C k 100.8k ×0.210－k ≥C k －1100.8k －1×0.211－k，C k 100.8k ×0.210－k ≥C k ＋1100.8k ＋1×0.29－k，解得395≤k≤445，因为k∈N*，所以k＝8.D正确.15.(多选)(2022·福州模拟)在某独立重复试验中，事件A，B相互独立，且在一次试验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1－p，其中p∈(0，1).若进行n次试验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列说法正确的是( )A.E(X)＝E(Y)B.D(X)＝D(Y)C.E(Z)＝D(X)D.n·D(Z)＝D(X)·D(Y)答案BC解析因为E(X)＝np，E(Y)＝n(1－p)，即A错误；因为D(X)＝np(1－p)，D(Y)＝n(1－p)p，即B正确；因为A，B相互独立，所以P(AB)＝p(1－p)，所以E(Z)＝np(1－p)＝D(X)，即C正确；因为nD(Z)＝n2p(1－p)[1－p(1－p)]，D(X)D(Y)＝n2p2(1－p)2，即D错误.故选BC.16.(2022·徐州模拟)在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X～B(n，p)，记p k＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.在研究p k的最大值时，小组同学发现：若(n＋1)p为正整数，则k＝(n＋1)p时，p k＝p k－1，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p为非整数，当k取(n＋1)p的整数部分时，则p k是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为________的概率最大.答案 18解析 继续再进行80次投掷试验，出现点数为1的次数X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫80，16，由k ＝(n ＋1)p ＝81×16＝272＝13.5，结合题中的结论可知，当k ＝13时，概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次， 所以出现18次的概率最大.17.(2022·日照模拟)春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20～10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20～9：40记作区间[20，40)，9：40～10：00记作[40，60)，10：00～10：20记作[60，80)，10：20～10：40记作[80，100]，例如：10点04分，记作时刻64.(1)估计这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)为了对数据进行分析，现采用分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X 为9：20～10：00之间通过的车辆数，求X 的分布列与数学期望；(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1 000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数(结果保留到整数).参考数据：若T～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤T≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤T≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤T≤μ＋3σ)＝0.997 3.解(1)这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，即10：04.(2)结合频率分布直方图和分层随机抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60)这一区间内的车辆数，即(0.005＋0.015)×20×10＝4，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.所以P(X＝0)＝C46C410＝114，P(X＝1)＝C14C36C410＝821，P(X＝2)＝C24C26C410＝37，P(X＝3)＝C34C16C410＝435，P(X＝4)＝C44C410＝1210.所以X的分布列为所以E(X)＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝85.(3)由(1)得μ＝64，σ2＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324，所以σ＝18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100)通过的车辆数，由T～N(64，182)，得P(64－18≤T≤64＋2×18)＝P（μ－σ≤T≤μ＋σ）2＋P（μ－2σ≤T≤μ＋2σ）2＝0.818 6，所以估计在9：46～10：40之间通过的车辆数为1 000×0.818 6≈819(辆).。

高考数学一轮复习考点知识与题型讲解 考点20 超几何分布与二项分布一．分布列1．离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 二．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X P (X ＝1)称为成功概率． 三．超几何分布1.概念：一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N(k ＝0,1,2，…，m )．即X 01…mP C0M C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．2.特征(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数(2)考察对象分两类(3)已知各类对象的个数(4)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型四．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数．设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．五．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P ABP A(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n ABn A.(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．考点题型分析考点题型一 离散型随机变量的分布列的性质【例1】(1)(2022·全国高三专题练习)随机变量X 的分布列如表：若()2E X =，则()D X =( ) A ．32B ．43C ．54D ．65(2)(2022·浙江高三)已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=( ) A ．53B ．73C ．72D ．236【答案】(1)A(2)C【解析】(1)由分布列的性质以及期望公式可得()1242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14a b ==.()()()()22211131222422442D X =-+-+-=.故选：A. (2)由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，因此，()()11517222266362E X a E X E X ⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭.故选：C.【举一反三】1．(2022·全国高三专题练习)随机变量X的分布列如下，()14P X≤＜的值为( )A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9【答案】C【解析】随机变量X的分布列知：10.10.20.30.10.3x=----=，()()()()14123P X P P P≤<=++0.20.30.3=++0.8=．故选：C．【方法总结】1．随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．2.离散型随机变量分布列的求解步骤三．若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；(6)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为：E(X)＝μ，D(X)＝σ2.2．(2022·全国高三专题练习)随机变量ξ的分布列如表所示，若1()E X =-，则(31)D X +=( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=，()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=，∴5(31)D X +=.故选：B. 3．(2022·全国高三专题练习)若随机变量X 的分布列为则a 的值为( ) A ．0.1 B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】B【解析】由题意可得，0.231a a ++=，解得0.2a =.故选：B.4．(2022·浙江高三其他模拟)随机变量X 的分布列如下表，已知()122P x ≤=，则当b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时( )A ．()E X 递减，()D X 递减B ．()E X 递增，()D X 递减C ．()E X 递减，()D X 递增 D ．()E X 递增，()D X 递增【答案】B【解析】因为()122P x ≤=，所以12a b +=，12c =， 所以()232E X a b c b =++=+，所以当b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()E X 递增；所以()()()()2222115122232224D X a b b b b b ⎛⎫=-++-++-+=-++⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 所以当b 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时，()D X 递减.故选：B.考点题型二 超几何分布【例2】(2022·全国高三)“花开疫散，山河无恙，心怀感恩，学子归来，行而不缀，未来可期”，为感谢全国人民对武汉的支持，今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募8名和12名志愿者参与网络云直播.将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：厘米).若身高在175cm 及其以上定义为“高个子”，否则定义为“非高个子”，且只有文学院的“高个子”才能担任兼职主持人.(1)根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.(2)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，则从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少；(3)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职主持人”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.【答案】(1)168.5cm ；(2)710；(3)分布列见解析，98. 【解析】(1)根据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高为：158,159,161,162,165,168,169,173,174,176,180,181，其升高的中位数为：168169168.52+=cm ； (2)由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人， ∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220⨯=人，“非高个子”为125320⨯=人， 则从这5人中选2人，至少有1人为高个子的概率23257110C P C =-=；(3)由题可知：文学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0、1、2、3，故305338105(0)5628C C P C ξ⋅====，2153383015(1)5628C C P C ξ⋅====， 12533815(2)56C C P C ξ⋅===，0353381(3)56C C P C ξ⋅===， 即ξ的分布列为：所以19()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【举一反三】1．(2022·全国高三专题练习)为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列及均值E (X );(3)试比较男生学习时间的方差21s 与女生学习时间的方差22s 的大小.(只需写出结论) 【答案】(1)240人；(2)分布列见解析，2；(3)2212s s .【解析】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×1220=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4， 故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得P (X=0)=4448170C C =，P (X=1)=1344481687035C C C ==， P (X=2)=22444836187035C C C ==， P (X=3)=3144481687035C C C ==， P (X=4)=4448170C C =.所以随机变量X 的分布列为∴均值E (X )=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.(3)由折线图可得2212s s >.2．(2022·全国高三专题练习)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名五年级学生进行了问卷调查得到如下列联表(平均每天喝500mL 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖)：已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由；(3)若常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，设正好抽到的女生为X名，求随机变量X的分布列与期望.参考数据：(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++，其中n a b c d=+++)【答案】(1)答案见解析；(2)在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；理由见解析；(3)答案见解析.【解析】(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，则243015x+=，解得6x=，填表如下：(2)由已知数据可求得：2230(61824)8.5237.8791020822K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；(3)依题意，常喝碳酸饮料的肥胖者男生有4名，女生有2名，随机变量X的取值分别为0、1、2，∴0224262(0)5C C P X C ⋅===， 1124268(1)15C C P X C ⋅===， 2024261(2)15C C P X C ⋅===， 则随机变量X 的分布列为：因此随机变量X 的期望2812()0121515153E X =⨯+⨯+⨯=. 3．(2022·全国高三)巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行．某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是815． (1)请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关？ (2)若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”人数为X ，求X 的分布列和均值．附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++，n a b c d =+++．【答案】(1)填表见解析；没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；(2)分布列见解析；均值为54． 【解析】(1)设“通过电视收看世界杯”的女生为x 人，则1083015x +=，解得6x =，由已知数据得：2230(10866) 1.158 3.84116141614K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关； (2)X 可能取值为0、1、2，则：262161(0)8C P X C ===，116102161(1)2C C P X C ===， 2102163(2)8C P X C ===，∴X 的分布列为：X 的均值为：1135()0128284E X =⨯+⨯+⨯=．考点题型三 条件概率【例3】(2022·四川省新津中学高三开学考试)长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，那么()|P A B =( )A ．12B ．34C ．25D ．38【答案】B【解析】由题意，可知421(),(),()151510P A P B P AB ===， 利用条件概率的计算公式，可得1()310(|)2()415P AB P A B P B ===，故选B.【举一反三】1．(2022·江苏省溧阳中学高三开学考试)甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则()|P A B =( )A ．89B ．29C ．38D ．34【答案】B【解析】事件AB ：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为33A ，事件B ：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为33，()()()3343424|394A P AB P A B P B ===.故选：B(2)(2022·四川眉山市·仁寿一中高三月考)现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()P B A =( )A ．13B ．47C ．23D ．34【答案】A【解析】由已知得22432793()217C C P A C +===,232731()217C P AB C ===， 则()P B A =1()173()37P AB P A ==，故选：A 3．(2022·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三开学考试)2022年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P (A |B )＝( ) A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】A【解析】由题意444()4A P A =，()()P AB P A =，3443()4P B ⨯=，∴44434()24(|)43()94A P AB P A B P B ===⨯．故选：A ． 4．(2022·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中高三开学考试)一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球，如果不放回的依次取出2个球.在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率是( ) A ．12B ．310C ．35D ．25【答案】A【解析】第一次取出黑球后，剩余4个球，其中2个白球，所以第二次取出的是白球的概率是2142=.故选：A.考点题型四 二项分布【例4】(2022·全国高三专题练习)某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．【答案】(1)甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大，乙同学做解答题相对稳定些；(2)分布列见解析，38. 【解析】(1)1=8x 甲(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，1=8x 乙(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，21=8s 甲 [(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，21=8s 乙[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12， 两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316， X 的所有可能取值为0，1，2.依题意，32,16XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()22313,0,1,21616kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则X 的分布列为X 的均值E (X )＝2168⨯=. 【举一反三】1．(2022·全国高三专题练习)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人，不超过100km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有25人.(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km/h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km/h 且为男性驾驶员的车辆为X ，求X 的分布列. 【答案】(1)2552；(2)分布列答案见解析. 【解析】(1)平均车速不超过100km/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为240C ，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为111525C C ⋅，所以所求的概率()1115252402552C C P A C ==. (2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100km/h 且为男性驾驶员的概率为4021005=，故2(3,)5X B .所以()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3033238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以X 的分布列为2．(2022·全国高三专题练习)某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记X 表示抽到“极满意”的人数，求X 的分布列及数学期望． 【答案】(1)1728；(2)分布列见解析，()34E X =.【解析】(1)16人中满意的有4人，不满意的有12人，设i A 表示所抽取的3人中有i 个人是“极满意”，至少有1人是“极满意”记为事件A ，则抽出的3人都不满意的概率为()31203161128C P A C ==，所以()()01117112828P A P A =-=-=， (2)X 的所有可能取值为0,1,2,316人中满意的有4人，不满意的有12人，随机抽取一人极满意的概率为41164=， 所以13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()33270464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，()213132714464P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，()22313924464P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()333113464P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以X 的分布列为所以()1236464644E X =⨯+⨯+⨯=.3．(2022·凯里市第三中学高三月考)北京是历史悠久的千年古都，现在是中国的政治、经济、文化等多领域的中心，历史文化积淀深厚，自然人文景观丰富，科学技术发达，教育资源众多，成为当代绝大多数人的理想向往之地．凯里市为了将来更好的推进“研学游学”项目来丰富中学生的课余生活，帮助中学生树立崇高理想，更好地实现人生价值．为了更好了解学生的喜好情况，某组织负责人把项目分为历史人文游、科技体验游、自然风光游三种类型，并在全市中学中随机抽取10所学校学生意向选择喜好类型，统计如下：在这10所中小学中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游学意向类型的概率(假设每所学校在选择研学游学类型时仅能选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)． (1)若这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游，求这两种都有学校选择的概率； (2)设这3所学校中选择科技体验游学校的随机数X ，求X 的分布列与数学期望． 【答案】(1)18125；(2)分布列见解析，6()5E X =．【解析】(1)由题设学校选择历史人文游、科技体验游、自然风光游的概率分别为()P A 、()P B 、(C)P ，则易知2()5P A =，2()5P B =，1()5P C =， 所以这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游的概率为1222133()()()()P C P A P C C P A P C =⋅+⋅1222332121()()5555C C =+61218125125125=+=； (2)由题知这3所学校中选择科技体验游学校的概率为2()5P B =， 选择非科技体验游学校的概率为2213()()555P P A P C =+=+=，所以X 的所有可能值有：0，1，2，3， 则03033232327(0)()()()55125P X C P B P C ====，1121123232354(1)()()()55125P X C P B P C ====，2212213232336(2)()()()55125P X C P B P C ====，330330323238(3)()()()55125P X C P B P C ====，所以X 的分布列如下：所以X 的数学期望为86()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．。

分布列1．(本小题满分14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++)2．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。

（1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。

在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望．．（本小题满分14分）分布列参考答案1．(本小题满分14分)解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3分（2）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯------------------------6分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.-------------------------9分其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152253(2)20C C P C ξ===--------------------------12分故ξ的分布列为:--------------------------13分ξ的期望值为:7134012202205E ξ=⨯+⨯+⨯= 2．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=…………….6分（Ⅱ）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分其分布列为5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….14分3.解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有39C 种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有35C 种，……2分 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 3539537114242C P C =-=-=……4分 （2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为0，100，200，300。

高考数学总复习考点知识专题讲解 专题11离散型随机变量及其分布列知识点一 随机变量的概念、表示及特征1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X (ω)与之对应，我们称X 为随机变量．2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X ，Y ，Z ；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x ，y ，z .3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二 离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．【例1】（（2023•丰台区期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为() ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数1X ；②一个沿直线2y x 进行随机运动的质点离坐标原点的距离X；③某同学射击3次，命中的次数3X；④某电子元件的寿2命X；4A．①②B．③④C．①③D．②④【例2】（2023•从化区期中）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A．25B．10C．9D．5知识点三离散型随机变量的分布列及其性质1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个值x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．2．分布列的性质(1)p i≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．【例3】（2023•辽宁期末）随机变量X的分布列如下表所示，则(2)(…)P XA ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【例4】（2022•朝阳区开学）设随机变量X 的分布列为()(1P X k k k λ===，2，3，4)，则λ的值为() A ．10B ．110C ．10-D ．110-【例5】（2023•珠海期末）已知某离散型随机变量ξ的分布列为：则(q =)A ．13和1-B ．13C ．12D ．1-【例6】（2022•多选•天津模拟）设随机变量ξ的分布列为()(15kP ak k ξ===，2，3，4，5)，则()A ．115a =B ．141()255P ξ<<= C ．112()10215P ξ<<=D ．23()510P ξ=…【例7】（2023•湖北模拟）设随机变量ξ的分布列如表：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a += B ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+C ．当数列{}n a 满足1(1,2,9)2n na n ==时，10912a =D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，10)时，1110(1)n a n n =+知识点四 两点分布如果P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，那么X 的分布列为我们称X 服从两点分布或0－1【例8】（多选）若离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则下列说法错误的是()A ．常数c 的值为23或13B ．常数c 的值为23C ．1(0)3P X ==D ．2(0)3P X ==【例9】（2023•阜南县期末）从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【例10】（2023•崂山区期末）某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是2 3，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．同步训练1.（2022•多选•临朐县开学）下列X是离散型随机变量的是()A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数XB ．一天内的温度为XC ．某网页一天内被点击的次数XD ．射击运动员对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X 表示该运动员在一次射击中的得分2.（2023•上蔡县校级月考）设随机变量ξ的概率分布列如下表：则(|2|1)(P ξ-==) A ．712B ．12C ．512D ．163.（2023•周至县期末）设随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4,5,6)2kcP X k k ===，其中c 为常数，则(2)P X …的值为() A ．34B ．1621C ．6364D ．64634.（2023•多选•宝安区期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a 的值为()A ．12-B ．12C ．14D ．14-5.（2023•和平区校级期末）设随机变量与的分布列如下：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a +=B ．当数列{}n a 满足1(12n na n ==，2，⋯，9)时，10912a = C ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，⋯，10)时，1110(1)n a n n =+6.（2023•郫都区模拟）甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．。

高考数学复习：概率与分布列题型1.已知随机变量且1211211P X P X P X μμμμ-<+-≥++≤<+=，则（）A．1-B．0C．1D．22.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若函数()(2)f x P x x ξ=≤≤+是偶函数，则实数μ=（）A．0B．12C．1D．23.随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，且()()322P a P a ξξ-≥=≤，则=a （）A．12B．1C．43D．34.设X~N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)=0.0228，那么向正方形OABC 中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）[附:随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544]A．12076B．13174C．14056D．7539题型二：二项分布型求参二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为p ()01p <<，则在n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率()=p k ξ=()1n kk k n C p p --()0,1,2,,k n =⋯，称ξ服从参数为,n p 的二项分布，记作ξ~(),B n p ，E ξ=npi =D npq .1.在n 次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(),B n p ，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1EY p =．据此，若随机变量X 服从二项分布1,6B n ⎛⎫⎪⎝⎭时，且相应的“几何分布”的数学期望EY EX <，则n的最小值为（）A．6B．18C．36D．372.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且()9E X =，9()4D X =，则n =（）A．3B．6C．9D．123.设随机变量ξ服从二项分布(),B n p ，若() 1.2E ξ=，()0.96D ξ=，则实数n 的值为__________.题型三：二项分布与正态分布综合离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列ξ1ξ2ξ3ξ…n ξP1p 2p 3p np ①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++ ，反映随机变量ξ取值的波动性。

离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 3．常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即：其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12 C ．14D ．18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝________．解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X 的分布列为________． 解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，所以分布列为P (X ＝k )＝C k3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3.答案：P(X ＝k )＝C k 3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．【解】 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. (1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为在本例条件下，求P (1<X ≤4)． 解：由本例知，m ＝0.3，P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋(X ＝3)＋P (X ＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ， P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920； P (X ＝5)＝C 35C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列． 解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．解：X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4， P (X ＝k )＝C k 5C 4－k5C 410，k ＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列． 解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．[基础达标]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.3．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A ．14B ．12C ．34D ．23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34.4．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A ．13 B ．16 C ．12D ．56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：167．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________． 解析：依分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 139．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n ＝C 26C 13＝45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，C 984P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，所以P (X ＝k )取最大值时，k 的值为2. 答案：45 211．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12. 12．(2019·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列． 解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，C 1015故X 的分布列为[能力提升]1．(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584， P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)． 所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X 的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ， 则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。

概率与统计专题二： 超几何分布一、知识储备一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品．从N 件产品中随机抽取n 件(不放回），用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为2,r其中n ，N ，M N *∈，M N ≤，n N ≤，max{0,}m n N M =-+，min{,}r n M =，则称随机变量X 服从超几何分布．1.公式 C C ()C kn k M N M nNP X k 中个字母的含义 N —总体中的个体总数M —总体中的特殊个体总数(如次品总数)n —样本容量k —样本中的特殊个体数(如次品数)注意：(1)“由较明显的两部分组成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；(2) 不放回抽样；(3) 注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围。

二、例题讲解1．（2022·贵州省思南中学高三月考（理））某班利用课外活动时间举行了一次“函数求导比赛”活动，为了解本次比赛中学生的总体情况，从中抽取了甲、乙两个小组的样本分数的茎叶图如图所示.（1）分别求出甲、乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪个小组的成绩更稳定？（2）从甲组同学成绩不低于70分的人中任意抽取3人，设X 表示所抽取的3名同学的得分在[)70,80的人数，求X的分布列及数学期望.2．（2022·合肥市第六中学高三开学考试（理））近日，国家卫健委公布了2021年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2021年，我国儿童青少年总体近视率为52.7%．为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视．现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查．（1）用X表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（2）设A为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件A发生的概率．三、实战练习1．（2022·安徽高三开学考试（理））为预防某种疾病发生，某团队研发一种药物进行提前干预，现进入临床试验阶段.为了考察这种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表.（1）请将上面的列联表补充完整；（2）现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只动物，设其中未服用药的动物为ξ只，求ξ的分布与列与期望.2．（2022·湖南益阳市箴言中学高三其他模拟）2022年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作[20,40)，9:40~10:00记作[40,60)，10:00~10:20记作[60,80)，10:20~10:40记作[80,100)，例如：9:46，记作时刻46.（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列；（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，2σ用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）.假如4日上午9:20~10:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）附：若随机变量T 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P T μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P T μσμσ-<≤+=，(33)0.9973P T μσμσ-<≤+=.3．（2022·浑源县第七中学校（理））由商务部和北京市人民政府共同举办的2021年中国国际服务贸易交易会(简称服贸会)于9月4日开幕，主题为“全球服务，互惠共享”.某高校为了调査学生对服贸会的了解情况，决定随机抽取100名学生进行采访.根据统计结果，采访的学生中男女比例为3：2，已知抽取的男生中有10名不了解服贸会，抽取的女生中有25名了解服贸会，请你解答下面所提出的相关问题.（1）完成2×2列联表，并回答“是否有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”.（2）若从被采访的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动，记抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及均值.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++++++.)2k0.152.0724．（2022·全国高三二模）某初中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对40名七年级学生进行了问卷调查，得到数据如表所示(平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过60kg为肥胖.单位：人)（1）将22⨯列联表补充完整，并回答能否有95%的把握认为学生是否肥胖和经常饮用碳酸饮料有关？（2）已知经常饮用碳酸饮料且肥胖的8名同学中，有5名男同学，3名女同学，现从这5名男同学和3名女同学中选5人进行家访，求被选中的男生人数X的分布列和期望．参考公式及数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.5．（2022·赤峰二中高三其他模拟（理））学期结束时，学校对食堂进行测评，测评方式：从全校学生中随机抽取100人给食堂打分，打分在60以下视为“不满意”､在60~80视为“基本满意”，在80分及以上视为“非常满意”.现将他们给食堂打的分数分组：[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]，得到如下频率分布直方图：（1）求这100人中“不满意”的人数并估计食堂得分的中位数；（2）若按满意度采用分层抽样的方法，从这100名学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中对食堂“非常满意”的人数为X.（i）求X的分布列；（ii）若抽取的3人中对食堂“非常满意”的同学将获得食堂赠送的200元现金，其他同学将获得100元现金，请估计这3人将获得的现金总额.6．（2022·陕西西安·高三其他模拟（理））某中学高一（1）班在接种了“新冠疫苗”之后，举行了“疫情防控，接种疫苗”知识竞赛.这次竞赛前21名同学成绩的茎叶图如图所示，已知前7名女生的平均得分为221分.（1）①求茎叶图中x的值；②如果在竞赛成绩高于205分且按男生和女生分层抽样抽取6人，再从这6人中任选3人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，求这3人中有女生的概率；（2）如果在竞赛成绩高于220分的学生中任选4人参加学校座谈会，用ξ表示4人中成绩超过235分的人数，求ξ的分布列和期望.7．（2022·全国高三专题练习（理））自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2021年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验．（1）实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作X，求X的分布列和数学期望．（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%，如若可以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．8．（2022·辽宁高三其他模拟）1．2021年11月22日，第29届全国中学生数学奥林匹克决赛举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了100名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部在[60，100]之内，将数据按照[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图，如图所示．已知a ，b ，c 成等差数列且0.008a c -=．（1）求频率分布直方图中a ，b ，c 的值；（2）并估计这100名学生成绩的众数；（3）若按照分层抽样从成绩在[70，80)，[80，90)的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记X 为3人中成绩在[80，90)的人数，求X 的分布列和数学期望．9．（2022·全国高三专题练习）某校高一年级进行安全知识竞赛（满分为100分），所有学生的成绩都不低于75分，从中抽取100名学生的成绩进行分组调研，第一组[)75,80，第二组[)80,85，，第五组[]95,100（单位：分），得到如下的频率分布直方图.（1）若竞赛成绩不低于85分为优秀，低于85分为非优秀，且成绩优秀的男学生人数为35，成绩非优秀的女学生人数为25，请判断是否有95%的把握认为竞赛成绩的优秀情况与性别有关；（2）用分层抽样方法，在成绩不低于85的学生中抽取6人，再从这6人中随机选3人发言谈体会，设这3人中成绩在[)85,90的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++. 临界值表：10．（2022·全国高三其他模拟）垃圾分类指的是按照一定规定或者标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称我国的垃圾分类大致分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，而正确的掌握垃圾分类也是中学生的必修课之一．某学校从甲、乙两个班级中各随机抽取了8名学生参加垃圾分类知识的检测，并将检测后的成绩统计如表所示：其中()70,80a ∈，()80,90b ∈，=79x 乙，2=19s 乙． （1）求a ，b 的值；（2）现从乙班同学中随机抽取4人，记80分以上的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望．11．（2022·全国（理））随着如今人们生活水平的不断提高，旅游成了一种生活时尚，尤其是老年人的旅游市场在不断扩大.为了了解老年人每年旅游消费支出（单位：元）的情况，相关部门抽取了某地区1000名老年人进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（1）求所得样本平均数（精确到元）；（2）根据样本数据，可近似地认为老年人的旅游费用支出X 服从正态分布()23000,1000N ，若该地区共有老年人95000人，试估计有多少位老年人旅游费用支出在5000元以上；（3）已知样本数据中旅游费用支出在[)5000,6000范围内的10名老人中有7名女性，3名男性.现想选其中3名老人回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列.附：若()2~,X N μσ，()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.。