高考数学分布列专题及答案

第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.下列变量中离散型随机变量的个数为( C )①在2 016张已编号(从1号到2 016号)的奖券中任取一张,被取出的号码X ②连续不断射击,首次命中目标需要的射击次数Y ③在编号为1～100的100张卡片中,任取两张,其两张卡片的编号之和Z④某加工厂加工的某种钢管,外径与规定的外径尺寸之差ξ(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:X,Y,Z都是随机变量且可以一一列出,是离散型随机变量;ξ是随机变量,但其取值位于某个区间内,不可一一列出,故不是离散型随机变量.2.从标有1～10的10台电脑中任取两台,设所得两台电脑上的数字之和为ξ,那么随机变量ξ可能取得的值有( A )(A)17个 (B)18个 (C)19个 (D)20个解析:1～10任取两个的和可以是3～19中的任意一个,共有17个.3.设随机变量X的分布列为P(X=i)=a·(错误！未找到引用源。

)i,i=1,2,3,则a的值为( B )(A)错误！未找到引用源。

(B)错误！未找到引用源。

(C)错误！未找到引用源。

(D)错误！未找到引用源。

解析:根据题意及随机变量分布列的性质得a·错误！未找到引用源。

+a·(错误！未找到引用源。

)2+a·(错误！未找到引用源。

)3=1,解得a=错误！未找到引用源。

.4.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于( C )(A)0 (B)错误！未找到引用源。

(C)错误！未找到引用源。

(D)错误！未找到引用源。

解析:即求试验不成功的概率,故选C.5.若随机变量X的分布列为则当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是( C )(A)(-∞,2] (B)[1,2] (C)(1,2] (D)(1,2)解析:由随机变量X的分布列知P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当P(X<a)= 0.8时,实数a的取值范围是(1,2].6.随机变量X的分布列为则X的数学期望是( B )(A)2 (B)2.1(C)2.3 (D)随m的变化而变化解析:根据题意,0.2+0.5+m=10,解得m=0.3,所以E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.7.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=错误！未找到引用源。

高三数学随机变量的分布列试题1.随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(<X<)的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，＋＋＋＝1，解得a＝．于是P(<X<)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝，故选D．2. [2014·四川模拟]在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为pk＝p k(1－p)4－k(k＝0,1,2,3,4)，∴p0＝p0(1－p)4＝(1－p)4，由条件知1－p＝，∴(1－p)4＝，∴1－p＝，∴p＝.∴p1＝p·(1－p)3＝4××()3＝，故选C.3.[2014·唐山检测]2013年高考分数公布之后，一个班的3个同学都达到一本线，都填了一本志愿，设Y为被录取一本的人数，则关于随机变量Y的描述，错误的是()A．Y的取值为0,1,2,3B．P(Y＝0)＋P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝1C．若每录取1人学校奖励300元给班主任，没有录取不奖励，则班主任得奖金数为300Y D．若每不录取1人学校就扣班主任300元，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300Y【答案】D【解析】由题意知A、B正确．易知C正确．对于D，若每不录取1人学校就扣班主任300元奖金，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300(3－Y)＝300Y－900.4.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和，求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，V(η)＝，求a∶b∶c.【答案】（1）ξ的分布列为（2）3∶2∶1【解析】(1)由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时ξ＝2，此时P(ξ＝2)＝＝；当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ＝4时，P(ξ＝4)＝＝；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时ξ＝3时，P(ξ＝3)＝＝；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时ξ＝5时，P(ξ＝5)＝＝；当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ＝6时，P(ξ＝6)＝＝.所以ξ的分布列为ξ23456由已知得到：η有三种取值即1，，所以η的分布列为所以，所以b＝2c，a＝3c，所以a∶b∶c＝3∶2∶1.5.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．【答案】（1）0.5（2）0.8（3）ξ0123【解析】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品；记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1)C＝A·B＋A·B，P(C)＝P(A·B＋A·B)＝P(A·B)＋P(A·B)＝P(A)·P(B)＋P()·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2)D＝A·B，P(D)＝P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.4＝0.2，P(D)＝1－P(D)＝0.8.(3)ξ～B(3，0.8)，故ξ的分布列P(ξ＝0)＝0.23＝0.008；P(ξ＝1)＝×0.8×0.22＝0.096；P(ξ＝2)＝×0.82×0.2＝0.384；P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.6.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列．【答案】（1）、、（2）X的分布列为【解析】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝＝，P(A2)＝××＝，P(A3)＝××＝.所以，甲队以3∶0、3∶1、3∶2胜利的概率分别是、、；(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝××＝.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，P(X＝1)＝P(A3)＝，P(X＝2)＝P(A)＝，4P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.故X的分布列为7.一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）.（1）求取出的小球中有相同编号的概率；（2）记取出的小球的最大编号为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)随机变量的分布列为：346随机变量的数学期望 .【解析】(1)应用古典概型概率的计算公式，关键是利用组合知识，确定事件数；(2) 随机变量的可能取值为.计算相应概率即得随机变量的分布列为：数学期望 .试题解析：(1)：设取出的小球中有相同编号的事件为，编号相同可分成一个相同和两个相同 2分4分(2) 随机变量的可能取值为：3，4，6 6分， 7分， 8分9分所以随机变量的分布列为：346所以随机变量的数学期望 . 12分【考点】古典概型，互斥事件，离散型随机变量的分布列及数学期望.8.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘)，满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的；若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金；若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其他区域，则不中奖(若指针停到两区间的实线处，则重新转动)．若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则参与了促销活动．(1)求顾客甲中一等奖的概率；(2)记X为顾客甲所得的奖金数，求X的分布列及其数学期望．【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件A表示该顾客中一等奖，P(A)＝×＋2××＝，所以该顾客中一等奖的概率是.(2)X的可能取值为20,15,10,5,0，P(X＝20)＝×＝，P(X＝15)＝2××＝，P(X＝10)＝×＋2××＝，P(X＝5)＝2××＝，P(X＝0)＝×＝.所以X的分布列为数学期望E(X)＝20×＋15×＋10×＋5×＝.9.辽宁某大学对参加全运会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列．(3)求X的数学期望．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则P(E)＝1－P( )＝1－P()P()P( )＝1－××＝.(2)由题意，得X的可能取值是，2，，3.因为P(X＝)＝P()＝，P(X＝2)＝P(A )＋P(B)＋P(C )＝，P(X＝)＝P(AB)＋P(A C)＋P( B C)＝＝，P(X＝3)＝P(ABC)＝，所以X的分布列为：(3)由(2)知E(X)＝×＋2×＋×＋3×＝＝.10.随机变量的分布列如右：其中成等差数列，若，则的值是．【答案】.【解析】由题意，则.【考点】随机变量的期望和方差.11.一个盒子中装有分别标有数字1、2、3、4的4个大小、形状完全相同的小球，现从中有放回地随机抽取2个小球，抽取的球的编号分别记为、，记.（Ⅰ）求取最大值的概率；（Ⅱ）求的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）所以的分布列：数学期望.【解析】(1)随机变量的分布列问题,首先确定随机变量的所有可能值;(2))本题属古典概型,各随机变量所对应的事件包含的基本事件无法用公式求出,需一一列举出来.列举时要注意避免重复和遗漏，这是极易出错的地方试题解析：（Ⅰ）当时，最大。

概率与分布列归类目录【题型一】超几何分布型分布列【题型二】二项分布型分布列【题型三】正态分布型【题型四】分布列均值与方差【题型五】竞技比赛型分布列【题型六】多人比赛竞技型分布列【题型七】递推数列型【题型八】三人传球递推数列型【题型九】导数计算型分布列最值【题型十】机器人跳棋模式求分布列【题型一】超几何分布型分布列总数为N 的两类物品，其中一类为M 件，从N 中取n 件恰含M 中的m 件，m =0,1,2⋯,k ，其中k 为M与n 的较小者，P ξ=m =C m M C n -mN -MC nN，称ξ服从参数为N ,M ,n 的超几何分布，记作ξ~H N ,M ,n ，此时有公式E ξ=nMN。

一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品. 从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X =k )=C k M C n -kN -MC nN，k =m ，m +1，m +2，⋯，r . 其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m =max {0,n -N +M }，r =min {n ,M }. 如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布_.E (X )=np .2024年新高考新结构数学7个大题逐一击破概率与分布列归类（学生版）1(2023·湖北·模拟预测)某区域中的物种P 拥有两个亚种(分别记为A 种和B 种).为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉100个物种P ，统计其中A 种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i 次试验中A 种的数目为随机变量X i (i =1,2,⋯,20).设该区域中A 种的数目为M ，B 种的数目为N ，每一次试验均相互独立.(1)求X 1的分布列；(2)记随机变量X =12020i =1X i.已知E (X i +X j )=E (X i )+E (X j )，D (X i +X j )=D (X i )+D (X j )；(ⅰ)证明：E (X )=E (X 1)，D (X )=120D (X 1)；(ⅱ)该小组完成所有试验后，得到X i 的实际取值分别为x i (i =1,2,⋯,20).数据x i (i =1,2,⋯,20)的平均值x=40，方差s 2=1.176.采用x和s 2分别代替E (X )和D (X )，给出M ，N 的估计值.2(23·24高三上·江苏南通·阶段练习)某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X 个红球，则分得X 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.3(2024·广东广州·二模)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据x i,y i(i=1,2,⋯,20)，其中x i，和y i，分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量(单位：只)，并计算得∑20i=1x i-x2=80,∑20i=1y i-y2=9000,∑20i=1x i-xy i-y=800.(1)求样本x i,y i(i=1,2,⋯,20)的相关系数(精确到0.01)，并推断这种野生动物的数量y(单位：只)和植物覆盖面积x(单位：公顷)的相关程度；(2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.附：相关系数r=∑ni=1x i-xy i-y∑ni=1x i-x2∑ni=1y i-y2,2≈1.414【题型二】二项分布型分布列若在一次实验中事件发生的概率为p0<p<1，则在n次独立重复实验中恰好发生k次概率pξ=k =C k n p k1-p，Eξ=np，D i= n-k k=0,1,2,⋯,n，称ξ服从参数为n,p的二项分布，记作ξ~B n,pnpq.1(2024·云南昆明·一模)聊天机器人(chatterbot)是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为X，事件X=k(k=0,1,⋯,8)的概率为P(X=k)，求当P(X=k)最大时k的值.2(2024·全国·模拟预测)某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸引力，促进旅游业的发展，在2023年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持“公平、公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号．评选活动结束后，文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件A，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B，求P B A，P B；(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区(可以重复)，分别向北京、上海、广州、深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X，求X的分布列和数学期望．3(2023·广东肇庆·二模)在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X.(1)当n=6时，求P X≤2(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望E Y 和方差D Y 均存在，则对任意正实数a，有P Y-E Y<a≥1-D Ya2.根据该不等式可以对事件“Y-E Y<a”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值.【题型三】正态分布型(1)若X 是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为f x =12π⋅σe -x -μ22σ2，x ∈R (其中μ,σ是参数，且σ>0，-∞<μ<+∞)。

专题八 概率与统计 第二讲 概率，随机变量及分布列1.为了援助湖北抗击疫情,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分别为1,2,3,4,5,6,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为( ) A.112B.16C.15D.132.一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，3.现甲从中摸出1个球后放回，乙再从中摸出1个球，谁摸出的球上的数字大谁获胜，则甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为( ) A.14B.13C.49D.3163.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110B.15C.310D.254.某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.15.设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A.80,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.15,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.40,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.23B.13C.49D.197.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )A.25B.1225C.1625D.458.（多选）从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12.从甲袋、乙袋各摸出1个球，则下列结论正确的是( )A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为129. （多选）在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )A.两件都是一等品的概率是13B.两件中有1件是次品的概率是12C.两件都是正品的概率是13D.两件中至少有1件是一等品的概率是5610. （多选）在一次随机试验中，A,B,C,D是彼此互斥的事件，且A B C D+++是必然事件，则下列说法正确的是( )A.A B+与C是互斥事件，也是对立事件B.B+C与D是互斥事件，但不是对立事件C.A C+与B D+是互斥事件，但不是对立事件D.A与B C D++是互斥事件，也是对立事件11.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__________.12.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.13.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为_____________.14.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求2n m<+的概率..假定甲、乙两位同学15.设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.答案以及解析1.答案：D解析：6架飞机的降落顺序有66A 种,而1号与6号相邻降落的顺序有2525A A 种,所以所求事件的概率252566A A 1A 3P ==.故选D.2.答案：A解析：甲、乙各摸一次球，有可能的结果有4416⨯=（种），甲摸的数字在前，乙摸的数字在后，则甲获胜的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种. 其中甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数有4种，则所求概率41164P ==. 3.答案：D解析：先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种.其中满足条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种情况.因此所求的概率102255P ==.故选D. 4.答案：A解析：A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为0.90.10.09⨯=，因此若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A. 5.答案：D解析：设事件A ，B 发生的概率分别为()P A x =，()P B y =，则1()()()(1)(1)9P AB P A P B x y ==-⋅-=，即11199xy x y +=++≥+x y =时取“=”，211)9∴≥23≤43（舍去），409xy ∴≤≤.4()()()0,9P AB P A P B xy ⎡⎤∴==∈⎢⎥⎣⎦.6.答案：A解析：用事件A 表示“旅行团选择去百花村”，事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”，A ，B 相互独立，则4()9P AB =，()()P AB P AB =.设()P A x =，()P B y =，则4,9(1)(1),xy x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是23.故选A.7.答案：C解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ，“收到张老师的信息”为事件B ，A ，B 相互独立，42()()105P A P B ===，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案：ACD解析：设“从甲袋中摸出1个红球”为事件1A ，“从乙袋中摸出1个红球为事件2A ，则()113P A =，()212P A =，且1A ，2A 独立.对于A 选项，2个球都是红球为12A A ，其概率为111326⨯=，故A 正确；对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15166-=，故B 错误；对于C 选项，2个球中至少有1个红球的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=，故C 正确；对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为1121132322⨯+⨯=，故D 正确.故选ACD. 9.答案：BD解析：由题意设一等品编号为a ,b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，从中任取2件的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6种. 对于A ，两件都是一等品的基本情况有(,)a b ，共1种，故两件都是一等品的概率116P =，故A 错误； 对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有(,)a d ，(,)b d ，(,)c d ，共3种，故两件中有1件是次品的概率23162P ==，故B 正确；对于C ，两件都是正品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故两件都是正品的概率33162P ==，故C 错误；对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率456P =，故D 正确. 10.答案：BD解析：由于A ,B ,C ,D 彼此互斥，且A B C D +++是必然事件，故事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B,D 中的说法正确.11.答案：35解析：设此队员每次罚球的命中率为p ，则216125p -=，所以35p =. 12.答案：16；23解析：甲，乙两球都落入盒子的概率为111236⨯=.方法一：甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为121233⨯=；②甲未落入，乙落入的概率为111236⨯=；③甲，乙均落入的概率为111236⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663++=.方法二：甲，乙两球均未落入盒子的概率为121233⨯=，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133-=.13.答案：23解析：从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，有{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，共6种结果；其中甲、乙两人中有且只有一人被选取，有甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，共4种结果. 故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为4263=. 14.答案：(1)13. (2)概率为1316. 解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个， 因此所求事件的概率为2163P ==.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为m ， 试验的样本空间{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),Ω=(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}，共16个样本点.又满足条件2n m ≥+的样本点有：(1,3),(1,4),(2,4)，共3个. 所以满足条件2n m ≥+的事件的概率为1316P =，故满足条件2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-=. 15.答案：（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而3321()C ,0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以随机变量X的分布列为随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=.（2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===⋃==.由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立，从而由（1）知()P M =({3,1}{2,0})(3,1)(2,P X Y X Y P X Y P X ==⋃=====+=8240)(3)(1)(2)(0)2799Y P X P Y P X P Y ====+===⨯+⨯12027243=.。

1.【2015高考四川，理17】某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率. （2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为333433661100C C C C =. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=. （2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C C P X C ===，2233463(2)5C C P X C ===， 3133461(3)5C C P X C ===，所以X 的分布列为：因此，X 的期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=.2.（2016年天津高考）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】（Ⅰ）设事件A ：选2人参加义工活动，次数之和为4()112343210C C C 1C 3P A +== （Ⅱ）随机变量X 可能取值 0，1，2()222334210C C C 40C 15P X ++=== ()11113334210C C C C 71C 15P X +=== ()1134210C C 42C 15P X === 所以，X()7811515E X =+=3.【2015高考福建，理16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431(A)=6542P（Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又1511542(X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653P P P 所以X 的分布列为所以1125E(X)1236632．4.（2016年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是43，乙每轮猜对的概率是32；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ) “星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．【解析】(Ⅰ) “至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,，则1253232414331324343)(1212=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=C C B P ； 4132324343)(=⋅⋅⋅=C P ．所以3241125)()()(=+=+=C P B P A P ． (Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6 于是144131413141)0(=⋅⋅⋅==X P ；725144103143314131413241)1(1212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C X P ；14425313243413131434332324141)2(12=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C X P ； 1211441231413243)3(12==⋅⋅⋅==C X P ； 12514460)31433241(3243)4(12==⋅+⋅⋅⋅==C X P ； 411443632433243)6(==⋅⋅⋅==X P ；X 的分布列为：X 的数学期望62314455264141253121214425172501441==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．作业【2015高考重庆，理17】 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

概率论分布列期望方差习题及答案The following text is amended on 12 November 2020.圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题姓名：__________班级：__________学号：__________1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的． (1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈.(1)当12p q ==时，求S 6≠2的概率；(2)当p =31，q =32时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答123A A A 、、三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答123A A A 、、的概率分别为421534、、，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为12，且各个问题回答正确与否互不影响．（Ⅰ）按照答题规则，求该选手1A 回答正确但所得奖金为零的概率；（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．5．某装置由两套系统M,N 组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。

6.6 分布列基础（精练）（基础版）1．（2022·云南·昆明市第一中学西山学校）国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：[)[)[)[)[]100,120,120,140,140,160,160,180,180,200，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据如图估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数(保留小数点后一位)；(2)通过调查分析发现，若服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为X ，求X 的分布列及均值.【答案】(1)150，151，150.9；(2)分布列见解析，34.【解析】(1)众数：150；第1到5组频率分别为：0.05，0.15，0.55，0.2，0.05，平均数：1100.051300.151500.551700.21900.05151x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 设中位数为x ，则中位数在第3组，则()0.21400.02750.5x +-⨯=，150.9x ≈； (2)用分层随机抽样抽取8份问卷，其中学生有不满情绪的有8×(0.2＋0.05)＝2份，∴X 的可能取值为0，1，2，∴()306238C C 5C 140P X ===，()216238C C 15C 281P X ===，()126238C C 3C 282P X ===，∴X 的分布列为：题组一 超几何分布∴()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. 2．（2022·北京·高三专题练习）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X >为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；(2)从图中考核成绩满足[]70,79X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人中成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望；(3)根据以往培训数据，规定当8510.510X P ⎛-⎫≤≥⎪⎝⎭时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.【答案】(1)15(2)分布列见解析，()158E Y = (3)有效，理由见解析 【解析】(1)解：设该名学生的考核成绩优秀为事件A ，由茎叶图中的数据可知，30名同学中，有6名同学的考核成绩为优秀，故()15P A =. (2)解：由8510X -≤可得7595X ≤≤，所以，考核成绩满足[]70,79X ∈的学生中满足8510X -≤的人数为5，故随机变量Y 的可能取值有0、1、2、3，()3338C 10C 56P Y ===，()213538C C 151C 56P Y ===，()123538C C 152C 28P Y ===，()3538C 53C 28P Y ===，所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：因此，()115155150123565628288E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. (3)解：由85110X -≤可得7595X ≤≤，由茎叶图可知，满足7595X ≤≤的成绩有16个， 所以851610.51030X P ⎛-⎫≤=≥⎪⎝⎭，因此，可认为此次冰雪培训活动有效. 3．（2022·宁夏中卫·三模（理））共享电动车（sharedev ）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为0.4P =，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X 的分布列与数学期望. 【答案】(1)12；(2)分布列见解析，数学期望为65.【解析】(1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆.记A 为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则()2164310C C 1C 2P A ⨯==. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.所以()3064310C C 10C 6P X ⨯===，()2164310C C 11C 2P X ⨯===， ()()1264310C C 32C 10P X P A ⨯====，()0364310C C 13C 30P X ⨯===.所以分布列为数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.4．（2022·广东·华南师大附中三模）“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数t ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在[)40,60内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在[)50,60内的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X . 【答案】(1)58.5；(2)分布列答案见解析，数学期望：95.【解析】(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数 350.1450.2550.3650.15750.15850.158.5t =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(2)依题意，周末体育锻炼时间在[)40,50内的学生抽6人，在[)50,60内的学生抽9人，则()363154091C P X C ===，()216931527191C C P X C ===，()12693152162455C C P X C ===，()3931512365C P X C ===，故X 的分布列为： 则()42721612901239191455655E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 5．（2022·云南保山·模拟预测（理））某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天课外体育锻炼时间在[40,60)上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在[0,40)上的学生评价为锻炼不达标(1)根据频率分布直方图估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数；(2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在[0,20)的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)中位数为28.125，众数等于25(2)分布列见解析，0.9【解析】(1)众数就是直方图中最高矩形底边中点的横坐标，则样本众数等于25．由频率分布直方图可得，在[0,10)上的频率为0.08，在[10,20)上的频率为0.16，在[20,30)上的频率为0.32，0.080.160.50.080.160.32<<+＋＋，则中位数在区间[20,30)上．设中位数为0x ，则()00.24200.0320.5+-⨯=x ，028.125x =，即样本中位数为28.125．(2)根据题意，在[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)上抽取的人数分别为1，2，4，3，其中在[0,20)上抽取的人数为3，则0ξ=，1，2，3．3127373310103576321(0),(1),1202412040ξξ⨯========C C C P P C C ， 2133733310102171(2),(3)12040120C C C P P C C ξξ=====⨯==． 从而得到随机变量ξ的分布列如下表：随机变量ξ的期望72171()01230.9244040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=6．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）自“新型冠状肺炎”疫情爆发以来，科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”.在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权.研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验：(1)实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现：除2号､3号､7号和10号四只白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染.现从这10只白兔中随机抽取3只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作X ，求X 的分布列和数学期望.(2)实验二：疫苗可以再次注射第二针､加强针，但两次疫苗注射时间间隔需大于三个月.科研人员对白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响.试问：若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗后的有效率能否保证达到90%？如若可以，请说明理由；若不可以，请你参考上述实验给出注射疫苗后有效率在90%以上的建议. 【答案】(1)分布列见解析；数学期望()65E X =； (2)无法保证；建议：需要将注射一次疫苗的有效率提高到90%以上. 【解析】(1)由题意得：X 所有可能的取值为0，1，2，3，()3631020101206C P X C ∴====；216431060111202C C P XC ； 1264310363212010C C P X C ；3431041312030C P XC ； X ∴的分布列为：∴数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； (2)由已知数据知：实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为0.6，则注射一次疫苗的有效率为0.6， ∴一只白兔注射两次疫苗的有效率为：()2110.60.8484%90%--==<， ∴无法保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到90%；设每支疫苗有效率至少达到x 才能满足要求，()21190%x ∴--≥，解得：0.990%x ≥=，∴需要将注射一次疫苗的有效率提高到90%以上才能保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到90%.7．（2022·全国·高三专题练习（理））高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.(1)求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；(2)设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)415(2)分布列见解析，期望为1 【解析】(1)解：设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件A ，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B ,由于事 件A 、B 相互独立，且22542266C C 22(),()C 3C 5P A P B ====， 所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为224()()()3515P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=.(2)解：由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，可得4(0)15P ξ==，211125524422226666C C C C C 22(1)C C C C 45P ξ==⋅+⋅=，152266C 11(3)C C 45P ξ==⋅=，2(2)1(0)(1)(3)9P P P P ξξξξ==-=-=-==， 所以随机变量ξ的分布列为：ξ0 1 23 P415224529145所以随机变量ξ的数学期望 42221012311545945E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 1．（2022·北京·人大附中三模）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 组号分组频数1[)0,262 [)2,48题组二 二项分布每周课外阅读时间小于6小时的学生我们称之为“阅读小白”，大于等于6小时且小于12小时的学生称之为“阅读新手”，阅读时间大于等于12小时的学生称之为“阅读达人”.(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的阅读时间大于等于6小时，问这名学生是“阅读达人”概率； (2)从该校学生中选取3人，用样本的频率估计概率，记这3人中“阅读新手和阅读小白”的人数和为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.（只需写出结论） 【答案】(1)1069(2)分布列答案见解析，()2710E X =(3)第4组【解析】(1)解：从样本中随机选取一名学生，其中阅读时间大于等于6小时的学生人数为1003169-=， “阅读达人”的学生人数为10，故所求概率为1069. (2)解：从该校学生中任选一人，该学生是“阅读小白”或“阅读新人”的概率为90910010=， 所以，9~3,10X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3110101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()397293101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21391271C 10101000P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()223912432C 10101000P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()927310100E X =⨯=. (3)解：样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数为10.0630.0850.1770.2290.25110.12130.06150.02170.02⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=7.68.因此，样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组.2．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想．为响应国家号召，某市2020年植树节期间种植了一批树苗，2022年市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：(1)求树高在225-235cm 之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值；(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185-205cm 为合格，在205-235为良好，在235-265cm 为优秀．视该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)15；220.5(2)分布列见解析；期望为0.6【解析】(1)树高在225-235cm 之间的棵数为：()10010.00530.0150.02000250.011015⎡⎤⨯-⨯++++⨯=⎣⎦．．树高的平均值为：0.051900.152000.22100.252200.152300.12400.052500.05260220.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)由（1）可知，树高为优秀的概率为：0.10.050.050.2++=， 由题意可知()~3,0.2B ξ，则ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()0330C 0.80.512P ξ===， ()1231C 0.80.20.384P ξ==⨯=， ()2232C 0.80.20.096P ξ==⨯=，()3333C 0.20.008P ξ===，故ξ的分布列为：因为()~3,0.2B ξ，所以()30.20.6E ξ=⨯=3．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某市举办了中学生滑雪比赛，从中抽取40名学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图.(1)求频率分布直方图中的a 值，并根据直方图估计该市全体中学生的测试分数的中位数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；(2)将频率作为概率，若从该市全体中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)0.02a =，中位数为74.3，平均数为74.5；(2)分布列见解析，25.【解析】(1)由频率分布直方图和茎叶图知，测试分数在[50,60),[60,70),[70,80),[90,100]的频率依次为：0.1,0.25,0.35,0.1，因此，测试分数位于[)80,90的频率为10.10.250.350.10.2----=，则0.20.0210a ==， 显然测试分数的中位数t 在区间[70,80)内，则有：()700.0350.50.10.25t -⨯=--，解得：74.3t ≈， 测试分数的平均数为：550.1650.25750.35850.2950.174.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)测试分数不低于90分的频率为110，X 的所有可能值是：0，1，2，3，4， 显然1(4,)10XB ，()4419C ()(),N,41010k k k P X k k k -==∈≤， 所以X 的分布列为：数学期望()124105E X =⨯=. 4．（2022·全国·模拟预测）为了中国经济的持续发展制定了从2021年2025年发展纲要，简称“十四五”规划，为了普及“十四五”的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试，从参加考试的机关人员中，随机抽取100名人员的考试成绩的部分频率分布直方图，其中考试成绩在[)70,80上的人数没有统计出来．(1)估算这次考试成绩的平均分数；(2)把上述的频率看作概率，把考试成绩的分数在[]80,100的学员选为“十四五”优秀宣传员，若从党政机关所有工作人员中，任选3名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．【答案】(1)70.5(2)分布列见解析，数学期望为0.9【解析】(1)设分数在[)70,80内的频率为x ，根据频率分布直方图得，()0.010.0150.020.0250.005101x ++++⨯+=，解得0.25x =，可知分数在[)70,80内的频率为0.25，则考试成绩的平均分数为450.10550.15650.2750.25850.25950.0570.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．(2)根据频率分布直方图可知考试成绩在[]80,100的频率为()0.0250.005100.3+⨯=，则0,1,2,3ξ=．()003334300.30.71000P C ξ==⨯=，()12344110.30.71000P C ξ==⨯=()22318920.30.71000P C ξ==⨯=，()3332730.31000P C ξ===，故随机变量ξ的分布列为因为该分布为二项分布，所以该随机变量的数学期望为()30.30.9E ξ=⨯=．5．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为X ．(1)若该质点共移动2次，位于原点O 的概率；(2)若该质点共移动6次，求该质点到达数字X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)12;(2)分布列见解析，0.【解析】(1)质点移动2次，可能结果共有224⨯=种，若质点位于原点O ，则质点需要向左、右各移动一次，共有12C 2=种，故质点位于原点O 的概率2142P ==. (2)质点每次移动向左或向右，设事件A 为“向右”，则A 为“向左”，故1()()2P A P A ==, 设Y 表示6次移动中向左移动的次数，则1(6,)2Y B ，质点到达的数字62X Y =-,所以06611(6)(0)C ()264P X P Y =====,16613(4)(1)C ()232P X P Y =====，266115(2)(2)C ()264P X P Y =====， 36615(0)(3)C ()216P X P Y =====，466115(2)(4)C ()264P X P Y =-====， 56613(4)(5)C ()232P X P Y =-====，66611(6)(6)C ()264P X P Y =-====， 所以X 的分布列为：1()(62)2()626602E X E Y E Y =-=-+=-⨯⨯+=.6．（2022·北京通州·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，分别对应的分数为5、4、3、2、1．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示．(1)根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明） (2)求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；(3)若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的次数为X ，求X 的分布列（频率当作概率使用）．【答案】(1)乙比甲的单板滑雪成绩更稳定 (2)众数为3分，平均数为2.9分 (3)分布列答案见解析【解析】(1)解：由图可知，乙比甲的单板滑雪成绩更稳定.(2)解：因为甲单板滑雪项目测试中4分和5分成绩的频率之和为0.325， 3分成绩的频率为0.375，所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为3分，测试成绩2分的频率为10.20.3750.250.0750.1----=，所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为10.220.130.37540.2550.075 2.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (3)解：由题意可知，在每次测试中，甲的成绩为4分，并且乙的成绩为3分或4分的概率为30.250.375216⨯⨯=， 依题意，3~2,16X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()2131********P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()12313391C 1616128P X ==⋅⋅=，()239216256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X0 1 2 P1692563912892561．（2022·全国·高三专题练习（理））冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O 中，得3分，冰壶的重心落在圆环A 中，得2分，冰壶的重心落在圆环B 中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为13，14；甲、乙得2分的概率分别为25，12；甲、乙得1分的概率分别为15，16．(1)求甲所得分数大于乙所得分数的概率；(2)设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为X ，求X 的分布列和期望．题组三 独立重复实验【答案】(1)1130(2)分布列见解析，期望为：169180【解析】(1)由题意知甲得0分的概率为1211135515---=，乙得0分的概率为1111142612---=，甲所得分数大于乙所得分数分为：甲得3分乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分所以所求概率为1121111(1)()3456125123011⨯-+⨯++⨯=．(2)X 可能取值为0，1，2，3，()11211111290345256151290P X ==⨯+⨯+⨯+⨯=()112111111111++35565251283246121805P X ==⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=()11111121231215180P X ==⨯+⨯+⨯+⨯=()11211121545334P X ==⨯+⨯=所以，随机变量X 的分布列为：所以()298331216918001239018018405E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 2．（2022·全国·高三专题练习（理））为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲､乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：∴抛一次质地均匀的硬币，若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.∴回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分.∴若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答对每道题目的概率为45，乙答对每道题目的概率为35，且两人每道题目是否回答正确相互独立.(1)求乙同学最终得10分的概率；(2)记X 为甲同学的最终得分，求X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)37100(2)分布列见解析，X 的数学期望为10【解析】(1)记“乙同学最终得10分”为事件A ，则可能情况为甲回答两题且错两题；甲､乙各答一题且各对一题；乙回答两题且对一题错一题， 则()1111141313123722252525252525100P A =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，所以乙同学得10分的概率是37100. (2)甲同学的最终得分X 的所有可能取值是0，5，10，15，20. ()1111111313131640225252525252510025P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==，()111213121645222525252510025P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==，()141114*********102225252525252510025P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==，()1412164152252510025P X ==⨯⨯⨯⨯==，()141416420252510025P X ==⨯⨯⨯==.X 的分布列为()4191105101520102525252525E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为10. 3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为35，且相互间没有影响.(1)求选手甲被淘汰的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)9923125(2)分布列见解析，2541625【解析】(1)设“选手甲被淘汰”为事件A ，因为甲答对每个题的概率均为35，所以甲答错每个题的概率均为25.则甲答了3题都错，被淘汰的概率为33328C 5125⎛⎫= ⎪⎝⎭；甲答了4个题，前3个1对2错，被淘汰的概率为22323272C 555625⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭；甲答了5个题，前4个2对2错，被淘汰的概率为2224322432C 5553125⎛⎫⎛⎫⋅⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以选手甲被海的概率()87243299212562531253125P A =++=. (2)易知X 的可能取值为3，4，5，对应甲被淘汰或进入复赛的答题个数，则()3333333273C C 5525P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222333232322344C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2224322165C 55625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. X 的分布列为则()7234216256225413456255625E X =⨯+⨯+⨯=. 4．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）某靶场有A ，B 两种型号的步枪可供选用，其中甲使用A B ，两种型号的步枪的命中率分别为14,13；，(1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份精美礼品，若甲使用B 型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得精美礼品的概率；(2)现在A B ，两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用A B ，两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用A 种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记X 为射击的次数，求X 的分布列与数学期望． 【答案】(1)1381(2)分布列见解析；X 的数学期望为3512.【解析】(1)甲击中5次的概率为513⎛⎫ ⎪⎝⎭1243=，甲击中4次的概率为14511C (1)()33-⋅10243=，甲击中3次的概率为()322511C 3133⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭28243=， 所以甲获得精美礼品的概率为11028391324324324324381++==. (2)X 的所有可能取值为2,3,4,5,(2)P X =11(1)(1)43=--321432=⨯=，(3)P X ==111113(1)(1)14434416⨯--+⨯⨯=，(4)P X ==1111111(1)1(1)(1)(1)4334334-⨯⨯⨯+-⨯⨯-⨯-524=，11111111(5)(1)(1)1(1)(1)144334334P X ==⨯-⨯⨯-⨯+-⨯⨯-⨯⨯1111(1)14433+⨯-⨯⨯⨯548=，所以X 的分布列为：所以1355()23452162448E X =⨯+⨯+⨯+⨯3512=. 5．（2022·全国·二模（理））“百年征程波澜壮阔，百年初心历久弥坚”．为庆祝中国建党一百周年，哈市某高中举办了“学党史、知党情、跟党走”的党史知识竞赛．比赛分为初赛和决赛两个环节，通过初赛选出两名同学进行最终决赛．若该高中A ，B 两名学生通过激烈的竞争，取得了初赛的前两名，现进行决赛．规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分．当分差达到2分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜．已知A ，B 每轮均抢答且抢到答题权的概率分别为23，13，A ，B 每一轮答对的概率都为12，且两人每轮是否回答正确均相互独立． (1)求经过2轮抢答A 赢得比赛的概率；：(2)设经过抢答了X 轮后决赛结束，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】(1)14(2)分布列见解析；期望为134【解析】(1)记事件C 为“经过2轮抢答A 赢得比赛” A 学生每轮得一分的概率()2111132322P A =⨯+⨯=，B 学生每轮得一分的概率()1121132322P B =⨯+⨯=，()21124P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以经过2轮抢答A 赢得比赛的概率为14．(2)X 的可能取值为2，4，5．2轮比赛甲赢或乙赢的概率为()2221122C 22P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，4轮比赛甲赢或乙赢的概率为()121111142C 22224P X ==⨯⨯⨯=， 5轮比赛甲赢或乙赢的概率为()11151424P X ==--=．X 的分布列为：()111132452444E X =⨯+⨯+⨯=，数学期望为134．6．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）沙滩排球是一项每队由两人组成的两队在由球网分开的沙地上进行比赛的运动．它有多种不同的比赛形式以适应不同人、不同环境下的比赛需求．国家沙滩排球队为备战每年一次的世界沙滩排球巡回赛，在文昌高隆沙湾国家沙滩排球训练基地进行封闭式训练．在某次训练中，甲、乙两队进行对抗赛，每局依次轮流发球（每队不能连续发球），连续赢得2个球的队获胜并结束该局比赛，并且每局不得超过5个球．通过对甲、乙两队过去对抗赛记录的数据分析，甲队发球甲队赢的概率为23，乙队发球甲队赢的概率为12，每一个球的输赢结果互不影响，已知某局甲先发球． (1)求该局第二个球结束比赛的概率；(2)若每赢1个球记2分，每输一个球记0分，记该局甲队累计得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 【答案】(1)12(2)分布列见解析，18754【解析】(1)记：“甲队发球甲队赢”为事件A ，“乙队发球甲队赢”为事件B ，“第二个球结束比赛”为事件C ，则()23P A =，()12P B =，()()1132P A P B ==，，C AB AB =，因为事件AB 与AB 互斥，所以()()()()P C P ABAB P AB P AB ==+()()()()P A P B P A P B =+2111132322=⨯+⨯=，所以该局第二个球结束比赛的概率为12.(2)依题意知随机变量ξ的所有可能取值为0246，，， ()()()()1110326P P AB P A P B ξ====⨯=；()()()()2P P ABA ABAB P ABA P ABAB ξ===+21111115323323236=⨯⨯+⨯⨯⨯=； ()()4P P AB ABAABABAABABA ξ==()()()()P AB P ABA P ABABA P ABABA=+++21112111112121153++=323233232332323108=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯； ()()()()()6P P ABAB ABABA ABABA P ABAB P ABABA P ABABAξ===++21212121211112113232323233232354=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=. 所以ξ的分布列为ξ0 2 46 P16536531081154故数学期望()15531118702466361085454E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 1．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量2100(,)0N ξσ～，若()(1200,80)01200P a P b ξξ>=<<=，则当82ab b a ≥+时下列说法正确的是（ ）A ．12a =B ．14b =C ．34a b +=D ．12a b -=【答案】C【解析】因2100(,)0N ξσ～，且()(1200,80)01200P a P b ξξ>=<<=，则有122b a +=，即21a b =-，不等式82ab b a ≥+为：24(1)1(21)0b b b -≥⇔-≤，则12b =，14a =， 所以34a b +=，14a b -=-，A ，B ，D 均不正确，C 正确.故选：C2．（2022·江苏·高三专题练习）随机变量()2,XN μσ，已知其概率分布密度函数22()21()e2x f x μσσπ-=在2x =处取得最大值为12π，则(0)P X >=（ ）附：()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+=-≤≤+=． A ．0.6827 B ．0.84135C ．0.97725D ．0.9545【答案】B【解析】由题意2μ=，1122σππ=，2σ=，所以2(2)41()e2x f x π-=， (022)0.6827P X ≤≤=，所以1(0)(10.6827)0.158652P X <=-=， (0)10.158650.84135P X ≥=-=．故选：B ．3．（2022·河南安阳·模拟预测（理））某房产销售公司有800名销售人员，为了了解销售人员上一个季度的房屋销量，公司随机选取了部分销售人员对其房屋销量进行了统计，得到上一季度销售人员的房屋销量题组四 正态分布(20,4)X N ，则全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（ ）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈．A ．254人B ．127人C ．18人D ．36人【答案】B 【解析】因为(20,4)X N ，所以20μ=，2σ=，所以()1()10.6827220.1586522P X P X μσμσ--<≤+-≥===所以全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有8000.15865127⨯≈（人）；故选：B4．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）（多选）已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为(]60,300，若使标准分X 服从正态分布N()180,900，()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，3309().973P X μσμσ-<≤+=，则（ ）A ．这次考试标准分超过180分的约有450人B ．这次考试标准分在(]90,270内的人数约为997C ．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D ．()2402700.0428P X <≤= 【答案】BC【解析】依题意得180μ=，2900σ=，30σ=，因为()()11802P X P X μ>=>=， 所以这次考试标准分超过180分的约有110005002⨯=人，故A 不正确；()()90270180330180330P X P X <≤=-⨯<≤+⨯(33)P X μσμσ=-<≤+=0.9973，所以这次考试标准分在(]90,270内的人数约为10000.9973997⨯≈人，故B 正确； 依题意可知，每个人的标准分超过180分的概率为12，所以甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为223113C 1228⎛⎫⎛⎫⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确； ()240270P X <≤()180230180330P X =+⨯<≤+⨯()23P X μσμσ=+<≤+。

分布列1．(本小题满分14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++)2．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。

（1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。

在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望．．（本小题满分14分）分布列参考答案1．(本小题满分14分)解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3分（2）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯------------------------6分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.-------------------------9分其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152253(2)20C C P C ξ===--------------------------12分故ξ的分布列为:--------------------------13分ξ的期望值为:7134012202205E ξ=⨯+⨯+⨯= 2．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=…………….6分（Ⅱ）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分其分布列为5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….14分3.解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有39C 种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有35C 种，……2分 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 3539537114242C P C =-=-=……4分 （2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为0，100，200，300。

高考数学复习：概率与分布列题型1.已知随机变量且1211211P X P X P X μμμμ-<+-≥++≤<+=，则（）A．1-B．0C．1D．22.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若函数()(2)f x P x x ξ=≤≤+是偶函数，则实数μ=（）A．0B．12C．1D．23.随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，且()()322P a P a ξξ-≥=≤，则=a （）A．12B．1C．43D．34.设X~N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)=0.0228，那么向正方形OABC 中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）[附:随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544]A．12076B．13174C．14056D．7539题型二：二项分布型求参二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为p ()01p <<，则在n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率()=p k ξ=()1n kk k n C p p --()0,1,2,,k n =⋯，称ξ服从参数为,n p 的二项分布，记作ξ~(),B n p ，E ξ=npi =D npq .1.在n 次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(),B n p ，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1EY p =．据此，若随机变量X 服从二项分布1,6B n ⎛⎫⎪⎝⎭时，且相应的“几何分布”的数学期望EY EX <，则n的最小值为（）A．6B．18C．36D．372.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且()9E X =，9()4D X =，则n =（）A．3B．6C．9D．123.设随机变量ξ服从二项分布(),B n p ，若() 1.2E ξ=，()0.96D ξ=，则实数n 的值为__________.题型三：二项分布与正态分布综合离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列ξ1ξ2ξ3ξ…n ξP1p 2p 3p np ①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++ ，反映随机变量ξ取值的波动性。

高考数学专题 分布列与期望及决策问题【高考真题】1．(2022·全国甲理) 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．2．(2022·北京) 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证【知识总结】离散型随机变量X 的分布列为则，(1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n .(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n .(4)D (X )＝ i ＝1n[x i －E (X )]2p i .(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X )．【题型突破】1．某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动，现有高一1，2，3，4班准备从《唱支山歌给党听》《没有共产党就没有新中国》《映山红》《十送红军》《歌唱祖国》5首红歌中选取一首作为比赛歌曲，设每班只选择其中一首红歌，且选择任一首红歌是等可能的．(1)求“恰有2个班级选择《唱支山歌给党听》”的概率；(2)记随机变量X 表示这4个班级共选择红歌的个数(相同的红歌记为1个)，求X 的分布列与均值．2．有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机地放入四个盒子中，每个小球的放置相互独立．(1)求三个小球恰在同一个盒子中的概率；(2)求三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同的概率；(3)记录所有至少有一个小球的盒子，以X 表示这些盒子编号的最小值，求E (X )．3．某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0，1，2，…，9这十个自然数，每位员工有放回依次取出三个球．规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖．中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10 000元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5 000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2 000元现金．其他不中奖，没有奖金．(1)求员工A 中二等奖的概率；(2)设员工A 中奖奖金为X ，求X 的分布列；(3)员工B 是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B 中奖奖金的期望．4．目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为12，m ，14．若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为112． (1)求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m 的值；(2)三个团队有X 个在两年内出成果，求X 的分布列和均值．5．随着社会的发展，一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘．某世界五百强企业M 的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M 的线上招聘，并均已。

离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 3．常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即：其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12 C ．14D ．18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝________．解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X 的分布列为________． 解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，所以分布列为P (X ＝k )＝C k3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3.答案：P(X ＝k )＝C k 3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．【解】 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. (1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为在本例条件下，求P (1<X ≤4)． 解：由本例知，m ＝0.3，P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋(X ＝3)＋P (X ＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ， P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920； P (X ＝5)＝C 35C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列． 解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．解：X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4， P (X ＝k )＝C k 5C 4－k5C 410，k ＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列． 解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．[基础达标]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.3．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A ．14B ．12C ．34D ．23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34.4．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A ．13 B ．16 C ．12D ．56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：167．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________． 解析：依分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 139．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n ＝C 26C 13＝45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，C 984P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，所以P (X ＝k )取最大值时，k 的值为2. 答案：45 211．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12. 12．(2019·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列． 解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，C 1015故X 的分布列为[能力提升]1．(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584， P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)． 所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X 的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ， 则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。

第7讲 分布列与数学期望高考预测一：求概率及随机变量的分布列的基本类型 类型一：利用古典概型求概率1．10月1日,某品牌的两款最新手机（记为W 型号,T 型号）同时投放市场,手机厂商为了解这两款手机的销售情况,在10月1日当天,随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部）,得到如表（Ⅰ）若在10月1日当天,从A ,B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部,求抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动,用X 表示其中W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算,W 型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部)满足关系34ηξ=+．若表中W 型号手机销量的方差20(0)S m m =>,试给出表中5个手机店的W 型号手机销售成本的方差2S 的值．（用m 表示,结论不要求证明）【解析】解：()I 设事件1M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机,抽取的手机为W 型号手机, 设事件2M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机,抽取的手机为W 型号手机, 则事件1M ,2M 相互独立,且161()6123P M ==+,262()695P M ==+, ∴抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率为13221233535355P =⨯+⨯+⨯=．()II 由表格可知W 型号手机销售量超过T 型号手机的店有2个,故X 的可能取值有0,1,2．且33351(0)10C P X C ===,1223353(1)5C C P X C ===,2123353(2)10C C P X C ===． X ∴的分布列为：数学期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．20()()III D s m ξ==,34ηξ=+,2()9()9S D D m ηξ∴===．2．为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药．一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成如图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率；（2）从图中A ,B ,C ,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论）【解析】解：（1）由图知：在50名服药患者中,有15名患者指标y 的值小于60, 答：从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标小于60的概率为：1535010p ==． （2）由图知：A 、C 两人指标x 的值大于1.7,而B 、D 两人则小于1.7,可知在四人中随机选项出的2人中指标x 的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0,1,2, 2411(0)6P C ξ===, 1122242(1)3C C P C ξ===,2411(2)6P C ξ===, ξ∴的分布列如下：答：121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=．（3）答：由图知100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大．3．已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元）,求X 的分布列和数学期望．【解析】解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ,则P （A ）1123252332010A A A ⨯===； （2）X 的可能取值为200,300,400,222521(200)2010A P X A ====,311232323562323(300)6010A C C A P X A ++⨯⨯====, 133(400)1(200)(300)110105P X P X P X ==-=-==--=； 所以X的分布列为：数学期望为13320030040035010105EX =⨯+⨯+⨯=． 类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率 4．电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢．“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(1k =,2,3,4,5,6)．写出方差1D ξ,2D ξ,3D ξ,4D ξ,5D ξ,6D ξ的大小关系．【解析】解：（Ⅰ）设事件A 表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影”,总的电影部数为140503002008005102000+++++=部, 第四类电影中获得好评的电影有：2000.2550⨯=部,∴从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：P （A ）500.0252000==． （Ⅱ）设事件B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”, 第四类获得好评的有：2000.2550⨯=部, 第五类获得好评的有：8000.2160⨯=部,则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率：P （B ）50(800160)(20050)1600.35200800⨯-+-⨯==⨯．（Ⅲ）由题意知,定义随机变量如下：0,1,k k k ξ⎧=⎨⎩第类电影没有得到人们喜欢第类电影得到人们喜欢,则k ξ服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影：1()10.400.60.4E ξ=⨯+⨯=,221()(10.4)0.4(00.4)0.60.24D ξ=-⨯+-⨯=．第二类电影：2()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=,222()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．第三类电影：3()10.1500.850.15E ξ=⨯+⨯=,223()(10.15)0.15(00.15)0.850.1275D ξ=-⨯+-⨯=．第四类电影：4()10.2500.750.25E ξ=⨯+⨯=,224()(10.25)0.25(00.25)0.750.1875D ξ=-⨯+-⨯=．第五类电影：5()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=,225()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．第六类电影：6()10.100.90.1E ξ=⨯+⨯=,225()(10.1)0.1(00.1)0.90.09D ξ=-⨯+-⨯=．∴方差1D ξ,2D ξ,3D ξ,4D ξ,5D ξ,6D ξ的大小关系为：632541D D D D D D ξξξξξξ<<=<<．5．设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立．（1）设甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为X ,求0X =,1X =,2X =,3X =时的概率(0)P X =,(1)P X =,(2)P X =,(3)P X =．（2）设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率．【解析】解：（1）321(0)(1)327P X ==-=,123222(1)(1)339P X C ==-=, 223224(2)()(1)339P X C ==-=,33328(3)()327P X C ===． （2）设乙同学上学期间的三天中在7:30之前到校的天数为Y , 则1(0)(0)27P Y P X ====,2(1)(1)9P Y P X ====, 4(2)(2)9P Y P X ====,8(3)(3)27P Y P X ====, 418220()(2)(0)(3)(1)927279243P M P X P Y P X P Y ∴===+===⨯+⨯=． 类型三：利用条件概率公式求概率6．如图所示,质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P 从A 点出发,规则如下：当正方体上底面出现的数字是1,质点P 前进一步（如由A 到)B ；当正方体上底面出现的数字是2,质点P 前两步（如由A 到)C ,当正方体上底面出现的数字是3,质点P 前进三步（如由A 到)D ．在质点P 转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止．（1）求点P 恰好返回到A 点的概率；（2）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中,用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数,求ξ的分布列及数学期望．【解析】解：（1）投掷一次正方体玩具,因每个数字在上底面出现是等可能的,故其概率12163P ==． 易知只投掷一次不可能返回到A 点．①若投掷两次质点P 就恰好能返回到A 点,则上底面出现的两个数字,应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果,其概率为2211()333P =⨯=．②若投掷三次质点P 恰能返回到A 点,则上底面出现的三个数字,应依次为：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三种结果,其概率为3311()339P =⨯=． ③若投掷四次质点P 恰能返回到A 点,则上底面出现的四个数字应依次为：(1,1,1,1),其概率为4411()381P ==．所以,质点P 恰好返回到A 点的概率为：23411137398181P P P P =++=++=．（2）由（1）知,质点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种情况, 且ξ的可能取值为2,3,4．则1273(2)373781P ξ===,199(3)373781P ξ===,1181(4)373781P ξ===,故ξ的分布列为：所以,27918523437373737E ξ=⨯+⨯+⨯=．7．根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X （单位：)mm 对工期的影响如下表：300700X <700900X <9002610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求： ()I 工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率．【解析】()I 由题意,(300)0.3P X <=,(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X <=<-<=-=,(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X <=<-<=-=,(900)10.90.1P X =-=Y 的分布列为()00.320.460.2100.13E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=∴工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8；（Ⅱ）(300)1(300)0.7P X P X =-<=,(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X <=<-<=-= 由条件概率可得(300900)0.66(6|300)(300)0.77P X P Y X P X <===．类型四：利用统计图表中的数据求概率8．某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温（单位：C)︒有关．如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）,当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时,Y 的数学期望达到最大值？【解析】解：（1）由题意知X 的可能取值为200,300,500,216(200)0.290P X +===,36(300)0.490P X ===, 2574(500)0.490P X ++===, X ∴的分布列为：（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,∴只需考虑200500n ,当300500n 时,若最高气温不低于25,则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[20,25),则63002(300)412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20,则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-, 20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EY n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=-,当200300n 时,若最高气温不低于20,则642Y n n n =-=,若最高气温低于20,则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-, 2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EY n n n ∴=⨯++-⨯=+．300n ∴=时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为520元．9．某贫困地区共有1500户居民,其中平原地区1050户,山区450户．为调查该地区2017年家庭收入情况,从而更好地实施“精准扶贫”,采用分层抽样的方法,收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）．（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据,得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示）,其中样本数据分组区间为(0,0.5],(0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]．如果将频率视为概率,估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中,有5户山区家庭的年收入超过2万元,请完成2017年家庭收入与地区的列联表,并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？附：2() n ad bcK-=++++2)k【解析】解：（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1,故应收集手机4500.145⨯=户山区家庭的样本数据．（2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为(0.5000.3000.100)0.50.45++⨯=．（3）样本数据中,年收入超过2万元的户数为(0.3000.100)0.515030+⨯⨯=户．而样本数据中,有5户山区家庭的年收入超过2万元,故列联表如下：所以2150(2540580)2003.175 2.706 301201054563K⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯,∴有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”．高考预测二：超几何分布和二项分布类型一：超几何分布10．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望；()ii 设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A 发生的概率．【解析】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16．人数比为：3:2:2, 从中抽取7人现,应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3,2,2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,随机变量X 的取值为：0,1,2,3,34337()k kC C P X k C -⋅==,0k =,1,2,3． 所以随机变量的分布列为：随机变量X 的数学期望11218412()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； ()ii 设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,设事件B 为：抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人,事件C 为抽取的3人中, 睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人, 则：A BC =,且P （B ）(2)P X ==,P （C ）(1)P X ==,故P （A ）6()(2)(1)7P B C P X P X ===+==． 所以事件A 发生的概率：67． 11． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物． 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的 2.5PM 监测数据如茎叶图所示．（1）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 2.5PM 日均监测数据未超标的概率；（2）从所给10天的数据中任意抽取三天数据,记ξ表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数,求ξ的分布列及期望．【解析】解：（1）记“当天 2.5PM 日均监测数据未超标”为事件A , 因为有24+天 2.5PM 日均值在75微克/立方米以下, 故P （A ）243105+==． （2）ξ的可能值为0,1,2,3．由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天,空气质量为二级的有4天,只有这6天空气质量不超标,而其余4天都超标．363101(0)6C P C ξ===,21643101(1)2C C P C ξ===,12643103(2)10C C P C ξ===,343101(3)30C P C ξ===．ξ的分布列如下表：1131601236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．类型二：二项分布12．某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出一个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获得一等奖；若只有1个红球,则获得二等奖；若没有红球,则不获奖． （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为X ,求X 的分布列、数学期望和方差．【解析】解：（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P ．116511101037111010C C P C C =-=-=,（2）设该顾客在一次抽奖中获一等奖的概率为1P ,1145112101015C C P C C ==, 故而1?(3,)5X B ．3464(0)()5125P X ∴===,1231448(1)()55125P X C ===, 2231412(2)()55125P X C ===,311(3)()5125P X ===． 故X 的分布列为数学期望13()355E X ==,方差1412()35525D X ==． 13．近年来,空气质量成为人们越来越关注的话题,空气质量指数(,)AirQualityIndex AQI 是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI 大小分为六级,0~50为优；51~100为良；101~150为轻度污染；151~200为中度污染；201~300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI 的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良(100)AQI 的天数；（按这个月总共30天计算） （2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究,求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率,从本月中随机抽取3天,记空气质量优良的天数为ξ,求ξ的概率分布列和数学期望．【解析】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2,空气质量良的天数为4,故该样本中空气质量优良的频率为63105=,从而估计该月空气质量优良的天数为330185⨯=（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究, 基本事件总数2615n C ==,抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优,∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：2426315C p C =-=．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为35,ξ∴的所有可能取值为0,1,2,3,且3~(3,)5B ξ,328(0)()5125P ξ===, 1233236(1)()55125P C ξ===, 2233254(2)()55125P C ξ===, 3327(3)()5125P ξ===, 故ξ的分布列为：3~(3,)5B ξ,33 1.85E ξ=⨯=．高考预测三：概率与其他知识点交汇 类型一：以其他知识为载体14．已知正四棱锥PABCD 的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交,则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行,则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面,则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）． （1）求(0)P ξ=的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．【解析】解：（1）根据题意,该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,PAC ∆,PBD ∆为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：0,3π,2π, 在这个正四棱锥的8条棱中任取两条基本事件总数2828n C ==种情况, 当0ξ=时有2种,当3πξ=时有342420⨯+⨯=种,当2πξ=时有246+=种．21(0)2814P ξ∴===． （2）21(0)2814P ξ===． 205()3287P πξ===, 63()22814P πξ===．随机变量ξ的分布列如下表：15329()0143721484E πππξ=⨯+⨯+⨯=． 15．从集合{1M =,2,3,4,5,6,7,8,9}中抽取三个不同的元素构成子集1{a ,2a ,3}a ． （1）求对任意的i 和(1j i =,2,3,1j =,2,3,)i j ≠满足||2i j a a -的概率；（2）若1a ,2a ,3a 成等差数列,设其公差为(0)ξξ>,求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ．【解析】解：（1）由题意知基本事件数为3984C =,而满足条件||2i j a a -,即取出的元素不相邻,则用插空法有3735C =种,故所求事件的概率为3558412P ==； （2）分析1a ,2a ,3a 成等差数列的情况：1ξ=的情况有7种：{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},{7,8,9}, 2ξ=的情况有5种：{1,3,5},{2,4,6},{3,5,7},{4,6,8},{5,7,9}． 3ξ=的情况有3种：{1,4,7},{2,5,8},{3,6,9}．4ξ=的情况有1种：{1,5,9}．故ξ的分布列如下：所以753115()1234161615168E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 类型二：构造递推关系求概率问题16．为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题,约定：对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,(0i p i =,1,⋯,8)表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,81p =,11(1i i i i p ap bp cp i -+=++=,2,⋯,7),其中(1)a P X ==-,(0)b P X ==,(1)c P X ==．假设0.5α=,0.8β=． ()i 证明：1{}(0i i p p i +-=,1,2,⋯,7)为等比数列； ()ii 求4p ,并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【解析】（1）解：X 的所有可能取值为1-,0,1．(1)(1)P X αβ=-=-,(0)(1)(1)P X αβαβ==+--,(1)(1)P X αβ==-,X ∴的分布列为：（2）()i 证明：0.5α=,0.8β=,∴由（1）得,0.4a =,0.5b =,0.1c =．因此110.40.50.1(1i i i i p p p p i -+=++=,2,⋯,7),故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-,即11()4()i i i i p p p p +--=-,又1010p p p -=≠,1{}(0i i p p i +∴-=,1,2,⋯,7)为公比为4,首项为1p 的等比数列；()ii 解：由()i 可得,881887761001(14)41()()()143p p p p p p p p p p --=-+-+⋯+-+==-,81p =,18341p ∴=-, 444332*********()()()()3257p p p p p p p p p p p -∴=-+-+-+-+==． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理． 17．从原点出发的某质点M ,按向量(0,1)a =移动的概率为23,按向量(0,2)b =移动的概率为13,设M 可到达点(0,)(1n n =,2,3,)⋯的概率为n P ． （1）求1P 和2P 的值；（2）求证：2111()3n n n n P P P P +++-=--；（3）求n P 的表达式．【解析】解：（1）123P =,22217()339P =+= （2）证明：M 点到达点(0,2)n +有两种情况 ①从点(0,1)n +按向量(0,1)a =移动 ②从点(0,)n 按向量(0,2)b =移动∴212133n n n P P P ++=+ ∴2111()3n n n n P P P P +++-=-- 问题得证．（3）数列1{}n n P P +-是以21P P -为首项,13-为公比的等比数列 1111211111()()()()3933n n n n n P P P P --++-=--=-=- 11()3n n n P P -∴-=-又因为111221()()()n n n n n P P P P P P P P ----=-+-+⋯+-12111()()()333n n -=-+-+⋯+-111[1()]123n -=-- 11n n P P P P ∴=-+∴113()434n n P =⨯-+． 类型三：利用导数研究概率问题18．某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品．检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<,且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()()f p f p 的最大值点0p （即()f p 取最大值时对应的p 的值）．（2）现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以（1）中确定的0p 作为p 的值,已知每件产品的检验费用为3元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用 ()i 若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为X 求()E X ； ()ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解析】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,则221820()(1)f p C p p =-,2182172172020()[2(1)18(1)]2(1)(110)f p C p p p p C p p p ∴'=---=--,令()0f p '=,得0.1p =, 当(0,0.1)p ∈时,()0f p '>, 当(0.1,1)p ∈时,()0f p '<, f ∴()p 的最大值点00.1p =．（2）()i 由（1）知0.1p =,令Y 表示余下的180件产品中的不合格品数,依题意知~(180,0.1)Y B ,20328X Y =⨯+,即6028X Y =+,()(6028)6028()60281800.1564E X E Y E Y ∴=+=+=+⨯⨯=． ()ii 如果对余下的产品作检验,由这一箱产品所需要的检验费为600元, ()564600E X =<,∴应该对余下的产品不进行检验．19．某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装,每箱80个,每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测,如检测出不合格品,则更换为合格品．检测时,先从这一箱水果中任取10个作检测,再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为(01)p p <<,且各个水果是否为不合格品相互独立．（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格品的概率为()f p ,求()f p 取最大值时p 的值0p ；（Ⅱ）现对一箱水果检验了10个,结果恰有2个不合格,以（Ⅰ）中确定的0p 作为p 的值．已知每个水果的检测费用为1.5元,若有不合格水果进入顾客手中,则种植基地要对每个不合格水果支付a 元的赔偿费用(*)a N ∈．（ⅰ）若不对该箱余下的水果作检验,这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求EX ； （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时,将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？【解析】解：（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格的概率为()f p ,则22810()(1)f p C p p =-,282710()[2(1)8(1)]f p C p p p p ∴'=---,由()0f p '=,得0.2p =．且当(0,0.2)p ∈时()0f p '>,当(0.2,1)p ∈时,()0f p '<,()f p ∴的最大值点00.2p =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知00.2p =．（ⅰ）令Y 表示余下的70个水果中的不合格数,依题意~(70,0.2)Y B ,10 1.515X aY aY =⨯+=+． ()(15)15()15700.21514E X E aY aE Y a a ∴=+=+=+⨯⨯=+．（ⅱ）如果对余下的水果作检验,则这箱水果的检验费为120元, 由1514120a +>,得1057.514a >=,且*a N ∈, ∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时,将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验．高考预测三：决策问题20．某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购买机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个300元．在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到下面柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X 的分布列；（2）若要求()0.5P X n ,试确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？【解析】解：（1）每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11,记事件1A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件(1i =,2,3,4),记事件1B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件(1i =,2,3,4),由题知134134()()()()()()0.2P A P A P A P B P B P B ======,22()()0.4P A P B ==,则X 的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22,11(16)()()0.20.20.04P X P A P B ===⨯=；1221(17)()()()()0.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；132231(18)()()()()()()0.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=；14233241(19)()()()()()()()()0.20.20.20.20.40.20.20.40.24P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯+⨯=；243342(20)()()()()()()0.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=；3443(21)()()()()0.20.20.20.20.08P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；44(22)()()0.20.20.04P X P A P B ===⨯=．从而X 的分布列为（2）要()0.5P x n ,0.040.160.240.5++<,0.040.160.240.240.5+++,则n 的最小值为19；（3）购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,当19n =时,费用的期望为193005000.210000.0815000.045940⨯+⨯+⨯+⨯=元,当20n =时,费用的期望为203005000.0810000.046080⨯+⨯+⨯=元,若要费用最少,所以应选用19n =．高考预测四：正态分布21．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸（单位：)cm ．根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X ；（2）一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查．下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s =≈,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1i =,2,⋯,16． 用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01)． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ,则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=,160.99740.9592≈,0.09．【解析】解：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026,故~(16,0.0026)X B ．因此,16(1)1(0)10.99740.0408P X P X =-==-≈；（2）由9.97,0.212x s =≈,得μ的估计值为ˆ9.97μ=,σ的估计值为ˆ0.212σ=, 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外, 因此需对当天的生产过程进行检查,剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22, 剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=, 因此μ的估计值为10.02,162221160.212169.971591.134i i x ==⨯+⨯≈∑,剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22, 剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈． 因此σ0.09．22．从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为,这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ,其中μ近似为样本平均数x ,2σ近似为样本方差2s①利用该正态分布,求(187.8212.2)P Z <<②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用 ①的结果,求EX 附：6 2.44≈,若2~(,)z n μσ,则()0.6826p Z μσμσ-<<+=,(22)0.9544p Z μσμσ-<<+=．【解析】解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数为：1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,样本方差2s 分别为：2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）()i 由（Ⅰ）知~(200,150)Z N ,从而(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6826P Z P Z <<=-<<+=；()ii 由()i 知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知~(100,0.6826)X B ,所以1000.682668.26EX =⨯=．。

高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列一、单选题1．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则实数a 等于（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.1D ．0.42．已知随机变量X 的分布列是则P(X>1)=（ ） A ．23B ．32C ．1D ．343．随机变量X 的分布列为()15kP X k ==，1k =，2，3，4，5，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．13C ．12D ．234．随机变量X 的分布列如下表所示：则()2P X ≤=（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45．若随机变量η的分布列如表：则()1P η≤=（ ） A ．0.5B ．0.2C ．0.4D ．0.36．从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（ ） A ．至多取到1个黑球 B ．至少取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数7．已知离散型随机变量X 的分布列如表：则实数c 等于（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.6D ．0.78．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 的值为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.49．设随机变量x 的分布列为()(),2,3,4,51===-kP X m m m m ，其中k 为常数，则()2log 3log P X 3<<80的值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．5610．随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-，且()()()1112,3,54212P X P X P X =-=====，则()14P X -<<的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3411．若随机变量X 的分布列如下表，则(3)P X ≥=（ ）A ．14B ．13C ．34D ．11212．口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用X 表示取出球的最小号码，则X 的取值为（ ） A ．1B ．1，2C ．1，2，3D ．1，2，3，4二、填空题13．若随机变量ξ的分布列为则a =__________．14．设随机变量ξ的分布列为()(1)C P k k k ξ==+，1,2,3k =，其中C 为常数，则1522P ξ⎛⎫<<=⎪⎝⎭__________．15．设随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，C 为常数，则()3P X <=____．16．一串5把外形相似的钥匙，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为__________. 三、解答题17．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求： （1）取到的次品数的分布列； （2）至少取到1件次品的概率.18．某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段，甲、乙两人参加该闯关游戏.初赛分为三关，每关都必须参与，甲通过每关的概率均为23，乙通过每关的概率依次为311,,.423初赛三关至少通过两关才能够参加复赛，否则直接淘汰；在复赛中，甲、乙过关的概率分别为1,314.若初赛和复赛都通过，则闯关成功.甲、乙两人各关通过与否互不影响. （1）求乙在初赛阶段被淘汰的概率；（2）记甲本次闯关游戏通过的关数为X ，求X 的分布列； （3）试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功.19．在一个不透明的盒中，装有大小，质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多2分或取满6次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多2分时，得分高者才能获得游戏奖品．（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望．20．某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成，比赛中每人投篮1次、每个人之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）求小组共投中2次的概率；（2）若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望．21．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白球与黄球各3个，红球与绿球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：（1）只能一个人摸球；（2）摸出的球不放回；（3）摸球的人先从袋中摸出1球：①若摸出的是绿球，则再从袋子里摸出2个球；②若摸出的不是绿球，则再从袋子里摸出3个球．他的得分为两次摸出的球的记分之和；（4）剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（Ⅰ）若甲第一次摸出了绿球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，求乙得分X的分布列．22．袋中有4个红球，()14,n n n N ≤≤∈个黑球，若从袋中任取3个球，恰好取出3个红球的概率为435． （1）求n 的值．（2）若从袋中任取3个球，取出一个红球得1分，取出一个黑球得3分，记取出的3个球的总得分为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．参考答案1．D 【分析】利用分布列的性质，求a 的值. 【详解】据题意得0.20.30.11a +++=，所以0.4a =． 故选：D 2．A 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案． 【详解】根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=， 所以23a b +=，所以()()()21=233P X P X P X a b >=+==+=，故选：A. 3．A 【分析】根据互斥事件的概率公式计算． 【详解】()()1231(3)121515155P X P X P X <==+==+==， 故选：A ． 4．C 【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=． 故选：C ． 5．C 【分析】利用分布列可求得()1P η≤的值. 【详解】由分布列可得()()()()11010.10.10.20.4P P P P ηηηη≤==-+=+==++=. 故选：C. 6．C 【分析】根据随机变量的定义，判断选项. 【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C ，取到白球的个数，可以是0，1，2. 故选：C 7．B 【分析】根据概率之和等于1，得0.10.240.361c +++=，解方程即可求出结果. 【详解】据题意，得0.10.240.361c +++=，解得0.3c =. 故选：B. 8．B 【分析】由概率和为1可得a 值． 【详解】由题意0.231a a ++=，解得0.2a =． 故选：B ． 9．D 【分析】首先利用分布列中概率之和等于1求得k 的值，再计算()()23P X P X =+=即可求解. 【详解】由分布列的性质可知：()()()()23451P X P X P X P X =+=+=+==， 即12324354k k k k+++=⨯⨯⨯，解得：54k =，所以()5228k P X ===，()53624k P X ===， ()541248k P X ===，()152016k P X ===， 所以()()()2555log 3log 238246P X P X P X 3<<80==+==+=， 故选：D. 10．C 【分析】 先求得1(0)6P X ==，再由(14)(0)(3)P X P X P X -<<==+=可得结果. 【详解】依题意可得1111(0)1(2)(3)(5)142126P X P X P X P X ==-=--=-==---=，所以112(14)(0)(3)623P X P X P X -<<==+==+=. 故选：C. 11．A 【分析】分布列中概率之和等于1可得x 的值，再计算(3)(3)(4)3P X P X P X x ≥==+==即可. 【详解】由分布列中概率的性质可知：3621x x x x +++=，可得：112x =， 所以1(3)(3)(4)34P X P X P X x ≥==+=== 故选：A. 12．C 【分析】根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】根据条件可知任意取出3个球，最小号码可能是1,2,3. 故选：C 13．0.25 【分析】根据概率之和等于1，即可求得答案. 【详解】解因为0.20.31,a a +++= 所以0.25a =． 故答案为：0.25. 14．89【分析】根据分布列的性质求出C ，即可解出． 【详解】因为111311223344C C ⎛⎫=⋅++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭．故43C =，所以15228(1)(2)22399P P P ξ⎛⎫<<=+=+= ⎪⎝⎭．故答案为：89．15．89【分析】首先根据概率和为1可得c 的值，再由()()()312P X P X P X <==+=即可得结果. 【详解】随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，∴ 16122c c c ++=，即62 112c c c ++=，解得43c =， ∴()()()41183123269P X P X P X ⎛⎫<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：89.16．4 【分析】结合题意找出试验次数X 最大的情况即可. 【详解】由题意可知，前4次都打不开锁，最后一把钥匙一定能打开锁， 故试验次数X 的最大可能取值为4. 故答案为：4.17．（1）分布列见解析；（2）1745【分析】（1）记取到的次品数为X ，则X 的可能值为0，1，2，分别计算概率，可得X 的分布列； （2）由（1）根据互斥事件的概率公式可得(1)(2)P P X P X ==+=； 【详解】解：（1）从这10件产品中任意抽取2件，共21045C =种情况；记取到的次品数为X ，取到的次品数X 值可能为0，1，2，其中282102(0845)C P X C ===；121821016(1)45C C P X C ===；222101)5(24C P X C ===；∴取到的次品数X 的分布列为：（2）由（1）得：至少取到1件次品的概率17(1)(2)45P P X P X ==+==． 18．（1）1124；（2）答案见解析；（3）甲更有可能闯关成功. 【分析】(1)乙初赛被淘汰的事件是乙初赛三关都没过的事件与恰过一关的事件和，再利用概率加法公式计算而得；(2)写出X 的可能值，计算出对应的概率即可得解； (3)分别计算出甲、乙闯关成功的概率即可作答. 【详解】（1）若乙初赛三关一关都没有通过或只通过一个，则被淘汰，于是得乙在初赛阶段被淘汰的概率：1121113121121142342342342324P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； （2）X 的可能取值为0,1,2,3,4，()3110()327P X ===，()1232121()339P X C ==⋅⋅=，()22321282()33327P X C ==⋅⋅⋅=，()322322211283()()3333381P X C ==⋅+⋅⋅⋅=，()32184()3381P X ==⋅=则X 的分布列为：（3）甲闯关成功的概率32232121120()()33333811P C =⋅+⋅⋅⋅=， 乙闯关成功的事件是初赛不被淘汰和复赛过关的事件积，而这两个事件相互独立，其概率22411113(1)496P =-⋅=， 显然有12P P >，所以甲更有可能闯关成功. 19．（1）716；（2）分布列见解析；期望为72．【分析】（1）甲获得游戏奖品有3种情况：①共取球2次，即第1次和第2次甲都取到白球，从而甲获奖的概为1122⨯；②共取球4次，即第4次取到白球，第3次取到白球，第1次和第2次有一次取到白球，从而甲获奖的概为4122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；③共取球6次，即第6次为白球，第5次取白球，若第4次取白球，则第3次取黑球，第1，2次中有1次取白球；若第4次取黑球，则第3次白球，第1，2次有一次取白球，从而甲获奖的概为6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再由互斥事件的概率公式可得答案；（2）由（1）的求解中可知，X 可能取2，4，6，用（1）的方法先分别求出X 等于2，4的概率，从而可得X 为6的概率，然后列出分布列即可，然后根据期望的概念求出结果即可.【详解】解：（1）设甲获得游戏奖品为事件A ，()641111724212226P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭．所以甲获得游戏奖品的概率为716（2）X 的可能取值为2,4,6， ()11122222P X ==⨯⨯=()41142224P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==． X 的分布列为11172462442EX =⨯+⨯+⨯=20．（1）13；（2）分布列见解析；期望为409．【分析】（1）小组投中两次分为两种情况，两次都是女生投中，和一次男生一次女生投中，从而求得概率；（2）根据题意，X 的可能取值为－60，10，20，30，分别求得各取值对应的概率，列出分布列，求得期望. 【详解】解：（1）一个小组共投中2次的概率 2122211212911133333273P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为－60，10，20，30， 2214(60)113327P X ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212212111241011133333279P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2122112191(20)1133333273P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2212(30)3327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， X 的分布列为所以441212040()(60)102030279327279E X =-⨯+⨯+⨯+⨯==． 21．（Ⅰ）37，（Ⅱ）分布列见解析．【分析】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，由此可求得概率．（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，得3分，则还可以从袋子中摸3个球，那么得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．分别计算概率后可得分布列． 【详解】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，所以112163273()7C C C P A C +==； （Ⅱ）如果乙先摸出了红球，则还可以从袋子中摸3个球，得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．33371(6)35C P C ξ===，2133379(7)35C C P C ξ===；1233379(8)35C C P C ξ===；213313374(9)35C C C P C ξ+===；111331379(10)35C C C P C ξ===； 2131373(11)35C C P C ξ===．ξ的分布列如下：22．（1）3；（2）详见解析. 【分析】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，解方程可得结果；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，求出相应的概率可得结果. 【详解】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，又14n ≤≤，所以3n =；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，3X =即取出的3个球都是红球，则()3437C 43C 35P X ===； 5X =即取出的3个球中2个红球1个黑球，则()214337C C 185C 35P X ===； 7X =即取出的3个球中1个红球2个黑球，则()124337C C 127C 35P X ===；9X =即取出的3个球都是黑球，则()3337C 19C 35P X ===. 所以，随机变量X 的分布列为。

1．甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.(1)求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；(2)求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．2．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．3．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率为9 32.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率P1；(2)求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E(X)．1．解(1)分别记甲，乙，丙通过审核材料为事件A1，A2，A3记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核为事件B，则P(B)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.(2)分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件C，D，E，记甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格为事件F，则P(C)＝P(D)＝P(E)＝0.3，∴P(F)＝C23×0.32×0.7＋C33×0.33＝0.189＋0.027＝0.216.2．解记A i表示事件：第1次和第2次这2次发球，甲共得i分，i＝0,1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2.(1)B＝A0·A＋A1·A，P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42＝0.16，P(A1)＝2×0.6×0.4＝0.48，P(B)＝P(A0·A＋A1·A)＝P(A0·A)＋P(A1·A)＝P(A0)P(A)＋P(A1)P(A)＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2)P(A2)＝0.62＝0.36.ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(A2·A)＝P(A2)P(A)＝0.36×0.4＝0.144，P(ξ＝2)＝P(B)＝0.352，P(ξ＝3)＝P(A0·A)＝P(A0)P(A)＝0.16×0.6＝0.096，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－0.144－0.352－0.096＝0.408.E (ξ)＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3) ＝0.408＋2×0.352＋3×0.096 ＝1.400.3．解 (1)由题意得(1－P 1)·()P 1＋18＝932，∴P 1＝14或58.∵P 1＞12，∴P 1＝58.(2)由(1)知小李4次考核每次合格的概率依次为58，34，78，1，所以P (X ＝1)＝58，P (X ＝2)＝932，P (X ＝3)＝()1－58()1－34×78＝21256， P (X ＝4)＝()1－58()1－34()1－78×1＝3256，所以X 的分布列为∴E (X )＝1×58＋2×932＋3×21256＋4×3256＝379256.5.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E (ξ)． (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15.(4分)(2)由题意，P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1103＝11 000， P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫1102·⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23110·⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000， P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000.(8分) 所以，随机变量ξ的概率分布列为故随机变量ξ的数学期望：E (ξ)＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.6.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响． (1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望．(2)求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．解(1)ξ的可能取值为－300，－100,100,300.P(ξ＝－300)＝0.23＝0.008，P(ξ＝－100)＝3×0.22×0.8＝0.096，P(ξ＝100)＝3×0.2×0.82＝0.384，P(ξ＝300)＝0.83＝0.512.所以ξ的概率分布为根据ξ的概率分布，可得ξEξ＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180.(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(ξ≥0)＝0.384＋0.512＝0.896.7.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：(1)A需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)法一X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；所以X的分布列为E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.法二X的所有可能取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49；所以X的分布列为E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.2．(2011·浙江高考，理15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的分布列及数学期望E(X)解析由P(X＝0)＝112，所以13×(1－p)×(1－p)＝112，得p＝12，所以X的分布列如下：所以E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.2、袋子A、B中均装有若干个大小相同的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p.（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止。

高考数学2.1离散型随机变量及其分布列专题12020.031,“两条直线不相交”是“这两条直线是异面直线”的_________________________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”）2,一质点的运动方程为102+=t s （位移单位：m ，时间单位：s ），则该质点在s t 3=的瞬时速度为___________．3,以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹为双曲线；②P 是抛物线24x y =-上的动点，A 的坐标为(1,2)-，F 为抛物线的焦点，则PA PF + 的最小值是3；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④以定点A 为焦点，定直线l 为准线的椭圆（A 不在l 上）有无数多个． 其中真命题的序号为 ．4,已知f （x ）＝x lnx ，求f ′（x ）＝_______________．5,命题“01,2>++∈∀x x R x ”的否定是__________________ 6,一个算法的流程图如图所示，则输出S 为_______。

7,已知0>c ，设命题p ：不等式022≥+-c cx x 解集为R ；命题q ：方程x x 22+02=+c 没有实根，如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．8,已知],0[πα∈，讨论方程1cos sin 22=-ααy x 所表示的曲线的类型 9,已知直线13+=x y 与椭圆151022=+y x 相交于A 、B 两点，则｜AB ｜＝______10,做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？11,函数2x y =在)169,43(p 处的切线方程为_______________．12,抛物线x y 42=上一点到焦点的距离为5，则它到y 轴的距离为_________．13,椭圆4422=+y x 的焦点坐标为___________，__________． 14,求圆锥曲线方程：⑴已知双曲线焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为34，求双曲线的标准方程；⑵求经过点P （－2，－4）的抛物线方程．15,设F 是椭圆的一个焦点，B 1B 是短轴，∠B 1FB ＝60°，则这个椭圆的离心率为____________．16,已知)(x f y =的图象如图，直线l 是)(x f y =在x ＝1处的切线，求)1()1(f f '+＝_____________。

一、选择题1.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】若随机变量§满足£(1-§) = 4, 2^(1-0=4,则下列说法止确的是A. Ef=-4,Df = 4B. Ef=-3,Df = 3C. Eg =- 4,Df =- 4D.Eg =- 3,DC = 4【答案】D【解析】随机变量F満足-厂=4,巩1 —门=4,则:1_砖=4丄_1円疋=4,据此可得：必=-3,巧=4.本题选择。

选项.2.【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】已知甲盒子中有尬个红球，“个蓝球，乙盒子中有加-1个红球，八+ 1个蓝球(m>3,n>3),同时从甲乙两个盒子屮取出迫=1,2)个球进行交换，(a)交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为戸(心").⑴)交换后，乙盒子中含有红球的个数记为乞(心1忆)则()A. P] > P2'E(§1)V E(§2)B. P I V 卩2疋(§1)> E(§2)C. Pl > 卩2上(§1)> E(§2)D. Pl V 卩2力(§1)V E(§2)【答案】A【解析】根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现mm - l,m + 1三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是尬- l,m,m + l,m + 2五种情况，所以分析可以求得內 > 卩2力(§1)< W,故选A.3.【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】随机变量f的分布列如下:其屮Q, X c成等差数列，贝的最大值为()2 5 2 3A. 3 乩© C. ® D. 4【答案】A【解析】因为b, c成等差数列，・・・2b = e + G・・・ti + b + t? = 1.A b = =扌一亿□ □E^ = ~a+c = ~2a + i则Df的最犬值为扌・本题选择卫选项.4.【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】若随机变量f满足巩1-§) = 4, D(l-()=4,则下列说法正确的是A. Ef=-4,D£ = 4B. Ef=-3,Df = 3C.図=-4,D£ =- 4D. Ef =- 3,Df = 4【答案】D【解析】随机变量§满足-0 = 4, D(l-0 =4f则：1-Ff = 4,(-l)2Df = 4,据此可得：昭=-3必=4.本题选择〃选项.10 V a V —5.【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】己知4,随机变量g的分布列如下: g-101P 314—a4a当a增大时，()A. E代)增大，D(2)增大B. E(g)减小，DU)增大C. E(g)增大，D(§)减小D. E(§)减小，D(§)减小【答案】A【解析】由随机变量§的分布列，得应(V =。

高考数学试题分布及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知向量a = (3, -1)，向量b = (2, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：A3. 已知集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，集合B = {x | x^2 - 3x + 2 = 0}，则A∩B为：A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}答案：D4. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f(π/4)的值为：A. √2B. 1C. 2D. 0答案：A5. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a > 0，b > 0，若双曲线的渐近线方程为y = ±2x，则a与b的关系为：A. a = 2bB. b = 2aC. a = bD. a = 4b答案：B6. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，则该数列的前10项和S10为：A. 55B. 60C. 65D. 70答案：A7. 已知抛物线方程为y = ax^2 + bx + c，且抛物线过点(1, 2)和(2,5)，则a的值为：A. 1B. 2C. 3答案：B8. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，则f'(x)的值为：A. 3x^2 - 6x + 2B. x^2 - 3x + 2C. 3x^2 - 6x + 1D. x^3 - 3x^2 + 2答案：A9. 已知正方体的边长为a，则该正方体的体积V为：A. a^3B. 2a^3C. a^2D. 3a^3答案：A10. 若复数z = 1 + i，则|z|的值为：B. 2C. 1D. √3答案：A11. 已知直线方程为y = mx + b，且该直线过点(2, 3)和(4, 7)，则m的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B12. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则该数列的前5项和S5为：A. 145B. 121D. 95答案：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。