第二章随机变量及其分布
内容提要：
一、随机变量的定义
设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样本点，都有唯一确定的实数
与之对应，则称上的实值函数是一个随机变量（简记为）。
二、分布函数的概念和性质
1．分布函数的定义
设是随机变量，称定义在上的实值函数
为随机变量的分布函数。
2．分布函数的性质
(1) ，
（2）单调不减性：，
（3）
（4）右连续性：。
注：上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。在不同的教科书上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其性质也会有所不同。
（5）
注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。
三、离散型随机变量
1．离散型随机变量的定义
若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布律
（1）定义：离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称为离散型随机变量的分布律，表示为
或用表格表示：
x1 x2 … x n…
p k P1 p2… p n…
或记为
~
（2）性质：，
注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。
其中。
注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的分布函数
=，它是右连续的阶梯状函数。
4．常见的离散型分布
（1）两点分布（0—1分布）：其分布律为
即
0 1
p 1–p p
（2）二项分布
（ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果
及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验
为重伯努利试验。
（ⅱ）二项分布的定义
设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为
，，
称随机变量服从参数为的二项分布，记作。
注：即为两点分布。
（3）泊松分布：若随机变量的分布律为
，，
则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作（或。
高中数学系列2—3练习题（2.1）
一、选择题：
1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A. X 取每一个可能值的概率都是非负数； B. X 取所有可能值的概率之和为1；
C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D. X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（ ） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①③
3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（ ）
X
1 2 3 4
P
1
6 13
16
a
A ．12
B ．16
C ．13
D ．1
4
4、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k
P X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（ ）
A ．1
； B ．
12； C ．13； D ．1
4
5、已知随机变量X 的分布列为：()1
2
k p X k ==， ,3,2,1=k ，
则()24p X <≤=（ ） A.163 B. 41 C. 161 D. 16
5 6、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）
A. 4
B. 6
C. 10
D. 无法确定
7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ） A. 一枚是3点，一枚是1点 B. 两枚都是2点
C. 两枚都是4点
D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 8、设随机变量X 的分布列为()()21,2,3,,,k
P X k k n λ
==⋅=⋯⋯，则λ的值为（ ）
A ．1；
B ．
12； C ．13； D ．1
4
二、填空题：
9 、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是 （把全部正确的答案序号填上）
X
-1 0 1 p 0.3 0.4 0.4
X 1 2 3 p 0.4 0.7 -0.1 X 5 0 -5 p 0.3 0.6 0.1 ()1
,2,3,4,5,P X k k k
===
④
⑤
()1
2,1,2,3,
,21
k n P X k k n -===-
10、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10，则X 的取值为
11、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为 三、解答题：
12、某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量
(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
13、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球
得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．
分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．
14、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n 2
1
(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X ≤.
