第20章《四边形》常考题集(24)：20.3 矩形 菱形 正方形

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点及习题一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4=⨯个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的平行四边形； ③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形② 有一组邻边相等 的矩形； ③ 对角线互相垂直 的矩形． ④ 有一个角是直角 的菱形 ⑤ 对角线相等 的菱形；4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直．③ 说明四边形ABCD 的四条相等．（3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角．5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ． ③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．特殊四边形练习题1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等2．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD3．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分4．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm5．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．136．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定7．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是．8．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是．9. 如图，在矩形ABCD（AB＜AD）中，将△ABE沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为F，同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为H．（1）证明：AF∥HG（图（1））；（2）证明：△AEF∽△EGH（图（1））；（3）如果点C的对应点H恰好落在边AD上（图（2））．求此时∠BAC的大小．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．11．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．。

矩形、菱形、正方形重点与难点：矩形、菱形、正方形的性质与判定定理。

一、知识点（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形；菱形：有一组邻边相等的平行四边形；正方形：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形。

（注：矩形、菱形、正方形的定义既是性质又是判定）（2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质；（3）矩形的判定：有三个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形。

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；菱形的面积等于对角线乘积的半二、例题：例1、如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF，求AE的长。

解：∵矩形ABCD∴∠A=∠D=90°（矩形的四个角都是直角）∴∠AEF+∠AFE=90°∵CE⊥EF∴∠AEF+∠DEC=90°∴∠AFE=∠DEC（等角的余角相等）在△AEF和△DCE中B CE D AF⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE EF DCE AEF D A ∴△AEF ≌ △DCE（AAS ）∴AE=DC（全等三角形的对应边相等） ∴2×（AE+DE+CD ）=16 即AE=3。

例2、如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF⊥AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于G ，求证：AB 与EF 互相平分。

证明：∵菱形ABCD∴AC 平分∠BAD（菱形的对角线平分对角）AD 平行且等于AB （菱形四条边都相等，平行四边形的对边互相平行） ∠GAE=∠GBF，∠GFB=∠GEA（两直线平行，内错角相等）在△AEH 和△AGH 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠EHA GHA AH AH EAHGAH ∴△AEH ≌ △AGH（ASA ） ∴AE=AG ∵AE=21AD ∴AG=21AD=21AB 即AG=AB 在△AEG 和△BFG 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠GB GA GBF GEA FBG EAG ∴△AEG ≌ △BFG（AAS ） ∴AG=BG，EG=FGABCDEFGH例3、如图，以正方形ABCD 的DC 边为一边向外作一个等边三角形，①求证：△ABE 是等腰三角形；②求∠BAE 的度数。

专题03 矩形、菱形、正方形要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.要点五、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点六、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点七、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.要点八、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点九、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点十、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点十一、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点十二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.一、单选题1．（2020·全国九年级课时练习）如图，在△ABF中，点C在中位线DE上，且CE14CD，连接AC，BC，∠ACB＝90°，若BF＝20，则AB的长为（）A．10B．12C．14D．16【分析】根据三角形的中位线可求出DE的长，然后求出CD的长，再根据直角三角形斜边的中线求解即可．【详解】∵DE是∵ABC的中位线，BF＝20，∵DE12=BF＝10，∵CE14=CD，∵CD45=DE＝8，∵∠ACB＝90°，D是AB中点，∵AB＝2CD＝16，故选：D．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形斜边的中线的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．2．（2014·陕西九年级专题练习）如图∵顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH∵要使四边形EFGH为菱形∵应添加的条件是()A．AB∵DC B．AB∵DCC．AC∵BD D．AC∵BD【分析】连AC∵BD，根据三角形中位线的性质得到EF∵AC∵EF=12AC∵HG∵AC∵HG=12AC，即有四边形EFGH为平行四边形，当AB∵DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形；当AC∵BD，只能判断四边形EFGH为矩形；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形．【详解】解：连AC∵BD，如图，∵E∵F∵G∵H为四边形ABCD各中点，∵EF∵AC∵EF=12AC∵HG∵AC∵HG=12AC∵∴四边形EFGH为平行四边形，要使四边形EFGH为菱形，则EF=EH∵而EH=12AC∵∵AC=BD∵当AB∵DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形，故A∵B选项错误；当AC∵BD，只能判断四边形EFGH为矩形，故C选项错误；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形，故D选项正确．故选D∵【点睛】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．3．（2020·全国九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝1，CD BE＝（）A B ． C ．52 D【答案】B【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得斜边利用三角形中位线定理求得BC=2DE=2；则在Rt∵ABC 中由勾股定理求得线段AC=4，最后，在Rt∵BCE 中，利用勾股定理来求线段BE 的长度．【详解】如图，∵在Rt∵ABC 中，∵ACB ＝90°，点D 是斜边AB 的中点，CD =∵AB ＝2CD ＝∵∠ACB ＝90°，DE∵AC ，∵DE//BC ．∵点D 是斜边AB 的中点，∵DE 是∵ABC 的中位线，又∵DE ＝1，∵BC ＝2，∵AC ==4． ∵CE 12=AC ＝2，∵在Rt∵BCE 中，BE ===．故选：B ．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．4．（2020·山西九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM DN =，连接AM 、MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )A ．12OM AC =B ．MB MO =C ．BD AC ⊥ D ．AMB CND ∠=∠【答案】A【分析】由平行四边形的性质可知：OA OC =，OB OD =，再证明OMON =即可证明四边形AMCN 是平行四边形． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，∵对角线BD 上的两点M 、N 满足BMDN =， ∴OB BM OD DN -=-，即OM ON =，∴四边形AMCN 是平行四边形， ∵12OM AC =， ∴MN AC =，∴四边形AMCN 是矩形．故选A．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．（2020·河南洛阳市·洛阳地矿双语学校八年级期中）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【答案】C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.二、填空题6．（2018·山西九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E∵F分别在边BC和CD上，则∠AEB∵__________.【答案】75【解析】因为△AEF是等边三角形，所以∵EAF=60°∵AE=AF∵因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD∵∵B=∠D=∠BAD=90°.所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），所以∠BAE=∠DAF.所以∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°，所以∠BAE=15°，所以∠AEB=90°-15°=75°.故答案为75.=，7．（2020·重庆八中八年级课时练习）如图，四边形ABCD中AD AB∠______．∠=∠=︒．则ACB=DAB BCD90【答案】45°【分析】作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，易证四边形AECF为矩形，可得∠FAE＝90°，再根据∠DAB＝90°，可得∠DAF＝∠BAE，即可证明△BAE≌△DAF，可得AE＝AF，即可判定矩形AECF为正方形，即可解题．【详解】解：作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，∵∠AEC＝∠AFC＝∠BCD＝90°，∴四边形AECF为矩形，∴∠FAE＝90°，即∠DAF＋∠DAE＝90°，∵∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠DAF＝∠BAE，在△BAE和△DAF中，∠AEB＝∠F，∠BAE＝∠DAF，AB＝AD，∴△BAE≌△DAF（AAS），∴AE＝AF，∴矩形AECF为正方形，∴∠ACB＝45°；故答案为：45°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．8．（2014·山西九年级专题练习）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CD的中点，则OE的长等于___________．【答案】4．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∵BC＝AB＝8，AC与BD的交点O是BD的中点．∵E是CD的中点，∵OE是∵DBC的中位线，∵142OE BC==．9．（2016·陕西九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∵BD，垂足为点E，若∵EAC=2∵CAD，则∵BAE=__________度．【答案】22.5°【详解】四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∵OAD=∵ODA，∵OAB=∵OBA，∴∵AOE=∵OAD+∵ODA=2∵OAD，∵EAC=2∵CAD，∴∵EAO=∵AOE，AE∵BD，∴∵AEO=90°，∴∵AOE=45°，∴∵OAB=∵OBA=67.5°，即∵BAE=∵OAB﹣∵OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．三、解答题10．（2020·四川省成都美视国际学校七年级期中）如图：在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的长．【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据DB⊥BC，CF⊥AE，得出∠D＝∠AEC，再结合∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA ，证明△DBC ≌△ECA ，即可得证；（2） 由（1）可得△DBC ≌△ECA ，可得CE=BD ，根据BC=AC=12cm AE 是BC 的中线，即可得出12CE BC =，即可得出答案． 【详解】证明：（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB ＋∠D ＝∠DCB ＋∠AEC ＝90°．∴∠D ＝∠AEC ．又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ， 在△DBC 和△ECA 中90D AEC DBC ECA BC AC ∠∠∠∠⎪⎩︒⎧⎪⎨＝＝＝＝，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE ＝CD ；（2） 由（1）可得△DBC ≌△ECA∴CE=BD ，∵BC=AC=12cm AE 是BC 的中线， ∵162CE BC cm ==， ∵BD=6cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，证明△DBC ≌△ECA 解题关键．11．（2020·安徽滁州市·九年级）如图，在长方形ABCD 中，DC ＝5 cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△AED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设落点为F ，若△ABF 的面积为30 cm 2，求△ADE 的面积．【答案】S△ADE＝16.9 cm2．【分析】根据题意和折叠的性质可先求出BF，再根据勾股定理求出DE，然后计算三角形ADE的面积即可【详解】由折叠可知AD＝AF，DE＝EF.由S△ABF＝12BF·AB＝30 cm2，AB＝DC＝5 cm，得BF＝12 cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF＝13 cm，所以BC＝AD＝AF＝13 cm.设DE＝x cm，则EC＝(5－x)cm，EF＝x cm，FC＝13－12＝1(cm)．在Rt△ECF中，由勾股定理，得EC2＋FC2＝EF2，即(5－x)2＋12＝x2，解得x＝13 5.所以S△ADE＝12AD·DE＝12×13×135＝16.9 (cm2)．【点睛】轴对称的性质及勾股定理是本题的考点，熟练掌握基础知识是解题的关键. 12．（2020·广东佛山市·九年级月考）如图1，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连结CE，CF.(1)求证：CE ＝CF ；(2)如图2，若H 为AB 上一点，连结CH ，使∠CHB ＝2∠ECB ，求证：CH ＝AH ＋AB .【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由菱形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，易证得△BCE ≌△DCF （SAS ），则可得CE=CF ；（2）由平行线的性质，可得AG=AB ，∠G=∠FCD ，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE=∠DCF ，然后由∠CHB=2∠ECB ，易证得∠G=∠HCG ，则可得CH=GH ，则可证出结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B=∠D ，AB=BC=CD=AD ，∵点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴BE=12AB ，DF=12AD ， ∴BE=DF ，在△BCE 和△DCF 中，BC DC B D BE DF ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴CE=CF；（2）证明：延长BA与CF，交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，∴∠G=∠FCD，∵点F分别为AD的中点，且AG∥CD，∴AG=AB，∵△BCE≌△DCF，∴∠ECB=∠DCF，∵∠CHB=2∠ECB，∴∠CHB=2∠G，∵∠CHB=∠G+∠HCG，∴∠G=∠HCG，∴GH=CH，∴CH=AH+AG=AH+AB．【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．13．（2020·河南洛阳市·洛阳地矿双语学校八年级期中）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∵DAB=60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：∵当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；∵当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．【答案】（1）见解析（2）∵1；∵2【解析】试题分析：（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；（2）∵有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∵DMA=90°，所以AM=12AD=1时即可；∵当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∵ND∵AM，∵∵NDE=∵MAE，∵DNE=∵AME，又∵点E是AD边的中点，∵DE=AE，∵∵NDE∵∵MAE，∵ND=MA，∵四边形AMDN是平行四边形；（2）解：∵当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵AM=1=12 AD，∵∵ADM=30°∵∵DAM=60°，∵∵AMD=90°，∵平行四边形AMDN是矩形；∵当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：∵AM=2，∵AM=AD=2，∵∵AMD是等边三角形，∵AM=DM，∵平行四边形AMDN是菱形，考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定；3．矩形的判定．14．（2019·洛阳市实验中学八年级月考）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB上一点，且AF=14 AB．求证：CE ⊥EF ．【答案】证明见解析【分析】利用正方形的性质得出AB BC CD DA ===，90A B BCD D ∠=∠=∠=∠=︒，设出边长为a ，进一步利用勾股定理求得CE 、EF 、CF 的长，再利用勾股定理逆定理判定即可．【详解】连接CF ，∵ABCD 为正方形∴AB BC CD DA ===，90A B BCD D ∠=∠=∠=∠=︒．设AB BC CD DA a ====∵E 是AD 的中点，且14AF AB =∴12AE ED a ==，14AF a = ∴34BF a ． 在Rt CDE △中，由勾股定理可得2222221524CE CD DE a a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ 同理可得：2222221152416EF AE AF a a a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222325416CF BF BC a a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ ． ∵222EF CE CF +=∴CEF △为直角三角形∴90CEF ∠=︒∴CE EF ⊥．【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，正方形的性质和勾股定理，解题关键在于设出边长为a ． 15．（2019·洛阳市实验中学八年级月考）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AC=AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．（1）求证：BM=MN ；（2）∠BAD=60°，AC 平分∠BAD ，AC=2，求BN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）在△CAD 中，由中位线定理得到MN ∥AD ，且MN=12AD ，在Rt △ABC 中，因为M 是AC 的中点，故BM=12AC ，即可得到结论； （2）由∠BAD=60°且AC 平分∠BAD ，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=12AC=AM=MC ，得到∠BMC =60°．由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°，得到222BN BM MN =+，再由MN=BM=1，得到BN 的长．【详解】（1）在△CAD 中，∵M 、N 分别是AC 、CD 的中点，∴MN ∥AD ，且MN=12AD ，在Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点，∴BM=12AC ，又∵AC=AD ，∴MN=BM ； （2）∵∠BAD=60°且AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=12AC=AM=MC ，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．∵MN ∥AD ，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴222BN BM MN =+，而由（1）知，MN=BM=12AC=12×2=1，∴． 考点：三角形的中位线定理，勾股定理．。

中考数学复习《矩形、菱形与正方形》考点及重点题型知识点一：特殊平行四边形的性质与判定1.矩形1）性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形另说法：（1）四个角都是直角（2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.（3）面积=长×宽=2S△ABD =4S△AOB.2)判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形变式练习：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝__22.5__度．,2.菱形1）性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形另说法（1）四边相等（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角（3）面积=底×高=对角线_乘积的一半2）判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形变式练习1：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为__24__．第1题图) ,第2题图)变式练习2：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件_AC⊥BD或∠AOB＝90°或AB＝BC_使其成为菱形(只填一个即可)．变式练习3：如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是______．第3题图【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝BC＝6.变式练习4：如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于( ) A. 18 B. 16 C. 15 D. 14【解析】B∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝OD＝12BD＝3，AO＝OC＝12AC＝4，∴AB＝5，∴△ABD的周长为：5＋5＋6＝16.3正方形1）性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

§20.3.矩形、菱形、正方形----菱形的判定复习巩固1、矩形的判定定理： 从角考虑：___________________________的平行四边形是矩形。

从对角线考虑：____________________________的平行四边形是矩形。

从角考虑：____________________________的四边形是矩形。

2.矩形的性质：3.菱形的性质：4、菱形的判定方法1: 定义：有一组邻边__________的平行四边形是菱形. 几何表示：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=CD∴四边形ABCD 是菱形。

5、菱形的判定方法2: ________________平行四边形是菱形． 应用判定方法2时，要注意其性质包括两个条件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．已知：平行四边形ABCD ，对角线AC⊥BD ，求证：四边形ABCD 是菱形证明：在ABCD 中，OB=OD∵AC ⊥BD∴∠AOB____∠AOD在△AOB 与△AOD 中,∴四边形ABCD 是菱形思考：对角线互相垂直的四边形是菱形吗？为什么？____________________________________ 画一个菱形，使它的边长为6cm 。

（草稿）通过菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：6.菱形的判定方法3：___________的四边形是菱形．已知:四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD 是菱形。

证明：已知：如图ABCD 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交12（2011云南保山）如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，且PE=PF ，平行四边形ABCD 是菱形吗？为什么？13.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，连接DE ． （1）求证：四边形ABED 是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE ，试判断△CDE 的形状，并说明理由．15.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC =CD ，AD ⊥BD ，E 为AB 中点，求证：四边形BCDE 是菱形．16. 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连结DE ，BF ，BD ． (1)求证：△ADE ≌△CBF ．(2)若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论．17.（2011新疆乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，点 E 、F 分别是CD 的中点，过点A 作AG ∥BD ，交CB 的延长线于点G ．（1）求证：四边形DEBF 是菱形；（2）请判断四边形AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明．18.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于E ．(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．19.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点．求证：MN 与PQ 互相垂直平分。

第二节矩形、菱形、正方形1. 矩形(1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．(2)性质：①边：对边平行且相等；②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称‘图形．(3)判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形．2.菱形(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)性质：①边：对边平行且四边相等；②角：邻角互补，对角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；⑤菱形的面积等于底乘以高，或者等于对角线乘积的一半．(3)菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形．3．正方形(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．(2)性质：①边：对边平行，四条边都相等；②角：四个角都是直角；③对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角：④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． (3)判定：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 4. 直角三角形斜边中线线等于斜边一半 5. 对角线互相垂直的四边形的性质 ①面积是对角线乘积的一半：,21S BD AC ABCD ⋅=四边形如图8-2-1所示， ②对边平方和相等：,2222AD BC CD AB +=+如图8-2-1所示．1. 平行四边形和特殊平行四边形的区别与联系(1)矩形的特殊性：①对角线相等②四个角均为ο90(2)菱形的特殊性：①对角线互相垂直且平分对角②四条边相等2．对称性矩形、菱形、正方形除了有平行四边形中心对称的性质，还有特殊的 轴对称性3．矩形中会得到两个直角三角形的性质 (1)直角三角形斜边中线等于斜边一半 (2)直角三角形中ο30所对边为斜边一半．4．区别菱形和筝形均为轴对称图形，但筝形四条边两两相等，菱形四条边都相等． 5．正方形具有中心对称性和 轴对称性例1．（山东菏泽中考）在OABCD 中，,4,3==BC AB 当口ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有( );5=AC ①;180ο=∠+∠C A ②;BD AC ⊥③.BD AC =④①②③.A ①②④.B ②③④.C ①③④.D128--检测1.如图8-2-2所示，平行四边形ABCD 中，DQ CN BN AQ ,,,分别是,DAB ∠CDA BCD ABC ∠∠∠,,的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．例2.(新疆中考)如图8-2-3所示．口ABCD 中．,60,1,2ο=∠==ADC AD AB 将□ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D 处，折痕交CD 边于点E.(1)求证：四边形BCED 是菱形；(2)若点P 是直线L 上的一个动点，请计算PB PD +的最小值，228-- 328-- 428--检测2.（哈尔滨中考）如图8-2-4所示，在菱形ABCD 中．,120ο=∠BAD 点E ，F 分别在边AB 、BC 上，△BEF 与△GEF 关于直线EF 对称，点B 的对称点是点G ．且点G 在边AD 上，若,26,=⊥AB AC EG 则FG 的长为 例3．（四川雅安中考）如图8-2-5所示，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：,DF BE =①,15ο=∠DAF ②③AC 垂直平分EF ．+BE ④,FF DF =⋅=∆∆ABE CEF S 2S ⑤其中正确结论有( )A.2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个528-- 628--检测3.（云南昆明中考）如图8-2-6所示，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作,//AD EF与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连接.,,,FH DH FH DE 下列结论：;DF EG =①;180ο=∠+∠ADH AEH ②;DHC EHF ∆≅∆③④若,32=AB AE 则,S 13S 3DHC EDH ∆∆=其中结论正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第二节 矩形、菱形、正方形（建议用时：30分钟）实战演练1．如图8-2-1所示，在一个3×3方格纸上，若以格点（即小正方形的顶点）为顶点画正方形，在该3×3方格纸上最多可画出的正方形的个数是( )A ．13个B ．14个C ．18个D ．20个2．如图8-2-2所示，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，DC 边的中点，AN 与MC 交于P 点，若,33ο+∠=∠NBC MCB 那么∠MPA 的大小是( )ο33.A ο66.B ο45.C ο78.D128-- 228-- 328--3．（广东深圳中考）如图8-2-3所示，,90,ο=∠=ACB CA CB 点D 在边BC 上（与B ，C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作,CA FG ⊥交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：;FG AC =①;2:1S :S .C =∆BFG FAB 四边形②.ABF ABC ∠=∠③其中正确的个数是( )0.A 1.B 2.C 3.D4．如图8-2-4所示，过正方形ABCD 的顶点B 作,//CA BE 且作AC AE =又,//AE CF 则下列等式成立的是( )AEB BCF A ∠=∠21. AEB BCF B ∠=∠31..51.CAE BCF C ∠=∠ BFC BCF D ∠=∠. 5．如图8-2-5所示，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边的中点，如果,5=DE 那么四边形ABED 的面积是428-- 528-- 628--6．如图8-2-6所示，四边形ABCD 为正方形，AB 为边向正方形外作等边三角形ABE ，CE 与DB 相交于点F ，则=∠AFD 度． 7．如图8-2-7所示，点P 在正方形ABCD 外，APB PB ∆=,10的面积为BPC ∆,60的面积为30．则正方形ABCD 的面积为 8．（广东广州中考）如图8-2-8所示，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线．将△DCB 绕着点D 顺时针旋转ο45得到△DGH ，HG 交AB 于点E ．连接DE 交AC 于点F ．连接FG ．则下列结论：①四边形AEGF 是菱形；;GED AED ∆≅∆②;5.112ο=∠DFG ③.5.1=+FG BC ④其中正确的结论是（ ）728-- 828--9．（江苏南通中考）如图8-2-9所示，将DABCD 的边AB 延长到点E ，使,AB BE =连接DE ，交边BC 于点F. (1)求证：;CDF BEF ∆≅∆ (2)连接BD ，CE ，若.2A BFD ∠=∠ 求证：四边形BECD 是矩形．928--10.如图8-2 - 10所示，E 是正方形ABCD 中AD 边上的中点，BD 与CE 交于点F. AF 与BE 交于点G.请你根据图形判断AF 与BE 的位置具有什么关系？并给予证明．1028--11．如图8 -2 - 11所示，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点0，延长BA 到E ，使=AE ,21AB 连接OE ，延长DE交CA 的延长线于F.求证：DF OE 21=1128--12．（北京通州二模）如图8 -2 -12所示，在菱形ABCD 中，,60ο=∠ADC 点F 为CD 上任意一点（不与C ，D 重合），过点F 作CD 的垂线，交BD 于点E ，连接AE. (1)①依题意补全图8 -2 -12；②线段EF ，CF ，AE 之间的等量关系是(2)在图8-2 - 12中将△DEF 绕点D 逆时针旋转，当点C E F ,,在一条直线上时（如图8-2 -13所示），线段EF ，CE ．AE 之间的等量关系是写出判断线段EF ，CE ，AE 之间的等量关系的思路（可以不写出证明过程）1228-- 1328--拓展创新13.（四川内江中考）如图8-2 -14所示，菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M ，N 分别是边BC ．CD 的中点，P是对角线BD 上一点，则PM+ PN 的最小值为 ．14218-- 1528--拓展1．如图8 -2 -15所示，在菱形ABCD 中，E a AB ,4=在BC 上，=∠=BAD a BE ,2P ,120ο点在BD 上，则PC PE +的最小值为拓展2．在边长为12的正方形ABCD 中，点P O N M ,,,分别在边DA CD BC AB ,,,上，如果,3,AP DP BM AM ==则OP NO MN ++的最小值是极限挑战14.（江苏竞赛）如图8-2 -16所示，正方形ABCD 中，E ．F 分别是BC ．CD 边上的点，AE ，AF BF DE ,,把正方形分成8小块，各小块的面积分别为,S ,,S ,S 821Λ试比较3S 与872S S S ++的大小，并说明理由．1628--答案。