当前位置：文档之家 › 线性代数复习-第二章

线性代数复习-第二章

  • 格式：ppt
  • 大小：249.50 KB
  • 文档页数：12

下载文档原格式

  / 12

合集下载

线性代数第二章方阵的行列式

线性代数第二章方阵的行列式
习题2.2(B) 第1(1)(3)题
2 n阶行列式的性质
本节教学内容
行列式按一行(列)展开定理
Laplace定理
3 展开定理与行列式的计算
3 展开定理与行列式的计算
行列式按一行(列)展开定理 三阶行列式的一个计算公式 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式
3 展开定理与行列式的计算
线性代数 第二章
本章教学内容
1 n阶行列式的定义
2 方阵行列式的性质
3 展开定理与行列式的计算
第二章 方阵的行列式
1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数 定义 由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2… in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺； 排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
2 n阶行列式的性质
例 =0 2r1+r2
2 n阶行列式的性质
性质2.5 即
2 n阶行列式的性质
或 证 由性质2.1及推论2.3得到.
2 n阶行列式的性质
例1
2 n阶行列式的性质
例2
2 n阶行列式的性质
例3 计算行列式 解
2 n阶行列式的性质
2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵，为常数，m为正整 数，则 ⑴ A=nA ； ⑵ AB=AB ； ⑶ Am=Am . 注① 一般的A+B≠A+B ； ② 虽然AB≠BA，但AB=BA ； ⑶由⑵推得，下证⑴ ⑵

自考复习专题：线性代数第2章

自考复习专题：线性代数第2章

第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。

主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。

在自学考试中，所占比例是各章之最。

按考试大纲的规定，第二章占26分左右。

而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。

以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数07.4 07.7 07.10 直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。

2.1 线性方程组和矩阵的定义2.1.1 线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若，称这样的方程组为齐次方程组。

称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。

事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。

例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2 矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。

注意:矩阵和行列式的区别。

二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。

例如都是零矩阵。

2.若A的行数m=1，则称为行矩阵，也称为n维行向量。

若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。

3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。

如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。

4.称n阶方阵为n阶对角阵。

特别若上述对角阵中，，称矩阵为数量矩阵，如果其中λ=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。

5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。

线性代数第二章

线性代数第二章
其中，
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ， ，m ；j 1，2 ， ，n) ．
k 1
注：（1）只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，否则 AB
没有意义．
（2）矩阵 C 中元素 cij 等于左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之和．
（3）矩阵加减法与矩阵数乘统称为矩阵的线性运算．
2.2.2 数与矩阵相乘
矩阵数乘的性质
（1）分配律： k( A B) kA kB，(k l)A kA lA ； （2）结合律： (kl) A k(lA) ； （3）1A A，0A O ．
2.2.2 数与矩阵相乘
例题
3 1 2
7 5 4
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n a11 a12
a2n
或
a21
a22
amn
am1
am 2
a1n
a2n
，
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵．通常用大写字母 A，B ，C ， 表示矩阵， aij 表示
矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，一个 m n 矩阵可以简记为 A=Am×n=(aij) m×n
a11
只有一列的矩阵
A
a21
称为列矩阵或列向量。
am1
注：列矩阵也可记为 A a11 ，a12 ， ，a1n 。
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
3．零矩阵
所有元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n 零矩阵记为 Omn 或简记为 O ． 4．方阵
对于矩阵 Amn ，当 m n 时，称为 n 阶方阵，记作 Ann 或 An ，即

《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答

《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答

An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算

线性代数-第2章

线性代数-第2章

第2章对阶梯形矩阵进行考察，发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。

矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩，也不会改变矩阵的列秩。

任取一个矩阵A，通过初等行变换将其化成阶梯形J，则有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即对任意一个矩阵来说，其行秩和列秩相等，我们统称为矩阵的秩。

通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。

考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性，则初等列变换也不会改变矩阵的秩。

总而言之，初等变换不会改变矩阵的秩。

因此如果只需要求矩阵A的秩，而不需要求A的列向量组的极大无关组时，可以对A既作初等行变换，又作初等列变换，这会给计算带来方便。

矩阵的秩，同时又可定义为不为零的子式的最高阶数。

满秩矩阵的行列式不等于零。

非满秩矩阵的行列式必为零。

既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同，则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。

另外，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩r等于未知量数目n，有唯一解，r<n，有无穷多解。

齐次线性方程组的解的结构问题，可以用基础解系来表示。

当齐次线性方程组有非零解时，基础解系所含向量个数等于n-r，用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。

通过对具体实例进行分析，可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。

非齐次线性方程组的解的结构，是由对应的齐次通解加上一个特解。

在之前研究线性方程组的解的过程当中，注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。

矩阵的加法和数乘，与向量的运算类同。

矩阵的另外一个重要应用：线性变换（最典型例子是旋转变换）。

即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。

矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加。

如矩阵A对应的是旋转一个角度a，矩阵B对应的是旋转一个角度b，则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b。

线性代数--总复习

线性代数--总复习
1 λ + 2 1 −4 − 5λ 1 −2
可见, 当λ=-4/5时, R(A)=2, R(A|b)=3, 方程组无解. 当λ≠-4/5, 且λ≠-1时 R(A)=R(A|b)=3, 方程组有唯一解.
当λ=-1时, 有
1 −1 −2 1 1 −1 0 3 ( A | b) → 0 0 1 1 → 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
第三章 向量 线性关系 秩
1. 理解n维向量的概念以及向量的线性运算; 2. 理解向量组的线性组合与线性表示的概念; 3. 理解向量组线性相关, 线性无关的定义, 了解并会用 向量组线性相关, 线性无关的有关性质及判别法; 4. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念; 5. 理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算．
0 2/3 0 B = 6 0 3/ 4 0 0 0 6/ 7
−1
0 3 0 0 1/ 3 0 = 0 2 0 0 1/ 4 0 0 0 1/ 7 0 0 1
49页：10, 11, 12, 18
第六章 矩阵的特征值与特征向量
1. 了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法; 2. 了解矩阵的特征值和特征向量的性质; 3. 了解相似矩阵的概念及性质; 4. 掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的方法.
第七章 二次型
1. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念, 了解合同变换与合同矩阵的概念, 了解二次型的标准形和 规范形的概念以及惯性定理; 2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法, 会用 配方法化二次型为标准形; 3. 理解正定二次型和正定矩阵的概念, 掌握其判别法.

线性代数知识点总结第二章doc资料

线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 定义由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ija i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表111212122212nn m m mna a a a a a a a a LL M M M L称为m 行n 列矩阵。

简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。

说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。

记作：A n 。

行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。

也称行(列)向量。

同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。

相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。

记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29—P31）注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++ ⎪+=⎪⎪+++⎝⎭L L L L L LL说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

（课本P33） 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭L L L L L L L设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。

《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算


a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:

线性代数 第二章总结

第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数主要研究对象，是求解线性方程组的一个有力工具，它在自然科学、工程技术及经济问题等各个领域中都有广泛的应用。

本章的教学基本要求：理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件，了解求逆矩阵的伴随矩阵法；熟练掌握利用逆矩阵求解矩阵方程的方法；了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质；了解分块矩阵及其运算。

本章的重点及难点：矩阵的各种运算及其运算规律，尤其矩阵的乘法；逆矩阵存在的条件，利用伴随矩阵法会求逆矩阵，主要是二阶和特殊的三阶矩阵的逆矩阵；用逆矩阵求解矩阵方程。

§ 1 矩阵的概念一、内容提要1．矩阵定义 由n m ⨯个数排成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为一个m ×n 矩阵，其中ij a 表示位于数表中第i 行第j 列的数（m i ,,2,1 =；n j ,2,1=）。

ij a 又称为矩阵的元素。

规定，1×1矩阵 a a =)(。

矩阵也可表示为)(ij a 或n m ij a ⨯)( 。

如果不需要表示出矩阵的元素，通常用大写英文字母表示矩阵，如：A ，B ，...，或n m A ⨯，n m B ⨯，...。

元素都是实数的矩阵称为实矩阵；有复数元素的矩阵称为复矩阵。

若两个矩阵的行数、列数分别相等，则称它们是同型矩阵。

矩阵A =()n m ij a ⨯，B =()n m ij b ⨯是同型矩阵。

若它们的对应元素相等，即ij ij b a = ()n j m i 2,1;2,1== 那么称矩阵A 与矩阵B 相等，记作：A = B 。

2．特殊矩阵零矩阵 所有元素都为零的矩阵称为零矩阵。

如一个n m ⨯的零矩阵为nm ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000000记为0n m ⨯。

在不会引起混淆的情形下，也可记为0。

[理学]线性代数第二章复习过程


A0 | 3 |
1 | 1 | 2 | 2 | 0 | 3 |
1 1(1,2,3,4,5)．
2 | 1 | 2 | 0 | 2
1 2 0 3 4
0
A＝
3
1 2
2 0
2 3
1 1
1
2
3
4
2 1 2 0 2
26
两个行数和列数分别相同的矩阵，如果用完全相 同的方式进行分块得
8) k(A+B) =kA+ kB 5
2.1.2 矩阵的乘法
定义 1.2.3 矩阵乘积 设A=[aik]ms，B=[bkj]sn (注：A的列数必须与B的行数相同), 那么A与B的 积AB = C = [cij]mn是一个mn级矩阵, 其中
cij=ai1b1j+ ai2b2j+…+ aisbsj (2.1.1)
24
例如：
1 2 0 | 3 4
0
A —
3
1 — 2
1 | —| 0|
2 — 3
1
—
1
A11 A21
A12
A22
2 1 2 | 0 2
1 2 0
A11 0 1 1 ，
3 4
A12 2 1 ，
3 A21 2
2 1
0
3
2 ，
A22
0
1 2
25
1 | 2 | 0 | 3 | 4
2) A(B+C)=AB+AC (1A4.+Bk)ACT = AkACT +BC
(乘法结合律) (乘法对加法的左分配律) (乘法对加法的右分配律)
3) k( AB)=(kA)B
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

其中Aik 是mi 行，sk 列的矩阵，Bkj 是sk 行n j 列的矩阵. 则
C11 ⋯ C1q 1q AB = ⋮ ⋮ ， C ⋯ C pq p1 其中Cij = ∑ Aik Bkj = Ai1 B1 j + Ai 2 B2 j + ⋯ + Ait Btj .
A1 A1k 0 0 k 3. 设A = ⋱ ⋱ , 其中Ai是方阵, 则 A = , 0 0 k As As 且 | A |=| A1 | ⋯ | Ak | .
A1 A1−1 0 0 −1 若A = ⋱ ⋱ 可逆, 则A = . 0 0 As As−1
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 a x + a x +⋯ + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组: (*) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = bm 其中x1 , x2 ,⋯ , xn是未知数.
第二章 矩阵及其运算
矩阵的运算. 一. 矩阵的运算 （一）加法，减法，数量乘法. （二） 矩阵乘法. 设A=(aij)是一个m×p矩阵, B=(Bij)是一个p×n矩阵, 定义 AB=C=(cij)m ×n , 其中
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + aipbpj = ∑ aik bkj .
（四） 矩阵的行列式. 性质：1. |AT|=|A|; 2. |λA|=λn|A|;其中n为矩阵A的阶数 3. |AB|=|A||B|.
可逆矩阵：设A 是n阶矩阵. 若存在n阶矩阵B, 使得 二. 可逆矩阵 AB=BA=E, 则称矩阵A是可逆的, 并称B为A的逆矩阵, 简称为A的逆. 定理. 定理 | A |≠ 0 ⇔ A 可逆, 且 的伴随矩阵.
λ1 λ1k 0 0 , 则Λ k = ⋱ 2. 若Λ = ⋱ 且 ， 0 0 λm λm k ϕ (λ1 ) 0 ϕ (Λ ) = ⋱ . 0 ϕ (λm )
λ1 λ1k 0 0 −1 −1 k 所以若A = P ⋱ ⋱ P , 则A = P P . 0 0 k λm λm
称为矩阵A的伴随矩阵，其中Aij是|A|的(i,j)元的代数余子式. 则AA*=A*A=|A|E.
1 * 2. | A |≠ 0 ⇔ A可逆,且A = A. | A| 3.设A可逆. 则A*可逆, 且( A* ) −1 = ( A−1 )* , 其中A*为伴随矩阵.
−1
4. | A |= 0, 则 | A* |= 0, 其中A*为A的伴随矩阵.
矩阵的分块. 三. 矩阵的分块
s1 … st 性质1. 设Am×s A11 ⋯ A1t m1 = ⋮ ⋮ ⋮ , Bs×n A ⋯ A m p pt p1 n1 … nq B ⋯ B s 1q 1 11 = ⋮ ⋮ ⋮ Bt1 ⋯ Btq st
k
注意: 1. 在性质2中要求左边矩阵A的列的分块与右边矩阵B的行 注意 的分块一致, 2. 注意乘积顺序是AikBkj, 而不是BkjAik。
A1 B1 0 0 2. 设A = ⋱ ⋱ , B = , 其中Ai , Bi是方阵, (称之为 0 0 As Bs A1 B1 0 ⋱ 分块对角矩阵.), Ai的阶数 = Bi的阶数. 则AB = . 0 As Bs
a11 a21 记A = ⋯ am1 a12 a22 ⋯ am 2 ⋯ a1n x1 b1 ⋯ a2 n x2 b2 . = (α1 ,⋯ , α n ), X = ,β = ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ amn xn bm
λ1 λ1−1 0 0 特别的, ⋱ ⋱ = (λi ≠ 0). 0 0 −1 λs λs
−1
4.设n 阶矩阵A与m 阶矩阵B可逆. 则 0 B A 0 = −1 0 A
−1
B −1 . 0
1 * A = A | A|
−1
A* 为 A , 其中
性质: 性质 1. 若A可逆, 则A−1也可逆, 且(A−1)−1=A; 2. 若A可逆, 数λ≠0, 则λA可逆, 且(λA)−1=λ−1A−1; 3. 若A可逆, 则AT也可逆, 且(AT )−1=(A−1)T . 4. 若A, B可逆, 则AB可逆, 且(AB)−1=B−1A−1. 推广: 若 A1 ,⋯, As 可逆, 则 A1 A2 ⋯ As 可逆, 且 −1 −1 −1 −1 ( A1 A2 ⋯ As ) = As ⋯ A2 A1 5 若 A 可逆, 则 | A−1 |=
（*）可以用矩阵乘法来表示： AX = β .
A 称为系数矩阵 ( A, β ) 称为增广矩阵 系数矩阵， 增广矩阵. 系数矩阵 增广矩阵
AX = β (矩阵方程) ⇔ β = x1α1 + ⋯ + xnα n (向量方程).
伴随矩阵的性质. 伴随矩阵的性质 1. 设A为n阶方阵，
A11 A12 ∗ A = ⋯ A 1n A21 ⋯ An1 A22 ⋯ An 2 ⋯ ⋯ ⋯ A2 n ⋯ Ann
k =1 p
注意：1. 在定义乘积AB时, 我们要求A的列数与B的行数相等. 注意 2. AB的行数 = A的行数, AB的列数 = B的列数.
4. A ≠ 0, B ≠ 0 ⇒ AB ≠ 0. ×
3.乘法交换率一般不成立. 即 AB≠BA.
5. A ≠ 0, AB = AC ⇒ B = C. ×
性质 1. 结合律 (AB)C=A(BC); 2. 左分配律 A(B+C)=AB+AC; 右分配率 (B+C)A=BA+CA; 3. λ(AB)=(λA)B=A(λB), (其中λ为数); 4. Am×nEn= EmAm×n =Am×n. （三）矩阵的转置. 性质: 1. (AT)T=A; 2. (A+B)T=AT+BT; 3. (λA)T=λAT; 4.(AB)T=BTAT.
由3, 4知A可逆 ⇔ A*可逆.
5. | A* |=| A |n −1 . 其中n为矩阵A的阶数.
6. ( kA) = k
*
n −1
A , 其中k 是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, n是A的阶数.
*
1 . | A|
设ϕ(x)=a0+a1x+ ⋅⋅⋅ +amxm为x的m次多项式, A为n阶矩阵, 记 ϕ(A)=a0E+a1A+ ⋅⋅⋅ +amAm. 则ϕ(A)称为矩阵A的多项式. 矩阵多项式性质： 矩阵多项式性质： 1.如果A=PBP−1, 则 Ak = PB k P −1 , 且ϕ ( A) = Pϕ ( B ) P −1.