线性代数第二章答案

第一章行列式1.1计算以下排列的逆序数，判别其奇偶性。

（1） 365247； （2） 5216743； （3） 7654321； （4） 12)1(⋅−⋅L n n ； （5） 24)22()2()12(531⋅−⋅⋅−⋅⋅L L n n n 。

1.2选择 与 ，使下列排列（1）成为奇排列；使（2）成为偶排列。

i k （1） 75132⋅⋅⋅⋅⋅⋅k i ； （2） 76532⋅⋅⋅⋅⋅⋅k i 。

1.3 写出把排列 1356742 变换成排列 4132567 的对换。

1.4 分别写出4级行列式和5级行列式中所有带有负号且包含因子的项。

2312a a 1.5 按定义计算下列行列式的值。

（1）121051103−−， （2） 430021001011002−， （3） 000100002000010L L L L L L L L L n n −。

1.6 按定义写出行列式xx x x x 111123111212−中 与 的系数。

4x 3x 1.7 按定义说明 级行列式n λλλ−−−nn n nan n a a a a a a a a a L L L L L L L 22222111211是一个关于λ 的 次多项式。

n1.8 计算下列行列式的值。

（1）3621−； （2） |2|−；（3）bia i bbi a −+；上海财经大学《线性代数》分章节习题及答案（4）λλ−−−1132； （5）θθθθsin cos cos sin −； （6） θθθθsin 0cos 010cos 0sin −；（7）691051203−； （8） 142151322−−−−； （9） 5142022000120003−−−；（10）2000130021403121； （11） 5142122000120023−−； （12）3242402052121303−−−；（13）101200211052014−−−−； （14） dc b a 000000000000。

线性代数第三版习题答案第一章：向量空间与线性组合1. 向量空间的定义与性质- 向量空间的定义- 向量空间的性质：封闭性、加法逆元、标量乘法等2. 线性组合与基- 线性组合的概念- 基的定义及其重要性- 基的构造方法3. 向量空间的维数- 维数的定义- 维数与基的关系第二章：矩阵及其运算1. 矩阵的定义与表示- 矩阵的基本概念- 矩阵的表示方法2. 矩阵的加法、数乘与乘法- 矩阵加法的规则- 矩阵数乘的定义- 矩阵乘法的规则与性质3. 矩阵的逆与行列式- 可逆矩阵的条件- 行列式的定义与计算方法第三章：线性变换1. 线性变换的定义与性质- 线性变换的概念- 线性变换的性质：加法和数乘的保持性2. 线性变换与矩阵- 线性变换的矩阵表示- 矩阵与线性变换的关系3. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义- 特征值与特征向量的计算方法第四章：线性方程组1. 线性方程组的解法- 高斯消元法- 矩阵分解法2. 线性方程组的解的结构- 唯一解、无穷多解和无解的条件- 解空间的维数3. 线性方程组的应用- 在经济学、物理学等领域的应用示例第五章：特征值问题与矩阵分解1. 特征值问题的进一步探讨- 特征值问题的几何意义- 特征值问题的数值解法2. 矩阵分解- 矩阵分解的概念- 常见的矩阵分解方法：LU分解、QR分解等3. 矩阵分解的应用- 在数据分析、信号处理等领域的应用结语线性代数作为数学的一个重要分支，在现代科学技术中有着广泛的应用。

掌握线性代数的基本概念和方法，对于理解更高层次的数学理论和解决实际问题都具有重要意义。

希望这份习题答案能够帮助学生更深入地理解线性代数，并在解决相关问题时更加得心应手。

请注意，以上内容是一个示例概要，并非真实的习题答案。

实际的习题答案会根据具体教材和习题内容而有所不同。

第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10). (3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗?解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:（也可参考书上的答案）(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. （也可提取公因式，变成书上的答案）9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB )T =(BA )T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以AB =(AB )T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a O 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A O 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211O .12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x ,故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1. 证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E ⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A-=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16.17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*. 证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-= =2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2.由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1. |P |=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521,即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. （最后一行的-9也可除以-1变成9，从而变成书上的答案） 27. 取⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故 |||||||| D C B A D C B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A ,故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A .29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A .30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.。

线性代数第四版课后习题答案线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。

它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。

而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供了大量的习题供读者练习。

本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。

第一章：线性方程组1.1 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：2x + 3y + z = 74x + 2y + 5z = 43x + 4y + 2z = 5解得x = 1，y = -1，z = 2。

1.2 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：x - 2y + 3z = 12x + y + z = 23x + 4y - 5z = -1解得x = 1，y = 0，z = 0。

第二章：矩阵代数2.1 习题答案：1. 解：设矩阵A为：3 45 6则A的转置矩阵为：1 3 52 4 62.2 习题答案：1. 解：设矩阵A为：1 23 4则A的逆矩阵为：-2 13/2 -1/2第三章：向量空间3.1 习题答案：1. 解：设向量v为：123则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。

3.2 习题答案：1. 解：设向量v为：23则v的单位向量为v/||v||，即：1/sqrt(14)2/sqrt(14)3/sqrt(14)第四章：线性变换4.1 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即：T(x, y) = (y, -x)4.2 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即：T(x, y) = (2x, 2y)通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问题中的应用。

通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。

a
(a 0)Dn 0 0n 0n2 an an2 综上所述， Dn an an2
8.（1）当 A 0 时 ，利用反证法.
假设 A 0
( A )( A )1 E
A A(A)(A)1 A E(A)1 O
A 0
A 0
第二章
行 列 式习题答案
1.
利用三阶行列式求解方程组x21x1
2
x2 x2

x3 3x3
2 1
1 2 1
x1 x2 x3 0
D 2 1 3 50
1 1 1
1 2 2
D3 2 1 1 5
2 2 1
1 1 0
D1 1 1 3 5 0 1 1
1 2 1 D2 2 1 3 10
1 0 1
xi

Di D

x1 x2

1 2
x3 1
2. 当x取何值时，
3 4
1 x
x 0 0
10x
2x(x 2) 0
x0 且 x2
3. 求下列排列的逆序数
(1) (315624) 6
(2) (13 (2n 1)24 (2n)) n(n 1)
A E A E 0 E AB
a1 0 an
1 1 1 1
a1 a2
an
a1a2 an 1 1 0

1 0 1
n
c1


i2
ci
1 1 1 1 1 1
a1 a2
an a2
an
a1a2 an
0
1 0

第二章一、选择题1、计算13230102-⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值为（C ） A.-5 B.6 C.3003⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2902-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且AB BA =，则下列结论中不正确的是（D ）A. 11AB B A --=B. 11A B BA --=C. 1111A B B A ----=D.11B A A B --=3、初等矩阵（A ）A. 都是可逆阵B.所对应的行列式值等于1C. 相乘仍是初等阵D.相加仍是初等阵4、已知,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =,若()2r A n =-，则（C ）A. ()2r B =B.()2r B <C. ()2r B ≤D.()1r B ≥二、判断题1、若,,A B C 都是n 阶矩阵，则()k k k k ABC A B C =. （×）2、若,A B 是n 阶反对称方阵，则kA 与A B +仍是反对称方阵.（√）3、矩阵324113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与矩阵2213B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可进行乘法运算. (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ，则A B =. (×)三、填空题1、已知[]456A =，123B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求AB 得_________。

(32)2、已知12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,i a i n ≠=），则1A -=3、设A 为n 阶方阵，2A =，求T A A 的值为_________。

4、设A 为33⨯矩阵，3A =-，把A 按列分块为()123A A A A =,求出132,4,A A A 的值为__________。

四、计算题1、计算()101112300121024--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.解 原式()12092(38)4-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2、求矩阵100120135A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.解 求出10A =-，11201035A ==，1210515A -=-=-，1311113A --==--，2100035A =-=,2210515A -==--,2310313A -==-, 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212n +3100020A ==,3210010A -=-=-,3310212A -==-- 故*11001102213110105A A A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.五、证明题设n 阶方阵A 满足3()0A I +=，求证A 可逆，且求1A -.证 由3()0A I +=得32330A A A I +++=,于是2(33)A A A I I ⎡⎤-++=⎣⎦. 令233B A A I =---,则AB =I ,故A 可逆，且1233A A A I -=---.。

线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC2．设C (1, 0 ,0 ,1)，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22（ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）03．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B]（ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A二、填空题：1642011651．282342112412124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 4317353．1232657014913121400126784．13413120561402三、计算题：111设 A111，4111123B124，求 3AB2A 及 A T B0511111231113AB 2 A 3 111124 2 1111110511110582223 0562222902222132221720 ;4292111123058由 A对称，A T A，则 A TB AB11112405 6 .111051290线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]（ A）AA A 1（ B）An 1（ C）( A)n A（ D）( A )0 A2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵（ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B|3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]（ A ） A T B T A T C T E （B ） A 2 B 2 A 2 C 2E（C ） BA 2CE （ D ） CA 2 B E二、填空题：1121A ，其中 B21．已知 ABB，则 A2 11122．设2 54 6，则 X =2 13 1 X21 0433．设 A ， B 均是 n 阶矩阵， A2 ， B3 ，则 2 A B14n64．设矩阵 A 满足 A 2A4E0 ，则 ( A E) 11 ( A 2E)2三、计算与证明题：1． 设方阵 A 满足 A 2A 2E 0 ，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A 1和 ( A 2E ) 1A 2A 2 E 0A( A E ) 2 E A(A2 E ) EA 可逆，且 A 1AE ;2A 2 A 2E 0A( A 2E) 3A 2E 0A( A 2E) 3( A 2E) 4E 0( A 3E )( A 2E) 4E ( A3E)( A 2E)E4A可逆，且 (A 2E)1A 3E41 2 12． 设 A3 4 2 ，求 A 的逆矩阵 A 1541解：设 A(a ij )3 ，则A 114 2 4,A 12( 1)1232 13, A 13( 1)133432,4 15154A21( 1)1221 2, A 22 ( 1)2211 6, A 23 ( 1)2312 14,41 5154A 31( 1) 13210, A 32 ( 1) 3211 1, A 33( 1) 3312 2,4232344 2 0 从而 A *1361 .32 142又由1 212c 11 00 2 1A3 4c 23 212254 1 c 3c1514 614 6A * 21 0则 A 113 31A27216 10 3 33． 设 A1 1 0 且满足 ABA2B ，求 B12 3AB A2B( A 2E) B A2 3 3 0 3 3 11 0 B 1 1 012 11 232 3 3 0 3 311 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 r 1r 22 3 3 03 3 12 11 2 31 2 1 1 2 31 1 0 1 1 0 1 1 01 1 0 r 22r 10 1 3 2 5 3 r 3 r 2 0 13 25 3 r 3 r 11 13 32 2 211 0 11 0110 1 10 r 3 ( 1) 0 1 3 2 5 3 r 23r 3 0 1 01 2 32 0 0 1 1 1 00 011 11 0 0 0 3 3 r 1 r2 0 1 01 2 30 0 111 00 3 3 则 B ( A 2E) 1 A1 2 31 1线性代数练习题第二章矩 阵系专业 班姓名学号第三节（一）矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：1 1 3 4 3 r2 3r 1 1 134 3r 2 4 1 1 3 4 3 3 3 5 4 1 0 0 4 8 8 0 0 1 2 222 3 2 0 r 3 2r 1 00 366 r 33 0 0 1 2 233 4 2 1r43r 1 0 0 5 10 10r45 012 211 34 3 11 023 r 3 r 2 0 0 1 2 2 00 1 2 2 r 4r 2 00 0 0 0 r 1 3r20 0 0 0二、把下列矩阵化为标准形：2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 r 2 2r 1 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 23 1 3 7 0 1 1 1 132 83 0 r 1 r232 83 0 r 33r18 8 9 12 13 74 313 74 3 r 4 r 1 05 767122 4 122 4 r3 8r 2 0 1 1 1 1 01 1 1 1 r 45r 2 00 0 1 4 r 3 r40 2 1 20 212 00 0 14r 3 r 4 1 20 0 4120 040 1 1 0 31r 3 01 0 0 2r 2 r 4 r 20 0 2 0 20 0 2 0 2 r 1 2r 420 00 140 141 0 0 0 0 r 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 20 1 0 0 2 0 1 0 0 0r 12r20 2 0 2 1r 3 0 0 1 0 1c52c 2c34c40 1 0 00 00 14 20 0 0 140 0 0 1 0三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵3 2 0 1 0 2 2 1A2 3 211 213 2 0 1 1 0 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 01 2 3 2 0 0 1 r 1 r 32 0 1 1 0 0 0 03 012 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 11 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 02 2 1 0 1 0 0 01 2 1 0 0 0 1 r 33r14 95 1 0 3 0 r 2 r44 95 1 0 3 0 01210 00 12210 10 01 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 r 3 4r 2 0 12 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 1 r 42r 2 0 01 1 1 0 3 4 r 42r30 01 1 1 0 3 40 0210 10 2 0 00 12 1 6 10123 0 42 11 20120 0 1 1 2 2 r 12r4012 0 2 16 11 r 1 3r 3 0 1 00 01 0 1 r2 r 4 0 0 1 0 1 1 36 r 2 2r 3 0 0 1 0 1 1 36 r 3 r 40 00 1 2 1 6100 12 16101 0 0 0 1 1 24 r 1 2r 2 0 10 0 0 1 0 1 0 01 0 1 1 360 00 12 1 6101 12 4 A10 1 0 1 1 1 3 62 1 6 101 1 1 1 0 1 四、已知0 2 2 X 1 1 0 ，求 X110 1 41 1 1 1 0 11 1 1 10 11 1 1 1 0 1 0 22 1 1 0 r3 r 1 0 2 2 11 0 r 3r 2 0 2 2 1 1 0uuuuuruuuuur11 01 40 2 1 1 1 30 03 0 231 1 0 12 21 111 0 13r 22r3 0 20 1r 310 2 2 1 1 0 123r r30 012 1 uuuuuuur20 1 0 1331 1 01221 01 5 33 26r 210 1 0111 r 1 r2 0 1 0 111226uuuuur26uuuuur220 0 1 010 0 1 013 31 5 32 6故 X1 1 12 62 13线性代数练习题第二章矩 阵系专业班姓名学号第三节（二）矩 阵 的 秩一．选择题1．设 A ， B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0，则 A 和 B 的秩[ D]（ A ）必有一个等于零 （ B ）都等于 n（C ）一个小于 n ，一个等于 n（ D ）都不等于 n2．设 mn 矩阵 A 的秩为 s ，则[ C]（ A ） A 的所有 s（ B ）A 的所有 s阶子式不为零－ 1 阶子式不为零（ C ）A 的所有 s +1 阶子式为零（D ）对 A 施行初等行变换变成E s0 0112133．欲使矩阵2s126的秩为2，则s，t满足[ C ] 455t12（ A）s = 3 或t = 4（B）s= 2 或t = 4（ C）s = 3 且t = 4（D）s = 2 且t = 44．设A是m n 矩阵，B是 n m 矩阵，则（ A）当m n 时，必有行列式| AB |0（ B）当（ C）当n m 时，必有行列式| AB |0（ D）当[ B ] m n 时，必有行列式| AB |0n m 时，必有行列式| AB |0a11a12a13a21a22a230105．设Aa21a22a23， Ba11a12a13， P1100，a31a32a33a31a11a32a12a33a13001100P2010，则必有 B[ C ] 101（ A）AP1P2（B）AP2P1（ C）P1P2A（ D）P2P1A二．填空题：31021．设A1 1 2 1 ，则 R( A)213441212．已知A 23a2应满足a=-1 或 3 1a的秩为 2，则 a22a21三、计算题：218371．设A230753258，求 R( A) 。

−3
1
4
⎟ ⎠
=
⎜ ⎝
9
−4
5
⎟ ⎠
(2) 由 AT + X T = BT ，得 X T = BT − AT ，所以
⎛ 2 −3⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎛ 1 −5⎞
XT
=
BT
−
AT
=
⎜ ⎜
3
1
⎟ ⎟
−
⎜ ⎜
3
−1⎟⎟
=
⎜ ⎜
0
2
⎟ ⎟
⎜⎝ −1 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 3 ⎟⎠ ⎜⎝ −1 1 ⎟⎠
因此得
X
⎛ 9 12 6.2 8.3 ⎞
解：
(1)
A
=
⎜ ⎜
11
10.2
8.5
8
⎟ ⎟
，
B
=
⎜⎜11.2
9.9
8.6
8.5
⎟ ⎟
⎜⎝ 9 10 7.2 6.8 ⎟⎠
⎜⎝ 9.1 9.6 8 7 ⎟⎠
⎛8.7 9.1 6.4 7.9 ⎞ ⎛ 9 12 6.2 8.3 ⎞
(2)
A
+
B
=
⎜ ⎜
11
10.2
8.5
8
AT
.
T
⎛⎛ 1 3 ⎞
⎞ ⎛ −1 5 −5 ⎞
解：
( AB)T
=
⎜⎜ ⎜⎜
2
⎜⎝
⎜ ⎝
−2
−1⎟⎟
1
⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
2 −1
5 0
1⎞⎟
3
⎟ ⎠
⎟ ⎟⎠
=
⎜ ⎜
5
⎜⎝10
10 −1
−10

线性代数习题 第二章 （附详解）第二章 矩阵及其运算【编号】ZSWD2023B0061 1 已知线性变换3213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解： 由已知221321323513122y y y x x x故3211221323513122x x x y y y321423736947y y y 321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换32133212311542322y y y x y y y x y y x 323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解： 由已知221321514232102y y y x x x321310102013514232102z z z321161109412316z z z所以有 3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设 111111111A150421321B 求3AB 2A 及A TB解：1111111112150421321111111111323A AB2294201722213211111111120926508503092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)127075321134解：127075321134 102775132)2(7111237449635(2)123)321(解：123)321( (1 3 2 2 3 1) (10)(3))21(312解： )21(31223)1(321)1(122)1(2632142(4)20413121013143110412 解：20413121013143110412 6520876(5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x 解：321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x(a 11x 1 a 12x 2 a 13x 3 a 12x 1 a 22x 2 a 23x 3 a 13x 1 a 23x 2 a 33x 3)321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a5 设3121A2101B 问(1)AB BA 吗? 解： AB BA 因为6443AB8321BA 所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗? 解： (A B)2A 22AB B 2因为5222B A52225222)(2B A2914148但 43011288611483222B AB A27151610 所以(A B)2A 22AB B 2(3)(A B)(A B) A 2B 2吗?解： (A B)(A B) A 2B 2因为5222B A1020B A906010205222))((B A B A而718243011148322B A 故(A B)(A B) A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A 20 则A 0解： 取0010A 则A 20 但A 0 (2)若A 2A 则A 0或A E 解： 取0011A 则A 2A 但A 0且A E (3)若AX AY 且A 0 则X Y 解： 取0001A 1111X1011Y则AX AY 且A 0 但X Y7 设101 A 求A 2A 3A k解：12011011012 A1301101120123 A A A101 k A k8 设001001A 求Ak解： 首先观察0010010010012A2220020123232323003033 A A A43423434004064 A A A545345450050105A A AkA k k kk k k k k k k 0002)1(121用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设k 时成立，则k 1时，0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k 由数学归纳法原理知k k k k k k k k k k k A 0002)1(1219 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B TAB 也是对称矩阵 证明： 因为A TA 所以(B TAB)TB T(B TA)TB T A TB B TAB从而B TAB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明： 充分性 因为A TA B TB 且AB BA 所以(AB)T(BA)TA TB TAB即AB 是对称矩阵必要性 因为A TA B TB 且(AB)TAB 所以AB (AB)TB T A TBA11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)5221 解：5221A |A| 1 故A 1存在 因为1225*22122111A A A A A故 *||11A A A1225(2)cos sin sin cos 解cos sin sin cos A |A| 1 0 故A 1存在 因为cos sin sin cos *22122111A A A A A所以 *||11A A Acos sin sin cos(3)145243121解145243121A |A| 2 0 故A 1存在 因为214321613024*332313322212312111A A A AA A A A A A所以 *||11A A A1716213213012(4)n a a a 0021(a 1a 2a n0)解 n a a a A 0021由对角矩阵的性质知n a a a A 1001121112 解下列矩阵方程 (1)12643152X解：126431521X1264215380232(2)234311*********X 解： 1111012112234311X0332321012343113132538122(3)101311022141X解： 11110210132141X2101101311421212101036612104111 (4)021102341010100001100001010X解： 11010100001021102341100001010X01010000102110234110000101020143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1) 3532522132321321321x x x x x x x x x解： 方程组可表示为321153522321321x x x故0013211535223211321x x x从而有 001321x x x(2) 05231322321321321x x x x x x x x x解： 方程组可表示为012523312111321x x x故3050125233121111321x x x 故有 305321x x x14 设A kO (k 为正整数) 证明(E A) 1E A A 2A k 1证明： 因为A kO 所以E A kE 又因为E A k(E A)(E A A 2A k 1)所以 (E A)(E A A 2A k 1) E由定理2推论知(E A)可逆 且 (E A) 1E A A 2A k 1证明 一方面 有E (E A) 1(E A)另一方面 由A kO 有E (E A) (A A 2) A 2A k 1(A k 1A k)(E A A 2 Ak 1)(E A)故 (E A) 1(E A) (E A A 2A k 1)(E A)两端同时右乘(E A) 1就有 (E A) 1(E A) E A A 2A k 115 设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆 并求A 1及(A 2E) 1证明： 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 即A(A E) 2E或 E E A A)(21 由定理2推论知A 可逆 且)(211E A A 由A 2A 2E O 得A 2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E或 E A E E A)3(41)2( 由定理2推论知(A 2E)可逆 且)3(41)2(1A E E A证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得 |A 2A| 2即 |A||A E| 2 故 |A| 0所以A 可逆 而A 2E A 2|A 2E| |A 2| |A|20 故A 2E 也可逆由 A 2A 2E O A(A E) 2EA 1A(A E) 2A 1E )(211E A A又由 A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E (A 2E)(A 3E) 4 E所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E) 4(A 2 E) 1)3(41)2(1A E E A16 设A 为3阶矩阵 21||A 求|(2A) 15A*| 解： 因为*||11A A A所以 |||521||*5)2(|111 A A A A A |2521|11 A A | 2A 1| ( 2)3|A 1| 8|A| 18 2 1617 设矩阵A 可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*) 1(A 1)*证明： 由*||11A A A得A* |A|A 1所以当A 可逆时 有|A*| |A|n|A 1| |A|n 10 从而A*也可逆因为A* |A|A 1所以(A*) 1|A| 1A又*)(||)*(||1111A A A A A 所以 (A*) 1|A| 1A |A| 1|A|(A 1)* (A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A| 0 则|A*| 0 (2)|A*| |A|n 1证明：(1)用反证法证明 假设|A*| 0 则有A*(A*) 1E 由此得A A A*(A*) 1|A|E(A*) 1O所以A* O 这与|A*| 0矛盾，故当|A| 0时 有|A*| 0(2)由于*||11A A A则AA* |A|E 取行列式得到 |A||A*| |A|n若|A| 0 则|A*| |A|n 1若|A| 0 由(1)知|A*| 0 此时命题也成立 因此|A*| |A|n 119 设321011330A AB A 2B 求B解： 由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故321011330121011332)2(11A E A B01132133020 设101020101A 且AB E A 2B 求B解： 由AB E A 2B 得(A E)B A 2E即 (A E)B (A E)(A E)因为01001010100|| E A 所以(A E)可逆 从而201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B 解： 由A*BA 2BA 8E 得 (A* 2E)BA 8E B 8(A* 2E) 1A 18[A(A* 2E)] 18(AA* 2A)18(|A|E 2A) 18( 2E 2A) 14(E A)14[diag(2 1 2)] 1)21 ,1 21(diag 4 2diag(1 2 1)22 已知矩阵A 的伴随阵8030010100100001*A 且ABA 1BA 13E 求B解： 由|A*| |A|38 得|A| 2由ABA 1BA 13E 得AB B 3AB 3(A E) 1A 3[A(E A 1)] 1A11*)2(6*)21(3A E A E103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中1141P2001 求A 11解： 由P 1AP 得A P P 1所以A 11A=P 11P 1. |P| 31141*P 1141311P而11111120 012001故31313431200111411111A6846832732273124 设AP P 其中111201111P511求 (A) A 8(5E 6A A 2) 解： ( ) 8(5E 6 2)diag(1 1 58)[diag(5 5 5) diag( 6 6 30) diag(1 1 25)] diag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 0 0) (A) P ( )P 1*)(||1P P P1213032220000000011112011112111111111425 设矩阵A、B 及A B 都可逆 证明A 1B 1也可逆 并求其逆阵证明： 因为A 1(A B)B 1B 1A 1A 1B 1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(A B)B 1可逆 即A 1B 1可逆(A 1B 1) 1[A 1(A B)B 1] 1B(A B) 1A26 计算30003200121013013000120010100121 解： 设10211A30122A 12131B30322B则 2121B O B E A O E A222111B A O B B A A而4225303212131021211B B A90343032301222B A 所以 2121B O B E A O E A 222111B A O B B A A9000340042102521即30003200121013013000120010100121900034004210252127 取1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A解：4100120021010*********0021010010110100101D C B A 而01111|||||||| D C B A 故|||||||| D C B A D C B A28 设22023443O O A 求|A 8|及A 4解： 令 34431A22022A则21A O O A A故 8218 A O O A A8281A O O A 1682818281810|||||||||| A A A A A464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆 求 (1)1O B A O解： 设43211C C C C O B A O 则O B A O 4321C C C Cs n E O O E BC BC AC AC 2143 由此得 s n E BC O BC O AC E AC 2143 121413B C O C O C A C所以O A B O O B A O 111(2)1B C O A解： 设43211D D D D B C O A 则s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121 14113211B D CA B D O D A D所以11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)2500380000120025 解： 设1225A2538B 则5221122511A8532253811B于是850032000052002125003800001200251111B A B A(2)4121031200210001 解： 设 2101A 4103B2112C 则1111114121031200210001B CA B O A BC O A411212458103161210021210001。

第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。

（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

BZ, X
ABZ; AB
6 12
1 4
3 9
10 1 16
1 1 1 1 2 3
2.设A
1
1
1, B 1
2
4
,求3AB 2A及AT B
1 1 1 0 5 1
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A＝ 1 2
4 ;
AT
B
0
5
6
0 5 1
2 9 0
作业及其提示
1 0 1
XA
B,
X
BA1
2 8
3
2 5
1 2
3
; 其中A1
3 2
3 1
1 1
3
2 3
0
1（1 2） 10
1 0
0 1 0X 0
0 0
0 1 1 2
4 0
3 1
0 0 1 0 1 0 1 2 0
AXB C : X A1CB1
2 1 0 X 1 3 4
0
kk 1 k
0 2 6 2 1 k(k 1) 2
0
0
1 k(k 1)k2
2
kk 1
,
k
其中，k 2
作业及其提示
第二章：矩阵及其运算
6.设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是：AB BA
证：必要性：若AB对称，则( AB)T AB
A、B对称，( AB)T BT AT BA,即AB BA
答案：Y
A1 X
, 其中A1
7 6
4 3
9 7
3 2 4
y1 7x1 4x2 9x3
y2
6x1

习题二
1. 下列矩阵中, 哪些是对角矩阵、三角矩阵、数量矩阵、单位矩阵?
A
=
1 0
2 3
,
1
B
=
0 0
0 1 0
0 0 1
0
0 0
,
1
C
=
2 4
0 3 5
0
0 6
,
2
D
=
0 0
0 2 0
0
0 2
.
解： D 是对角矩阵, A, C 是三角矩阵, D 是数量矩阵.
2. 设
A
=
1 4
2y− x 2
1 0
21 1 0
2 1
=
1 0
4 1
=
1 0
2
× 1
2
;
1 0
2 3 1
=
1 0
41 1 0
2 1
=
1 0
6 1
=
1 0
2× 1
3 ;
1 0
2 k 1
=
1 0
2k 1
.
下面用数学归纳法证明. 当 k = 2 时, 结论成立. 假设 k = n 时结论成立, 那么当
1 2
2 1
3
4
−
2
−2 3
2 1
1 0
=
5 −4
−2 −1
1 4
;
（2） (2A − X ) + 2(B − X ) = O
X
=
2 (A + B) = 3
2 3
1
2
2 1
3
4
+
−2 3
2 1
1

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

β （图1）总习题一 一、问答题1. 试解释二、三阶行列式的几何意义.解 在平面解析几何中，已知两向量),(),,(2121b b a a ==βα如图，以βα,为邻边的平行四边形的面积为><=βαβα,sin ||||S 平行四边形，而||||,cos βαβαβα⋅>=< ，故|-1|2><=βαβα,sin ||||S 平行四边形 ||||21211221b b a a b a b a =-=这就是说，二阶行列式2121b b a a 表示平面上以),(),,(2121b b a a ==βα为邻边的平行四边形的有向面积，这里符号规定是当这个平行四边形由向量α沿逆时针方向转到向量β而得到时面积取正值；当这个平行四边形由向量α沿顺时针方向转到向量β而得到时面积取负值．空间三向量),,(),,,(),,,(321321321c c c b b b a a a ===γβα的混合积)(γβα⨯⋅的绝对值等于这三个向量张成的平行六面体的体积，即=平行六面体V |||)(321321321c c c b b b a a a |=⨯⋅γβα 三阶行列式321321321c c c b b b a a a 表示以γβα，，为相邻棱的平行六面体的有向体积，当γβα，，构成右手系时，体积取正值；当γβα，，构成左手系时，体积取负值．实际上改变任意两向量次序，取值符号改变．类比二、三阶行列式，n 阶行列式|,,,|D n n ααα 21=是由n 维向量n,,,ααα 21张成的n 维平行多面体的有向体积．尽管我们不能看见n 维平行多面体，但是有2，3维空间做蓝本，我们却能够通过现象抓住行列式概念的本质，进行想象．行列式的性质均可以通过几何直观解释，这就是了解几何背景的优势．- 2 - 习 题 解 答2. 行列式中元素的余子式、代数余子式与行列式有什么关系？ 解 由定义知，在行列式ijn nD a ⨯=中，去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，保持相对位置不变得到的1n -阶行列式称为该元素的余子式，记为ij M ．而把(1)i j ij M +-称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ．由定义可知，元素的余子式及代数余子式与该元素的位置有关，而与该元素本身是什么数无关．因此，如果只改变行列式的某行（列）的各元素数值，并不会改变该行（列）原来的各元素对应的余子式和代数余子式．例如：在行列式1D =123451789-中，将第二行元素都换成1，得2D =123111789，那么2D 的第二行各元素的代数余子式与1D 的第二行各元素的代数余子式是分别对应相同的．利用此性质可以方便地计算行列式某些元素的代数余子式的某些线性组合．它们与行列式的关系主要表现在行列式按行（列）展开定理及其推论中，即⎩⎨⎧≠==∑=)(,0)(,1s i s i D A a sk nk ik ， ⎩⎨⎧≠==∑=)(,0)(,1t j t j D A a kt nk kj ． 3. 试从几何的角度解释三元线性方程组有唯一解的意义.解 线性方程组的解可以借助于子空间的概念来阐明，这样可以使线性方程组的解有了几何意义．设三元一次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)()()(333332222211111πππ d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a , 三个方程在空间分别表示三个平面123,,πππ，该方程组有唯一解，就是说它们有唯一一个交点（如右图）．这样以直观方式去理解三元线性方程组的解，就会比较顺利地迁移到对n 元线性方程组的解地理解上去。

解：令 X
−1
比较矩阵等式得
4
AX21 = E, AX22 = 0, BX12 + CX22 = E, BX11 + CX21 = 0, 于是 X21 = A−1 , X22 = 0 X12 = B −1 , X11 = −B −1 CA−1 15.A 的元素均为整数， 求证 A−1 的元素均为整数的充要条件是 |A| = ±1
那么 1 1 0 1 0 0 0 0
A=0 0 0 1 0 , 分别求 A−1 , B −1 1 1 0 1
和 C −1
(
解:A−1 = sin θ cos θ 1 2 2 B −1 = 1 1 −2 9 2 2 −2 1
cos θ
− sin θ
)
2
C
−1
0 = 0 0
1
−1 0 0
1 −1 1 0 2

1 −1
1 −1 1 −1

2 1

1 1 1
1 = 1
9.解矩阵方程
3
1 2 −1 2
0 X = −1 0 ; 10.解矩阵方程A 0 1 −2 3 1 0 0
aa7a是实对称矩阵且注意到ax我们仅对矩阵ab进行行初等变换将10如法炮制恕不赘述其结果为11
第二章练习题解答
( 1. 设 A = , 计算： 2A, 3B, A + B, 2A − 3B 1 1 1 3 1 1 2. 设 A = 2 1 2 , B = 2 −1 0 , 求 AB − BA. 1 0 2 1 2 3 1 a11 a12 · · · a1n 2 a21 a22 · · · a2n 0 3. 计算 . . . . . . . . . .. . an1 an2 · · · ann 0 ( ) ( ) ( 2 3 1 0 2 4. 已知 A = P ΛQ, 其中 P = ,Λ = ,Q = 1 2 0 −1 −1 2 −1 ,B = 1 2 A8 , A9 , A2n , A2n+1 , (n 为正整数) 解:An = P ΛQP ΛQ · · · P ΛQ

线性代数第三版习题答案线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间及其上的线性变换。

而《线性代数》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了线性代数的基本概念和理论。

然而，对于学习者来说，理解和掌握线性代数的关键在于做好习题。

本文将为读者提供《线性代数》第三版习题的答案，帮助读者更好地巩固知识。

第一章：线性方程组第一章主要介绍线性方程组的解法和矩阵的基本运算。

习题一般涉及到高斯消元法、矩阵的行变换和列变换等内容。

在解答习题时，需要注意对矩阵的运算规则和性质的理解和应用。

第二章：矩阵代数第二章主要介绍矩阵的代数运算和性质。

习题一般涉及到矩阵的加法、减法、乘法和转置等运算。

在解答习题时，需要注意运算的顺序和规则，并且要熟练掌握矩阵的运算性质。

第三章：行列式第三章主要介绍行列式的定义、性质和计算方法。

习题一般涉及到行列式的展开、性质的证明和计算方法的应用。

在解答习题时，需要注意行列式的性质和计算方法的灵活应用。

第四章：向量空间第四章主要介绍向量空间的定义、性质和基本运算。

习题一般涉及到向量空间的子空间、线性相关性和线性无关性等内容。

在解答习题时，需要注意对向量空间的定义和性质的理解和应用。

第五章：线性变换第五章主要介绍线性变换的定义、性质和基本运算。

习题一般涉及到线性变换的核、像、秩和特征值等内容。

在解答习题时，需要注意对线性变换的定义和性质的理解和应用。

第六章：特征值与特征向量第六章主要介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。

习题一般涉及到特征值和特征向量的求解、对角化和相似矩阵等内容。

在解答习题时，需要注意特征值和特征向量的计算方法和性质的灵活应用。

第七章：内积空间第七章主要介绍内积空间的定义、性质和基本运算。

习题一般涉及到内积空间的正交性、投影性质和标准正交基等内容。

在解答习题时，需要注意对内积空间的定义和性质的理解和应用。

第八章：正交变换和正交矩阵第八章主要介绍正交变换和正交矩阵的定义、性质和基本运算。