高中数学1.1空间几何体1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积优化训练新人教B版必修2

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图.(重点)2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积.(重点)3.了解球的表面积公式，会运用公式求球的表面积.(重点)4.组合体的表面积计算.(难点)[基础·初探]教材整理1 棱柱、棱锥、棱台的表面积阅读教材P 25～P 26“倒数第5行”以上内容，完成下列问题.棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( )(3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.( ) 【解析】 (1)正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和. (2)错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形.(3)错误.由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的.【答案】 (1)√ (2)× (3)×教材整理2 圆柱、圆锥、圆台和球的表面积阅读教材P 26“倒数第3行”～P 27“例1”以上内容，完成下列问题. 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式球的表面积公式S 球＝4πR 2.1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π【解析】 所得旋转体为圆柱，圆柱的底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C.【答案】 C2.已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6D.1∶8【解析】 S 1S 2＝4πR 214πR 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R 1R 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.【答案】 B[小组合作型]. 【精彩点拨】 根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解.【自主解答】 如图所示，设正四棱锥的高为PO ，斜高为PE ，底面边心距为OE ，它们组成一个直角三角形POE.∵OE ＝42＝2，∠OPE ＝30°，∴PE ＝OE sin 30°＝212＝4.∴S 正四棱锥侧＝12ch ′＝12×(4×4)×4＝32，S 表面积＝42＋32＝48.即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.1.要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量.2.空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成.[再练一题]1.某几何体的三视图如图1­1­88所示，则该几何体的表面积为()图1­1­88A.180B.200C.220D.240【解析】 由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S 底＝12×(8＋2)×4×2＝40，S 侧＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S 表＝40＋200＝240，故选D.【答案】DAB ＝5 cm ，BC＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.【导学号：45722026】图1­1­89【精彩点拨】 分析几何体的形状―――――――→选择表面积公式求表面积【自主解答】 以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋－2＝13 (cm).∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm 2).1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.[再练一题]2.在本例题题设条件不变的情况下，求以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.【解】 以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD ＝4 cm ，故该几何体的表面积为： 2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm 2).个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.【精彩点拨】 本题是求三个球的表面积之比，解题的关键是得出半径之比，可在各几何体内做出截面，找到球心，易求半径.【自主解答】 设正方体的棱长为a .(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r 1＝a ，r 1＝a2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.1.在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解.2.球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解.[再练一题]3.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图1­1­90所示，则该三棱锥的外接球的表面积为( )图1­1­90A.29πB.28πC.25πD.26π【解析】 由三视图得直观图如图，三棱锥O ­ABC 中OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝3，OC ＝4，OB ＝2，可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的对角线，即为球的直径，长为32＋42＋22，故外接球半径为292，外接球的表面积S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫2922＝29π.【答案】 A[探究共研型]探究1 .图1­1­91【提示】 由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形. 探究2 试根据图中数据求该几何体的表面积.【提示】 三棱柱底面三角形的直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，如图所示，所以表面积为2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3×4＋(3＋4＋5)×5＝72.探究3 已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？【提示】 首先根据三视图确定几何体的形状及其结构特征，再根据相应的表面积公式计算.已知某几何体的三视图如图1­1­92(单位：cm). (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积.【导学号：45722027】图1­1­92【精彩点拨】由三视图确定几何体的形状→选择表面积公式求解【自主解答】 (1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体. 由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2， 可得PA 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×12×2×2＋2×2×2＝22＋42(cm 2).1.由三视图转化为直观图在解题中起到关键作用，在转化过程中注意图中各个数据的对应关系.2.在求几何体的表面积时，要搞清几何体的结构特征，注意分割、拼补的技巧，注意转化与化归思想应用.[再练一题]4.某几何体的三视图如图1­1­93所示，它的表面积为( )图1­1­93A.32πB.48πC.33πD.24π【解析】由三视图可知，该几何体是一个半球和一个圆锥的组合体S＝2π×32＋π·3·5＝33π.【答案】 C1.一个几何体的三视图如图1­1­94所示，该几何体的表面积是( )图1­1­94A.372B.360C.292D.280【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的四个侧面积之和.S＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360.故选B.【答案】 B2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( ) A.1＋2π2π B.1＋4π4π C.1＋2ππD.1＋4π2π【解析】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有h ＝2πr ，所以表面积与侧面积的比为2π(r 2＋rh )∶2πrh ＝(r ＋h )∶h ＝(2π＋1)∶2π.【答案】 A3.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.【解析】 S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2·a ＝32πa 2，S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.【答案】 2∶14.如图1­1­95所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________.图1­1­95【解析】 设圆台的上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r . 由母线长为10可知10＝r2＋r2＝5r ，∴r ＝2.故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8. 所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π. 【答案】 100π5.已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，求圆锥的底面面积.【导学号：45722028】【解】 如图，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧π2l 2＝S ，πl ＝2πr .解得r ＝S2π，所以底面积为πr 2＝π×S 2π＝S2. ∴圆锥的底面面积为S2.。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课时作业 新人教B 版必修2一、选择题1．(2015·山东文登一中高一期末测试)一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么该几何体的侧(左)视图的面积是( )A ．2 3 B. 3 C ．4 D ．2[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体为正四棱锥，其侧(左)视图是边长为2的正三角形，故其面积S ＝12×2×3＝ 3.2．(2015·广东市重点中学高一期末测试)已知一个棱长为3的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积等于( )A ．4πB ．6πC ．8πD ．9π[答案] D[解析] 正方体的体对角线长为3，球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32，∴球的表面积S＝4πR 2＝9π.3．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( ) A.π3 B.π4C.π2D ．π[答案] C[解析] 设正方体的棱长为a ，球半径为R ，则3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积 S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，∴S 1S 2＝π2.4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 、C 、B 1、D 1为顶点的正三棱锥的全面积为43，则正方体的棱长为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2[答案] A[解析] 设正方体的棱长为a ，则侧面的对角线长为2a ， ∴正三棱锥B 1－ACD 1的棱长为2a ，它的全面积为4×34×(2a )2＝43，∴a 2＝2，a ＝ 2.5．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( ) A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2[答案] B[解析] 原来正方体表面积为S 1＝6a 2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为13a ，其表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝23a 2，总表面积S 2＝27×23a 2＝18a 2，∴增加了S 2－S 1＝12a 2. 6．正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为( )A. 2B. 3C.62 D.233[答案] B[解析] 设正方体的棱长为a ，S 正方体全＝6a 2，而正四面体的棱长为2a ， S 正四面体全＝4×34×(2a )2＝23a 2， ∴S 正方体全S 正四面体全＝6a 223a 2＝ 3. 二、填空题7．正四棱柱的体对角线长为6，侧面对角线长为33，则它的侧面积是________． [答案] 36 2[解析] 设正四棱柱的底面边长为a ，侧棱长为b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝272a 2＋b 2＝36，解得a ＝3，b＝32，则侧面积为4ab ＝36 2.8.若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．[答案] 3π[解析] 由主视图知该圆锥母线长为3，底面半径为1，则侧面积为S ＝π×1×3＝3π. 三、解答题9．已知某几何体的俯视图是如图所示矩形．主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)判断该几何体形状； (2)求该几何体的侧面积S .[解析] (1) 这个几何体是四棱锥．(2)作出该几何体的直观图，如图，E 、F 为AB 、BC 的中点，则AB ＝8，PO ＝4，BC ＝6.在Rt △POF 中，PF ＝16＋16＝42，∴S △PBC ＝12×6×42＝122，在Rt △POE 中，PE ＝16＋9＝5，∴S △PAB ＝12×8×5＝20，所以侧面积为2(122＋20)＝242＋40.10．(2015·宁夏银川市唐徕回民中学高一月考)已知圆锥的表面积为a ，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径．[解析] 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＋πrl ＝a2πr ＝πl ，解得r ＝3a π3π. ∴圆锥的底面直径为23a π3π.一、选择题1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5[答案] B[解析] 由三视图可得该几何体为三棱锥，如图所示．利用垂直关系和三角形面积公式，得：S △ACD ＝S △ABD ＝S △BCD ＝10， S △ABC ＝12×25×6＝6 5.因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋6 5.2．过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离是球半径R 的一半，且AB ＝6，BC ＝8，AC ＝10，则球的表面积是( )A ．100πB ．300πC.100π3 D.4003π [答案] D[解析] 如图所示，作OH ⊥面ABC ，∵OA ＝OB ＝OC ＝4，∴H 是△ABC 的外心，∵AB ＝6，BC ＝8，AC ＝10，∴△ABC 为直角三角形， ∴H 是AC 的中点，即截面圆的半径r ＝12AC ＝5，∴R 2－R 24＝5，解得R ＝103，∴S 球＝4πR 2＝4003π.3．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是( ) A ． B ．C ．D ．[答案] C[解析] ∵圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设球的直径为2R ，则圆柱全面积S 1＝2πR 2＋2πR ·2R ＝6πR 2，球表面积S 2＝4πR 2，∴S 1S 2＝32.4．(2015·山东商河弘德中学高一月考)正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1、S 2，则( )A ．S 1＝S 2B ．S 1＝2S 2C ．S 1＝3S 2D ．S 1＝4S 2[答案] C[解析] 设正方体的棱长为a ，则其外接球的半径R 1＝32a ，内切球的半径R 2＝12a ， ∴S 1＝4πR 21＝3πa 2，S 2＝4πR 22＝πa 2， ∴S 1＝3S 2. 二、填空题5．如果一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积是________cm 2.[答案] 80＋16 2[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是由一个棱长为4的正方体和一个底边长为4，高为2的正四棱锥组合而成的，如图所示．其表面积为S ＝5×4×4＋4×12×4×22＝80＋162(cm 2)．6．若球的表面积为16π，则与球心距离为3的平面截球所得的圆面面积为________． [答案] π [解析] 如图所示，∵球的表面积为16π，∴球的半径R ＝2， 又球心O 到截面的距离为3， ∴截面圆的半径r ＝1， ∴截面圆的面积为πr 2＝π. 三、解答题7．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？[解析] 如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10，∴SA ＝20.同理可得SB ＝40， ∴AB ＝SB －SA ＝20， ∴S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 ＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22 ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2.8．(2015·广东市重点中学高一期末测试)一个几何体的三视图如图所示，其中主视图是边长为2a 的正三角形，俯视图是边长为a 的正六边形，求该几何体的表面积．[解析] 由三视图可知该几何体是正六棱锥(如图)，侧棱长为AC ＝2a ，斜高AD ＝AC 2－CD 2＝a2－12a 2＝152a . S 侧面＝6×12×a ×152a ＝3152a 2， S 底面＝6×34×a 2＝332a 2， S 表面＝S 侧面＋S 底面＝3152a 2＋332a 2＝32(3＋15)a .。

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,且面积为,则该圆锥的全面积是( A )(A)3π (B)3π(C)6π (D)9π解析:设圆锥底面半径为r,则=×2r·r,所以r=1.所以母线l=2r=2,所以S全=S侧+S底=πrl+πr2=3π.故选A.2.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( A )(A)12π (B)π(C)8π(D)4π解析:由题知正方体棱长为2,球的直径为2,半径R=,则球的表面积S=4πR2=12π.故选A.3.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的全面积为( C )(A)6π(4π+3)(B)8π(3π+1)(C)6π(4π+3)或8π(3π+1)(D)6π(4π+1)或8π(3π+2)解析:圆柱侧面积为6π×4π=24π2①以边长为6π的边为高时,S全=24π2+8π,②以边长为4π的边为高时,S全=24π2+18π.故选C.4.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( A )(A) (B)(C) (D)解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h=2πr,所以S全=2πr2+2πr·h=2πr2(1+2π)又S侧=h2=4π2r2,所以=.故选A.5.圆台的较小底面半径为1,母线长为2,一条母线和底面的一条半径有交点且成60°,则圆台的侧面积为.解析:画出圆台,则r1=1,r2=2,l=2,S圆台侧面=π(r1+r2)l=6π.答案:6π6.正六棱柱的一条最长的对角线长是13,侧面积为180,求棱柱的全面积.解:如图,设正六棱柱的底面边长为a,侧棱长为h,易知CF′是正六棱柱的一条最长的对角线,即CF′=13.因为CF=2a,FF′=h,所以CF′===13. ①因为正六棱柱的侧面积为180,所以S侧=6a·h=180, ②联立①②解得或当a=6,h=5时,S底=6×a2×2=108.所以S全=180+108.当a=,h=12时,S底=6×a2×2=,所以S全=180+.7.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为.解析:因为圆柱的底面周长为2π,所以底面半径r=1,又高h=2,所以表面积S=2πr2+2πrh=6π.答案:6π8.正四棱台的两底面边长分别是6 cm和10 cm,高为4 cm,它的表面积为 cm2.解析:如图,设上、下底面中心分别为O1,O,边A1D1,AD的中点分别为E1,E,连接O1O,O1E1,E1E,EO,作O1F∥E1E交OE于点F,则O1E1=3 cm,OE=5 cm,OO1=4 cm,所以OF=OE-O1E1=2 cm.在Rt△OO1F中,O1F===2(cm),所以EE1=2 cm.所以S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底=4×(A1D1+AD)·EE1+A1+AD2=4×(6+10)×2+62+102=(64+136)(cm2).答案:64+1369.一个正四面体的所有棱长均为,四个顶点在同一球面上,求此球的表面积.解:如图所示,设正四面体ABCD的高为AO1,设球的球心为O,半径为R,则O1B=BC=.在Rt△AO1B中,AO1===.在Rt△OO1B中,O1O2=R2-()2=R2-.所以AO1=R+=,所以R=,所以S球=4π×()2=3π.10.有一塔形几何体由3个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积).解:易知由下向上三个正方体的棱长依次为2,,1.考虑该几何体在水平面的投影,可知其水平面的面积之和为下底面最大正方体的底面面积的二倍.所以S表=2S下+S侧=2×22+4×[22+()2+12]=36.所以该几何体的表面积为36.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积典题精讲例1表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )A. B.π C. D.π思路解析：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×,知a=1，则此球的直径为，故选 A.答案：A绿色通道：球与正方体或长方体的接与切问题是高考中最常见的一种题型.若长方体内接于一个球,那么其对角线长等于球的直径.对于正方体来说,恰有球的直径等于正方体棱长的3倍.变式训练 1 已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于( )A. B. C. D.思路解析：正方体外接球的体积是π，则外接球的半径R=2，正方体的体对角线的长为4，棱长等于，选 D.答案：D例2正四棱台AC1的高是17 cm,两底面的边长分别是 4 cm和16 cm,求这个棱台的侧棱长和斜高.思路分析：棱台中有关量的计算通常是归结到某个梯形内进行,而正棱台则是在直角梯形内进行.图11-(6,7)-1解：设棱台两底面的中心分别是O1和O,B1C1和BC的中点分别是E1和E,如图11-(6,7)-1所示,连结O1O、E1E、OB、O1B1、OE、O1E1,则OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.∵Ａ1B1=4 cm,AB=16 cm,∴Ｏ1E1=2 cm,OE=8 cm,O1B1=cm,OB=cm.因此BB1==19(cm),EE1=(cm),即这个棱台的侧棱长是19 cm,斜高是cm.绿色通道：正棱台的侧面积与斜高有一定的关系,而斜高的求解一般归结到一个梯形中,利用梯形的性质进行求解.变式训练2棱台的两底面都是矩形，两底面对角线交点的连线是棱台的高且长为12 cm，上底的周长为112 cm，下底的长和宽分别为54 cm和30 cm.求棱台的侧面积.思路解析：首先可以根据平行成比例求出上底长和宽,再求侧面积.解：设上底面的长为x cm，宽为(56-x) cm，把棱台恢复成棱锥以后小棱锥的高为h cm. 则,∴x=36,56-x=20.设侧面梯形的高分别为y cm，z cm.则y==15,z==13.∴Ｓ侧=(54+36)·13+(30+20)·15=1 170+750=1 920.答：棱台的侧面积是 1 920 cm2.例3如图11-(6,7)-2，有一圆柱内接于底面半径为4、高为3的圆锥内，求此圆柱的侧面积的最大值.图11-(6,7)-2思路分析：本题圆柱的底面半径和母线长都在变，设圆柱的底面半径为r，通过轴截面中三角形的相似，可以找到圆柱的底面半径r和母线长l的关系，从而使l能用r来表示，利用圆柱的侧面积公式，最终把问题转化为求函数最大值的问题.解：如题图所示，设圆柱的底面半径为r，母线长为l,则CO=r，A′C=l，AO=4，SO=3.在△SAO中，∵A′C∥SO,，∴.∴l=.根据圆柱的侧面积公式S侧=2πr·r(12-3r)=［-3(r-2)2+24］,当r=2时，S侧最大，此时圆柱的侧面积的最大值为12π．绿色通道：求圆柱的侧面积的关键是求圆柱的底面半径和母线长，本题中使l能用r来表示，把问题转化为求函数最大值的问题是常见的题型.变式训练3直四棱柱的底面是矩形，且底面对角线的夹角为60°，对角面的面积为S，求此直四棱柱的侧面积.思路分析：此题应可以将对角线大胆的设元，目的是方便列方程，将对角线设出，但设而不解.因此，底面两条边以及对角线全部用母线长l来表示，在最后进行侧面积的计算时，刚好约去l.解：如图所示，设底面两边分别为a、b，侧棱长为l，图11-(6,7)-3底面对角线长为t，则AC=BD=t，设AC与BD相交于O点，则∠AOD=60°，∠AOB=120°，∴△AOD是等边三角形.∴AD=OA=AC=t.∴△AOB是顶角为120°的等腰三角形，AB=OA=t.又∵对角面的面积为S，S=t·l，∴t=.∴AD=t=，AB=t=.∴Ｓ侧=c·l=2(AD+AB)l=(+)l=(+1)S.问题探究问题球与长方体、正方体的切、接问题较复杂,一般将球转化为平面问题解决.如下例: 棱长为 2 cm的正方体容器盛满了水，把半径为 1 cm的铜球放入水中，铜球刚好被淹没.现向正方体内放入一个铁球，使它淹没在水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多少？导思:铜球放入正方体容器刚好被淹没，相当于球内切于正方体，再放入一个铁球，要使流出的水量最多，就是使铁球与水面相切，画出过正方体的对角面的截面图，转化为平面问题求解.探究：图11-(6,7)-4是正方体的对角面的截面图.AC1=，AO=，AS=AO-OS=-1.设铁球的半径为r，tan∠Ｃ1AC=.图11-(6,7)-4在△AO1D中，AO1=r，∴AS=AO1+O1S=r+r.又AS=-1，∴r+r=-1,r==(2-) cm.故铁球的半径为(2-) cm.单独说球很简单，因为球有多方位对称性，但是当球被平面所截，特别是与多面体切接时，问题的难度就大大增加了.要充分发挥空间想象力，把有关球的问题转化为平面问题，熟记一些常见的球与多面体组成的组合体的截面图，将有利于解题.。

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课时目标1．认识柱、锥、台、球的表面积的计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单的问题． 2．认清直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面睁开图的特色，由此推导出侧面积公式．1．棱柱、棱锥、棱台侧面积(1) 设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面积计算公式：S 直棱柱侧＝________ ，即直棱柱的侧面积等于它的________________________________ ．(2)设正 n 棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正 n 棱锥的侧面积的计算公式：S正棱锥侧＝________＝________，即正棱锥的侧面积等于它的________________________ ．(3)设棱台下底面边长为a，底面周长为c，上底面边长为a′，周长为c′，斜高为h′，则正 n 棱台的侧面积公式： S 正棱台侧＝ __________ ＝ ____________．2．棱柱、棱锥、棱台和球的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于________________________ ．(2)用球的半径 R 计算球表面积的公式：S 球＝______，即球面面积等于它的______________________ ．3．旋转体的侧面积若圆柱、圆锥、圆台沿其母线剪开后睁开，其侧面睁开图分别是 ________、 ________、扇环，其侧面积公式分别为 S 圆柱侧＝ ________，S 圆锥侧＝ ________， S 圆台侧＝ ________．一、选择题1．一个圆柱的侧面睁开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为() 1＋ 2π1＋ 4π1＋ 2π1＋ 4πA．2π B ．4πC．π D ．2π2．底面是菱形的直棱柱，它的底面对角线的长分别为 6 和 8，高为15，则此棱柱的侧面积为 ()A． 75 B ．250C． 150D．30063．正三棱锥的底面边长为1，高为6，则此棱锥的侧面积为 ()333333A．4B．2C．4D．24．有向来三棱柱的三视图以下图则该三棱柱的侧面积为()A． 4( 6＋ 2)B． 122C．4 2＋ 8D． 4( 2＋ 3)5．长方体的一个极点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8 个极点都在同一个球面上，则这个球的表面积()A． 25π B ．50πC．125 πD．以上都不对6．三视图以下图的几何体的全面积是()A．7＋ 2B．11＋2 2C．7＋ 3D．3 2二、填空题7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3 ，若在上边钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为 ________．8．正六棱柱的高为 5 cm，最长的对角线为13 cm，则它的侧面积为 ________．9．已知 OA 为球 O 的半径，过 OA 的中点 M 且垂直于OA 的平面截球面获得圆M ．若圆 M 的面积为 3π，则球 O 的表面积等于 ________．三、解答题10．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．11．直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1， Q2，求直平行六面体的侧面积．能力提高12．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个极点，求这三个球的表面积之比．13．有一塔形几何体由 3 个正方体组成，组成方式以下图，上层正方体下底面的四个极点是基层正方体上底面各边的中点．已知最基层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最基层正方体的底面面积)．1．在解决棱锥、棱台、球的侧面积、表面积问题时常常将已知条件归纳到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．柱、锥、台体侧面积公式之间的关系，直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系依据以上关系，在正棱台的侧面积公式中，令c′＝ c，能够获得直棱柱的侧面积公式，令 c′＝ 0，可获得正棱锥的侧面积公式，其关系以下所示：1．1 ．6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积答案知识梳理1 11 1． (1)ch 底面周长和高的乘积(2) 2nah ′ 2ch ′ 底面周长和斜高乘积的一半(3) 2n(a1＋ a ′)h ′(c ＋ c ′ )h ′22． (1) 侧面积与底面积之和 2(2)4 πR 大圆面积的四倍 3．矩形 扇形 2π Rh π Rlπ (R ＋ r)l作业设计1．A2 222 21＋ 2π[ 设底面半径为 r ，侧面积＝ 4πr ，全面积为＝2πr ＋ 4πr ，其比为： 2π ． ]2．D 3．A4．A[ 底面三角形为等腰三角形，三边长分别为2 2， 6， 6．故三棱柱的侧面积 S＝ 4( 6＋ 2)． ]5．B [外接球的直径 2R ＝长方体的体对角线＝a 2＋b 2＋c 2(a 、b 、c 分别是长、宽、高) ．]6． A [ 图中的几何体可当作是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为 2，高为 1，棱柱的高为 1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2， 2，表面积 S表面＝ 2S 底 ＋S 侧面 ＝1(1＋ 2) ×1×2＋ (1＋1＋ 2＋ 2) ×1＝ 7＋ 2．]27． 3 分析由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，2即 2πr ×3＝2πr，因此 r ＝ 3．8． 180 cm 2 分析设正六棱柱的底面边长为a ，则底面正六边形的最长对角线为2a ，∴ 52＋ (2a)2 ＝132，∴ a ＝ 6 cm ．∴ S 正六棱柱侧 ＝ 6ah ＝ 180 cm 2． 9． 16π分析设球半径为 R ，则圆 M 的半径为 r ，22＝3， 则 πr＝ 3π，即 r 由题意得 R 2－ R 2＝ 3，222因此 R ＝ 4? 4πR＝ 16π．10．解如图， E、 E1分别是 BC 、 B1C1的中点， O、 O1分别是下、上底面正方形的中心，则 O1O 为正四棱台的高，则 O1O＝ 12．1连结 OE、 O1E1，则 OE＝2AB11A1B1＝3．＝×12＝ 6， O1E1＝22过 E1作 E1H⊥ OE，垂足为H，则 E1H ＝ O1O＝ 12， OH＝O1E1＝ 3，HE＝ OE－O1E1＝ 6－3＝ 3．在 Rt△E1HE 中， E1 E2＝ E1H2＋HE 2＝122＋ 32＝ 32×42＋ 32＝ 32×17，因此 E1E＝ 3 17．1因此 S 侧＝ 4×2×(B 1C1＋ BC)×E1E＝2×(12＋ 6) ×3 17＝ 108 17．11．解以下图，设底面边长为a，侧棱长为l ，底面两条对角线的长分别为c，d，即 BD ＝ c，AC ＝ d，则c·l＝ Q1①d·l＝ Q2②121222c＋2d＝ a③由①得 c＝Ql1，由②得d＝Q l2，代入③得Q1 2＋ Q2 2＝a2，2l2l∴ Q21＋ Q22＝ 4l 2a2，∴ 2la＝Q21＋ Q22．∴S 侧＝4al ＝ 2 Q21＋ Q22．12．解设正方体的棱长为a．以下图．①正方体的内切球球心是正方体的中心， a球心作截面，因此有2r 1＝a ， r 1 ＝ ，因此切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及2 2S ＝ 4πr＝ πa．11②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r 2＝ 2＝22 2a ， r 2a ，因此 S 2＝ 4πr＝ 2πa．2 2③正方体的各个极点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，因此有 2r 3＝ 3a ，r 3＝3a ，2因此 22S ＝ 4πr＝ 3πa．33综上可得 S 1∶ S 2∶S 3＝ 1∶ 2∶3． 13．解易知由下向上三个正方体的棱长挨次为 2， 2， 1．考虑该几何体在水平面的投影， 可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．∴ S 表＝2S 下＋S 侧2＋4×[2 2＋( 2) 22＝ 2×2 ＋ 1 ]＝36．∴该几何体的表面积为 36．。

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知正六棱柱的高为h ，底面边长为a ，则它的表面积为( )【导学号：45722029】A.33a 2＋6ah B.3a 2＋6h C.43a 2＋6ahD.323a 2＋6ah 【解析】 柱体的表面积是侧面积加底面积，据正六棱柱的性质，得其表面积为S 侧＋2S 底＝33a 2＋6ah .【答案】 A2.长方体的体对角线长为52，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A.202πB.252πC.50πD.200π【解析】 ∵对角线长为52，∴2R ＝52，S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎪⎫5222＝50π. 【答案】 C3.矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为( )A.1∶2B.1∶1C.1∶4D.1∶3【解析】 以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S 1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S 2＝2π×1×2＝4π，故S 1∶S 2＝1∶1，选B. 【答案】 B4.圆台OO ′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO ′的侧面积是( ) A.54π B.8π C.4πD.16π【解析】 S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝π(7＋2)×6＝54π.【答案】 A5.如图1­1­96所示，该图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )图1­1­96A.20πB.24πC.28πD.32π【解析】 根据三视图特征，将三视图还原为直观图，根据直观图特征求表面积. 由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是23，底面半径是2，因此其母线长为4，下面圆柱的高是4，底面半径是2，因此该几何体的表面积是S ＝π×22＋2π×2×4＋π×2×4＝28π，故选C.【答案】 C 二、填空题6.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm ，则该棱柱的侧面积为________cm 2.【导学号：45722030】【解析】 棱柱的侧面积S 侧＝3×6×4＝72(cm 2). 【答案】 727.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的______倍. 【解析】 设轴截面正三角形的边长为2a ，∴S 底＝πa 2，S 侧＝πa ×2a ＝2πa 2，∴S 侧＝2S 底. 【答案】 28.侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，该三棱锥的表面积为________. 【解析】 底面边长为a ，则斜高为a2，故S 侧＝3×12a ×12a ＝34a 2.而S 底＝34a 2， 故S 表＝3＋34a 2.【答案】3＋34a 2三、解答题9.如图1­1­97所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？图1­1­97【解】 几何体的表面积为：S ＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π ＝24＋1.5π.10.正四棱台两底面边长分别为3和9.(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.【解】 (1)如图，设O 1，O 分别为上，下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高.由题意知∠C 1CO ＝45°，CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22×(9－3)＝3 2. 在Rt△C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝32， 又EF ＝CE ·sin 45°＝32×22＝3， ∴斜高C 1F ＝C 1E 2＋EF 2＝22＋32＝3 3.∴S 侧＝12(4×3＋4×9)×33＝72 3.(2)由题意知，S 上底＋S 下底＝32＋92＝90， ∴12(4×3＋4×9)·h 斜＝32＋92＝90. ∴h 斜＝90×212＋36＝154.又EF ＝9－32＝3，h ＝h 2斜－EF 2＝94.[能力提升]1.某四棱锥的三视图如图1­1­98所示，该四棱锥的表面积是( )图1­1­98A.32B.16＋16 2C.48D.16＋32 2【解析】 由三视图还原几何体的直观图如图所示.S 表＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×22×4＋4×4＝16＋16 2.【答案】 B2.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )A.2B.4C.6D.8【解析】 由已知得底面边长为1，侧棱长为6－2＝2. ∴S 侧＝1×2×4＝8. 【答案】 D3.一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4.将其绕较长底所在直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是________.【导学号：45722031】【解析】 旋转所得几何体如图.由图可知，几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积之和，∴S ＝S 圆柱底＋S 圆柱侧＋S 圆锥侧＝π×42＋2π×4×2＋π×4×5＝52π. 【答案】 52π4.某几何体的三视图如图1­1­99所示，则其表面积为________.图1­1­99【解析】 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.【答案】 3π。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学1-1空间几何体1-1-6棱柱棱锥棱台和球的表面积优化训练新人教B版必修2______年______月______日____________________部门5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在一个长方体上钻一个圆柱形的孔，钻孔后得到的几何体与原长方体相比，其表面积( )A.变大了B.变小了C.相等D.不一定解析：当钻的孔即圆柱底面面积之和等于侧面积时，相等；当底面面积之和小于侧面积时，变大；当底面面积之和大于侧面积时，变小. 答案：D2.一个正三棱台的上下底面边长为3 cm 和6 cm ，高为cm ，则此三棱台的侧面积是( )23A. B. C. D.以上都不对327393227解析：虽然根据正三棱台的侧面是等腰梯形,可以求出这个等腰梯形的高，进而可求得侧面积，但这里的选项Ａ、Ｂ、Ｃ中皆没有单位cm ，所以选D. 答案:D3.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.解：正方体的对角线即为球的直径，直径d=，由d=R=S=4πR2=27π.3327333222==++33⇒333⇒ 答案：27π10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知正六棱柱的高为h ，底面边长为a ，则它的全面积为( ) A. B.ah a 6332+h a 632+ C. D.aha 6342+ah a 63232+ 解析：柱体的全面积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质，得其全面积为S 侧+2S 底=6ah+a2.33 答案：A2.如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( )A.2πB.C.D.23π332π2π解析：可以把母线的长设为1,根据已知求出圆台的高,进而根据公式分别求出圆台的侧面积和轴截面的面积. 答案:C3.侧面都是直角三角形的正棱锥，底面边长为a ，则此棱锥的全面积是( )A. B.2433a +2233a + C. D.都不对2436a + 解析：首先要搞清楚这个正棱锥只能是正三棱锥,这是因为正棱锥的同一个顶点上的各侧面顶角之和小于360°,则易得答案为A. 答案:A4.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A. B. C. D.16316983329 解：如图所示，设球半径为R,由题意知OO′=，OF=R,2RS∴r=R.23 S 截面=πr2=π(R)2=πR3,2343S 球=4πR2. ∴.16344322==R RS S ππ球截面答案：A5.图1-1-6-1所示的是由18个边长为1 cm 的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？图1-1-6-1解析：从图中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后、左、右两个面的表面积也是分别相同的.解：因为小正方体的棱长是1 cm ，所以上面的表面积为12×9=9（cm2）；前面的表面积为12×8=8（cm2）；左面的表面积为12×7=7（cm2）, 几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48. 30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.长方体的一个顶点上三条棱分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A.25πB.50πC.125πD.都不对解析：由于长方体的对角线的长是球的直径.所以可求得这个球的直径是,然后代入球的表面积公式S=4πR2即可.50 答案:B2.若正三棱锥的斜高是高的倍，则棱锥的侧面积是底面积的( )332 A.倍 B.2倍 C.倍 D.3倍3238解析：由已知易求侧棱与高的夹角是60°,进而求得对于同一底边,侧面三角形和底面三角形的高的比为2∶3,由此易得答案. 答案:B3.现要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为3 m,长和宽的和为20 m,那么仓库的容积的最大值是( )A.300 m3B.400 m3C.200 m3D.240 m3解：设长方体的长为x,则宽为20-x,所以V=3x(20-x)=-3(x-10)2+300≤300.故最大容积为300 m3.答案：A4.下列四个结论中,错误的个数为( )①经过球面上任意两点,可以作且只可以作一个球的大圆;②球面积是它大圆面积的四倍;③球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.A.0B.1C.2D.3解析：当球面上的两点与球心共线时可作无数个球的大圆,①错;S球=4πR2,S大圆=πR2.所以S球=4S大圆,②正确;球面上两点的球面距离是球面上的两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,并非任意截面圆上,所以③错.答案：C5.如图1-1-6-2所示,正方体棱长为3 cm,在每个面正中央有个入口为正方形的孔道通到对面,孔的边长为1 cm,孔的各棱平行于正方体各棱.则所得几何体的总表面积为( )图1-1-6-2A.54 cm2B.76 cm2C.72 cm2D.84 cm2解：由题意知该几何体的表面积包含外部表面积与内部表面积.S外=6×32-6×12=48( cm2),S内=4×6=24( cm2).∴S 总=48+24=72( cm2). 答案：C6.正方体ABCD —A1B1C1D1中,以顶点A 、C 、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为,则正方体的棱长为( )34A. B.2 C.4 D.222解：设正方体的棱长为a,侧面的对角线长为,∴正三棱锥ACB1D1的棱长为,它的表面积为4··()2=.∴a2=2,即a=.a 2a 243a 2342答案：A7.正方体的8个顶点中,有4个恰为正三棱锥的顶点,则正方体与正三棱锥的表面积之比是( )A. B. C. D.23266解：不妨设正四面体的顶点为A 、C 、B1、D1,设正方体的棱长为1,则正四面体棱长为.2∴正方体的表面积为6,正四面体的表面积为.∴它们的表面积之比为.323 答案：B8.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A. B. C. D.ππ221+ππ441+ππ21+ππ241+解：设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h=2πr.∴S 全=2πr2+(2πr)2=2πr2(1+2π),S 侧=h2=(2πr)2=4π2r2.∴.ππ221+=侧全S S 答案：A9.在球内有相距1 cm 的两个平行截面，截面面积分别是5π cm2和8π cm2，球心不在截面内，求球的表面积.解:轴截面如图所示.圆O 是球的大圆，A1B1、A2B2分别是两个平行截面圆的直径，过O 作OC1⊥A1B1于C1，交A2B2于C2，由于A1B1∥A2B2，∴OC2⊥A2B2.由圆的性质可得C1和C2分别是A1B1和A2B2的中点.设两平行截面的半径分别为r1和r2且r2＞r1,依题意πr12=5π,πr22=8π,∴r12=5,r22=8.∵OA1和OA2都是球的半径R, ∴OC1=,OC2=.82222-=-R r R 52212-=-R r R ∴=1.8522---R R 解这个方程得R2=9.∴S 球=4πR2=4π·32=36π( cm2).10.如图1-1-6-3，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R ，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R 和3R ，斜高为0.6R.图1-1-6-3（1）求这个容器盖子的表面积（用R 表示，焊接处对面积的影响忽略不计）；（2）若R=2 cm ，为盖子涂色时，所用的涂料每0.4 kg 可以涂1 m2，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少千克（精确到0.1 kg ）.1解：（1）S正四棱台=4××（2.5R+3R）×0.6R+（2.5R）2+（3R）221=（4×2.5+4×3）×0.6R2+6.25R2+9R2=21.85R2,则S球=4πR2.2因此这个盖子的全面积为S全=（21.85+4π）R2.（2）取R=2，π=3.14，求得S全=137.67 cm2，（137.67×100）÷10 000×0.4≈0.6（kg）.因此100个这样的盒子共需涂料约0.6 kg.。

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知正六棱柱的高为h ，底面边长为a ，则它的表面积为( )【导学号：45722029】A.33a 2＋6ah B.3a 2＋6h C.43a 2＋6ahD.323a 2＋6ah 【解析】 柱体的表面积是侧面积加底面积，据正六棱柱的性质，得其表面积为S 侧＋2S 底＝33a 2＋6ah .【答案】 A2.长方体的体对角线长为52，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A.202πB.252πC.50πD.200π【解析】 ∵对角线长为52，∴2R ＝52，S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎪⎫5222＝50π. 【答案】 C3.矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为( )A.1∶2B.1∶1C.1∶4D.1∶3【解析】 以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S 1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S 2＝2π×1×2＝4π，故S 1∶S 2＝1∶1，选B. 【答案】 B4.圆台OO ′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO ′的侧面积是( ) A.54π B.8π C.4πD.16π【解析】 S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝π(7＋2)×6＝54π.【答案】 A5.如图1­1­96所示，该图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )图1­1­96A.20πB.24πC.28πD.32π【解析】 根据三视图特征，将三视图还原为直观图，根据直观图特征求表面积. 由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是23，底面半径是2，因此其母线长为4，下面圆柱的高是4，底面半径是2，因此该几何体的表面积是S ＝π×22＋2π×2×4＋π×2×4＝28π，故选C.【答案】 C 二、填空题6.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm ，则该棱柱的侧面积为________cm 2.【导学号：45722030】【解析】 棱柱的侧面积S 侧＝3×6×4＝72(cm 2). 【答案】 727.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的______倍. 【解析】 设轴截面正三角形的边长为2a ，∴S 底＝πa 2，S 侧＝πa ×2a ＝2πa 2，∴S 侧＝2S 底. 【答案】 28.侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，该三棱锥的表面积为________. 【解析】 底面边长为a ，则斜高为a2，故S 侧＝3×12a ×12a ＝34a 2.而S 底＝34a 2， 故S 表＝3＋34a 2.【答案】3＋34a 2三、解答题9.如图1­1­97所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？图1­1­97【解】 几何体的表面积为：S ＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π ＝24＋1.5π.10.正四棱台两底面边长分别为3和9.(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.【解】 (1)如图，设O 1，O 分别为上，下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高.由题意知∠C 1CO ＝45°，CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22×(9－3)＝3 2. 在Rt△C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝32， 又EF ＝CE ·sin 45°＝32×22＝3， ∴斜高C 1F ＝C 1E 2＋EF 2＝22＋32＝3 3.∴S 侧＝12(4×3＋4×9)×33＝72 3.(2)由题意知，S 上底＋S 下底＝32＋92＝90， ∴12(4×3＋4×9)·h 斜＝32＋92＝90. ∴h 斜＝90×212＋36＝154.又EF ＝9－32＝3，h ＝h 2斜－EF 2＝94.[能力提升]1.某四棱锥的三视图如图1­1­98所示，该四棱锥的表面积是( )图1­1­98A.32B.16＋16 2C.48D.16＋32 2【解析】 由三视图还原几何体的直观图如图所示.S 表＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×22×4＋4×4＝16＋16 2.【答案】 B2.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )A.2B.4C.6D.8【解析】 由已知得底面边长为1，侧棱长为6－2＝2. ∴S 侧＝1×2×4＝8. 【答案】 D3.一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4.将其绕较长底所在直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是________.【导学号：45722031】【解析】 旋转所得几何体如图.由图可知，几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积之和，∴S ＝S 圆柱底＋S 圆柱侧＋S 圆锥侧＝π×42＋2π×4×2＋π×4×5＝52π. 【答案】 52π4.某几何体的三视图如图1­1­99所示，则其表面积为________.图1­1­99【解析】 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.【答案】 3π。

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 课时目标 1．了解柱、锥、台、球的表面积的计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单的问题．2．认清直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面展开图的特点，由此推导出侧面积公式．1．棱柱、棱锥、棱台侧面积(1)设直棱柱高为h ，底面多边形的周长为c ，则直棱柱侧面积计算公式：S 直棱柱侧＝________，即直棱柱的侧面积等于它的________________________________．(2)设正n 棱锥的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为h ′，则正n 棱锥的侧面积的计算公式：S 正棱锥侧＝________＝________，即正棱锥的侧面积等于它的________________________．(3)设棱台下底面边长为a ，底面周长为c ，上底面边长为a ′，周长为c ′，斜高为h ′，则正n 棱台的侧面积公式：S 正棱台侧＝__________＝____________．2．棱柱、棱锥、棱台和球的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于________________________．(2)用球的半径R 计算球表面积的公式：S 球＝______，即球面面积等于它的______________________．3．旋转体的侧面积若圆柱、圆锥、圆台沿其母线剪开后展开，其侧面展开图分别是________、________、扇环，其侧面积公式分别为S 圆柱侧＝________，S 圆锥侧＝________，S 圆台侧＝________．一、选择题1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( ) A ．1＋2π2π B ．1＋4π4π C ．1＋2ππ D ．1＋4π2π2．底面是菱形的直棱柱，它的底面对角线的长分别为6和8，高为15，则此棱柱的侧面积为( )A ．75B ．250C ．150D ．3003．正三棱锥的底面边长为1，高为66，则此棱锥的侧面积为( ) A ．34 B ．32 C ．334 D ．3324．有一直三棱柱的三视图如图所示则该三棱柱的侧面积为( )A ．4(6＋2)B ．12 2C ．42＋8D ．4(2＋3)5．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积( ) A ．25π B ．50π C ．125π D ．以上都不对6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B ．112＋ 2 C ．7＋ 3 D ．32二、填空题7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．8．正六棱柱的高为5 cm ，最长的对角线为13 cm ，则它的侧面积为________．9．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ．若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．三、解答题10．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．11．直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q 1，Q 2，求直平行六面体的侧面积．能力提升12．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．1．在解决棱锥、棱台、球的侧面积、表面积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．柱、锥、台体侧面积公式之间的关系，直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系根据以上关系，在正棱台的侧面积公式中，令c′＝c，可以得到直棱柱的侧面积公式，令c′＝0，可得到正棱锥的侧面积公式，其关系如下所示：1．1．6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积答案知识梳理1．(1)ch 底面周长和高的乘积 (2)12nah ′ 12ch ′ 底面周长和斜高乘积的一半 (3)12n(a ＋a ′)h ′ 12(c ＋c ′)h ′ 2．(1)侧面积与底面积之和 (2)4πR 2 大圆面积的四倍3．矩形 扇形 2πRh πRl π(R ＋r)l作业设计1．A2．D 3．A4．A5．B6．A7．3解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3．8．180 cm 2解析 设正六棱柱的底面边长为a ，则底面正六边形的最长对角线为2a ，∴52＋(2a)2＝132，∴a ＝6 cm ．∴S 正六棱柱侧＝6ah ＝180 cm 2．9．16π解析 设球半径为R ，则圆M 的半径为r ，则πr 2＝3π，即r 2＝3，由题意得R 2－⎝⎛⎭⎫R 22＝3，所以R 2＝4⇒4πR 2＝16π．10．解 如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，则O 1O ＝12．连接OE 、O 1E 1，则OE ＝12AB ＝12×12＝6，O 1E 1＝12A 1B 1＝3． 过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ，则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3，HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3．在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32＝32×42＋32＝32×17，所以E 1E ＝317．所以S 侧＝4×12×(B 1C 1＋BC)×E 1E ＝2×(12＋6)×317＝10817．11．解如图所示，设底面边长为a ，侧棱长为l ，底面两条对角线的长分别为c ，d ，即BD ＝c ，AC ＝d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ c·l ＝Q 1 ①d·l ＝Q 2 ②⎝⎛⎭⎫12c 2＋⎝⎛⎭⎫12d 2＝a 2 ③ 由①得c ＝Q 1l ，由②得d ＝Q 2l，代入③得 ⎝⎛⎭⎫Q 12l 2＋⎝⎛⎭⎫Q 22l 2＝a 2， ∴Q 21＋Q 22＝4l 2a 2，∴2la ＝Q 21＋Q 22．∴S 侧＝4al ＝2Q 21＋Q 22．12．解 设正方体的棱长为a ．如图所示．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2．②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2． ③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r 3＝3a ， r 3＝32a ， 所以S 3＝4πr 23＝3πa 2．综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3．13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1．考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×＝36．∴该几何体的表面积为36．。

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
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1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积
侧面积公式
S直棱柱侧＝ch
c为底面周长
h为高
思考1斜棱柱的侧面展开图是什么？它的侧面积如何求解？
提示：斜棱柱的侧面展开图是一些平行四边形连接起来的不规则图形，它的侧面积等于各个侧面面积之和，也等于直截面(与侧棱垂直相交的截面)的周长与侧棱长的乘积．2．圆柱、圆锥的侧面积
圆台的侧面积公式如何推导？
提示：圆台的侧面展开图是一个扇形环，它的侧面积可以利用大扇形与小扇形面积作差推出．(S圆台侧＝π(r1＋r2)l，其中r1，r2分别是圆台上、下底面圆的半径，l为圆台的侧面母线长)
3．球的表面积
S球＝4πR2(球的半径为R)．
思考3球的表面能展开吗？
提示：不能．因此球的表面积公式推导需要借助后续的知识得以解决．。