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2.2 向量组的线性相关性：线性相关的判定
1, 2 ,, m 线性相关的充要 定理2.2.1 向量组 条件是其中至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线 性表示。 定理2.2.2 如果向量组 1 , 2 ,, m 线性无关， 1 , 2 ,, m , 而向量组 线性相关，则 可由 1, 2 ,, m 向量组 线性表示，且表示法唯一。 1 , 2 ,, r 线性相关，则向 定理2.2.3 若向量组 1 , 2 ,, r , r 1,, m 量组 也线性相关。 推论：线性无关的向量组的任何非空的部分向量组 都线性无关。
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2.3 向量组的秩：极大线性无关组
1, 2 ,, m 定义2.3.2 如果向量组 量组 满足： i1 ,i2 ,,ir
的一个部分向
（1）部分向量组线性无关； （2）原向量组可由部分向量组线性表示，
则称此部分向量组为原向量组的一个极大线性无关组。 极大 vs 最大； 例： 1 (0,1,0), 2 (0,0,1),3 (0,1,1)
定义2.3.1 设两个 n 维向量： ( I ) : 1 , 2 ,, r ; ( II ) : 1 , 2 ,, s
若向量组(I)中每个向量都可由向量组(II)线性表示，则称向 量组(I)可由向量组(II)线性表示； 若向量组(I)与向量组(II)可以互相线性表示，则称向量组(I) 与向量组(II)等价。
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2.1 n 维向量及其运算：内积
向量的内积，向量的长度 定义2.1.4 设 (a1, a2 ,, an ); (b1, b2 ,, bn )
a1b1 a2b2 anbn 都是 n 维向量，那么
称为
向量 α 与 β 的内积，记作 (α , β )， (α , β )= αβT。
i (ai1 , ai 2 ,, air , ai ,r 1 )
推论 线性无关的r 维向量组的每个向量添加 n-r 个 分量形成的 n 维新向量组线性无关。 例2.2.3 3 2 1 2 3
A 3 0
1 2
B 2 3
2 4
1 3
向量通常用斜体希腊字 母 , , 等表示。
(a1 , a 2 ,, a n ),
a1 列向量 a2 T 行向量 (a1 , a2 , , an ) a ai 第 i 个分量 n
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2.1 n 维向量及其运算：概念，运算
n 维向量及其运算（定义，性质） 向量的线性相关性（相关、无关的定义） 向量组的秩（极大无关组、秩的求法） 向量空间（基、维数、坐标） 向量组的正交性和正交矩阵（正交规范化）
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2.1 n 维向量及其运算：概念
定义2.1.1 由 n 个有序的数 a1, a2, an 组成的数 组 (a1, a2, an ) 称为 n 维向量，简称为向量。
×
向量组 1 , m 中,m不能由余下向量线性表示 该向量组线性无关
向量组 1 , m 线性相关,且 m不能由余下向量线性表示 向量组1 , m 1线性相关 √
含有零向量的向量组必线性相关
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×
×
若存在一组不全为零的数 k1 , km , 使向量组 1 , k11 km m 0, 则 1 , m线性无关
3 (3,0,7,14), 4 (1,1,2,0), 5 (2,1,5,10).
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2.3 向量组的秩：向量组的秩
1 , 2 ,, s 推论 向量组1 , 2 ,, s 线性无关，若 可表示为：
1 2 s
例：如果单位向量组 e1 , e2 ,, en 可由 n 维向量组 1 , 2 ,, n , 线性表示，证明二者等价。 等价：
反身性：自身与自身等价 对称性： (I)与(II)等价，则(II)与(I)等价。 传递性： (I)与(II)等价, (II)与(III)等价，则(I)与(III)等价.
任一 n 维向量都是 n 维单位向量的线性组合。 零向量可以由任何向量组线性表示。 向量组中的任何一个向量都可以由原向量组线性表示。
例子： 1 (1,2,1), 2 (2,3,1),3 (4,1,1)
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2.2 向量组的线性相关性：概念
k11 k2 2 Fra bibliotek km m 0 则称向量组1 , 2 ,, m 线性相关，否则线性无关。
定理2.3.2 一个向量组的任意两个极大线性无关组 所含向量个数相等。
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2.3 向量组的秩：向量组的秩
定义2.3.3 向量组的极大无关组包含的向量个数称 为向量组的秩。 定义2.3.4 矩阵的行向量组的秩为矩阵的行秩；列 向量组的秩为矩阵的列秩。 矩阵的行秩等于其列秩，都等于矩阵的秩。 向量组线性无关 秩=向量个数。 秩相同是否意 推论：等价的向量组有相同的秩。 味着等价？ 例2.3.2 求向量组的秩： 1 (1,1,2,4), 2 (0,3,1,2),
的秩 r(A) < m。 推论1 m > n 时，m个n维向量相关。 推论2 m个n维向量线性无关 ↔ r(Am×n) = m。 推论3 n个n维向量线性无关 ↔ 所构成行列式不等零
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2.2 向量组的线性相关性：线性相关的判定
i (ai1 , ai 2 ,, air ) 定理2.2.5 若 m 个 r 维向量 线性无关，则对应的 m 个 r+1 维向量 i 线性无关。
a11 a21 a s1
a12 a22 as 2
a1s 1 a11 a12 a2 s 2 a 21 a 22 ; K a ass s1 a s 2 s
性质2.1.1 设 α 和 β 为两个 n 维向量，则：
（1） (α, β)= (β, α)
（2） (kα, β)= k(α, β)
（3） (α + β, γ)= (α, γ)+ (β, γ)
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2.1 n 维向量及其运算：内积
定义2.1.5 设
(a1, a2, an )
为 n 维向量，
2.1 n 维向量及其运算：内积
柯西-许瓦兹不等式
( , )2 ( , )( , )
由上式可得：
( , )
0 定义2.1.6 当 0 且
arccos
( , )
时：
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称为向量 α 和 β 的夹角。
2.2 向量组的线性相关性：概念
m的线性组合
2.2 向量组的线性相关性：
向量的线性相关性：
k11 k2 2 km m 0
m 个 n 维向量线性相关的充要条件是向量矩阵的秩 r(A) < m。
相关 vs 无关；
相关程度的高低？（类比矩阵、秩、非奇异子阵）
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2.3 向量组的秩：极大线性无关组
极大无关组的含义有两层：1无关性; 2.极大性 线性无关向量组的极大无关组就是其本身; 向量组与其极大无关组等价； 向量组只要有非零向量，就有极大线性无关组。 同一向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是等价的。
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2.3 向量组的秩：极大线性无关组
极大线性无关组一般不唯一,但是它们所含向量个数 是否相等？ 1 , 2 ,, s 线性无关，且可 定理2.3.1 向量组 1 , 2 ,, t 由向量组 线性表示，则 s ≤ t。 推论1 若向量组1 , 2 , , s 可由向量组 1 , 2 ,, t 1 , 2 ,, s 线性相关。 线性表示且 s > t。则 推论2 任意两个线性无关的等价向量组所含的向量 个数相同。
例2.2.4 向量组的相关性：
1 (1,1,3,0), 2 (2,1,2,1),3 (1,1,5,2)
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向量组 1, m (m 2) 线性无关 该向量组中任意t (1 t m)个线性无关
√
向量组 1, m (m 2) 中任取两个向量线性无关 该向量组线性无关
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2.2 向量组的线性相关性：线性相关的判定
定理2.2.4 m 个 n 维向量 i (ai1, ai 2 ,, ain ),i 1,, m 线性相关的充要条件是矩阵 A
1 a11 a12 a1n a a a 2n A 2 21 22 a a a 11 m m1 11
2 2 则 ( , ) a12 a2 an
称为 α 的长 度（或模数）。
性质2.1.2 设 α 和 β 均为 0n 维向量，则 0 0
0
（1）当 k k 时，
时， （ 2） （ 3）
，当
。
，k 为实数。
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。
m×n矩阵的行向量和列向量 向量的相等：对应分量相等 零向量： 0=(0,0,…,0)。 负向量： (a1 ,a2 ,,an ) 定义2.1.2 向量的加法：对应分量相加。 定义2.1.3 向量的数乘：所有分量乘常数。 线性运算：相加+数乘 (1) (2) ( ) ( ) (3) 0 (4) 1 (5) ( ) 0 (6) k (l ) (kl) (7) k ( ) k k (8) (k l ) k l
