趋势外推法案例

时间序列之趋势外推模型及可能用到的excel函数在对未来趋势预测过程中，可能用到的excel函数趋势外推分析预测是时间序列分析中的传统分析方法。

基本思想是：从历史数据中提炼出其发展规律，并通过趋势的外推对未来进行预测，趋势外推的方法是基于回归分析，它把研究观测值序列看做回归模型中的因变量，而时间作为模型的自变量。

步骤：1、对已有的时间序列数值，进行excel作图。

2、依据图形，选择趋势线(线性、指数、多项式、幂函数等等)，进行拟合(运用拟合优度R Square,进行判断趋势外推模型精度)3、选择适当的回归函数，对未来进行预测(有时将不同的回归函数混合使用，讲各自的预测值，作为置信上线与置信下线。

)增长曲线中最典型的就是指数曲线，其模型：y=ab^t,其中y是时间序列Y 的趋势预测值，t为时间标号，a是时间标号为0时y的数值，b为平均发展速度，用以描述时间序列曲线在整个观察期内的平均发展程度。

一、线性回归函数FORECAST函数FORECAST用途：根据一条线性回归拟合线返回一个预测值。

使用此函数可以对未来销售额、库存需求或消费趋势进行预测。

语法：FORECAST(x，known_y's，known_x's)。

参数：X为需要进行预测的数据点的X坐标(自变量值)。

Known_y's是从满足线性拟合直线y=kx+b的点集合中选出的一组已知的y 值，Known_x's是从满足线性拟合直线y=kx+b的点集合中选出的一组已知的x值。

实例：公式"=FORECAST(16，{7，8，9，11，15}，{21，26，32，36，42})"返回4.378318584。

trend函数返回一条线性回归拟合线的值。

即找到适合已知数组known_y's和known_x's的直线(用最小二乘法)，并返回指定数组new_x's在直线上对应的y 值。

语法TREND(known_y's,known_x's,new_x's,const)Known_y's是关系表达式y=mx+b中已知的y值集合。

趋势外推模型名词解释趋势外推模型是一种预测未来发展的方法，它通过对过去的数据和现有的趋势进行分析和建模，以预测未来的发展趋势。

这种模型通常用于经济、社会、科技等领域，以帮助人们做出合理的决策。

趋势外推模型可以根据历史数据和现有的趋势，预测未来的变化，并提供对未来的估计和预测。

这对于政府、企业、研究机构等组织来说都非常有价值，可以帮助他们做出决策和规划战略。

在本文中，我们将详细介绍趋势外推模型的定义、建模方法和应用案例。

一、趋势外推模型的定义趋势外推模型是一种统计学和数学方法的应用，通过对过去的数据和现有的趋势进行分析和建模，以预测未来的发展趋势。

这种模型基于一个基本的假设：过去的趋势将在未来继续发展。

根据这个假设，我们可以通过对过去的数据进行分析，找出其中的规律和趋势，并将其应用于未来的预测。

在趋势外推模型中，建模方法通常包括回归分析、时间序列分析、数据挖掘等统计学和机器学习技术。

通过这些方法，我们可以揭示出数据中的趋势和模式，并据此建立模型。

然后，我们可以使用这个模型来预测未来的变化。

二、趋势外推模型的建模方法趋势外推模型的建模方法主要包括回归分析、时间序列分析、数据挖掘等技术。

下面我们将分别介绍这些方法。

1. 回归分析回归分析是一种统计学方法，用于建立因变量和自变量之间的关系模型。

在趋势外推模型中，回归分析可以用来寻找变量之间的相关性，以及这些变量对未来发展的影响。

回归分析可以用线性回归、多项式回归、逻辑回归等形式进行。

线性回归是最基本的回归分析方法，它假设自变量和因变量之间有一个线性的关系。

多项式回归则假设存在高阶的关系，逻辑回归则用于分类问题。

2. 时间序列分析时间序列分析是一种对时序数据进行建模和预测的方法。

在趋势外推模型中，时间序列分析可以用于揭示时间序列数据中的趋势、周期性以及季节性变化，并预测未来的发展。

时间序列分析通常包括平滑技术、移动平均法、指数平滑法、ARIMA模型等方法。

趋势外推法（trend projection）是生产预测中常用的一种方法。

这种方法是找出一系列历史数据的趋势线并外推于将来做中长期预测。

该方法的原理是：给趋势型时间数列拟合以时间单位为自变量的数学模型，然后以顺延的时间单位作已知条件，外推时间数列后续趋势值。

外推预测的准确程度取决于所拟合模型的拟合优度，最小二乘法以其所拟合模型的预测标准误差最小的优势成为最常用的趋势模型的拟合方法。

趋势外推法又分为以下几类：增长型趋势模型外推法（又包括：等差增长趋势模型、二级等差增长趋势模型、等比增长趋势模型等），周期波动趋势模型外推法，生命周期趋势模型法等。

一、增长趋势模型增长趋势模型包括等差增长趋势模型、二级等差趋势模型、等比增长趋势模型等，详述如下：（三）等比增长趋势模型当时间数列逐期变量值以同一比率增长时，可配以指数曲线增长模型：二、周期波动趋势模型季节型时间数列以日历时间为波动周期；循环型时间数列波动周期往往大于一年，且不稳定。

尽管两者有所区别，但都呈周期性波动，因此宜以正弦曲线为基础，经修正波幅与周期拟合波动规律。

正弦曲线预测模型的一般形式为：只要对已知数据按上述各项要求加工填入以后，求解六元一次方程组，得β0～β5，代入预测方程即可开始预测。

三、生命周期趋势模型当时间数列变化呈前期增长缓慢、中期增长逐渐加速、后期增长逐渐平缓、末期逐渐加速负增长时，可配以生命周期趋势模型。

这类曲线包括能模拟生命周期的前期、中期和后期的龚珀资曲线、罗吉斯蒂曲线（蒲尔-里得）曲线以及能模拟生命周期中后期的修正指数曲线模型。

龚珀资曲线和罗吉斯蒂曲线是拟合从前期至后期的生命周期趋势，而后者是拟合从中后期至后期的生命周期趋势。

----摘自《市场预测方法与案例》。

《彩电市场需求预测分析——明星电器公司》案例使用说明一、教学用途本案例适用于“市场预测”课程的案例教学，主要目的是就市场预测方法的特点、预测模型的评价与选择等问题展开讨论，从而提高运用市场预测方法解决实际问题的能力。

二、讨论参考题1、市场预测的基本步骤是什么？2、比较回归分析方法进行的预测和时间序列分析方法进行的预测，哪种方法更为合理、更为有效？3、定性分析是定量分析的基础，在彩电需求预测分析中，定性分析应从哪几方面进行？4、利用回归分析法对彩电市场需求量进行预测时，需要有彩电需求量的历史数据，由于实际中很难得到这项数据，你如何解决这个问题？5、回归分析模型应包含所有对预测对象有显著影响的因素，而不包含影响不显著的因素，对自变更的选择要依据哪些原则？6、建立了预测模型以后，如何对预测模型进行评价和选择？7、彩电需求预测除了本案例提到的方法以外，您认为还有哪些更为有效的预测方法？8、通过对全国城乡彩电市场的预测分析，您认为未来城乡彩电需求有什么特点？9、请您帮助明星电器公司规划未来五年的发展策略。

10、请交一份分析报告，以便进行交流和研讨。

分析报告的具体要求如下：①研究目的；②所依据的数据及特征说明；③采用的统计分析方法及原因说明；④写出上机操作的计算过程和结果；⑤给出结论，并对结论进行分析和评论，提出建议。

三、分析要点1、进行本案例的分析时，可按如下步骤去做：首先，审核和调整所掌握的统计资料进行初步分析。

对数据进行认真的审核，对不完整的和不适用的数据进行必要的推算和调整，以保证数据的准确性和完整性。

需要注意的是，本案例并未给出彩电需求量的历史数据，需要进行一定的推算。

其次，选择适当的预测分析方法。

预测分析方法有若干种，在本案例中提出了回归分析方法和时间序列分析方法，当然还有其他的分析方法，选择什么样的方法，要考虑到数据资料的获取情况，预测成本等因素。

再次，建立预测模型，并对其进行评价与选择。

根据自变量与因变量的关系初步确定预测模型。

第四节 趋势外推法趋势外推法，也称趋势延伸法，是根据预测目标的历史时间序列所揭示的变动趋势外推到未来以确定预测值的时序预测法。

可分为随手作图法，拟合直线方程法、拟合曲线方程法。

一、随手作图法这种方法是选定时间作为横轴，预测目标量作为纵轴，先按时间序列数据作出散点图。

然后根据备散在点所显示的趋势走向图形(直线或某种曲线)，运用直尺或曲线板随手画出一条沿各个点拟合度最佳的直线或曲线，并加以延伸，得出待预测时间对应的预测值。

该方法简便易行，不用建立数学模型，预测效果良好。

但这种方法全凭预测者的观察力和作图技巧，它直接影响到预测的精度。

二、拟合直线方程法这种方法是根据呈线性变动趋势的时间序列，拟合出直线方程bx a Y +=∧，再利用方程进行预测外推，得出预测结果。

直线方程bx a Y +=中，x 为按整数序编号的时间序列，Y 为预测目标量，a 、b 为参数。

设时刻为i x 时，对应的观察值为i Y ，n i ,,2,1 =。

根据这些数据我们要利用最小二乘法拟合出一条直线方程bx a Y +=∧即确定参数a 、b ，使拟合偏差i i Y Y ∧-的平方和∑∧-=22)(i i Y Y S 最小。

由微分法，令02=∂∂a S ，02=∂∂bS ，解之可得到∑∑---=-=x b Y x nb Y n a i i 11 （4-13） ∑∑∑∑∑--=22)())((i i i i i i x x n Y x Y x n b （4-14）当时间序列是整数项时，我们取i x 的中间项为0，其余按下列取值 …，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，… （中间项）例如 n=7时，i x 分别取为-3，-2，-l ，0，1，2，3七个数值。

这样规定i x 取值后，n 为奇数时有∑=0i x ，则计算参数a 、b 的公式可以简化为∑==-i Y nY a 1（4-15）∑∑=2ii i xY x b （4-16） 例8 某市五金公司1978年到l984年销售额资料为 年份 l978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 销售额 4923 5811 7171 8248 8902 9860 l0800(万元)试预测l985、1986两年的销售额。

泰山景区趋势外推需求预测模型制作人：刘玉康泰山景区2007—2015年游客接待量如下表所示：年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 实际值/279.1 305.8 354.73 396.17 459.36 481.1 497.57 546.63 589.8 万人次表1 泰山景区2007—2015年游客接待量将泰山景区历年游客量在坐标上表示出来，如下图黄色曲线所示，显示出游客量与时间的关系酷似一条直线，因而可以在时间与游客量之间建立一个线性回归方程，结果如下图蓝色线所示。

y=-77857+38.932x相关系数r=0.9918公式中：y为年游客量（万人次）X为年份R为相关系数.经检验，y与x关系密切，可以利用上述方程进行预测。

表2为泰山景区2007—2015年游客量实际值与拟合值的比较及2016—2020年的游客量预测值。

年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015实际值/279.1 305.8 354.73 396.17 459.36 481.1 497.57 546.63 589.8 万人次拟合值/279.524 313.456 357.388 396.32 445.252 474.184 510.116 552.048 590.98 万人次误差比0.15 2.6 0.75 0.04 -3.1 -1.4 2.5 0.99 0.2 例/%年份2016 2017 2018 2019 2020预测值/629.972 668.844 707.776 746.708 785.64万人次表2 为泰山景区2007—2015年游客量实际值与拟合值的比较及2016—2020年的游客量预测值。

学院：数学科学学院 班级： 统计班 姓名： 学号：第三节 多项式曲线趋势外推法如前所示，多项式曲线预测模型的一般形式为：0122ˆt k ky b bt b t b t =+++⋯+当K=1时，为直线模型；当k=2时，为二次多项式（抛物线）模型； 当k=n 时，为n 次多项式模型。

一、二次多项式曲线模型及其应用二次多项式曲线模型为：2012ˆt y b bt b t =++设有一组统计数据12n y y y ⋯，，，令 ()20121ˆQ ()nt t t b b b y y==-∑，， 220121()n t t y b b t b t ==---∑=最小值根据微分原理，得：()()()2012020121220122202020Qy b b t b t b Qy b b t b t t b Qy b b t b t t b ∂=----=∂∂=----=∂∂=----⎧⎪⎪=∂⎪⎨⎪⎪⎪⎩∑∑∑经整理，得：2012230122234012y nb b t b t ty b t b t b tt y b t b t b t =++=⎧⎪⎪⎨++=++⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 解此三元一次方程，可求得b 0，b 1和三个参数。

【例4-2】 某商店某种产品的销售量如表4-8所示。

表4-8 某产品销售量资料试预测2015年的销售量，并要求在90%的概率保证程度下，给出预测的置信区间。

第一步，确定预测模型。

（1） 绘制曲线图，初步确定预测模型。

图4-1 某产品销售量9年曲线图由图4-1可知，改产品的销售量基本上符合二次多项式曲线模型。

（2） 计算差分，如表4-9所示。

表4-9 差分计算表由表4-9可知，该时间序列观察值的二阶差分大致相等，其波动范围在-2.5 ~ -1.0之间。

综合散点图和差分分析，最后确定选用二次多项式曲线模型进行预测。

第二步，求模型的参数 。

模型参数的计算如表4-10所示。