第五章--趋势外推预测方法

2 t 1 t t 1 t t
ˆt 1 b ˆt y ˆt y y
n
n
2

对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。
用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响，使 趋势值都落在拟合的直线上。

例5-2：假定某企业1986-2005年20年的销售额序列表 如表所示（例5-2数据）。
xt 1 2 3 4 5
xt2 1 4 9 16 25
xt*yt 200
预测 值y 191
1 n 1 n a yt b xt n t 1 n t 1 b n xt yt ( xi )( yt )
t 1 t 1 t 1 n n n
600 273.7 1050 356.4 1600 439.1 2500 521.8
利润额yt 利润额 yt
线性 (利润额 yt)
y a bx
某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料
1400
y2005预测
1200 1000
利润额 yt 系列2 线性 (利润额 yt)
y2004预测
800 600 400 200 0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
A0 , A1 , A2 ,, An 都是参数，可以用最小二乘法进行参
数的估计。
用自回归预测模型预测的具体步骤为：
（1）确定最大滞后值n。
（2）形成一系列的滞后时间序列。
（3）运用Excel给出滞后序列的回归结果，确定 自回归方程。
（4）对模型中最高级别参数进行显著性检验
a. 如果通过检验，那么n级自回归模型适用于时 间序列的预测。 b. 如果不拒绝零假设，那么第n个变量将舍弃。 重复进行第三步和第四步，直到最高级别的自回 归参数具有统计上的显著性。这个自回归模型将 选择用于时间序列的预测。
n xt2 ( xt ) 2
t 1 t 1
n
n
1998
1999 2000 2001
630
700 750 850
6
7 8 9
36
49 64 81
3780 604.5
4900 687.2 6000 769.9 7650 852.6
a 108.3
b 82.7
2002
2003 ∑
950
1020
绪 论

趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求 事物发展变化规律，从而推测出事物未来状况的 一种比较常用的预测方法。当预测对象依时间变 化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波 动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化 趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。
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趋势外推法的两个假定： （1）假设事物发展过程没有跳跃式变化； （2）假定事物过去的发展因素也决定事物未 来的发展，其条件是不变或变化不大。 惯性原理
n n

上述方程中，t可以取时间序列中的任意时期为原点。假定 时间序列的中间项为0，这样上述公式可以简化为 ：
ty b t
2
a y
例 5-1 ：某家用电器厂 1993~2003 年利润额数据资料 如表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。
年份 利润额
利润额 1200 1000 800 600 400 200 0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
可以清楚的观察到一条逐渐向上的直线，其直线回归的调 整后的可决系数为0.966。
第二节 有趋势序列的自回归预测模型
通常情况下，时间序列的各期观察值之间必定存 在着一定程度的自相关。利用时间序列中各期数 据的相关性，通过前期数据计算后期数据或者预 测未来，这就是自回归预测模型（Autoregressive Modeling）。自回归预测模型可分为一级自回归 模型、二级自回归模型和n级自回归模型。
10 100
506
9500 935.3
1018
49000
y 108.3 82.7t
2004年，t 12, y 1100.7
11 121 11220
6650 66
2005年，t 13, y 1183.4
拟合直线方程法的特点

拟合直线方程的一阶差分为常数（一阶导数为常数）
ˆ) e (y y 只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化。
1200 1200 1000 1000 800 800 600 600 400 400 200 200 0 0
1992 1992 1993 1993 1994 1994 1995 1995 1996 1996 1997 1997 1998 1998 1999 1999 2000 2000 2001 2001 2002 2002 2003 2003 2004 2004 2005 2005
根据曲线形 状选择模型 (模 型 识 别 ）
模型检验
求解模型 参数，确 定模型
第一节 直线趋势外推法
一、直线趋势外推法

在实际应用中，很多时间序列像销售额、进出口额和
产品的产量等都近似是一条直线。那么，可以用线性 趋势方程来描述。

适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降的情形。 此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述，并通 过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。
或者我们看到输出结果中P值为0.9856> 0.05 ,接受原假设 不存在显著性关系，可以舍去，于是将n－1。
A3
，表明
步骤四：对二级和一级自回归模型重复进行步骤二和步骤三，并且 通过显著性检验一级自回归模型是最适合给定的时间序列的，下图是 使用Excel进行一级自回归分析的结果输出图：
1993 1994 200 300
1995 1996 350 400
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 500 630 700 750 850 950 1020
利润额 yt 年份 1993 1994 1995 1996 1997 200 300 350 400 500
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ˆ a bt Y t
式中， Y ˆ 是时间t 的预测值；
t 是时间标号；
a 是趋势线在纵轴上的截距；
b 是趋势线的斜率。

应用最小二乘法，可得到线形趋势方程中未知参数的表达式：
b n tY ( Y )( t ) n t 2 ( t ) 2
a
Y b( t )
H 1 : A3 0
将图4-11的数据结果代入到公式中可以得到t值
a3 A3 0.006 0 t 0.018 S a3 0.3263
根据显著性水平 0.05 ，自由度为 t 2n 1 20 2 3 1 13 ， 查t分布表，得到临界值为 2.1604 。由于 2.1604 t -0.018 2.1604
某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料
趋势模型的选择
图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时 间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为 纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线 模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。
预测步骤
根据观察 的历史数 据画出散 点图
根据模型 预测
45 40
Y10预测 y11预测
35 30 25 20 15 10 5 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
某商场某种商品过去9个月的销量
30000
y2005预测
25000
20000
15000
y2004预测
10000
5000
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

例5-5 我们参看例5-2中某企业1986-2005年20年的销售额序列表，数据资 料如上节中表所示。 步骤一：确定最大滞后值n=3，形成滞后1年、2年、3年的时间序 列如下图显示。
步骤二：运用Excel进行滞后序列的回归。我们使用Excel分析三级
自回归模型时，我们选择数据分析中的回归分析，并且在X变量范围 里面输入如图所示得D5：F21，在Y变量范围里面输入如图所示得C5：
某商场某种商品过去9个月的销量
某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料
y a ebt
y a bx cx2
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10来自销售量（万件） 销售量（万件）
10000 10000
总需求量（件） 总需求量（件）

使用Excel的做直线趋势分析 ，输出结果如下：
ˆ 453.2563 45.4718t 从分析结果得直线趋势方程为： Y t

直线曲线方程如下所示 ：
Linear curve fit 1,600.00 1,400.00 1,200.00
销售值
1,000.00 800.00 600.00 400.00 200.00 0.00 0 5 10 t 15 20 y = 45.485x + 498.66 R2 = 0.9681
C21；同样的分析二级自回归模型时，在X变量范围里面输入如图所示
得D4：E21，在Y变量范围里面输入如图所示得C4：C21；分析一级自 回归模型时，在X变量范围里面输入如图所示得D3：D21，在Y变量范 围里面输入如图所示得C3：C21。
图 某企业销售额的一级、二级、三级自回归模型序列

我们从三级自回归模型开始分析选择一个最适合这个时间序列的自回 归模型，使用Excel的分析结果如下图所示：