随机信号与系统 随机信号与系统 特征函数

随机过程的基本概念随着科学技术的进步，人们越来越发现，在自然界中所遇到的大量信号均属于随机信号。

如：12243LL （）－自由电子随机游动，在电阻上产生的“热噪声”。

（）－某交叉路口每天小时测量的噪音的分贝记录。

（）－雷达自动跟踪到的某飞行器的“运动轨迹”。

(4)－雷达接收到的目标信号的“幅度与相位”。

（5）－证卷交易所中，某股票每周涨落的记录。

（6）－反映人的生理、心理活动的“脑电波”。

(7)－反映地球物理特性的“地震信号”。

(8)－人说话时发出的“语音信号”。

等等。

随机信号是通信、信号与信息处理、自动控制等学科领域必须研究的信号形式。

比如我们专业的后修课程中需要对随机信号进行处理的有：通信原理、雷达原理、数字信号处理、信息论、图像信号处理、语音信号处理、线性控制系统等等。

从20世纪60年代起，已有不少专家学者相继研究应用概率论和数理统计方法来分析处理随机信号问题。

例如著名的信息论专家Shannon 提出了信道容量公式和信息论编码定理；Middleton 和Lee 研究了最佳接收理论；前苏联学者提出了潜在抗干扰理论；Hancock 则建立了比较完整的统计通信原理。

他们的工作为随机信号处理技术奠定了坚实的基础。

与此同时，在雷达等许多专业也深入研究随机信号处理问题，相继提出了随机信号的检测理论和估计理论、最佳滤波理论等，受到了电子信息技术界的极大重视。

随着数字通信的崛起，这些理论和方法很快被通信技术界所接受，并将它们拓展到最佳解调领域，形成了随机信号处理学科的完整内容。

尽管从总体上看随机过程各次所得的结果可能不尽相同，是随机的。

但是就其单次实验结果ζk 而言，它是确定的，是可以用一个确定时间函数表示的。

因此，如果能观察到随机过程的所有可能结果，每个结果用一个确定函数表示，则随机过程则可以用所有这些确定函数的总体来描述。

以上Ω是所有可能结果ζ的集合，尽管在每次测量以前，不能事先确定哪条波形将会出现，但事先可以确定“总会”在这n 个波形中“出现一个”。

【信号与系统】03-系统函数的性质1. 系统函数的性质1.1 变换的对偶性 不管是傅⾥叶变换的频域还是拉普拉斯变换的s域（下⾯统称s域），都是深⼊讨论LIT系统的有⼒⼯具，有时甚⾄是必备⼯具。

s域的系统函数和时域的信号（单位冲激响应）是⼀对共⽣体，它们通过拉普拉斯变换⽣成彼此，同时也是连接两个域的纽带。

对⼀个函数解析式，经常要对它做⼀些常规的分析操作，⽐如运算、平移、缩放、微积分、卷积等。

⼀个很⾃然的问题是，在某个域的分析操作会对另⼀个域带来什么影响呢？本篇就来讨论这个问题。

在正式讨论之前，有必要再回顾⼀下拉普拉斯变换的公式。

你可能⼀开始就注意到，正反变换存在⼀定的“对称性”，⽽仅在局部有微⼩差别。

在数学上，两个概念如果通过类似的⽅法互相定义，它们就称为对偶的，从形式上不难看出，互为对偶的概念的性质也是对偶存在的，这就省去了相似论证的⿇烦。

信号x(t)和拉普拉斯变换H(s)之间不具有严格的对偶性，但这样的相似性仍然可以被使⽤。

如果记χ(ω)=eσ√2πX(σ+jω)，将得到更为对称的式（1），把这个关系记作变换T，显然有式（2）成⽴。

以后变换的性质如果本⾝不是对称的，可以运⽤该式迅速得到另⼀个对称的性质，当然简单的性质直接证明会更快。

x(t)=1√2π∫∞−∞χ(ω)e jωt dω;χ(ω)=1√2π∫∞−∞x(t)e−jωt d t x(t)T↔χ(ω)⇔χ(t)T↔x(−ω)1.2 拉普拉斯变换的性质 以下按函数运算的复杂程度，罗列LT的基本性质，过于直⽩的结论不加证明。

需要注意的是，性质成⽴有它⾃⼰的ROC，并不完全受限于原LT的ROC。

还有我们知道，ROC和积分在具体的s上的收敛性是不同的，以下性质在ROC外的收敛点仍然可以是成⽴的。

⾸先是函数的线性运算，在s域也是线性的（式（3））。

然后看函数的平移，容易有式（4）左成⽴，在s域的平移还有式（4）右成⽴，这是⼀组对偶性质。

当对函数进⾏伸缩时，频谱系数也跟着反⽐例伸缩（式（5）左）；特别地，a=−1时表⽰函数左右翻转（旋转180度），s域则也跟着旋转180度（式（5）右）。

信号与系统特征函数法信号与系统是电子信息类专业中的一门基础课程，是掌握通信、电子、自动化等领域知识的基础。

特征函数法是信号与系统中重要的分析方法之一，它是通过特征函数的性质来研究信号的频谱特性和系统的响应特性。

特征函数法是一种将信号或系统的时域描述转换为频域描述的方法。

在信号与系统的分析中，我们常常需要求解信号的频谱，即将信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。

而特征函数法可以通过求解特征函数来得到信号的频谱。

特征函数是指满足一定条件的复数函数，它是信号或系统的频谱表示。

对于一个信号，我们可以通过对其进行傅里叶变换来得到其特征函数。

而对于一个系统，我们可以通过对其冲激响应进行傅里叶变换来得到其特征函数。

特征函数法的核心思想是利用特征函数的性质来分析信号与系统的频谱特性和响应特性。

特征函数具有线性性质，即两个信号或系统的特征函数的线性组合仍然是特征函数。

这使得我们可以通过对不同信号或系统的特征函数进行线性叠加来得到复杂信号或系统的特征函数。

特征函数还具有卷积性质，即两个信号或系统的特征函数的卷积等于它们的特征函数的乘积。

这使得我们可以通过对信号或系统的特征函数进行卷积来得到它们的时域响应。

特征函数法在信号与系统的分析中有着广泛的应用。

例如，在通信系统中，我们可以通过对信道的特征函数进行分析来评估系统的性能。

在图像处理中，我们可以通过对图像的特征函数进行分析来实现图像的压缩和增强。

在控制系统中，我们可以通过对系统的特征函数进行分析来设计控制器。

特征函数法在信号与系统的学习和应用中起着重要的作用。

通过掌握特征函数的基本性质和应用方法，我们可以更好地理解和分析信号与系统的特性。

同时，特征函数法也为我们提供了一种便捷的分析工具，使我们能够更加高效地处理信号与系统的问题。

特征函数法是信号与系统中重要的分析方法之一，通过特征函数的性质来研究信号的频谱特性和系统的响应特性。

它在信号与系统的学习和应用中具有广泛的应用价值，是掌握信号与系统知识的关键之一。

随机信号特征函数
随机信号的特征函数是描述随机信号统计特性的一种重要工具，它是随机变量的概率密度函数的傅里叶变换。

特征函数在随机信号的分析和处理中扮演着重要的角色，因为它能够揭示随机信号的频率特性和统计规律。

对于随机信号X(t)，其特征函数定义为Φ(ω) = E[exp(jωX(t))]，其中E[]表示数学期望，j是虚数单位，ω是角频率。

特征函数Φ(ω)是一个复值函数，其模值和相位分别表示了随机信号的幅度和相位特性。

特征函数具有一些重要的性质，如：
特征函数在原点处的值为1，即Φ(0) = 1；
如果随机信号是实值的，则其特征函数是共轭对称的，即Φ(-ω) = Φ*(ω)；
特征函数的模平方等于随机信号的概率密度函数的傅里叶变换，即|Φ(ω)|^2 = F[p(x)]，其中F[]表示傅里叶变换，p(x)是随机信号X(t)的概率密度函数。

特征函数在随机信号的分析和处理中有广泛的应用，如随机信号的谱分析、随机过程的滤波和预测等。

通过特征函数，我们可以更加深入地了解随机信号的统计特性和频率特性，为随机信号的处理和应用提供更加有效的工具和方法。

需要注意的是，以上内容仅适用于连续时间的随机信号。

对
于离散时间的随机信号，其特征函数的定义和性质会有所不同，需要根据具体情况进行分析和处理。

同时，特征函数只是描述随机信号统计特性的一种工具，其具体应用还需要结合实际情况和信号处理的目标来进行选择和优化。

第2章 随机信号信号——携带某种信息、随时间、空间或其他某个参量变化的物理量，比如，()f t 或()s t ，是时间函数本章讨论：1）随机信号的定义、基本概念； 2）几个典型的信号及其分析方法； 3）随机信号一般特性与描述方式； 4）高斯信号与独立信号==================================2.1 定义与基本特性 2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号 2.5 独立信号==================================2.1 定义与基本特性此句作为后面每页ppt 的标题==================================例2.1 噪声电压信号：多次观测到不同波形（参加教材）================================== 例2.2 用掷币实验产生信号。

正面:250 Hz 的余弦波：1()cos(500)x t t π= 反面:250Hz 的正弦波：2()sin(500)x t t π= 也可记为:(,)cos(500()/2)X t t I ξπξπ=-()I ξ是取值0、1的等概随机变量。

======================================例2.3 医院登记新生儿性别。

男婴＝1， 女婴＝0。

结果：10011010…，或001010110… 它是随机序列：{}(),1,2,...n X n ξ= 是“随机变量串”。

=================================定义2.1 对随机实验样本空间Ω上每个ξ，定义函数(,)X t ξ，则确定了一个具有一定统计特性的随机函数，称为随机过程（Stochastic or random process ），或随机信号(Random signal)。

==================================== 定义2.2 给定参量集T ，若t T ∀∈，都有一个随机变量(,)X t ξ与之对应，就称随机变量族{}(,),X t t T ξ∈为随机过程。

1・4随机变量的特征函数引言：分布函数：反映随机变量的统计规律性。

数字特征：反映、掌握分布函数的某些特征。

矩是最主要的特征，但随着矩的阶数的增高，计算机较麻烦，寻求一种有效的方法来计算。

特别是计算、处理多个随机变量，特征函数特征函数：一种计算各阶矩的有效工具。

显示其优越性一。

1. 4. 1特征函数的定义⑴设X是定义在概率空间(S,F,P)上的随机变量，它的分布函数为F(x)，称的数学期望E(e juX)为X的特征函数，记为C x(u)。

当X为离散型随机变量时，其特征函数为：C x(u)二E(e juX) = ' e juXi P(X 二X i)y当X为连续型随机变量时，其特征函数为：C X(U)二E(e juX)= ；e jux p(x)dx(2) 利用特征函数求概率密度函数1 -be .p(x) e"C x(u)du2兀皿证明：利用傅里叶变换与反变换关系可证明。

举例：例1 ：求标准正态分布N(0,1)的特征函数。

_ 2讼4 上_C x(u)二E(e juX)「二2e 2e jux dx 二1. 4. 2特征函数的性质⑴ C x(u) <1C x(0) =1⑵两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积，即:n若Y = 7 X k,式中X1,X2/ X n为n个两两相互独立的随机变量，则k ±n(u)C Y(U)二'C x kk 1(3) 求矩公式:1. 4. 3 特征函数应用举例函数。

解：用特征函数方法是最简单的方法。

因为 X ~ N(0,1)，所以 C x (u) 由于X 与Y 相互独立，于是2C z (u)二C X (U )C Y (U )即：Z ~ N (0,2)例2:设随机变量X在(一玮)是均匀分布的，即I 1Px(X )-■■:$Y =sin X ，求Y 的概率密度函数。

解：C Y (U ) — _ e juy p Y (y)dyE(X k)=(一『护6 (u)k — u=°(du)(4) 特征函数的级数展开C x (u)八 EX)®)n=0n!例1.设X 与Y 都服从标准正态分布N (0,1), 且相互独立，Z = X Y 求Z 的概率密度二e 2，同样,C Y (u) = e 2-be .e-ux 」二C Z (u)due 『du 二 1 e2飯'4ji x — 2其它C Y (U )=P x (x)dx =juY ju sin Xju sin xC Y (U )二E(e j ) = E(e j厂=e j P x (x)dxr - ju sin x e-=Oejuy-41. 5随机过程的概念及分类引言：随机变量是不确定事件的量化函数，变量X 由样本点s 决定，但同时X 还随时间t变化而变化，即： X =X(t,s)，简记为X =X(t)。