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信号与系统课件§1.4 阶跃函数和冲激函数

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第四节阶跃函数和冲激函数

第四节阶跃函数和冲激函数

t
x
dx
0,
t,
t<0 t>0
t
t
t
t
x
dx
t
t
'x
dx
tdt 1
'tdt 0
• 四.冲激函数的性质：
• 1.与普通函数的乘积： f t t f 0 t
筛选特性
f
t tdt
f
0 tdt
f
0
f t ' t f 0 ' t f ' 0 t
f
t
' t dt
f
' 0
• 而一些广义函数间乘积无定义如：δ(t)ε(t);δ(t)δ(t);δ(t)δ’(t)等。
第四节 阶跃函数和冲激函数
• 一. 阶跃函数和冲激函数
rn(t)
1
1 .阶跃函数 ：（引入）若有一个函数： 2
n 1
1
t
n
• rn(t)=
0
, t<-1/n 即信号从(-1/n,1/n)区间内从0幅度升高到1。
•
½+nt/2 , -1/n<t<1/n
•
1
, t>1/n
• 若所用时间很短 0，即在0- 0+的时间内由0 1，则定义为单位阶跃函数
波形如图:
t
t 0,t 0
• 冲激函 t
dt
t
t
x
dx
• 二.冲激函数的广义定义
• <1>δ(t)广义定义：对一个性能良好的函数φ(t)（检验函数）有以下定义
则δ(t) 为冲激函数：
(t ) (t )dt
，(0φ)(t)为一般函数，性能良好

信号与系统课件§1.4 阶跃函数和冲激函数21页PPT

信号与系统课件§1.4 阶跃函数和冲激函数21页PPT

t
O
▲
■
第 12 页
冲激偶的性质
① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
证明
② '(t)f(t)dtf'(0)
证明
δ(n)(t)的定义：
(n )(t)f(t)dt( 1 )nf(n )(0 )
δ’(t)的平移：

1
ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
-2 o 2 t
▲
■
第 16 页
ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
[t24]1d[(t24)]1[(t2)(t2)]
2tdt
2t
1 (t2) 1 (t2)1(t2)1(t2)
中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的
实根 ti ( i=1，2，…，n)
f (t)
d{[f(t)] }[f(t)d ]f(t)
dt
dt
[f(t)] 1 d{[f(t)]}
f'(t)dt
-2
o2 t
-4
ε[f(t)]图示说明： 例f(t)= t2 – 4
ε [f (t) ]
11
2
1 o 1
t
0, t 0
n
n
def
(t) nl imn(t)

121,,
t 0 t 0
(t)
1
O
t
▲
■
第 2页
2. 延迟单位阶跃信号
(t)
1
O
t
(tt0)10
tt0, tt0

阶跃函数和冲激函数

阶跃函数和冲激函数

阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数在分析线性电路过渡过程时，常使用一些奇异函数来描述电路中的激励或响应。

阶跃函数和冲激函数是两个最常用最重要的函数。

一、单位阶跃函数。

单位阶跃函数定义为：（式8-2-1）图8-2-1其波形如图8-2-1所示。

单位阶跃函数在处有跳变，是一个不连续点。

将单位阶跃函数乘以常数，就得到阶跃函数，又称为开关函数。

因为它可以用来描述电路中的开关动作，如图8-2-2所示。

图8-2-2所示电路在时刻开关S从1切换至2，那么一端口网络的入端电压就可用阶跃函数表示为：，如图8-2-2所示。

图8-2-2延时的单位阶跃函数定义为：（式8-2-2）其波形如图8-2-3所示，同样以图8-2-2为例，若时刻将开关S 从1切换至2，那么一端口网络的入端电压就可用延时阶跃函数表示为：。

二、单位冲激函数单位冲激函数定义为：（式8-2-3）其波形如图8-2-5所示。

为了更好地理解单位冲激函数，先来看单位脉冲函数。

单位脉冲函数定义为：（式8-2-4）图8-2-5其波形如图8-2-5所示。

单位脉冲函数的宽度是，高度是，面积为1。

当脉冲宽度减小，其高度将增大，而面积仍保持为1。

当脉冲宽度趋于无限小时，其高度将趋于无限大，但面积仍然为1。

当脉冲宽度趋于零时，这时脉冲函数就成为单位冲激函数。

将单位冲激函数乘以常数K，就得到冲激强度为K的冲激函数，表示为。

延时的单位冲激函数定义为：（式8-2-5）其波形如图8-2-6所示。

图8-2-6冲激函数不是一般函数，属于广义函数，其更严格的定义可参阅有关数学书中的论述。

西安电子科技大学 郭宝龙《信 与系统》课件 完整版

西安电子科技大学 郭宝龙《信 与系统》课件 完整版

信号与系统 电电子子教教案案
1.1 绪论
本课程重点讨论通信、信号处理和控制等领域中的 电子信息系统。举例说明:
*. 通信系统 *. 控制系统
第第11--55页页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电电子子教教案案
第一章 信号与系统
1.2 信号的描述和分类
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间 或位置变化的物理量。
■
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信号与系统 电电子子教教案案
1.1 绪论
3. 信号(signal):
信号是信息的载体。通过信号传递信息。
为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转 换成便于传输和处理的信号。
信号我们并不陌生，如刚才铃 声— 声信号，表示该上课了；
十字路口的红绿灯— 光信号，指 挥交通；
一、系统的定义 二、系统的分类及性质
1.6 系统的描述
一、连续系统 二、离散系统
1.7 LTI系统分析方法概 述
点击目录
第第11--11页页
，进入相关章节
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电电子子教教案案
第一章 信号与系统
1.1 绪言
思考问题：什么是信号？什么是系统？为什么把这两 个概念联系在一起？
研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只 讨论确定信号。
第第11--77页页
■
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信号与系统 电电子子教教案案
1.2 信号的描述和分类
2. 连续信号和离散信号
演示
根据信号自变量为连续/离散的特点进行区分。
（1）连续时间信号：

信号与系统课件 郑君里版 §1.4 阶跃信号和冲激信号

信号与系统课件 郑君里版 §1.4 阶跃信号和冲激信号
退出
3. 定义2：狄拉克(Dirac)
( t )dt 1 ( t ) 0, t 0

( t )dt 0 ( t )dt
0



函数值只在t=0时不为零； 积分面积为1；
t=0时， t ，为无界函数。
退出
4. 冲激函数的性质



2a
O

2a
t

a
P(t)面积为1， t 强度为1
1
P(at)面积为
a
， at 强度为
p(at)
1 a 1 a
退出
0时, p(t) (t),
(t )
证明
分析：用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明， 分a>0 、a<0两种情况
(1)

a 0, 令at

2
t
1
sgn( t ) u( t ) u( t ) 2u( t ) 1
u( t ) 1 2
0
t 1
[sgn( t ) 1]
退出
三. 单位冲激函数
1.概念引出
iC t
R
Us
C

uC t
t=0 时开关闭合。 考察R值改变对电 路的影响。


uC 0
0
k R( t ) 0 t f (t ) 0, 其它
0
f (t )
t0
t0 1
t
K t
注意!
0

奇异函数的定义区间是全时间域范围。
退出
二. 单位阶跃信号
1. 定义
u(t )

西安电子科技大学 郭宝龙《信号与系统》课件(完整版)

西安电子科技大学 郭宝龙《信号与系统》课件(完整版)

6．因果信号与反因果信号
常将 t = 0时接入系统的信号f(t) [即在t < 0， f(t) =0]称 为因果信号或有始信号。阶跃信号是典型的一个。 而将 t ≥ 0， f(t) =0的信号称为反因果信号。
第 第1 1-17 17页 页
■
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信号与系统 电子教案 电子教案
信号与系统 电子教案 电子教案
第一章 信号与系统
1.2 信号的描述和分类
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间 或位置变化的物理量。 信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们 可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于 处理。本课程讨论电信号---简称 “ 信号” 。 电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。 描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数 （2）信号的图形表示--波形 “ 信号” 与“ 函数” 两词常相互通用。
f1(t) = sin(πt) 1 f 2( t ) 1 o -1
第 第1 1-8 8页 页
■
值域连续
1 2 t
值域不 连续
o 1 2 t
-1
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信号与系统 电子教案 电子教案
1.2 信号的描述和分类
离散时间信号： 仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号， 简称离散信号。取值为规定数值时常称为数字信号。 这里的“ 离散” 指信号的定义域— 时间是离散的，它只 在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。 如右图的f(t)仅在一些离散时刻 f(t) tk(k = 0,±1,±2,… )才有定义， 其余时间无定义。 2 2 1 相邻离散点的间隔Tk=tk+1- tk可 1 以相等也可不等。通常取等间隔 o t1 t2 t3 t 4 t1 t T，离散信号可表示为f(kT )，简写 为f(k)，这种等间隔的离散信号也 -1.5 常称为序列。其中k 称为序号。

信号与系统(郭宝龙)PPT(全)西安电子科技大学

信号与系统(郭宝龙)PPT(全)西安电子科技大学
式中β称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。 由上式可见： 仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。 当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周 期为N= M(2π/ β)，M取使N为整数的最小整数。 当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。
第1-12页
■
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f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…} ↑ k=0
第1-9页
通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”
■
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信号与系统 电子教案
1.2 信号的描述和分类
3. 周期信号和非周期信号
周期信号(period signal)是定义在(-∞，∞)区 间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复 变化的信号。 连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,… 离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,… 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。 不具有周期性的信号称为非周期信号。
还有其他分类，如实信号与复信号；左边信号与右边 信号等等。
1.3 信号的基本运算
一、信号的＋、－、×运算
2 , k 1 3 , k 0 f1 (k ) 6 , k 1 0 , k其他
两信号f1(· ) 和f2 (· )的相+、－、×指同一时刻两 信号之值对应相加减乘 。如 2, k 1
第1-3页
■
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信号与系统 电子教案
1.1 绪论
二、系统的概念

1.4 阶跃函数和冲激函数

1.4 阶跃函数和冲激函数

(t 2) 2 (t ) d t
板书：例1.4-1，例1.4-2，
d [(t 2) 2 ] t 0 2(t 2) t 0 4 dt
13
通信与信息工程学院基础教学部
练习
通信与信息工程学院基础教学部
14
练习答案
通信与信息工程学院基础教学部
15
5.复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函 数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，…，n)
1, k 0 (k ) 0, k 0
def
ε (k)
1 -1 o1 2 3 … k
3.ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
(k )
或
i
(i)
j 0
k
ε(k) = δ(k)+ δ(k – 1)+…
(k ) (k j )
通信与信息工程学院基础教学部
19
小结：
• • • 单位阶跃信号的定义 单位冲激信号的定义、性质 西电精品课程视频（来源于网络）
通信与信息工程学院基础教学部
20
冲激信号尺度变换的证明 从 ( t ) 定义看：
pt 1
pat 1




2 t

2
O



2a
O

a

2a
t
t 强度为1 p(t)面积为1，
2
注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。
通信与信息工程学院基础教学部
17
三、序列δ(k)和ε(k)

信号与系统全套课件

信号与系统全套课件

解答
f (t)
f (t 5)
1
时移
1
1 O 1 t 尺度 变换
f (3t)
6 5 4
t 尺度 O 变换
f (3t 5)
1 t
1O 1
33
时移
1 t
2 4 3
1.4.2 信号的变换
平移、展缩、反折相结合举例
例 已知f (t)如图所示，画出 f(-2t-4)。 解答
右移4，得f (t–4)
反转，得f (-2t–4)
1.4.2 信号的变换
2.信号的平移
将 f (t) → f (t–t0) ，称为对信号f (t)的右移
f (t) → f
其中，t0 >0
如
(t +t0)， 称为对信号f t → t–1右移
(t)的左移
f (t-1)
1
f (t) 1
o1 2 t
o1 t
t → t+1左移
雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。
1.2.2 信号的分类
1. 确定信号和随机信号
•确定性信号 可用确定的时间函数表示的信号。
对于指定的某一时刻t，有确定的函数值f(t)。
•随机信号
取值具有不确定性的信号。 如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。
•伪随机信号 貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。
1.2.2 信号的分类
f (t)
2
1
4
－ 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3
t
－1
－2
f (t) 2 1 － 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3 4 t
(a)
(b)
图5 确定性信号与随机信号

时间变换14阶跃函数和冲激函数一

时间变换14阶跃函数和冲激函数一

YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
例3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk) （2）f2(k) = sin(2k)
解 （1）sin(3πk/4) 和cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3， 2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期分别为N1 = 8 ， N1 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。 （2）sin(2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于2π/ β1 = π为无理数， 故f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。 由上面几例可看出：①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列 不一定是周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而 两周期序列之和一定是周期序列。
5．一维信号与多维信号
从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函 数，称为一维或多维函数。 语音信号可表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号。 而一张黑白图像每个点(像素)具有不同的光强度，任一点又是 二维平面坐标中两个变量的函数，这是二维信号。还有更多维 变量的函数的信号。 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
二、系统的概念
信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的 物理装置常称为系统。 一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组 合而成具有特定功能的整体。 如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系 统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成 信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。 系统的基本作用是对输入信号 输入信号 进行加工和处理，将其转换为所需 要的输出信号。 激励

信号与系统第一章第二节

信号与系统第一章第二节


例子
0 (当t 2 ) 1 vc (t ) (t ) (当 t ) 2 2 2 1 (当t ) 2 电流ic(t)为
：
从物理方面理解函数的意义。电路图如下： 电压源vc(t)接向电容元件Ｃ，假定vc(t)是斜变信号。
vc (t )

ic (t )
c
vc (t )
ic (t )
dvc (t ) ic (t ) c dt c [u (t ) u (t )] 2 2
1
1 2
c
2
0 2
t

0 2
t 0 2
t
如果0的极限情况，则vc(t)成为阶跃信号，它的微分— —电流ic(t)是冲激函数其表达式为： vc (t ) u (t ) v (t )
信号与系统
孔艳岩
495239861
1.4 阶跃信号和冲激信号 1.单位斜变信号
斜变信号也称斜升信号。 它是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。 如果增长的变化率是1，就称为单位斜变信号。

(1)单位斜变信号
f (t )
如果将起始点移至t0,则可写成
0 t 0 f (t ) t t 0
1
0
1
t
与阶跃函数类似，对于符号函数在跳变点也可不予定义，或 规定sgn(0)=0. 显然，阶跃信号来表示符号函数
sgn( t ) 2u (t ) 1
2、阶跃函数的性质：
（1）可以方便地表示某些信号
f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间

阶跃信号和冲激信号

阶跃信号和冲激信号
f t u t u t 2 2
1 f t G τ t t
第 5 页
其他函数只要用门函数处理(乘以 门函数)，就只剩下门内的部分。 符号函数：(Signum)
1 sgn( t ) 1 t 0 t0

O
d u( t ) (t ) dt



f (t ) (t ) d t f (0)
（2）奇偶性 ( t ) (t ) （3）比例性 1 (at ) t a

t

( ) d u(t )
（5）卷积性质
f t t f t
X
例1



(5t ) f ( t )dt ?
1 f 0 5
第
17 页
f(5-2t)
例2
已知信号f (5 2t )的波形， 请画出f ( t )的波形。
(2) O 1 2 3 t
X
第
例2
已知信号f (5 2t )的波形， 请画出f ( t )的波形。
f (5 2t ) 2 (t 3)
t0
f (t )
t0 1 t
K
O

t
X
二．单位阶跃信号
1. 定义
0 u( t ) 1 t0 1 0点无定义或 t 0 2
1 u(t )
第 4 页
O
u( t t 0 )
1
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t t0 0 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1



(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )

冲激函数和阶跃函数关系

冲激函数和阶跃函数关系

冲激函数和阶跃函数关系
冲激函数和阶跃函数是两种常见的特殊函数，在信号与系统以及控制系统等领域中经常使用。

冲激函数，通常表示为δ(t)或δ[n]，在连续时间和离散时间中有不同的定义。

连续时间冲激函数δ(t)是一个非常窄且幅度无限大的脉冲函数，其面积为1。

离散时间冲激函数δ[n]在n = 0时取值为1，其他时刻取值为0。

冲激函数的主要特点是在t=0或n=0时取得最大值，其他时刻都为零。

阶跃函数，通常表示为u(t)或u[n]，同样在连续时间和离散时间中有不同的定义。

连续时间阶跃函数u(t)表示为在t=0时跳跃至1，其他时刻保持为1的函数。

离散时间阶跃函数u[n]在n >= 0时取值为1，n < 0时取值为0。

阶跃函数的主要特点是在t=0或n=0时发生跃变。

冲激函数和阶跃函数之间存在一种关系，即冲激函数是阶跃函数的导数（在连续时间中）或差分（在离散时间中）。

换句话说，连续时间冲激函数δ(t)的导数就是阶跃函数
u(t)，离散时间冲激函数δ[n]的差分就是阶跃函数u[n]。

这个关系可以用数学表达式表示为：
在连续时间中：u(t) = ∫δ(τ)dτ
在离散时间中：u[n] = Σδ[k]
其中，τ为连续时间积分变量，k为离散时间求和变量。

综上所述，冲激函数和阶跃函数之间存在着导数（差分）的关系，阶跃函数可以看作是冲激函数的累积。

这种关系在信号分析和系统分析中具有重要的应用和意义。

信号与系统第一章

信号与系统第一章
f A (t ) f D (t )
t
1
f (t )
R( t )
延迟的单位斜变信 号 f (t t 0 )
R( t t 0 )
1
1 t
0 f (t ) t
t 0 t 0
1
O
O
t t0 0 f (t t0 ) t t0 t t0 三角形脉冲可用单位斜变信号表示：
f1 (t ) f (t )
冲激强度为1
(1) t
6
o
(t )
(1) t
o
(t t0 )

延时的单位冲激信号
(1)
o
t0
t
只在 t 0 有一个“单位冲激”，在 处，信号值 t0 都为 0，单位冲激的强度为 1。若矩形脉冲面积为 A，则冲 激强度为A。 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形信号、抽样信号等 取极限，都可以得到冲激信号。
f 2 (t ) e t u(t ) u(t t 0 )
0
t0
t
1
sgnt
• 可用阶跃信号表示符号函数。
1 sgn(t ) 1 t 0 t 0
O
-1
t
sgn(t ) u(t ) u(t ) 2u(t ) 1
1 u (t ) [sgn( t ) 1] 2 5
0
t
同样，对于电感电路，由于
当i L (t )为阶跃信号时，v L (t )为冲激信号，说明由于冲激 电压的出现，允许电感电流在无限短时间内产生跳变。
12
四、冲激偶信号
冲激信号求导，称为冲激偶信号。是正、负极性的一 对冲激，强度均为无限大。
s( t )
1

《信号与系统 》PPT课件

《信号与系统 》PPT课件
一、系统的定义 二、系统的分类及性质
1.6 系统的描述
一、连续系统 二、离散系统
1.7 LTI系统分析方法概
述
二、冲激函数
点击目录 ，进入相关章节
a
10
第1-10页
■
信号与系统 电子教案
第一章 信号与系统
1.1 绪言
思考问题：什么是信号？什么是系统？为什么把这两 个概念联系在一起？
一、信号的概念
1. 消息(message):
a
26
第1-26页
■
信号与系统 电子教案
1.2 信号的描述和分类
4．能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率 为| f (t) |2，在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
（1）信号的能量E
def
E
f (t) 2 dt
（2）信号的功率P
def
Pl
i
m1
TT
29
第1-29页
■
信号与系统 电子教案
1.3 信号的基本运算
二、信号的时间变换运算
1. 反转
演示
将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (·) 的反转或反折。从图形上看是将f (·)以纵坐标为轴反 转180o。如
f (t) 1
反转 t → - t
1
f (- t )
看成系统。它们所传送的语音、音乐、图像、文字
等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常
紧密地联系在一起。 系统的基本作用是对输入 输入信号
信号进行加工和处理，将其转 换为所需要的输出信号。
激励
系统
演示

信号与系统阶跃信号和冲激信号

信号与系统阶跃信号和冲激信号
： ( k )

( k ) t f t d t 1 f 0 k
② 平均面积
和连续函数的乘积 ④ f ， t ( t ) f 0 ( t ) f ( 0 ) t
0 u ( t t ) 0 1
t
u( t t 0 )
1
O
1
t t 0 , t 0 0 t t 0
0
t0 u(t t0 )
t
由宗量 t O t t 0 可 t 知 t , 即 时 0 0 ，函数有断点，跳变点 间为 t0 时 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
无穷 t 0 ★ 幅度 0 t 0
物理意义：闪电， 瞬间放电
描述（公式或图形表达）
1 ( t ) lim p ( t ) lim u t u t 0 0 2 2
(t)
1 sgn( t) 1 t 0 t 0

O
2

2
sgn t
1
O
t
-1
1 sgn( t ) u ( t ) u ( t ) 2 u ( t ) 1 u ( t) [sgn( t) 1 ] 2
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其导 数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称为 奇异信号或奇异函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号

1.4阶跃函数和冲激函数

1.4阶跃函数和冲激函数

γn(t)=0 γn(t)=1/2+nt/2 γn(t)=1
信号与线性系统
采用下列直观定义：对γn(t)求导得到如图所示 的矩形脉冲Pn(t) 。
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
信号与线性系统
也可由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）
• 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度 极大，作用时间极短一种物理量的理想化 模型。
？
信号与线性系统
冲激函数的性质（2）
δ (t) 的尺度变换
研究

(at)(t)dt
a≠0的常数

δ (at) 的n阶导数
信号与线性系统
冲激函数的性质（3）
奇偶性
n为偶数 n为奇数
信号与线性系统
冲激函数的性质（4）
复合函数形式的冲激函数
• 实际中有时会遇到形如δ [f(t)]的冲激函数，其中f(t) 是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根ti ( i=1，2，…，n)；
0,

| t |
2
| t |

2
t
利用移位阶跃函数，门函数可表示为：
g
(t
)


(t


2
)


(t


2
)
信号与线性系统
二、冲激函数的广义函数定义
• 广义函数
• 选择一类性能良好的函数(t)(检验函数)，一
个广义函数g(t)作用在(t)，得到一个数值
N[g(t), (t)]。
* 某些物理量在空间或时间坐标上集中与一点 的物理现象，奇异函数就是描述这类现象的 数学模型。
信号与线性系统
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1a(t|)
(t

t0 a
)
(2) 当a = –1时 (n) (t) (1)n (n) (t)
所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
▲
■
第 14 页
举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
f (t)
4
求导，得g(t) (4)
▲
■
第7页
3. δ(t)与ε(t)的关系
γn
11
2
1 o 1
n
n
求导
n pn(t) 2
t
pn (t)
d n (t)
dt
1 n
o
1 n
t
n→∞
ε(t)
1
o
t
t
(t) ( ) d
求导
(t) d (t)
dt
δ(t)
(1)
o
t
▲
■
第8页
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在
dt

（5）冲激偶
f (t) (t) f (0) (t) f (0) (t)

f (t) (t)d t f (0) t (t)d t (t) (t) (t) (t)d t 0
▲
■
第 18 页
函数序列定义δ(t)
冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质
▲
■
第5页
1. 狄拉克(Dirac)定义
(t) 0 t 0



(t) d t

1

(t)dt
0 (t )d t

0
➢ 函数值只在t = 0时不为零； ➢ 积分面积为1；
(t t0 ) 1
O
t0
t
t t0, t t0
t0 0
(t t0 ) 1
t0 O
t
▲
■
第3页
3. 阶跃函数的性质
（1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
f (t) 2
o 12
t
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间 -1
k
•例

( ?
k
k

(k i) ?
i
▲
■
第 19 页
2. 单位阶跃序列ε(k) 定义
•定义
def 1, k 0
(k) 0, k 0
•ε(k)与δ(k)的关系
ε (k)
1 …
-1 o 1 2 3 k
▲
■
第 16 页
ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
[t 2 4] 1 d [ (t 2 4)] 1 [ (t 2) (t 2)]
2t d t
2t
1 (t 2) 1 (t 2) 1 (t 2) 1 (t 2)
δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
k
(k) (i)
或
i

(k) (k j)
j0
ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…
▲
■
第 20 页
#
▲
■
第 17 页
冲激函数的性质总结
（1）取样性
f (t) (t) f (0) (t)

f (t) (t)d t f (0)
（2）奇偶性
(t) (t)
（3）比例性
(at) 1 t
a （4）微积分性质
(t) d (t)
t
( ) d (t)
f (t)
f(t)ε (t)
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
to
t (b)
（3）积分
t
( ) d t (t)

o t1 t2
t
(c)
▲
■
第4页
二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。
狄拉克(Dirac)定义

2)2 ]
t 0

2(t

2)
t 0

4
▲
■
第 13 页
3. 对(t)的尺度变换
at 1 t 证明 举例
a
at 1 1 t
aa

(n)
(at)

|
1 a
|

1 an

(n)
(t)
推论: (1) (at) 1 (t)
|a|
δ(2at)=t00).5δ|
δ(t)
(1)
➢ t =0 时， t ，为无界函数。 o
t
▲
■
第6页
2.函数序列定义δ(t)
对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。
γn
11
n pn(t)
2
2
1 o 1
n
n
求导
t def
1 o 1 t
n
n

(t)

lim
n
pn
(t)
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t) f (t) f (0) (t)
f (t)

(t) f (t)d t f (0)
f (0) (t )
证明
t
o
对于平移情况：
f (t) (t t0) f (t0 ) (t t0)

(t t0 ) f (t)d t f (t0 )
g(t) = f '(t)
-2
o
2
t
-2
o
-1
2 t
压缩，得g(2t)
g(2t)
(2)
-1 o
1 t
-1
▲
■
第 15 页
4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其
中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的
实根 ti ( i=1，2，…，n)
f (t)
11
2
1 o 1
t
0, t 0
n
n

(t)
def

lim
n

n
(t
)


1, 2 1,
t 0 t 0
(t)
1
O
t
▲
■
第2页
2. 延迟单位阶跃信号
(t)
1

(t

t0
)

0 1
0
(t t0 ) 1
O
t
t t0, t t0
t0 0
f (t) 2
求导
-1 o 1 t
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
f '(t)
(2) 1t
-1 o
(-2)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
▲
■
第9页
三． 冲激函数的性质
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分
有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函
数。
阶跃函数
冲激函数
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
■
第1页
一、单位阶跃函数
1. 定义
下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γn
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
22
22
4
4
n
一般地， [ f (t)]
i 1
f
1 ' (t i
)

(t

ti
)
这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为 函数构成的冲激函数序列。
f
1 ' (t
i
)的n个冲激
(4t 2 1) 1 (t 1) 1 (t 1)
4 24 2 注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。

证明
δ(n)(t)的定义：


(n) (t) f (t) d t
(1)n
f
(n) (0)

δ’(t)的平移：



( t
t0)
f
(t )d t


f
(t0)
③ t (t)d t t
例

(t


2)2 '(t) d t


d dt
[(t
举例
▲
■
第 11 页
2.冲激偶
s(t )
1
o
τ↓
s(t )
t
0
1
2
O

t
1 2
(t)
(1)
O
t
(t)
t
O
▲
■
第 12 页