$基于MatlabSimulink的多自由度机械振动系统仿真

Science and Technology &Innovation ┃科技与创新2020年第17期·67·文章编号：2095－6835（2020）17－0067－03基于MATLAB 的二自由度和四自由度汽车振动模型分析金琦珺，罗骞＊（武汉理工大学汽车工程学院，湖北武汉430070）摘要：以普通乘用车为例，将汽车简化成独立悬架整车二自由度与四自由度动力学模型，根据牛顿第二定律求出系统的运动微分方程，并利用MATLAB 研究了汽车振动的频率响应特性，求解得到该振动系统的固有频率和各主振型，绘制出车身、前后轴振动对前后轮激励的频率响应曲线图。

并着重研究了轮胎阻尼对汽车平顺性的影响。

该研究能够对减轻汽车振动及提高汽车行驶平顺性提供一定有益的参考。

关键词：MATLAB ；二自由度：四自由度；自由振动中图分类号：TH701文献标识码：A DOI ：10.15913/ki.kjycx.2020.17.0261引言机械振动对于人类的生产生活来说是一把双刃剑，既可以服务于人类，又对人类的生产活动有重大危害。

机械振动既有有利的一面也有有害的一面。

需对振动进行动态分析，通过研究物体偏离平衡位置的位移、速度、加速度等的动态变化来达到目的。

在物体的平衡点附近出现的物体的来回运动，有线性和非线性两种振动模式。

由于外界对系统的激励或作用，使得机械设备产生噪声及有损于机械结构的动载荷，从而影响设备的工作性能和寿命。

尤其是发生共振情况时，可能使机器设备受到损坏，所以急需对机械振动的相关原理进行研究。

为了合理减小振动对设备的危害，充分利用振动进行机器运作，对机械振动产生的规律进行了探讨和研究。

随着计算机智能系统的快速发展，相关的仿真技术都出现了极大的提升空间，在日常的生产活动中，人们经常用到的相关软件有adams 、abaqus 等。

目前MATLAB 计算机软件在计算机的仿真方面使用更加广泛一些，MATLAB 是一款拥有强大绘图能力的工程计算高级计算机语言。

基于Matlab 的两自由度振动系统模拟实验报告一、 实验目的1、 深入了解两自由度振动系统的模态正交性。

2. 掌握Matlab 编程基本语言和两自由度系统的响应模态求解方法。

二、 实验原理如图1所示的系统，设0=t 时，两个圆盘恰处于平衡位置, 设,221I I =2t t k k =。

图1 振动系统模型图设，，21θθ为21I I ，的转角，则21θθ，描述了系统的运动情况。

故该系统的自由度为两个。

当不考虑图示系统的阻尼和外界激励时，根据牛顿运动定律,其运动的微分方程为：[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧00][2121θθθθK M(1)其中[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222100200I I I I M ，]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=2222222212t t t t t t t t t k k k k k k k k k K 由[][]{}0)(=-u M ωK 2，可得频率方程如下：0002-22222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I I k k k k t t t t ω (2)求解式(2)得2222122)22(22-2I k I k t t -==ω, 22222)22(I k t +=ω (3)系统振型为{}[]T 211=φ，{}[]T 212-=φ，其振型图如下：图2 系统振型图令{}{}⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==Φ2211],[][21φφ, 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΦΦ10014][][][2I M T, ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=ΦΦ22212004][][][ωωI K T (4)式(4)为振动系统的模态正交特性。

当考虑图1系统的外界激励时，即{}t F F F ωsin 21⎭⎬⎫⎩⎨⎧=时,其运动的微分方程为： []t F F K M ωθθθθsin ][212121⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧ (5)为了求出方程(5)的稳态解,可令⎭⎬⎫⎩⎨⎧Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧2121][q q θθ,将⎭⎬⎫⎩⎨⎧Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧2121][q q θθ代入式(5),同时方程两边同乘以T ][Φ,并利用振动系统的模态正交特性,有t I F F I F F q q qq ωωωsin )4/()2()4/()2(0022122121222121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎭⎬⎫⎩⎨⎧(6)利用式(6)很容易求得t I F F I F F q q Tωωωωωsin ))4/()2(,)4/()2((22222122122121---+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧, 再由⎭⎬⎫⎩⎨⎧Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧2121][q q θθ求得⎭⎬⎫⎩⎨⎧21θθ。

基于Matlab/Simulink的多自由度机械振动系统仿真作者：曾德惠， 黄松和， ZENG De-hui， HUANG Song-he作者单位：曾德惠,ZENG De-hui(湖北民族学院,理学院,湖北,恩施,445000;西南交通大学,机械工程学院,四川,成都,610031)， 黄松和,HUANG Song-he(西南交通大学,机械工程学院,四川,成都,610031)刊名：湖北民族学院学报（自然科学版）英文刊名：JOURNAL OF HUBEI INSTITUTE FOR NATIONALITIES（NATURAL SCIENCES EDITION）年，卷(期)：2008,26(1)被引用次数：1次1.郝桐生理论力学 20032.李兴玮.邱晓刚计算机仿真技术基础 20063.蒋志峰.楼易用 MATLAB进行单自由度系统机械振动试验[期刊论文]-力学与实践 2004(03)4.杨立主计算机控制与仿真技术 20035.王积伟.吴振顺控制工程基础 20016.商大中.李宏亮.韩广才结构动力分析 20057.沈辉精通SIMULINK系统仿真与控制 20038.王文娟机械振动分析的Matlab/Simulink 仿真研究[期刊论文]-现代电子技术 2006(24)9.欧进萍结构振动控制-主动、半主动和智能控制 200310.薛定宇.陈阳泉基于Matlab/Simulink的系统仿真技术与应用 200211.刘明精通Matlab7 20061.曾德惠粘滞阻尼器被动振动控制仿真研究[期刊论文]-湖北民族学院学报（自然科学版） 2009(2)本文链接：/Periodical_hbmzxyxb-zrkx200801017.aspx。

山东大学Ｍatｌａb 课程作业学院：机械工程学院专业：姓名:学号:基于Simｕｌink仿真得振动学问题解决实例1.单自由度无阻尼自由振动仿真表达式：仿真框图：参数设置：k=1０0N/m m＝4kｇ初始状态：初速度为0 初始位移为５仿真结果：2.简谐波形得里沙茹图形分析仿真框图：参数设置：K=100m＝４→raｄ／ｓSin wａve参数设置：Ａｍplｉtｕde1 ；Fｒeqｕencｙ 5 １０15初始状态：①→φ=②→φ=③＝１，=5→φ=45；④＝1，＝−5→φ=135;⑤＝0,=−1→φ=１80ＸY Graph参数x-mｉn －2；x-max 2；y－min—2; y-ｍａx 2Frｅquency 5时仿真结果:Ｆrｅquenｃy 1０时仿真结果：Ｆreｑｕency 15时仿真结果：3.单自由度有阻尼自由振动表达式:仿真框图：参数设置：ﻫ令k=１00,m＝１0，ｃ=10 初始状态：ﻫ初始速度为0，位移为1仿真结果：４、衰减振荡得阻尼比得估计参数：ｋ=1００,m=10，c=２初始条件:x0=1，v0＝0仿真图框：初始振幅为1，约7个周期时衰减为０、25,对数减幅：δ＝（ｌn４）/７≈0、０99阻尼比§≈δ/2≈0、0３2理论值§＝0、5c(km)−0、5≈0、０325、单自由度有阻尼+正弦激励表达式：令激励则方程变形为参数设置：令k=４，ｍ=1，c=０、2初始状态：ﻫ初始速度为0,位移为0、０5 仿真框图：仿真结果：6、利用速度共振得里沙茹图进行固有频率与阻尼系数分析仿真框图:改变激励频率：=1、２；1、6;1、8；１、9;１、95；2；2、05;2、1;2、2等7、两自由度无阻尼系统自由振动表达式:参数设置:m1=１，m2=2 k１=1,ｋ2=1，k３=2初始状态:①速度0，ｍ1、m2位移均为１②速度0，m１位移1，m2位移−0、5③速度0,m1位移1，m2位移0 仿真结果：①②③。

目 录1引言——机械振动的仿真原理 (5)1.1 Matlab Simulink 功能简述 (5)1.2机械振动的物理模型 (5)1.2.1简谐振动的物理模型 (5)1.2.2阻尼振动的物理模型 (6)1.2.3受迫振动的物理模型 (6)1.3 Matlab Simulink 仿真原理简述 (8)2简谐振动方程的解及其模拟仿真 (9)2.1简谐振动方程的求解 (9)2.2简谐振动模型的仿真研究 (9)2.2.1基本模型的建立 (9)2.2.2 速度、加速度的监测 (11)2.2.3 动能、势能、机械能监测 (12)2.3简谐振动的图像分析 (13)3阻尼振动方程的求解和仿真模拟 (15)3.1弹簧振子做阻尼振动方程的求解 (15)3.2弹簧振子做阻尼振动的模拟仿真研究 (15)3.3阻尼振动的图像分析 (18)4受迫振动的方程的求解和仿真模拟 (20)4.1弹簧振子做受迫振动方程的求解 (20)4.2弹簧振子做受迫振动的仿真模拟研究 (21)4.2.1策动力频率0ωω<时弹簧振子的受迫振动仿真模拟 (21)4.2.2策动力频率0ωω>时弹簧振子受迫振动的仿真模拟 (24)4.2.3策动力频率0ωω=时弹簧振子的仿真模拟 (26)4.3受迫振动的图像分析 (27)5几点补充说明与仿真模拟中问题分析 (29)5.1物理振动模型建立的补充说明 (29)5.2方程求解中的补充说明 (29)5.3仿真模拟中的问题分析 (29)6结语 (31)参考文献 (32)附录 (33)致谢 (34)摘要机械振动主要有简谐振动，阻尼振动，受迫振动三种。

对三种振动建立模型，列出振动方程，再对三种振动给定初始条件，就可以利用Matlab Simulink功能对三种振动进行仿真模拟，得出振动的位移，速度，加速度，动能，势能，机械能随时间的变化关系图像。

另外，我们对振动方程求解，得出振子位移关于时间的函数，再分别对其求一阶、二阶导数，就可以得出速度、加速度函数，再经过简单运算就可以得到动能、势能、机械能函数。

0引言在实际工程中，许多物体都涉及到振动问题，比如在行驶过程中的汽车、城市轨道车辆、高速运行的动车等。

但是对于很多复杂物体的振动分析较为困难，因此在分析的过程中要加以简化才可以。

通常而言，大部分物体振动可以简化为简单的三自由度系统，这样更加方便计算和分析。

比如现在的汽车在满足安全的同时追求更好的驾驶舒适性，其车的结构也是越来越复杂。

大多数汽车座椅下面使用了弹簧和橡胶来吸收振动、缓解冲击，同时在汽车底盘和轮胎处都采用了减振装置，这所有就可以看成一个三自由度的系统。

简化模型来解决复杂振动问题，可以采用理论分析和数值仿真，数值仿真通常用Matlab 。

本文主要针对工程中常用的三自由度系统的简化模型进行了分析，综合采用理论计算和数值仿真。

理论计算做了三自由度的运动微分方程、固有频率和主振型的计算，数值仿真做了系统的模型用来分析各部分在外界激励的作用下的位移响应曲线。

本文用的是Simulink 动态分析，它可以在做出实际系统之前，预先对设计的系统进行仿真分析，并可以根据仿真结果随时进行参数的修正，提高系统的性能和稳定性，以减少对实际系统的设计与修改，实现高效率的开发和设计分析系统的目的。

1三自由度振动系统理论计算本节用一个三自由度有阻尼系统来近似模拟简化的机械物体在运动过程中的振动。

问题描述：已知一个系统刚度K=500N/m ，系统质量M 3=20kg 、M 2=20kg 、M 1=20kg ，阻尼器系数C=2Ns/m ，弹簧和质量块为蓄能元件，阻尼器为耗能元件。

三个质量块的位移分别为X 1、X 2和X 3，外部激励X （t ）为，系统初值为零。

图1多自由度系统实物图具体分析过程如下：根据对质量块受力分析，可以得到系统的动力学方程如下：（1）整理为下面的形式方便建模：（2）矩阵形式为：（3）即振动系统可以表示为：式中：、、下面进行系统的模态分析：系统矩阵可以写为（4）其中M -1表示系统质量逆矩阵，K 表示刚度矩阵，可以表示为：系统矩阵为：（5）令，则有———————————————————————作者简介:黄兵（1998-），男，重庆人，本科，重庆交通大学机电与车辆工程学院，研究方向为城市轨道交通车辆。