$基于MatlabSimulink的多自由度机械振动系统仿真

2 机械工程控制系统的仿真实例
在控制工程中，为研究系统的动态特性，要建
立系统的数学模型。根据数学模型表达式的线性与
否，将其分为线性系统和非线性系统。
2.1 线性系统的仿真
机械工程的线性系统在时域中通常用输入和输
出之间的微分方程来描述其动态特性。为不失一般
性，以下面的二阶微分方程为例。假设初始状态为
0， u(t) 是 单 位 阶 跃 函 数 ， 有
图 1 求解微分方程的仿真模型
- 238 -
2005 年 7 月
农机化研究
第4期
在该仿真模型的 Scope 模块参数设置页中，勾 选 Save data to workspace，送入示波器的数据同 时被保存在 Matlab 基本空间的缺省名 ScopeData 的构架数组中。Clock 模块产生仿真时间数据，供 To workspace 模块使用。在仿真参数设置窗中，设 置仿真停止时间为 20，并勾选 Time 和 States 栏， 使模型仿真中产生的数据以 tout 状态、xout 名称 保 存 在 Matlab 工 作 空 间 。双 击 Scope 图 标 ，选 择 仿 真 开 始 按 钮 ，可 在 示 波 窗 中 看 到 位 移 x 的 变 化 曲 线 。 利用存放在 Matlab 工作空间中的数据绘制位移曲 线如图 2 所示。
[1] 郑东旭,姜海勇,李 兵,等.玉米整秆覆盖下小麦 免 耕 播 种 机 研 究 [J]. 河 北 农 业 大 学 学 报 ,2003,
(26):285-287.
[2] 巩 杰,黄高宝,陈利顶,等.旱作麦田秸秆覆盖的 生 态 综 合 效 应 研 究 [J].干 旱 地 区 农 业 研 究 ,2002, 21(3):69-73.

Science and Technology &Innovation ┃科技与创新2020年第17期·67·文章编号：2095－6835（2020）17－0067－03基于MATLAB 的二自由度和四自由度汽车振动模型分析金琦珺，罗骞＊（武汉理工大学汽车工程学院，湖北武汉430070）摘要：以普通乘用车为例，将汽车简化成独立悬架整车二自由度与四自由度动力学模型，根据牛顿第二定律求出系统的运动微分方程，并利用MATLAB 研究了汽车振动的频率响应特性，求解得到该振动系统的固有频率和各主振型，绘制出车身、前后轴振动对前后轮激励的频率响应曲线图。

并着重研究了轮胎阻尼对汽车平顺性的影响。

该研究能够对减轻汽车振动及提高汽车行驶平顺性提供一定有益的参考。

关键词：MATLAB ；二自由度：四自由度；自由振动中图分类号：TH701文献标识码：A DOI ：10.15913/ki.kjycx.2020.17.0261引言机械振动对于人类的生产生活来说是一把双刃剑，既可以服务于人类，又对人类的生产活动有重大危害。

机械振动既有有利的一面也有有害的一面。

需对振动进行动态分析，通过研究物体偏离平衡位置的位移、速度、加速度等的动态变化来达到目的。

在物体的平衡点附近出现的物体的来回运动，有线性和非线性两种振动模式。

由于外界对系统的激励或作用，使得机械设备产生噪声及有损于机械结构的动载荷，从而影响设备的工作性能和寿命。

尤其是发生共振情况时，可能使机器设备受到损坏，所以急需对机械振动的相关原理进行研究。

为了合理减小振动对设备的危害，充分利用振动进行机器运作，对机械振动产生的规律进行了探讨和研究。

随着计算机智能系统的快速发展，相关的仿真技术都出现了极大的提升空间，在日常的生产活动中，人们经常用到的相关软件有adams 、abaqus 等。

目前MATLAB 计算机软件在计算机的仿真方面使用更加广泛一些，MATLAB 是一款拥有强大绘图能力的工程计算高级计算机语言。

③
：分子分母为多项式形式的传递函数。 双击该模块，弹出传递函数的参数对话框，设置框图中的参 数后，该传递函数显示如下：
：零极点增益形式的传递函数。 双击该模块，弹出传递函数的参数对话框，设置框图中 的参数后，该传递函数显示如下：
Math 库 该库包含描述一般数学函数 的模块。双击 即弹出右 图。 该库中模块的功能就是 将输入信号按照模块所 描述的数学运算函数计 算，并把运算结果作为 输出信号输出。
[说明]若不设置仿真参数,则采用Simulink缺省设置.
1 Simulink 基本操作
1.3 系统仿真运行 1. Simulink模型窗口下仿真 步骤 ③ 仿真运行和终止：在模型窗口选取菜单【Simulation: Start】， 仿真开始，至设置的仿真终止时间，仿真结束。若在仿真过程 中要中止仿真，可选择【Simulation: Stop】菜单。也可直接点 击模型窗口中的 （或 ）启动（或停止）仿真。
Simulink下的机械振动仿真
主要内容如下：
1 2 3 4 Simulink基本操作 基本模块 系统仿真 Simulink仿真举例

Simulink 中的“Simu”一词表示可用于计算机仿真，而 “Link”一词表示它能进行系统连接，即把一系列模块 连接起来，构成复杂的系统模型。作为MATLAB的一 个重要组成部分，Simulink由于它所具有的上述的两大 功能和特色，以及所提供的可视化仿真环境、快捷简 便的操作方法，而使其成为目前最受欢迎的仿真软件 。 介绍Simulink的基本功能和基本操作方法，并通过举例 介绍如何利用Simulink进行系统建模和仿真。

当设置幅值为0.8,阶跃时间 为1秒时，阶跃波形如下图 所示：
Sinks 库

基于Matlab 的两自由度振动系统模拟实验报告一、 实验目的1、 深入了解两自由度振动系统的模态正交性。

2. 掌握Matlab 编程基本语言和两自由度系统的响应模态求解方法。

二、 实验原理如图1所示的系统，设0=t 时，两个圆盘恰处于平衡位置, 设,221I I =2t t k k =。

图1 振动系统模型图设，，21θθ为21I I ，的转角，则21θθ，描述了系统的运动情况。

故该系统的自由度为两个。

当不考虑图示系统的阻尼和外界激励时，根据牛顿运动定律,其运动的微分方程为：[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧00][2121θθθθK M(1)其中[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222100200I I I I M ，]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=2222222212t t t t t t t t t k k k k k k k k k K 由[][]{}0)(=-u M ωK 2，可得频率方程如下：0002-22222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I I k k k k t t t t ω (2)求解式(2)得2222122)22(22-2I k I k t t -==ω, 22222)22(I k t +=ω (3)系统振型为{}[]T 211=φ，{}[]T 212-=φ，其振型图如下：图2 系统振型图令{}{}⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==Φ2211],[][21φφ, 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΦΦ10014][][][2I M T, ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=ΦΦ22212004][][][ωωI K T (4)式(4)为振动系统的模态正交特性。

当考虑图1系统的外界激励时，即{}t F F F ωsin 21⎭⎬⎫⎩⎨⎧=时,其运动的微分方程为： []t F F K M ωθθθθsin ][212121⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧ (5)为了求出方程(5)的稳态解,可令⎭⎬⎫⎩⎨⎧Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧2121][q q θθ,将⎭⎬⎫⎩⎨⎧Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧2121][q q θθ代入式(5),同时方程两边同乘以T ][Φ,并利用振动系统的模态正交特性,有t I F F I F F q q qq ωωωsin )4/()2()4/()2(0022122121222121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎭⎬⎫⎩⎨⎧(6)利用式(6)很容易求得t I F F I F F q q Tωωωωωsin ))4/()2(,)4/()2((22222122122121---+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧, 再由⎭⎬⎫⎩⎨⎧Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧2121][q q θθ求得⎭⎬⎫⎩⎨⎧21θθ。

基于Matlab/Simulink的多自由度机械振动系统仿真作者：曾德惠， 黄松和， ZENG De-hui， HUANG Song-he作者单位：曾德惠,ZENG De-hui(湖北民族学院,理学院,湖北,恩施,445000;西南交通大学,机械工程学院,四川,成都,610031)， 黄松和,HUANG Song-he(西南交通大学,机械工程学院,四川,成都,610031)刊名：湖北民族学院学报（自然科学版）英文刊名：JOURNAL OF HUBEI INSTITUTE FOR NATIONALITIES（NATURAL SCIENCES EDITION）年，卷(期)：2008,26(1)被引用次数：1次1.郝桐生理论力学 20032.李兴玮.邱晓刚计算机仿真技术基础 20063.蒋志峰.楼易用 MATLAB进行单自由度系统机械振动试验[期刊论文]-力学与实践 2004(03)4.杨立主计算机控制与仿真技术 20035.王积伟.吴振顺控制工程基础 20016.商大中.李宏亮.韩广才结构动力分析 20057.沈辉精通SIMULINK系统仿真与控制 20038.王文娟机械振动分析的Matlab/Simulink 仿真研究[期刊论文]-现代电子技术 2006(24)9.欧进萍结构振动控制-主动、半主动和智能控制 200310.薛定宇.陈阳泉基于Matlab/Simulink的系统仿真技术与应用 200211.刘明精通Matlab7 20061.曾德惠粘滞阻尼器被动振动控制仿真研究[期刊论文]-湖北民族学院学报（自然科学版） 2009(2)本文链接：/Periodical_hbmzxyxb-zrkx200801017.aspx。

山东大学Ｍatｌａb 课程作业学院：机械工程学院专业：姓名:学号:基于Simｕｌink仿真得振动学问题解决实例1.单自由度无阻尼自由振动仿真表达式：仿真框图：参数设置：k=1０0N/m m＝4kｇ初始状态：初速度为0 初始位移为５仿真结果：2.简谐波形得里沙茹图形分析仿真框图：参数设置：K=100m＝４→raｄ／ｓSin wａve参数设置：Ａｍplｉtｕde1 ；Fｒeqｕencｙ 5 １０15初始状态：①→φ=②→φ=③＝１，=5→φ=45；④＝1，＝−5→φ=135;⑤＝0,=−1→φ=１80ＸY Graph参数x-mｉn －2；x-max 2；y－min—2; y-ｍａx 2Frｅquency 5时仿真结果:Ｆrｅquenｃy 1０时仿真结果：Ｆreｑｕency 15时仿真结果：3.单自由度有阻尼自由振动表达式:仿真框图：参数设置：ﻫ令k=１00,m＝１0，ｃ=10 初始状态：ﻫ初始速度为0，位移为1仿真结果：４、衰减振荡得阻尼比得估计参数：ｋ=1００,m=10，c=２初始条件:x0=1，v0＝0仿真图框：初始振幅为1，约7个周期时衰减为０、25,对数减幅：δ＝（ｌn４）/７≈0、０99阻尼比§≈δ/2≈0、0３2理论值§＝0、5c(km)−0、5≈0、０325、单自由度有阻尼+正弦激励表达式：令激励则方程变形为参数设置：令k=４，ｍ=1，c=０、2初始状态：ﻫ初始速度为0,位移为0、０5 仿真框图：仿真结果：6、利用速度共振得里沙茹图进行固有频率与阻尼系数分析仿真框图:改变激励频率：=1、２；1、6;1、8；１、9;１、95；2；2、05;2、1;2、2等7、两自由度无阻尼系统自由振动表达式:参数设置:m1=１，m2=2 k１=1,ｋ2=1，k３=2初始状态:①速度0，ｍ1、m2位移均为１②速度0，m１位移1，m2位移−0、5③速度0,m1位移1，m2位移0 仿真结果：①②③。

计算机应用
王文娟 : 机械振动分析的 Matlab /Simulink 仿真研究
机械振动分析的 Matlab /Simulink 仿真研究
王文娟
( 西安工业大学 陕西 西安 710032)
摘 要 : 振动在工程实际中普遍存在 。为了研究和掌握振动规律 ,利用功能强大的仿真软件 Matlab/ Simulink 对一个三 自由度系统进行仿真 ,介绍 Matlab/ Simulink 在机械振动分析中的 3 种建模方法 ,并针对第 3 种建模方法编写了相应的 S 函 数和程序 ,可快速而有效地进行不同物理常数时的模态分析 。该方法简单易行 、 准确可靠 。 关键词 :Matlab/ Simulink ; 机械振动 ; 建模 ; 模态分析 中图分类号 : TP391. 9 文献标识码 :A 文章编号 :1004 373X ( 2006) 24 046 03
嵌入式与单片机
此 ,在 Matlab 命令窗口中要写出计算 A ,B ,C ,D 的程序代
0 1 0
0 0 1 2
¨ x1 ¨ x3
- 1
2 0 #43; x3
码 , 或者新建一个 M 文件来计算 A ,B ,C ,D 的值 。后者较 前者使用更方便 , 但是在每次仿真前 , 都必须先在 Matlab 命令窗口输入 M 文件的名称 , 才能开始仿真 , 使用起来还 是不方便 。
1 引 言 振动在日常生活和工程实际中普遍存在 。为了认识 振动现象 , 有必要研究和掌握振动规律 , 掌握他的益处来 为生产和生活服务 ,同时在生产和日常生活中有效地避免 振动造成的危害 。随着计算机技术的不断发展 , 人们研究 事物的手段也在发生着变化 ,一批卓越的现代化工程应用 分析软件纷纷占领市场 ,给人们在解决工程实际问题时带 来了极大的优越性 ,机械振动分析领域也不例外 。在众多 的软件中以 Matlab/ Simulink 仿真软件最为亮眼 。利用

¨ ・ ・ ¨ ・ ・ ・ ¨ ・ ・ ・ ¨ ・ ・
写成矩阵的形式为 : M X + CX + KX = F ( t) . 应用文献 [ 6 ]中的影响系数法建立系统的质量矩阵 、 刚度矩阵和阻尼矩阵如下 :
・
¨
・
X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ; X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ;
Abstract: Taking a four DOF mechanical vibrating system as an examp le, this paper discusses the mod2 elling method and sim ulation analysis of multi - degree - of - freedom m echanical vibration system s by u2 sing M atlab / Si m ulink soft w are, and focuses on the establishment method and utilization of the vibration differential equation and the state - space sim ulation model . The m ethod not only sim p lifies the p rocess of p rogramm ing, and imp roves the quality and reliability of p rogramm ing, but also offers effective reference for the sim ulation of the si m ilar multi - degrees of freedom vibrating system. Key words: M atlab / Sim ulink; mechanical vibration system; model; sim ulation

目 录1引言——机械振动的仿真原理 (5)1.1 Matlab Simulink 功能简述 (5)1.2机械振动的物理模型 (5)1.2.1简谐振动的物理模型 (5)1.2.2阻尼振动的物理模型 (6)1.2.3受迫振动的物理模型 (6)1.3 Matlab Simulink 仿真原理简述 (8)2简谐振动方程的解及其模拟仿真 (9)2.1简谐振动方程的求解 (9)2.2简谐振动模型的仿真研究 (9)2.2.1基本模型的建立 (9)2.2.2 速度、加速度的监测 (11)2.2.3 动能、势能、机械能监测 (12)2.3简谐振动的图像分析 (13)3阻尼振动方程的求解和仿真模拟 (15)3.1弹簧振子做阻尼振动方程的求解 (15)3.2弹簧振子做阻尼振动的模拟仿真研究 (15)3.3阻尼振动的图像分析 (18)4受迫振动的方程的求解和仿真模拟 (20)4.1弹簧振子做受迫振动方程的求解 (20)4.2弹簧振子做受迫振动的仿真模拟研究 (21)4.2.1策动力频率0ωω<时弹簧振子的受迫振动仿真模拟 (21)4.2.2策动力频率0ωω>时弹簧振子受迫振动的仿真模拟 (24)4.2.3策动力频率0ωω=时弹簧振子的仿真模拟 (26)4.3受迫振动的图像分析 (27)5几点补充说明与仿真模拟中问题分析 (29)5.1物理振动模型建立的补充说明 (29)5.2方程求解中的补充说明 (29)5.3仿真模拟中的问题分析 (29)6结语 (31)参考文献 (32)附录 (33)致谢 (34)摘要机械振动主要有简谐振动，阻尼振动，受迫振动三种。

对三种振动建立模型，列出振动方程，再对三种振动给定初始条件，就可以利用Matlab Simulink功能对三种振动进行仿真模拟，得出振动的位移，速度，加速度，动能，势能，机械能随时间的变化关系图像。

另外，我们对振动方程求解，得出振子位移关于时间的函数，再分别对其求一阶、二阶导数，就可以得出速度、加速度函数，再经过简单运算就可以得到动能、势能、机械能函数。

0引言在实际工程中，许多物体都涉及到振动问题，比如在行驶过程中的汽车、城市轨道车辆、高速运行的动车等。

但是对于很多复杂物体的振动分析较为困难，因此在分析的过程中要加以简化才可以。

通常而言，大部分物体振动可以简化为简单的三自由度系统，这样更加方便计算和分析。

比如现在的汽车在满足安全的同时追求更好的驾驶舒适性，其车的结构也是越来越复杂。

大多数汽车座椅下面使用了弹簧和橡胶来吸收振动、缓解冲击，同时在汽车底盘和轮胎处都采用了减振装置，这所有就可以看成一个三自由度的系统。

简化模型来解决复杂振动问题，可以采用理论分析和数值仿真，数值仿真通常用Matlab 。

本文主要针对工程中常用的三自由度系统的简化模型进行了分析，综合采用理论计算和数值仿真。

理论计算做了三自由度的运动微分方程、固有频率和主振型的计算，数值仿真做了系统的模型用来分析各部分在外界激励的作用下的位移响应曲线。

本文用的是Simulink 动态分析，它可以在做出实际系统之前，预先对设计的系统进行仿真分析，并可以根据仿真结果随时进行参数的修正，提高系统的性能和稳定性，以减少对实际系统的设计与修改，实现高效率的开发和设计分析系统的目的。

1三自由度振动系统理论计算本节用一个三自由度有阻尼系统来近似模拟简化的机械物体在运动过程中的振动。

问题描述：已知一个系统刚度K=500N/m ，系统质量M 3=20kg 、M 2=20kg 、M 1=20kg ，阻尼器系数C=2Ns/m ，弹簧和质量块为蓄能元件，阻尼器为耗能元件。

三个质量块的位移分别为X 1、X 2和X 3，外部激励X （t ）为，系统初值为零。

图1多自由度系统实物图具体分析过程如下：根据对质量块受力分析，可以得到系统的动力学方程如下：（1）整理为下面的形式方便建模：（2）矩阵形式为：（3）即振动系统可以表示为：式中：、、下面进行系统的模态分析：系统矩阵可以写为（4）其中M -1表示系统质量逆矩阵，K 表示刚度矩阵，可以表示为：系统矩阵为：（5）令，则有———————————————————————作者简介:黄兵（1998-），男，重庆人，本科，重庆交通大学机电与车辆工程学院，研究方向为城市轨道交通车辆。

基于Matlab Simulink的机械振 动的仿真研究
1.选题背景与意义
(1)对机械振动的研究现在多停在于理论上， 比较抽象和空洞。 (2)用Matlab软件来仿真模拟机械振动，可以 将抽象的理论形象直观地表示出来,有助于提 高学习的积极性。
2.论文逻辑思路 建立模型 列出方程 给定初始 条件求解
Thanks！
r F
−A
O
A
x
简谐振动物理模型
振动方程： 其中： ω2 = 其解为：
k m
r d2x 2r +ω x = 0 2 dt
r x = 4cos(ωt +ϕ)
r F
r f
−A
O
A
x
阻尼振动物理模型
振动方程：
2 其中： ω0 = m ,
r r d2 x dx 2r + 2n + ω0 x = 0 dt 2 dt k γ
n= 2m
r 其解为： x(t) = Ae−nt cos( ω02 − n2 t + ϕ)
r F弹
m r f
r f (t )
o x
受迫振动物理模型 r 2r r d x dx 2r + 2n + ω0 x = h sin ωt 振动方程： 2 dt dt r r F0 k γ ω0 = ,2n = , h = 其中： m m m
r 其解为： x(t) = Ae−nt cos(ω1t + φ) + h* cos(ωt + ϕ)
其中： = A
C +C
2 1
2 2
ω1 = ω02 − n2
h* =
h (2nω)2 + (ω02 − ω2 )2

基于Simulink的机械振动系统仿真
席平原
【期刊名称】《机床与液压》
【年(卷),期】2005(000)006
【摘要】通过列举一些实例,分析了Matlab/Simulink软件在二自由度机械振动系统仿真中的应用,不但大大地提高了编程的效率,而且提高了编程的质量和可靠性,取得了很好的效果.
【总页数】2页(P175-176)
【作者】席平原
【作者单位】淮海工学院机械系,江苏,连云港,222001
【正文语种】中文
【中图分类】TP312
【相关文献】
1.基于Matlab/Simulink的多自由度机械振动系统仿真 [J], 曾德惠;黄松和
2.基于系统仿真的旋转机械振动故障诊断方法 [J], 庄莉莉
3.基于MATLAB and Simulink的波浪能装置液压能量转换系统仿真研究 [J], 叶寅;盛松伟;乐婉贞;王坤林;张亚群
4.基于Matlab/Simulink风电机组测试平台液压加载系统仿真研究 [J], 朱怡;孙渊;陈国初
5.基于Simulink的多自由度机械振动系统仿真 [J], 匡伟春;张柏清;张传才
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作业任务包括：一、建立前轮角阶跃输入的汽车三自由度操控模型，并且参数可调。

二、绘制六面体并实现对六面体的三维操作，包括平移、旋转、缩放等。

三、动画：本文动画的实现是在对六面体的具体操作过程（平移、旋转、缩放）中表现。

四、GUI与simulink的联合仿真，并将所有作业内容集成到GUI界面，将程序进行编译，打包生exe的成可执行文件。

汽车三自由度操控模型1.1建模假设：•1、汽车车速不变。

•2、不考虑切向力对轮胎特性的影响。

•3、侧向加速度不大于0.3－0.4g 。

•4、前轮转角不大，不考虑前轮左右的区别。

•5、不考虑非悬架质量的倾角。

•6、不考虑空气动力作用。

•7、侧倾中心与非悬架质心等高，前后一样。

•8、左右对称。

假设汽车的结构：•前面是独立悬架。

•后面是纵置半椭圆板簧。

•车厢侧倾引起：前轮外倾角变化；后轴发生轴转向；左右侧车轮载荷重新分配引起滚动阻力不相等而产生绕Z轴的力矩。

1.2汽车模型受力分析车辆坐标系如图1所示图1 车辆坐标系M、Ms、Mu分别是整车、悬挂和非悬挂质量，M=Ms、Mu其质心分别是c.g. 、s和u。

如图二所示图2 车辆质量分布示意图汽车三自由度模型的三个自由度指：汽车沿y 轴平动的自由度、汽车绕z 轴的转动自由度、汽车绕x 轴的转动自由度。

一般分别用横向速度v 、横摆角速度r 、侧倾角φ来表征。

汽车三自由度模型的微分方程为：()()s r z xz r p s x xz s p M v rV M h Y Y r Y Y I r I N N r N N N p I I r M h v rV L L βφδβφδφφβφδφβφδφφφ⎫++=+++⎪-=++++⎬⎪-++=+⎭（1-1）其中各个参数的意义如下：算子说明：21k k Y +=β ()211bk ak VY r -=122Y Y Y k φαφφ∂∂=-∂∂ 其中：11YY γ∂∂前轮外倾刚度；1γφ∂∂侧倾外倾角系数；2αφ∂∂后轴侧倾转向系数。

21 2 采用 S i m ulink 连续系统模块组中的状态空间 模块进行仿真 对于多自由度振动系统, 可以看作为多输入多输
# 176#
出系统, 在 现代 控 制理 论中, 是采 用 状态 空 间法 来 描述系统的。应用状 态空间法 对连 续系统 进行 分析, 是借助计算机直接求解一阶线性的或非线性的方程组 来进行仿真, 并根据状态方程的解, 即系统运动的时 间历程, 来对系统作出 评估。由 于不需经过任何变换, 而 是在时 域内直接求解和分析, 所 以这种 方法直观方便。以某振动 输送机 二自由度振动系统为例, 系统参 图 3 二自由度系统 数 为 m 1 = 1421kg, m 2 = 407kg , 动力学模型 k1 = 1724800N /m, k 2 = 3214400N /m, c1 = c2 = 0, F 0 = 16464N, 激 振 频 率 111 2H z, 系统力学模型如图 3所示, 求此双质量弹簧 系统的响应。 ( 1 ) 利用影 响系 数法 建立 该系 统的 振动 微分 方 程如下: m 1x & 1 + ( k1 + k2 ) x 1 - k 2 x 2 = F 0 s inXt m 2x & 2 - k2 x1 + k 2 x 2 = - F 0 s inXt 选取状态变量为 Z 1 = x 1, Z 2 = x 1, Z 3 = x 2, Z 4 = x 2; 输出变量为 y 1 = Z 1, y 2 = Z3。通过转 换化为 状态 空间表达式, 可得 0 k1 + k2 m1 0 k2 m2 0 1 m1 0 0 输出矩阵为: C = 1 0 0 0 0 0
T
《 机床与液压 》 20051N o1 6
得仿真结果如图 5~ 7 所 示, 可观 察此二 自由度 系统 的 响 应, 对 仿 真 结 果 进行分析。 由 以上 仿真 结 果 可 以 看 出, 通 过 对 二 自由度机 械振动 系统 进 行 仿 真, 能 够 很 方 便地观察 出两单 元的 位移、 速度 和 加 速 度, 以及求 得系 统的 特征 值 和特 征向 量, 从而 对 系 统进 行分 析和 预测。 多 自由度 系统 的许 多概 念 都可 以通 过二 自由 度系 统 的 问 题 来 进 行 说 明, 所以 也可 同样 方便 地对 多自由度系统进行仿真。

简谐振动Simulink 建模与仿真张三（陕西 西安 西安科技大学 710054）摘要：本文利用Matlab 软件中的simulink 组件对机械振动进行了仿真计算，得到了机械振动中最常见的一种振动简谐振动的波形图，经过分析发现图像与理论是符合的。

我们得出振子的机械能为一定值。

从能量角度分析，做简谐振动的振子只受弹力作用，系统机械能守恒。

关键词：简谐振动；振动波形；机械能守恒0引言物理学中的机械振动主要分为简谐振动、阻尼振动、受迫振动三种。

下面我们根据这三种类型的振动中的简谐振动建立物理模型来分别研究。

1简谐振动的物理模型图1 弹簧振子做简谐振动物理实验模型如上图所示，弹簧振子在O 附近做简谐振动。

已知弹簧振子质量为m ，所受合力为F ，弹簧劲度系数为k ，则有：F kx =- 。

又由牛顿第二定律有：(1)于是可以得到： 220d x k x dt m+= (2) 令m k =2ω，则可得： 2220d x x dt ω+= (3) O A A -x F22d x F ma m dt ==方程(3)的解x 即为弹簧振子在时刻t 时的振动位移，一阶导数x即为弹簧振子在时刻t 时振动速度，其二阶导数x即为弹簧振子在时刻t 时的加速度。

2简谐振动的数学模型这里，我们设系统初始条件为0t =s 时，04m x =，00m/s v =。

通过高等数学方法解这个齐次微分方程可得：221212cos sin cos()cos()x C t C t C C t A t ωωωϕωϕ=+=++=+ (12) 式中222121tan ,C A C C C ϕ=-=+。

则速度表达式为:sin()v x A t ωωϕ==-+ ，将初始条件代入(12)式，可得： 4cos()x t ωϕ=+(13) 这就是满足初始条件的简谐振动方程的解。

由(13)式我们可以得出弹簧振子位移随时间的变化情况。

振子周期为2T πω=。

0s t =时，振子位移正向最大位移出，即图1中的A 位置，此时振子速度为0，加速度最大；经4T ，振子向负方向运动到平衡位置，此时振子速度最大，加速度为0；再经4T ，振子继续向负方向运动到负的最大位移处，此时速度为0，加速度最大；再经过4T ，振子向正向运动到平衡位置，此时速度最大，加速度为0；最后经过4T ，振子回到初始位置，即正的最大位移处，完成一个周期的振动。

基于MATLAB的多自由度系统的振动特性分析多自由度系统是指由多个质点构成的机械系统，每个质点在三维空间内可以有自由度运动。

这些系统在工程领域中广泛应用于建筑物、桥梁、航天器等结构的振动分析与设计。

MATLAB作为一种强大的数学计算软件，可以用来进行多自由度系统的振动特性分析。

多自由度系统的振动特性可通过建立系统的动力学方程，并进行求解来确定。

首先，需要确定系统的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。

质量矩阵描述了系统中各个质点的质量分布情况，刚度矩阵描述了系统中各个质点之间的刚度关系，阻尼矩阵描述了系统中各个质点之间的阻尼关系。

这些矩阵的形式可以通过几何关系和材料性质确定。

然后，可以通过将质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵组合成一个动力学方程来描述多自由度系统的振动行为。

动力学方程通常采用矩阵形式表示，形式为MX''+KX+CX'=F，其中M是质量矩阵，K是刚度矩阵，C是阻尼矩阵，X是位移向量，F是外力向量，X''是位移向量的二阶导数，X'是位移向量的一阶导数。

利用MATLAB可以求解动力学方程。

可以使用ode45函数或者ode15s函数来求解微分方程组。

这些函数可以将微分方程组转化为一连串的时间步长上的代数方程组，然后使用数值方法进行求解。

其中，ode45函数适用于非刚性振动系统求解，ode15s函数适用于刚性振动系统求解。

在求解动力学方程之后，可以得到系统的模态参数和振型。

模态参数是指系统的固有频率和模态阻尼比，它们可以反映系统的振动特性。

振型是指系统在不同频率下的位移分布情况，它们可以帮助分析系统的工作状态和结构设计。

MATLAB可以通过eig函数来求解系统的模态参数和振型。

除了求解动力学方程外，MATLAB还提供了一些其他的分析方法用于多自由度系统的振动特性分析。

比如，通过画出系统的频率响应曲线、幅频特性曲线和相频特性曲线，可以直观地了解系统的频率响应、幅度响应和相位响应。

基于Simulink的多自由度机械振动系统仿真
匡伟春;张柏清;张传才
【期刊名称】《煤矿机械》
【年(卷),期】2007(28)12
【摘要】针对多自由度机械振动问题,以弹簧质量系统、轴上带有若干圆盘的扭转振动系统和梁上有集中质量的横向振动系统为例,详细介绍在Matlab/Simulink平台上利用状态空间法进行多自由度系统仿真的方法及步骤,并对仿真结果进行了分析。

【总页数】4页(P54-57)
【关键词】多自由度;机械振动;Simulink;仿真;状态空间
【作者】匡伟春;张柏清;张传才
【作者单位】景德镇陶瓷学院;西安建筑科技大学
【正文语种】中文
【中图分类】TP391;TH113.1
【相关文献】
1.基于Simulink的机械振动系统仿真 [J], 席平原
2.基于Matlab/Simulink的多自由度机械振动系统仿真 [J], 曾德惠;黄松和
3.基于Simulink的多自由度系统振动仿真研究 [J], 黄兵;孔程程
4.基于Simulink的多自由度系统振动仿真研究 [J], 黄兵;孔程程
5.基于ADAMS与Simulink的六自由度摇摆台系统联合仿真研究 [J], 陈勇军;韩霄翰;张炎;张海坤
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