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1在具体的研究中，要考查对象所处的环境和历史，则环境条件历史就是就是边界条件，历史就是初始条件。
一、初始条件(关于时间)对于随时间而发展变化的问题，必须考虑以前的一些状态，先前某个时刻的运动状态，即初始条件例：对于扩散、热传导问题，初始状态指的是研究的物理量U的初始分布：),,(),,,(0z y x t z y x u t ϕ==对于振动过程，不能仅仅给出初始位移：,,,,,z x t z x u ==)()(0y y t ϕ还必须有速度：),,(),,,(0z y x t z y x u t t ψ==2方程是二阶微分方程需要两个初始条件初始条件的个数跟方程是二阶微分方程，需要两个初始条件。
初始条件的个数跟方程的阶数相对应。
初始条件给出的是整体的状态，而不是某个点的状态！y例：长为l 的两端固定的弦，中点然后放手振动初始X 0l/2h 拉开距离h ，然后放手振动，初始时刻就是放手的瞬间，则初始速度x X=0x=l/2显然为零0),(0==t t t x u 状态，而不是中点一个点！初始位移应该是整个弦的位移状态，而不是中点个点⎧==)/2(,x l h t x u ]2/,0[l x ∈ht x u t ==0),(⎩⎨−))(/2()(0x l l h t ],2/[l l x ∈3如果没有初始条件，即在输运过程中，只由于初始时刻的不均匀分布引起的输运叫作自由输运。
随着时间的进行，输运过程逐渐自由输运随着时间的进行输运过程逐渐弱化，消失。
在振动过程中，只由于初始偏离或初始速度引起的振动叫在振动过程中只由于初始偏离或初始速度引起的振动叫自由振动经历足够长时间后，初始条件引起的自由运输或者自由振动衰减到可以认为消失，而系统的输运或者振动仅仅由于周期性外源或外力引起的，此时，我们可以忽略初始条件！性外源或外力引起的此时我们可以忽略初始条件！另外，在稳定场问题中（静电场、稳定浓度分布、稳定另外，在稳定场问题中（静电场稳定浓度分布稳定温度分布、无旋稳恒电流场、无旋稳恒流动），物理量恒定，所以根本就没有初始条件问题!4二、边界条件（关于空间边界）周围环境的影响体现为边界上的物理状况周围环境的影响体现为边界上的物理状况－－边界条件线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件：直接给出边界上所研究物理量的数值。
2024年考研数学偏微分方程题目详解与答案在2024年的考研数学试卷中，偏微分方程题目一直是考生们关注和备考的重点。
本文将详细解析2024年考研数学偏微分方程题目，并提供详细的解答和答案。
一、第一题题目描述：给定二阶常系数线性偏微分方程 $\frac{{\delta^2u}}{{\delta x^2}} + c\frac{{\delta u}}{{\delta t}} + ku = f(x, t)$，其中 $u = u(x, t)$ 为未知函数，$c, k$ 为常数，$f(x, t)$ 为已知连续函数。
要求求解此偏微分方程。
解析：根据题目所给的偏微分方程可知，我们需要求解二阶常系数线性偏微分方程。
此类方程的典型特点是对时间 $t$ 的导数项和对空间$x$ 的二阶导数项。
我们可以采用特征线法来求解此类方程。
首先，我们设方程的通解形式为 $u(x, t) = X(x)T(t)$，其中$X(x)$ 和 $T(t)$ 分别是 $x$ 和 $t$ 的函数。
将通解带入方程中得到：$\frac{{X''}}{{X}} + c\frac{{T'}}{{T}} + k = \frac{{f(x, t)}}{{XT}}$由于方程的左侧只与 $x$ 有关，右侧只与 $t$ 有关，故两侧等于某个常数 $-\lambda$。
得到两个常微分方程：$X'' + \lambda X = 0$ 和 $T' + \left(c -\lambda\right) T = 0$对于方程 $X'' + \lambda X = 0$，根据 $\lambda$ 的值分为三种情况讨论：1. 当 $\lambda > 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = A\cos(\sqrt{\lambda}x) + B\sin(\sqrt{\lambda}x)$。
2. 当 $\lambda = 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = Ax + B$。
第二节定解条件与定解问题数学院朱郁森常见的定解条件有初始条件和边界条件。
初始条件：用来说明初始状态的条件边界条件：用来说明边界约束情况的条件湖南大学数学院朱郁森一、弦振动方程的定解条件2,tt xx u a u =0,0.x l t <<>1、初始条件0(),t u x ϕ==0(),t t u x ψ==2、边界条件第一类可控制端点即端点的位移按已知规律变化。
则1(),x ug t ==2().x lug t ==特别地固定端边界条件第二类在边界上给定力设弦两端所受的横向外力分别为1(),G t 2().G t 而弦两端所受张力的横向分量分别为(0,),(,).x x Tu t Tu l t −又因弦的两端在横向方向受力平衡，所以有1(0,)()0,x Tu t G t +=2(,)()0,x Tu l t G t −+=12(0,)(),(,)(),x x u t g t u l t g t ==则相应的边界条件为其中1212()()(),(),G t G t g t g t T T=−=湖南大学数学院朱郁森特别地(0,)0,(,)0,x x u t u l t ==自由端边界条件第三类在边界上作弹性联结张力的横向分量弹性恢复力0x =x l=(0,)x Tu t (,)x Tu l t −11[(0,)()]k u t t θ−−22[(,)()]k u l t t θ−−于是有11(0,)[(0,)()]0,x Tu t k u t t θ−−=22(,)[(,)()]0,x Tu l t k u l t t θ−−−=11(0,)(0,)(),x u t u t g t σ−=22(,)(,)(),x u l t u l t g t σ+=其中1212112212,,()()(),().k k T Tk t k t g t g t T Tσσθθ===−=则相应的边界条件为例1长为l 的弦两端固定，开始时把弦在距O点处拉起来，拉起的高度为h （适当地小），然后轻轻放开让它振动，试写出描述其振动的方程与定解条件。
偏微分方程定解问题(总26页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章 偏微分方程定解问题引言：在研究、探索自然科学和工程技术中，经常遇到各种微分方程。
如牛顿定律 22d x dtm g = ------(1) 波动方程 222222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+∂∂∂∂=++∂∂∂∂------(2)热传导方程 2222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+∂∂∂∂=++∂∂∂∂ ------(3) 静电场位方程 2222222(,,)f x y z u u u a x y z ⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭∂∂∂++∂∂∂ ------(4) 激波方程 0u uu t x∂∂+=∂∂ ------(5) 等等。
其中(1)为一维常微分方程；(2)----(4)为三维偏微分方程；(5)为一维偏微分方程。
这些数学中的微分方程均来自物理问题，有着各自的物理背景，从数量关系上反映着相应的物理规律，称为数学物理方程，简称数理方程。
数学物理方程是数学与物理学的交叉分支学科。
从物理上讲它是理论物理的基本工具；在数学上属于应用数学的(偏)微分方程分支。
本课程主要研究和讨论三类数理方程(2)，(3)，(4)的建立(导出)以及几种常用的典型的求解方法。
为了下面研究和讨论的方便，先引入有关微分方程的几个基本概念(术语)。
1. 常，偏微分方程只含一个自变量，关于该变量的未知函数，以及未知函数对该变量的导数的微分方程为常微分方程，如(1)。
含有多个自变量，关于这些变量的未知函数，以及未知函数对这些变量的偏导数的微分方程为偏微分方程，如(2)----(5)。
2. 阶上述(1)----(5)均可改写成如下形式220d x m g dt-= ------(1’) 22230u ta u f -∂∂∆-= -------(2’)230u ta u f -∂∂∆-= ------(3’)230a u f ∆+= ------(4’)0u u t xu +∂∂∂∂= ------(5’)其中 2223222x y z∂∂∂∆=++∂∂∂，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)或f(x,y,z)。
这些方程可归纳为如下形式12121212,,,,,,,,,,n m n m m m n n u u u u F x x x u x x x x x x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∂∂∂∂⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∂∂∂∂⋅⋅⋅∂=0， 其中12n m m m m =++⋅⋅⋅+为导数的最高阶数，成为方程的阶。
3. 线性、非线性偏微分方程只涉及未知函数及其偏导数的线性组合(一次项)的偏微分方程称为线性偏微分方程。
如(2)----(4)。
含有未知函数及欺骗导数二次或二次以上乘积项的偏微方程称为非线性偏微分方程。
如(5)。
三个典型方程的导出本课程中研究问题的方式是：先将物理问题装化为数学问题，建立数学模型；再求解数学模型；最后由所得解来分析，解释，揭示实际物理问题出现的结果。
：弦的(微小)横振动 (1) 相关的物理规律 牛顿第二定律 F ma = 胡克定律 F m x =∆ (2) 波动方程的导出微元分析法：(x, x+dx)已知外力 ()(),;,G t x dx g t x dx j =，均匀线密度为 ρ 弦内部张力 12(,)(,)(,)T t x dx T t x dx i T t x dx j +=+++12(,)(,)(,)T t x T t x i T t x j =+ 导数的基和意义：21/x u T T =，21/x u T T =21(,)(,)(,)x T t x dx u t x dx T t x dx ⇒+=++ 21(,)(,)(,)x T t x u t x T t x = 由牛顿第二定律得到如下矢量关系式(,)(,;)(,)(,)tt t x t x dx t x dx t x dm u G T T =+++即 1122:(,)(,)0:(,)(,)(,)(,)tt i T t x dx T t x j dx u t x g t x dx T t x dx T t x ρ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭+-==++- 由此可得：10T x ∂=∂，2211122()x x T u T u u g g T u x x t x ρ∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂即 11(,)()T t x T t =， 22122()u ug T t t xρ∂∂=+∂∂又由小振动条件知||11,x u ds dx <<≈而1()T T T T t ≈故最终有一维波动方程为22222(,)f t x u u a t x +∂∂=∂∂，用同样的方法可导出：二维波动方程(如鼓膜小振动)：2222222(,,)f t x y u u u a t x y ⎛⎫ ⎪+⎪⎝⎭+∂∂∂=∂∂∂， 三维波动方程(如声波)：22322222222(,,)(,,)u f t x y f t x y u u u u a a t x y z ⎛⎫ ⎪++ ⎪⎝⎭++=∆∂∂∂∂=∂∂∂∂。
(3) 说明波动方程反映了一类物理系统，如细弦、弹性杆、鼓膜、声音，乃至电磁系统中的电流、电压、电场、磁场随时间演化的共同规律。
这些物理系统的状态(方程的解)随时间的变化是可逆的。
而在数学上该方程属于一类典型的偏微分方程----双曲型方程。
热传导问题 (1) 相关的物理规律傅立叶定律(热传导) q k u k i j k u x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∂∂∂=-∇=-++∂∂∂ 其中 dQ q n dSdt=为沿n方向的热流强度，k>0，能量转化与守恒定律(热平衡) Q C V u ρ=∆∆ 牛顿冷却定律(热交换) 0(,)[(,,,)|]S q S t h u t x y z u =-，其中 S 为边界面积，0u 为外界温度。
(2) 热传导方程的导出微元分析法 dV=dxdydz已知dV 中dt 内产生的热量为g(t,x,y,z)dVdt经面1流入dV 的热量1Q 满足： 1|x x Q u q k x dydzdt∂==-∂，经面2流入dV 的热量2Q 满足：2()||x dx x dx x dx Q u u q k k x dydzdt x +=++∂∂==-∂∂-t →t+dt 内沿x 轴流入dV 中的净热量为12||Q Q dydzdt x x dx u u k k x x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭+=++∂∂-∂∂ (||)x x x xx x dxk u u dydzdt ku dxdydzdt +=-=， 同理，t →t+dt 内沿y 轴流入dV 中的净热量为 34yy Q Q ku dxdydzdt +=，t →t+dt 内沿z 轴流入dV 中的净热量为 56zz Q Q ku dxdydzdt += 故t →t+dt 内dV 中增加的净热量为512346(,,,)g t x y z dVdt Q Q Q Q Q Q ++++++ (,,,)zz xx yy g t x y z dVdt ku dVdt ku dVdt ku dVdt =+++(,,,)()zz xx yy g t x y z k u u u dVdt ⎡⎤⎣⎦=+++ 这些热量用来使dV 内的物质在t →t+dt 内升温，升温所需的热量为t t cdmu dt c dVu dt ρ=，c 为物质的比热， 由能量守恒定律知：(,,,)()zz xx yy t g t x y z k u u u dVdt c dVu dt ρ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=+++ 即 (,,,)()zz xx yy t g t x y z k u u u c u ρ+++=化简后可得三维热传导方程222223222(,,,)(,,,)u u u u a f t x y z a u f t x y z t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∂∂∂∂=+++=∆+∂∂∂∂ 其中a =(,,,)(,,,)g t x y z f t x y z ρ=。
同理可得出二维、一维热传导方程为： 二维(如温度分布、变化与高度无关的柱体)22222(,,)u u u a f t x y t x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∂∂∂=++∂∂∂； 一维(如侧面绝热细杆)222(,)u xu a f t x t ∂∂∂=+∂。
(3)说明热传导方程也反映了一类物理现象的共同特征。
只要机理与热传导相似(有源，流等)，如气体扩散、杂质扩散、浓度扩散等，均满足该形式的方程，故热传导方程也常称为扩散方程。
这类现象(方程的解)随时间的演化是不可逆的。
在数学上，该方程也属于一类典型的偏微分方程----抛物型方程。
(静电)场位方程 (1)相关物理规律高斯定律 01(,,)(,,)VVE x y z dS x y z dV ρε∂=⎰⎰ (积分形式)()(,,)x y z E x y z i j k E i E j E k x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∂∂∂∇⋅=++⋅++∂∂∂ 01(,,)y x z E E E x y z x y z ρε∂∂∂=++=∂∂∂ (微分形式)法拉弟定律 (,,)0LE x y z dl ⋅=⎰ (积分形式)()(,,)x y z E x y z i j k E i E j E k xy z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∂∂∂∇⨯=++⨯++∂∂∂ 0y y x x z z E E E E E E i j k y z z x x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂∂∂∂∂-+-+-=∂∂∂∂∂∂ (微分形式) (2)场位方程的导出若(,,)(,,)A x y z x y z i j k i j k xy z x y z ϕϕϕϕϕ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∂∂∂∂∂∂=∇=++=++∂∂∂∂∂∂ 则 (,,)y y x x zz A x y z i j k y z z x y x ϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂∂∂∂∂∇⨯=-+-+-∂∂∂∂∂∂ 2222220i j k y z z y z x x z y x x y ϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂∂∂∂∂=-+-+-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂反之，数学上可以证明：若(,,)0A x y z ∇⨯=，则必有标量函数(,,)x y z ϕ，使(,,)A x y z ϕ=∇。
由法拉弟定律可知 E ϕ=-∇代入高斯定律有 20(,,)()x y z ρϕϕϕε∇⋅-∇=-∇⋅∇=-∇=，化简后即得三维场位方程 2223222(,,)u u u u f x y z x y z∂∂∂++∆=-∂∂∂= 其中 0(,,)(,,)x y z f x y z ρε=， 相应的二维和一维方程分别是：2222(,)u u f x y x y∂∂+=-∂∂ 和 22()u f x x ∂=-∂。
