【2016届高三数学理复习专题突破训练】专题突破训练 数列 理

专题三数列专题过关·提升卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是数列“{a n}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要且不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5＝8，S3＝6，则a9等于() A．32 B．24 C．16 D．83．已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2－10x＋9＝0的两个根，则S6等于()A．120 B．254 C．364 D．1284．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a m＋1·a m－1＝2a m(m≥2)，数列{a n}的前n项积为T n，若log2T2m－1＝9，则m的值为()A．4 B．5 C．6 D．75．各项为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝5S2，a2＝2且S k＝31，则正整数k的值为()A．4 B．5 C．6 D．76．(2015·太原诊断)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)，则实数a 的值是( )A ．－3B ．－1C ．1D ．37．(2015·河北名校联盟质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 B ．(－1，－1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12 8．(2015·长沙模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －n .若按如图所示的程序框图进行运算，则输出n 的值是( )A ．12B ．11C ．10D ．99．(2015·衡水联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝3nn ＋2B ．a n ＝n ＋23nC ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝(n ＋2)·3n10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋1＝2a 6，且S 7＝S 10，则使得S n 取得最小值时，n 的值是( )A ．8B ．9C ．8或9D ．1011．(2015·天津七校联考)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.256 D ．不存在12．(2015·郑州质检)设数列{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋a n ＋1是等差数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 013＋1a 2 014＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 014＋1a 2 015＝( ) A ．2 012 B ．2 013 C ．4 024 D ．4 026第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．14．(2015·广州调研)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．15．(2015·江苏高考)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________． 16．(2015·菏泽调研)西非埃博拉病毒导致2 500多人死亡，引起国际社会广泛关注，为防止疫情蔓延，西非各国政府在世界卫生组织、国际社会援助下全力抗击埃博拉疫情，预计某首都医院近30天内每天因治愈出院的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝3，a 2＝2，且满足a n ＋2－a n＝1＋(－1)n ，则该医院30天内因治愈埃博拉病毒出院的患者共有________人．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·大庆质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足S 7＝77，且a 1，a 3，a 11成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .18．(本小题满分12分)(2015·揭阳模拟)已知等比数列{a n }满足：a n >0，a 1＝5，S n 为其前n 项和，且20S 1，S 3，7S 2成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 5a 2＋log 5a 4＋…＋log 5a 2n ＋2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .19.(本小题满分12分)(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .20．(本小题满分12分)(2015·济宁模拟)已知数列{b n }满足S n ＋b n ＝n ＋132，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －12是等比数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)如果对任意n ∈N *，不等式12k 12＋n －2S n ≥2n －7恒成立，求实数k 的取值范围．21.(本小题满分12分)(2015·安徽高考)设n ∈N ，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明T n ≥14n .22．(本小题满分12分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝1－2S n ；将函数y ＝sin πx 在区间(0，＋∞)内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a n }．(1)求{b n }与{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n (n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和．若a 2－2a >4T n 恒成立，试求实数a 的取值范围．专题过关·提升卷1．D [当a 1<0，q >1时，数列{a n }是递减数列．当{a n }为递增数列时，a 1<0，0<q <1或a 1>0，q >1.因此，“q >1”是{a n }为递增数列的既不充分也不必要条件．]2．C [设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，因为a 5＝8，S 3＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝8，3a 1＋3d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2. 所以a 9＝a 1＋8d ＝8×2＝16.]3．C [因为a 1，a 3是方程x 2－10x ＋9＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 1·a 3＝9，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝9，所以q ＝3，S 6＝1－361－3＝364.]4．B [由等比数列的性质，a m ＋1·a m －1＝a 2m ， ∴a 2m ＝2a m (a m ≠0)，从而a m ＝2，因此T 2m －1＝a 1·a 2·a 3·…·a 2m －1＝a 2m －1m ＝22m －1， 所以log 2T 2m －1＝log 222m －1＝2m －1＝9，则m ＝5.]5．B [由S 4＝5S 2，得a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，∴q 2(a 1＋a 2)＝4(a 1＋a 2)，由于a 1＋a 2≠0，则q ＝2. 又a 2＝a 1q ＝2a 1＝2.知a 1＝1.∴S k ＝1·（1－2k ）1－2＝31，解得k ＝5.]6．A [由S n ＝3n ＋1＋a ，则S n －1＝3n ＋a .∴a n ＝S n －S n －1＝2·3n (n ≥2，n ∈N *)．∵a 1＝S 1＝9＋a ，又数列{a n }为等比数列，因此a 1应满足a n ＝2·3n ，即a 1＝6.所以9＋a ＝6，∴a ＝－3.]7．A [设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，4a 1＋6d ＝36，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1.则P (n ，4n －1)，Q (n ＋2，4n ＋7)，因此过点P 、Q 的直线的一个方向向量坐标PQ →＝(2，8)．∴与PQ →共线的一个方向向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.] 8．B [由程序框图，及a n ＝2n －n .∴S n ＝(21－1)＋(22－2)＋(23－3)＋…＋(2n －n ) ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n )＝2(2n －1)－n （n ＋1）2， 由S n >2 015，得2n ＋1－n （n ＋1）2>2 017， 由n ∈N *，知n ≥11.∴输出n 的值为11.]9．B [由a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，得3n a n ＝3n －1a n －1＋1(n ≥2)． ∴数列{3n a n }是以3为首项，公差为1的等差数列．因此3na n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，所以a n ＝n ＋23n .] 10．C [设等差数列{a n }的公差为d .由S 10＝S 7，得a 8＋a 9＋a 10＝0，知a 9＝0，又2a 6＝a 2＋a 10＝a 2＋1，得a 10＝1，∴公差d ＝a 10－a 9＝1>0，数列{a n }单调递增．所以，当n ≤8时，a n <0，当n ≥10时，a n >0，因此{a n }的前8项或前9项和最小．]11．A [设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)． 由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，则q ＝2. 又a m ·a n ＝4a 1，即a m ·a n ＝16a 21，∴a 21·2m －1·2n －1＝16a 21，2m ＋n －2＝16.则m ＋n ＝6，即16(m ＋n )＝1.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝16(5＋4)＝32， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝2，n ＝4时，上式等号成立．因此1m ＋4n 的最小值为32.]12．D [因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋a n ＋1是等差数列，则1a 1＋a 2＋1a 3＋a 4＝2a 2＋a 3， 又{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列， ∴11＋q ＋1q 2＋q 3＝2·1q ＋q 2⇒q ＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公比为1的常数列，则a n ＝1. 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 014＋1a 2 015＝4 026.] 13．5 [设数列的首项为a 1，由等差数列与中位数定义，则a 1＋2 015＝2×1 010，∴a 1＝5.]14．50 [∵a 10a 11＋a 9a 12＝2a 1a 20＝2e 5，∴a 1·a 20＝e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20)＝ ln(a 1·a 20)10＝ln e 50＝50.]15.2011 [∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，将上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n .∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2(n ≥2)， 又a 1＝1适合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *)， 令b n ＝1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 故S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝2011.] 16．285 [由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，知， 当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2. 所以数列a 1，a 3，a 5，…，a 29为常数列；a 2，a 4，a 6，…，a 30是公差为2的等差数列．又a 1＝3，a 2＝2，因此S 30＝15×3＋a 2＋a 302×15＝45＋2＋302×15＝285.]17．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， 由S 7＝7a 4＝77，得a 4＝11，∴a 1＋3d ＝11，①因为a 1，a 3，a 11成等比数列，所以a 23＝a 1a 11，整理得2d 2＝3a 1d ，又因d ≠0.所以2d ＝3a 1②联立①，②解得a 1＝2，d ＝3.所以{a n }的通项公式a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝2a n ，所以b n ＝23n －1＝12·8n ，所以数列{b n }是以4为首项，8为公比的等比数列，由等比数列前n 项和公式得，T n ＝4（1－8n ）1－8＝23n ＋2－47. 18．解 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)．∵20S 1，S 3，7S 2成等差数列，∴2S 3＝20S 1＋7S 2.则2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝20a 1＋7(a 1＋a 1q )．化简得2q 2－5q －25＝0，解得q ＝5或q ＝－52. 由q >0.舍去q ＝－52.所以数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1＝5n .(2)由(1)知，a 2n ＋2＝52n ＋2，则log 5a 2n ＋2＝2n ＋2.因此b n ＝log 5a 2＋log 5a 4＋…＋log 5a 2n ＋2＝2＋4＋…＋2(n ＋1)＝(n ＋1)(n ＋2)．∴1b n＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）.19．解 (1)∵2S n ＝3n ＋3，①∴当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝3＋3，∴a 1＝3.当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3.②则①－②得2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1，则a n ＝3n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ≥2时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n .所以T 1＝b 1＝13；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n ]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n ]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n， 经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n. 20．解 (1)对于任意n ∈N *，S n ＋b n ＝n ＋132① S n ＋1＋b n ＋1＝（n ＋1）＋132②②－①得b n ＋1＝12b n ＋14，所以b n ＋1－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －12 又由①式知，S 1＋b 1＝142，即b 1＝72.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －12是首项为b 1－12＝3，公比为12的等比数列， b n －12＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12. (2)因为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12， 所以S n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＋n 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＋n 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋n 2.因为不等式12k 12＋n －2S n≥2n －7，化简得k ≥2n －72n ，对任意n ∈N *恒成立，设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2（n ＋1）－72n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2n ＋1， 当n ≥5时，c n ＋1≤c n ，c n 为单调递减数列，当1≤n <5时，c n ＋1>c n ，c n 为单调递增数列，116＝c 4<c 5＝332，所以，n ＝5时，c n 取得最大值332，所以，要使k ≥2n －72n 对任意n ∈N *恒成立，k ≥332.21．(1)解 由y ＝x 2n ＋2＋1，得y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1.由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率k ＝2n ＋2.从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0，得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1， 故数列{x n }的通项公式x n ＝n n ＋1(n ∈N *)． (2)证明 由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）2>（2n －1）2－1（2n ）2＝2n －22n ＝n －1n .所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n . 综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n .22．解 (1)由b n ＝1－2S n ，令n ＝1，则b 1＝1－2S 1＝1－2b 1，∴b 1＝13.又当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1，∴b n －b n －1＝(1－2S n )－(1－2S n －1)＝－2b n .因此3b n ＝b n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴数列{b n }是首项b 1＝13，公比为q ＝13的等比数列．所以b n ＝b 1q n －1＝13n .令y ＝sin πx ＝0，x ∈(0，＋∞)，得πx ＝n π(n ∈N *)，∴x ＝n (n ∈N *)，它在区间(0，＋∞)内的取值构成以1为首项，以1为公差的等差数列．于是数列{a n }的通项公式a n ＝n .(2)由(1)知，c n ＝a n ·b n ＝n 3n ，则T n ＝13＋232＋333＋…＋n 3n ①所以13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n 3n ＋1② 由①－②，得23T n ＝13＋132＋…＋13n －n 3n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －n 3n ＋1，于是T n ＝34－14·3n －1－n 2·3n <34， 要使a 2－2a >4T n 恒成立，则a 2－2a ≥3.解之得a ≥3或a ≤－1，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．。

北京市 2017 届高三数学理一轮复习专题打破训练数列一、选择、填空题1 、（ 2016年北京高考）已知{ a n } 为等差数列，S n为其前 n 项和，若 a1 6 ， a3a50 ，则S6 = _______..2、（ 2015 年北京高考）设a n是等差数列 . 以下结论中正确的选项是A. 若a1a20 ，则 a2a30B. 若a1a30 ，则 a1 a20C.若0a1a2，则a2a1 a3D.若a10 ，则 (a2a1) a2a303、（ 2014 年北京高考）若等差数列a n满足 a7a8a90 ， a7a100，则当 n______时，a n的前 n 项和最大.4、（旭日区2016 届高三二模）为了响应政府推动“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60 万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种花费 8 万元，此后每年支出的花费比上一年多2万元 .每年销售蔬菜的收入为 26 万元 .设f (n)表示前n年的纯利润（ f (n) =前n年的总收入－前n 年的总花费支出－投资额），则 f (n)（用 n 表示）；从第年开始盈余 .5、（东城区2016 届高三二模）成等差数列的三个正数的和等于 6 ，并且这三个数分别加上3、6、13 后成为等比数列b n中的 b 、 b 、 b ，则数列b n的通项公式为A. b n2n 1B. b n3n 1C.b n2n 2D. b n3n 26、（丰台区2016 届高三一模）若数列a n满足a n+ 1= 2a n(a n刮0, n N*)，且a2与a4的等差中项是 5，则a1+ a2++ a n等于（ A ）2n（ B）2n- 1（C）2n- 1（ D）2n- 1- 17、（海淀区2016 届高三二模）在数列{ a n } 中， a12，且 ( n 1)a n na n1，则 a3的值为A. 5B.6C.7D.88、（昌平区2016 届高三上学期期末）已知函数 f (x) 的部分对应值如表所示. 数列{ a n}满足a11,且对任意 n N*，点(a n, a n 1)都在函数 f ( x)的图象上，则a2016的值为x1234f ( x)3124A . 1 C. 3 D. 49、（旭日区2016 届高三上学期期中）已知等差数列 { a n } 的公差 2，若 a1 , a2 , a4成等比数列，那么 a1等于（）A.2B. 1C.1D.210、（海淀区 2016届高三上学期期中）数列的前 n和，的A ． 1B． 3C．5D．611、（石景山区 2016届高三上学期期末）已知数列a n是等差数列， a3 8 , a4 4 ，前 n 和 S n中最大的是（）A. S3B. S4或S5C.S5或S6D. S612、（城区2016 届高三上学期期中）在数列a n中，13、（丰台区2016届高三上学期期末）设等差数列 { a n} 的前n项和为 S n，若S7=42,则a2 a3a7=.二、解答1、（ 2016 年北京高考）数列 A ：a1，a2 , ⋯a N( N).假如小于n (2n N )的每个正整数 k 都有a k＜a n，称n是数列A的一个“G刻”.“G ( A)是数列A的全部“G刻” 成的会集 .（ 1）数列 A ： -2， 2，-1， 1， 3，写出G( A)的全部元素；（ 2）明：若数列 A 中存在a n使得a n > a1，G ( A)；（ 3）明：若数列 A 足a n - a n 1≤1（ n=2,3, ⋯）,N, G ( A)的元素个数不小于a N - a1 .2、（ 2015 年北京高考）已知数列 a n满足： a1N*，a136，且a n 12a n ,a n 18n 1,2 ．2a n 36, a n. 18记会集M a n n N．（Ⅰ）若a1 6 ，写出会集M的全部元素；（Ⅱ）若会集M 存在一个元素是 3 的倍数，证明：M 的全部元素都是 3 的倍数；（Ⅲ）求会集M 的元素个数的最大值．3、（ 2014 年北京高考）对于数对序列P(a1,b1),( a2 ,b2),,( a n ,b n ) ，记 T1 (P) a1b1，T k (P) b k max{T k 1(P), a1 a2a k }(2k n) ，此中max{T k 1( P), a1a2a k } 表示 T k 1 (P) 和 a1a2a k两个数中最大的数，（ 1）对于数对序列P(2,5), P(4,1) ，求 T1 (P),T2 (P) 的值.（ 2）记m为a,b,c,d四个数中最小值，对于由两个数对 (a,b),( c, d) 组成的数对序列P(a,b),( c,d ) 和 P '(a,b),( c, d ) ，试分别对m a和 m d 的两种状况比较 T2 (P) 和 T2 (P ')的大小 .（3）在由 5 个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)构成的全部数对序列中，写出一个数对序列 P 使 T5 (P) 最小，并写出 T5 (P) 的值.（只需写出结论）.4、（旭日区2016 届高三二模）已知会集S k 1 k3n1, k N(n 2 ，且 n N )．若存2在非空会集 S1,S2,, S n，使得 S S1S2S n，且 S i S j(1 i ,j n i,j )，并x, y S i( i 1, 2,,n ) ,x ，y都有 x y S i，则称会集S拥有性质P ， S i（i1,2,, n ）称为会集 S的 P 子集．（Ⅰ）当 n 2 时，试说明会集 S 拥有性质 P ，并写出相应的P 子集S1,S2；（Ⅱ）若会集S 拥有性质 P ，会集 T 是会集 S 的一个 P 子集，设T { s 3n| s T} ，求证：x, y T T ， x y ，都有 x y T T ；（Ⅲ）求证：对任意正整数n 2 ，会集 S 拥有性质P．5、（东城区2016 届高三二模）数列{ a n}中，定义：d n an 2a n 2a n 1 ( n 1) ，a11.（Ⅰ）若 d n a n， a22，求 a n；( Ⅱ ) 若a2 2 ， d n1，求证此数列满足 a n5 ( n N*) ；（Ⅲ）若 d n1，a21且数列 { a n} 的周期为4，即 a n 4a n (n1) ，写出全部吻合条件的{ d n } .6 、（丰台区2016 届高三一模）已知数列{ a n } 是无量数列，a1 =a,a2 b （ a,b 是正整数），a n(a n1),a n1a n1.a n 1 =a n1(a n1)a n a n1（Ⅰ）若 a12, a2 =1 ，写出 a4 ,a5的值；（Ⅱ）已知数列{ a n} 中 a k（1 k N * ) ，求证：数列 { a n } 中有无量项为1；（Ⅲ）已知数列{ a n} 中任何一项都不等于1，记b n=max{ a2 n 1,a2n}( n1,2, 3, ;max{ m ,n }为m,n较大者） .求证：数列 {b n } 是单调递减数列 .7、（海淀区2016 届高三二模）已知会集，1,2，，n}, n { X | X ( x1 , x2 , , x i ,..., x n ), x i {0,1} i此中 n3.X( x1 , x2 , , x i ,..., x n )n , 称x i为 X 的第i个坐标重量.若S n ，且满足以下两条性质：①S 中元素个数许多于 4 个；②X ,Y, Z S ，存在m {1,2，,n}，使得 X ,Y , Z 的第 m 个坐标重量都是1；则称 S为n的一个好子集 .（Ⅰ）若S{ X ,Y,Z,W} 为3的一个好子集，且 X (1,1,0),Y(1,0,1)，写出Z ,W；（Ⅱ）若S 为n 的一个好子集，求证：S中元素个数不超出 2n 1 ；（Ⅲ）若S 为n的一个好子集且 S 中恰好有2n 1个元素时，求证：必定存在独一一个k{1,2,...,n} ，使得S中全部元素的第k 个坐标重量都是 1.8、（石景山区 2016 届高三一模）若对任意的正整数n ，总存在正整数 m ，使得数列 { a n } 的前 n 项和S na m ，则称 { a n } 是“回归数列” ．（Ⅰ）①前 n 项和为 S2n 的数列 { a n } 是不是“回归数列”？并请说明原由；n②通项公式为 b n 2 n 的数列 { b n } 是不是“回归数列”？并请说明原由；（Ⅱ）设 { a n } 是等差数列，首项a 1 1 ，公差 d 0 ，若 { a n } 是“回归数列” ，求 d 的值；（ Ⅲ ） 是 否 对 任 意 的 等 差 数 列 { a n } ， 总 存 在 两 个 “ 回 归 数 列 ” { b n } 和 { c n } ， 使 得a nb nc n (nN * ) 成立，请给出你的结论，并说明原由．9、（西城区2016届 高 三 二 模 ） 已 知 任 意 的 正 整 数 n都可独一表示为kk 111 ， a ,a , ,a{0,1} ，．n a 0 2 a 12a k12 ak，此中 akk N21 2对于 n N ，数列 {b n } 满足：当 a 0 , a 1 , , a k 中有偶数个 1 时， b n0；不然 b n 1 ．如数 5 可以独一表示为 5 1 220 211 20 ，则 b 5 0 ．（Ⅰ）写出数列 { b n } 的前 8 项；（Ⅱ）求证：数列 { b n } 中连续为 1 的项不超出 2 项；（Ⅲ）记数列 {b n } 的前 n 项和为 S n ，求满足 S n1026的全部 n 的值．（结论不要求证明）10、（旭日区 2016 届高三上学期期末）已知有穷数列： a 1, a 2 , a 3 , , a k ( k N * , k 3) 的各项均为正数，且满足条件：2 1 ( n 1,2,3, , k 1) ．① a 1 a k ；② a n2a n 1a na n1（Ⅰ）若 k3, a 1 2 ，求出这个数列；（Ⅱ）若 k4 ，求 a 1 的全部取值的会集；（Ⅲ）若 k 是偶数，求 a 1 的最大值（用 k 表示）．11、（旭日区 2016届高三上学期期中）已知等差数列a n的首项 a1 1 ，公差 d 1 ，前 n 项和为 S n，且 b n1. S n（Ⅰ）求数列b n的通项公式；（Ⅱ）求证： b1b2 b3b n 2 .12、（东城区 2016 届高三上学期期末）设 { a n } 是一个公比为 q (q0, q 1) 等比数列， 4a1 ,3 a2 , 2a3成等差数列 , 且它的前 4 项和s415.（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）令 b n a n2n,( n1,2,3......) ,求数列 { b n } 的前n项和.参照答案一、选择、填空题1、【答案】 6【分析】试题分析：∵ { a n } 是等差数列，∴a3a52a40 ， a40 ， a4a1 3d6， d 2 ，∴ S66a115d6615( 2) 6 ，故填：6．2、 C分析： d0 a1a3a2d a2d a22 d 2a22a22 d 2a2a1a33、 8由等差数列的性质，a7a8a93a8，a7a10a8a9，于是有a80 ，a8a9，故a90 ．故S8S7， S9S8， S8为 { a n } 的前n项和 S n中的最大值4、n219n 60 , 55、A6、 B7、 B8、 B9、A10、 C11、 B1n1)13、 1812、（22二、解答题1、【答案】（1）G ( A)的元素为2和5；（ 2）详见分析；（3）详见分析 .假如 G i，取 m i min G i，则对任何 1k m i , a k a n i a m i.从而 m i G( A) 且 m i n i 1.又因为 n p是 G ( A) 中的最大元素，所以 G p.2、分析 : （Ⅰ）6，12，24．（Ⅱ）因为会集M 存在一个元素是3 的倍数，所以没关系设a k是 3的倍数．由 a n 12a n ,a n18,可归纳证明对任意n k ， a n是 3的倍数．2a n36,a n 18假如 k 1 ，则 M 的全部元素都是3的倍数．假如 k 1 ，因为 a k2a k 1或 a k2a k 136，所以2a k 1 是3的倍数，于是 a k 1是 3的倍数．类似可得，a,, a都是 3 的倍数．从而对任意n1，an 是3的倍数．所以会集M的全部元素k21都是 3 的倍数．综上，若会集M 存在一个元素是 3 的倍数，则会集M 的全部元素都是 3 的倍数．（Ⅲ）由 a36， a n 2a n 1 ,an 118,可归纳证明a36(n2,3,) ．n12a n 136,a n1 18因为 a 是正整数， a2a1,a118,所以 a是2的倍数．212a1 36,a1182从而当 n 3 时， a n是 2 的倍数．假如 a1是 3 的倍数，由（Ⅱ）知对全部正整数n ，a n是3的倍数．所以当 n 3 时， a n{12,24,36} ．这时M的元素的个数不超出 5 ．假如 a1不是 3 的倍数，由（Ⅱ）知对全部正整数n ，a n不是3的倍数．所以当 n 3 时， a n{ 4,8,16,20,28,32} ．这时 M 的元素的个数不超出8．当 a1 1时，M{1,2,4,8,16,20,28,32} 共 8 个元素．综上可知，会集 M元素个数的最大值为 8 ．3、⑴ T1 P 2 5 7 , T2P 1 max T1 P 2 4 1 max 7 68 ;⑵当m a ：T1P a b ， T2P d max a b a c a d max b c ；T1P c d ， T2P b max c d c a b c max a d b c d ；因 a 是a b c d 中最小的数，所以 a max b c≤ b c ，从而T2P ≤T2P；当 m d ，T1P a b ， T2P d max a b a c a d max b c；T1P c d ， T2 P b max c d c a b c max a d a b c ；因 d 是 a b c d 中最小的数，所以d max b c≤ b c ，从而 T2P≤T2P。

广东省2016届高三数学理一轮复习专题突破训练数列2016年广东省高考将采用全国卷，下面是近三年全国卷的高考试题及2015届广东省部分地区的模拟试题，供同学们在复习时参考。

一、选择、填空题1、（2013年全国I 卷）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( ) A 、3B 、4C 、5D 、62、（2013年全国I 卷）若数列{n a }的前n 项和为S n ＝2133n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______. 3、（佛山市2015届高三二模）已知等差数列{}n a 满足1243=+a a ，523a a =，则=6a . 4、（广州市2015届高三二模）设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+=A.0B.9C.18D.365、（茂名市2015届高三二模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12,242==S a ，则=3a ( ).A ． 2B ．3C ．4D ．56、（梅州市2015届高三一模）已知等比数列{n a }的公比为正数，且239522,1a a a a ==，则1a ＝＿＿＿7、（汕头市2015届高三二模）已知等差数列{}n a 满足24201220148a a a a +++=，n S 是该数列的前n 项的和，则2015S =8、（深圳市2015届高三二模）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知153=S ，1539=S ，则=6S ．9、（揭阳市2015届高三上期末）已知数列}{n a 的前n 项和212n S n n =+，则2232a a -的值为 A ．9 B ．18 C ．21 D ．11210、（汕尾市2015届高三上期末）已知{}n a 为等差数列，且388a a +=，则10S 的值为（ ） A ．40B ．45C ．50D ．5511、（深圳市2015届高三上期末）如果自然数a 的各位数字之和等于8，我们称a 为“吉祥数”。

上海市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、填空、选择题1、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根2、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = .3、（2013年上海高考）设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，等比数列{}n b 的前n 项和为n B ，若33a b =，44a b =，且53427A A B B -=-，则5353a ab b +=+5、（闵行区2015届高三二模）已知数列{}n a满足11()n a n *+=∈N ，则使不等式20152015a >成立的所有正整数1a 的集合为6、（浦东新区2015届高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n +=2，则该数列的通项公式=n an 2 .7、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）已知函数2()sin f x x x =⋅，各项均不相等的数列{}n x 满足2i x π≤(1,2,3,,)i n =．令[]*1212()()()()()()n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅++∈．给出下列三个命题：(1)存在不少于3项的数列{}n x ，使得()0F n =；(2)若数列{}n x 的通项公式为()*12nn x n N ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则(2)0F k >对*k N ∈恒成立；(3)若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对*n N ∈恒成立．其中真命题的序号是（ ）（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ） (2)(3) （D ）(1)(2)(3)8、（长宁、嘉定区2015届高三二模）设等差数列{}n a 满足115=a ，312-=a ，{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ，则lg M =__________9、（虹口区2015届高三上期末）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q =10、（金山区2015届高三上期末）等差数列{a n }中，a 2=8，S 10=185，则数列{a n }的通项公式a n = ▲ (n ∈N*)．11、（静安区2015届高三上期末）已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n nn a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S12、（青浦区2015届高三上期末）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若742S =，则4a = 13、（徐汇区2015届高三上期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*110()2n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为14、（黄浦区2015届高三4月模拟考试（二模））在等差数列{}n a 中，若8103,1a a =-=，9m a =，则正整数m =15、（）把正整数排列成如图()a 的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图()b 的三角形数阵，现将图()b 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{}n a ，若2015k a =，则__________.k = 1 1 2 3 4 2 45 6 7 8 9 5 7 910 11 12 13 14 15 16 10 12 14 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 2526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36()a ()b二、解答题1、（2015年上海高考）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n ∈N *．（1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式； （2）设{a n }的第n 0项是最大项，即a≥a n （n ∈N *），求证：数列{b n }的第n 0项是最大项；（3）设a 1=λ＜0，b n =λn（n ∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m ，且∈（﹣2，2）．2、（2014年上海高考）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =.(1) 若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围； (3) 若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.3、（2013年上海高考）给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a aa 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）设{}n a 是公比为(1)q q ≠的等比数列，若{}n a 中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称{}n a 是封闭数列.（1）若123a q ==，，判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；（2）证明{}n a 为封闭数列的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1m a q =；（3）记n ∏是数列{}n a 的前n 项之积，2log nn b =∏，若首项为正整数，公比2q =，试问：是否存在这样的封闭数列{}n a ，使1211111lim 9n n b b b →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭，若存在，求{}n a 的通项公式；若不存在，说明理由．5、（闵行区2015届高三二模）各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有2(1)n n n S b b =+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有(2,)m m m *≥∈N 项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个*(1)()i i b i -∈N 后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）如果存在n *∈N ，使不等式 1111(1)n n n n b n b b b λ+++≤+≤+成立，求实数λ的范围．6、（浦东新区2015届高三二模）记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,n n a a ++的最小项为n B ，令n n n b A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，写出12b b 、，并求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，判断{}1n n a a +-是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若{}n b 为公差大于零的等差数列，求证：{}1n n a a +-是等差数列.7、（普陀区2015届高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.8、（长宁、嘉定区2015届高三二模）已知数列}{n a 中，31=a ，52=a ，}{n a 的前n 项和为n S ，且满足11222---+=+n n n n S S S （3≥n ）．（1）试求数列{}n a 的通项公式；（2）令112+-⋅=n n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，证明：61<n T ；（3）证明：对任意给定的⎪⎭⎫ ⎝⎛∈61,0m ，均存在*∈N 0n ，使得当0n n ≥时，（2）中的mT n >恒成立．9、（宝山区2015高三上期末）设数列{}n a 的首项1a 为常数，且132(*)n n n a a n N +=-∈．（1）证明：35n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若132a =，{}n a 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．（3）若{}n a 是递增数列，求1a 的取值范围．10、（崇明县2015高三上期末）已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若222na n m +=，数列{}nb 满足关系式11,1,,2,n n n b b m n -=⎧=⎨+≥⎩，求数列{}n b 的通项公式；（3）设（2）中的数列{}n b 的前n 项和n S ，对任意的正整数n ，()()()11222n n n S n n p +-⋅++++<恒成立，求实数p 的取值范围.11、（奉贤区2015高三上期末）为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。

数列（6）1、如图所示，∠AOB=1rad，点A l，A2，…在OA上，点B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l长度单位／秒，则质点M到达A3点处所需要的时间为__秒，质点M 到达A n点处所需要的时间为秒．2、已知数列满足：，，，，，且当n≥5时，，若数列满足对任意，有，则b5= ；当n≥5时，．3、已知数列的各项均为正整数，对于，有当时，______；若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为______.4、已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为______________5、若数列{a n}满足则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.6、已知等差数列的公差d不为0，等比数列的公比q为小于1的正有理数。

若，且是正整数，则q等于．7、（2012年高考（湖北理））回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,99.3位回文数有90个:101,111,121,,191,202,,999.则(Ⅰ)4位回文数有__________个;(Ⅱ)位回文数有_________个.8、（2012年高考（湖南理））设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,,xN依次放入编号为1,2,,N 的N个位置,得到排列P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.(1)当N=16时,x7位于P2中的第___个位置;(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第___个位置.9、（2012年高考（上海春））已知等差数列的首项及公差均为正数,令当是数列的最大项时,____.10、（2012年高考（湖南文））对于,将表示为,当时,当时为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,中等于1的个数为奇数时,;否则。

【合集】新课标2016届高三数学（理）专题复习检测（真题体验+模拟演练+过关提升）专题三 数列目录真题体验.引领卷 (1)经典模拟.演练卷 (4)专题过关.提升卷 (6)答案 (12)真题体验·引领卷一、选择题1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．842．(2014·天津高考)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－123．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>04．(2015·北京高考)设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是() A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0C．若0<a1<a2，则a2>a1a3D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>05．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m＝()A．3 B．4C．5 D．66．(2015·福建高考)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A．9 B．5C．4 D．2二、填空题7．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝2a n，S n为{a n}的前n 项和．若S n＝126，则n＝________．8．(2015·湖南高考)设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n＝________．9．(2015·全国卷Ⅱ)设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝________．三、解答题10．(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．11.(2015·四川高考)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值．12．(2015·天津高考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．专题三 数 列经典模拟·演练卷一、选择题1．(2015·济南模拟)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．75B ．90C ．105D ．1202．(2015·成都诊断检测)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且满足a 4a 6＝14，a 7＝18，则S 4的值为( )A ．15B ．14C ．12D ．83．(2015·河北衡水中学调研)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12a 6－a 8的值为( ) A ．2B ．4C ．8D ．164．(2015·南昌二模)已知数列{a n }是等差数列，a 3＝5，a 9＝17，数列{b n }的前n 项和S n ＝3n .若a m ＝b 1＋b 4，则正整数m 的值为( )A ．26B ．27C ．28D ．295．(2015·山西康杰中学、临汾一中联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( )A ．44B ．45C.13·(46－1)D.13·(45－1) 6．(2015·西安质检)a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4二、填空题7．(2015·郑州质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＝34，a 4＋a 5＝6，则S 6＝________．8．(2015·潍坊调研)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 015的值为________．9．(2015·江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________．三、解答题10．(2015·长沙调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．11.(2015·大连模拟)已知数列{a n }与{b n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝log 2b n (n ∈N *)，且数列{a n }为等差数列，a 1＝2，b 3＝64b 2.(1)求a n与b n；(2)设c n＝(a n＋n＋1)·2a n－2，求数列{c n}的前n项和T n.12．(2015·衡水点睛大联考)若{a n}是各项均不为零的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a2n＝S2n－1，n∈N*.数列{b n}满足b n＝1，T n为数列{b n}的前n项和．a n·a n＋1(1)求a n和T n；(2)是否存在正整数m、n(1<m<n)，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．专题三数列专题过关·提升卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是数列“{a n}为递增数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9等于( )A ．32B ．24C ．16D ．83．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－10x ＋9＝0的两个根，则S 6等于( )A ．120B ．254C ．364D ．1284．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若log 2T 2m －1＝9，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．75．各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝5S 2，a 2＝2且S k ＝31，则正整数k 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．76．(2015·太原诊断)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)，则实数a 的值是( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 7．(2015·河北名校联盟质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 B ．(－1，－1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1D.⎝⎛⎭⎪⎫2，12 8．(2015·长沙模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －n .若按如图所示的程序框图进行运算，则输出n 的值是( )A ．12B ．11C ．10D ．99．(2015·衡水联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝3nn ＋2B ．a n ＝n ＋23nC ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝(n ＋2)·3n10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋1＝2a 6，且S 7＝S 10，则使得S n 取得最小值时，n 的值是( )A ．8B ．9C ．8或9D ．1011．(2015·天津七校联考)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.256 D ．不存在12．(2015·郑州质检)设数列{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋a n ＋1是等差数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 013＋1a 2 014＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 014＋1a 2 015＝( ) A ．2 012 B ．2 013 C ．4 024 D ．4 026第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．14．(2015·广州调研)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．15．(2015·江苏高考)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________． 16．(2015·菏泽调研)西非埃博拉病毒导致2 500多人死亡，引起国际社会广泛关注，为防止疫情蔓延，西非各国政府在世界卫生组织、国际社会援助下全力抗击埃博拉疫情，预计某首都医院近30天内每天因治愈出院的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝3，a 2＝2，且满足a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，则该医院30天内因治愈埃博拉病毒出院的患者共有________人．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·大庆质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足S 7＝77，且a 1，a 3，a 11成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .18．(本小题满分12分)(2015·揭阳模拟)已知等比数列{a n }满足：a n >0，a 1＝5，S n 为其前n 项和，且20S 1，S 3，7S 2成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 5a 2＋log 5a 4＋…＋log 5a 2n ＋2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .19.(本小题满分12分)(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .20．(本小题满分12分)(2015·济宁模拟)已知数列{b n }满足S n ＋b n ＝n ＋132，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －12是等比数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)如果对任意n ∈N *，不等式12k12＋n －2S n ≥2n －7恒成立，求实数k的取值范围．21.(本小题满分12分)(2015·安徽高考)设n ∈N ，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线与x 轴交点的横坐标． (1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明T n≥14n .22．(本小题满分12分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝1－2S n ；将函数y ＝sin πx 在区间(0，＋∞)内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a n }．(1)求{b n }与{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n (n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和．若a 2－2a >4T n 恒成立，试求实数a 的取值范围．答案专题三 数 列真题体验·引领卷1．B [设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21.得3(1＋q 2＋q 4)＝21.解得q 2＝2或q 2＝－3(舍)．于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.]2．D [∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1·S 4，又S n 为公差为－1的等差数列的前n 项和．从而(a 1＋a 1－1)2＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1－12×4×3，解得a 1＝－12.]3．B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )(d ≠0)．整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2<0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－203d ＋6d ＝－2d 3.∴dS 4＝－2d 23<0.]4．C [若数列{a n }是递减的等差数列，则A ，B 不一定成立，如果数列{a n }的公差d ＝0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝－d 2＝0，D 不成立．对于选项C.由a 2>a 1>0，得公差d >0.故a 2＝a 1＋a 32>a 1a 3(a 1≠a 3)，则选项C 正确．]5．C [由题设，a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3.因为数列{a n }为等差数列．所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1.由S m ＝m （a 1＋a m ）2＝0，得m (a 1＋2)＝0，则a 1＝－2.又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，解得m ＝5.] 6．A [因为a ，b 为函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2－4q ＞0，a ＋b ＝p ，ab ＝q ，所以a ＞0，b ＞0，所以当－2在中间时，a ，b ，－2这三个数不可能成等差数列，且只有当－2在中间时，a ，b ，－2这三个数才能成等比数列．经分析知，a ，b ，－2或b ，a ，－2或－2，a ，b 或－2，b ，a 成等差数列，a ，－2，b 或b ，－2，a 成等比数列．不妨取数列a ，b ，－2成等差数列，数列a ，－2，b 成等比数列，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝2b ，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2(舍去)，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝4，所以p ＋q ＝9.] 7．6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是以公比q ＝2，首项a 1＝2的等比数列．则S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.]8．3n －1 [由于3S 1，2S 2，S 3成等差数列．所以4S 2＝3S 1＋S 3，即3(S 2－S 1)＝S 3－S 2.∴3a 2＝a 3，则等比数列{a n }的公比q ＝3.故数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1＝3n －1.]9．－1n [由题意，得S 1＝a 1＝－1.∵a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，则S n ≠0， 从而1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列， 因此1S n＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n .]10．解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n3（2n ＋3）.11．(1)解 (1)由S n ＝2a n －a 1， 得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11 000，即2n >1 000， 因为29＝512<1 000<1 024＝210， 所以n ≥10，于是，使|T n －1|<11 000成立的n 的最小值为10. 12．解 (1)由已知，有2(a 3＋a 4)＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)即a 4－a 2＝a 5－a 3.因此a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2. 由a 3＝a 1q ，且a 1＝1，得q ＝2. 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k＝2n 2.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1.设{b n }前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n 2n ，整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.经典模拟·演练卷1．C [设数列{a n }的公差为d ，依题设知d >0，则a 3>a 1，∵a 1＋a 2＋a 3＝15，则3a 2＝15，a 2＝5，从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16.解之得a 1＝2，a 3＝8.所以公差d ＝a 3－a 12＝3.故a 11＋a 12＋a 13＝(a 1＋a 2＋a 3)＋30d ＝15＋90＝105.] 2．A [设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0，a n >0. 由于a 4a 6＝14，a 7＝18，则a 3＝a 4a 6a 7＝2，q 4＝a 7a 3＝116，所以q ＝12.于是a 1＝a 3q 2＝8. 故S 4＝a 1（1－q 4）1－q＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161－12＝15.] 3．B [设等比数列{a n }的公比为q .由于a 3＝a 1q 2＝2.∴a 4a 6＝a 21q 8＝(a 1q 2)2·q 4＝4q 4＝16.则q 4＝4，故a 10－a 12a 6－a 8＝q 4（a 6－a 8）a 6－a 8＝q 4＝4.] 4．D [由等差数列的性质，a 9＝a 3＋6d .∴17＝5＋6d ，得d ＝2， 因此a m ＝a 3＋2(m －3)＝2m －1. 又数列{b n }的前n 项和S n ＝3n ， ∴b 1＝S 1＝3，b 4＝S 4－S 3＝34－33＝54. 由a m ＝b 1＋b 4，得2m －1＝3＋54，则m ＝29.] 5．B [由a 1＝1，a 2＝3a 1，得a 2＝3，又a n ＋1＝3S n ，知a n ＝3S n －1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)．因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1），3·4n －2 （n ≥2），故S 6＝1＋3（1－45）1－4＝45.]6．A [a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x ＝(x 2＋x )|n 0＝n 2＋n .所以1a n＝1n －1n ＋1，从而S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1.因此b n S n ＝n （n －8）n ＋1＝n ＋1＋9n ＋1－10≥－4.当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立，故b n S n 的最小值为－4.]7.634 [∵a 1＋a 2＝34，a 4＋a 5＝6， q 3＝a 4＋a 5a 1＋a 2＝8，从而q ＝2，可求a 1＝14.故S 6＝14（1－26）1－2＝634.]8．－2 015 [设数列{a n }的公差为d ，则S nn ＝a 1＋n －12d . 由S 1212－S 1010＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋11d 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋9d 2＝2.所以d ＝2，因此S 2 015＝2 015a 1＋2 015×2 0142d ＝－2 015.] 9．2n －1 [根据题意，由于各项均为正数的等比数列{a n }中，由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1， 所以q >1且a 1＝1q －1，∴a 3＝a 1q 2＝q 2q －1＝（q －1）2＋2（q －1）＋1q －1＝q －1＋1q －1＋2≥2（q －1）·1q －1＋2＝4，当且仅当q ＝2时取得等号，因此a n ＝a 1q n －1＝qn －1q －1＝2n －1.]10．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n . 由于n ＝1时，a 1＝1适合上式， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则 A ＝2＋22＋23＋ (22)＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2.B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ， 故数列{b n }的前2n 项和T n ＝22n ＋1＋n －2. 11．解 (1)由题设，得a 1＋a 2＋a 3＝log 2b 3，① a 1＋a 2＝log 2b 2，②①－②得，a 3＝log 2b 3b 2＝log 264＝6.又a 1＝2，所以公差d ＝2，因此a n ＝2＋2(n －1)＝2n . 又a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝log 2b n .所以n （2＋2n ）2＝log 2b n ，故b n＝2n (n ＋1)．(2)由题意，得c n ＝(3n ＋1)4n －1，则T n ＝4＋7·4＋10·42＋…＋(3n ＋1)·4n －1，③ 4T n ＝4·4＋7·42＋…＋(3n －2)·4n －1＋(3n ＋1)·4n ，④ 由③－④，得－3T n ＝4＋3(4＋42＋…＋4n －1)－(3n ＋1)4n ＝4＋3·4（1－4n －1）1－4－(3n ＋1)4n ＝－3n ·4n ，所以T n ＝n ·4n (n ∈N *)．12．解 (1)∵a 2n ＝S 2n －1(n ∈N *)，a n ≠0.令n ＝1，得a 1＝1；令n ＝2，得a 2＝3， ∴等差数列{a n }的公差d ＝2.从而a n ＝2n －1，b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，于是T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1. (2)假设存在正整数m ，n (1<m <n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列．则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13·n 2n ＋1，可得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2>0， ∴－2m 2＋4m ＋1>0，解得1－62<m <1＋62，由于m ∈N *，m >1，得m ＝2，此时n ＝12.故存在正整数m ，n ，当且仅当m ＝2，n ＝12时，满足T 1，T m ，T n 成等比数列．专题过关·提升卷1．D [当a 1<0，q >1时，数列{a n }是递减数列．当{a n }为递增数列时，a 1<0，0<q <1或a 1>0，q >1.因此，“q >1”是{a n }为递增数列的既不充分也不必要条件．]2．C [设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，因为a 5＝8，S 3＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝8，3a 1＋3d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2. 所以a 9＝a 1＋8d ＝8×2＝16.]3．C [因为a 1，a 3是方程x 2－10x ＋9＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 1·a 3＝9，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝9，所以q ＝3，S 6＝1－361－3＝364.] 4．B [由等比数列的性质，a m ＋1·a m －1＝a 2m ，∴a 2m ＝2a m (a m ≠0)，从而a m ＝2，因此T 2m －1＝a 1·a 2·a 3·…·a 2m －1＝a 2m －1m＝22m －1， 所以log 2T 2m －1＝log 222m －1＝2m －1＝9，则m ＝5.]5．B [由S 4＝5S 2，得a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，∴q 2(a 1＋a 2)＝4(a 1＋a 2)，由于a 1＋a 2≠0，则q ＝2.又a 2＝a 1q ＝2a 1＝2.知a 1＝1.∴S k ＝1·（1－2k）1－2＝31，解得k ＝5.]6．A [由S n ＝3n ＋1＋a ，则S n －1＝3n ＋a .∴a n ＝S n －S n －1＝2·3n (n ≥2，n ∈N *)．∵a 1＝S 1＝9＋a ，又数列{a n }为等比数列，因此a 1应满足a n ＝2·3n ，即a 1＝6.所以9＋a ＝6，∴a ＝－3.]7．A [设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，4a 1＋6d ＝36，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1.则P (n ，4n －1)，Q (n ＋2，4n ＋7)，因此过点P 、Q 的直线的一个方向向量坐标PQ →＝(2，8)．∴与PQ →共线的一个方向向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.]8．B [由程序框图，及a n ＝2n －n .∴S n ＝(21－1)＋(22－2)＋(23－3)＋…＋(2n －n )＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n )＝2(2n －1)－n （n ＋1）2，由S n >2 015，得2n ＋1－n （n ＋1）2>2 017，由n ∈N *，知n ≥11.∴输出n 的值为11.]9．B [由a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，得3n a n ＝3n －1a n －1＋1(n ≥2)． ∴数列{3n a n }是以3为首项，公差为1的等差数列．因此3na n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，所以a n ＝n ＋23n .] 10．C [设等差数列{a n }的公差为d .由S 10＝S 7，得a 8＋a 9＋a 10＝0，知a 9＝0，又2a 6＝a 2＋a 10＝a 2＋1，得a 10＝1，∴公差d ＝a 10－a 9＝1>0，数列{a n }单调递增．所以，当n ≤8时，a n <0，当n ≥10时，a n >0，因此{a n }的前8项或前9项和最小．]11．A [设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)．由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，则q ＝2. 又a m ·a n ＝4a 1，即a m ·a n ＝16a 21，∴a 21·2m －1·2n －1＝16a 21，2m ＋n －2＝16. 则m ＋n ＝6，即16(m ＋n )＝1.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝16(5＋4)＝32， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝2，n ＝4时，上式等号成立．因此1m ＋4n 的最小值为32.]12．D [因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋a n ＋1是等差数列，则1a 1＋a 2＋1a 3＋a 4＝2a 2＋a 3，又{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列，∴11＋q ＋1q 2＋q 3＝2·1q ＋q 2⇒q ＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公比为1的常数列，则a n ＝1.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 014＋1a 2 015＝4 026.] 13．5 [设数列的首项为a 1，由等差数列与中位数定义，则a 1＋2 015＝2×1 010，∴a 1＝5.]14．50 [∵a 10a 11＋a 9a 12＝2a 1a 20＝2e 5，∴a 1·a 20＝e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20)＝ln(a 1·a 20)10＝ln e 50＝50.]15.2011 [∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，将上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n .∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2(n ≥2)， 又a 1＝1适合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *)， 令b n ＝1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 故S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝2011.]16．285 [由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，知，当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2. 所以数列a 1，a 3，a 5，…，a 29为常数列；a 2，a 4，a 6，…，a 30是公差为2的等差数列．又a 1＝3，a 2＝2，因此S 30＝15×3＋a 2＋a 302×15＝45＋2＋302×15＝285.]17．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由S 7＝7a 4＝77，得a 4＝11，∴a 1＋3d ＝11，①因为a 1，a 3，a 11成等比数列，所以a 23＝a 1a 11，整理得2d 2＝3a 1d ，又因d ≠0.所以2d ＝3a 1②联立①，②解得a 1＝2，d ＝3.所以{a n }的通项公式a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝2a n ，所以b n ＝23n －1＝12·8n ，所以数列{b n }是以4为首项，8为公比的等比数列，由等比数列前n 项和公式得，T n ＝4（1－8n ）1－8＝23n ＋2－47. 18．解 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)．∵20S 1，S 3，7S 2成等差数列，∴2S 3＝20S 1＋7S 2.则2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝20a 1＋7(a 1＋a 1q )．化简得2q 2－5q －25＝0，解得q ＝5或q ＝－52.由q >0.舍去q ＝－52.所以数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1＝5n .(2)由(1)知，a 2n ＋2＝52n ＋2，则log 5a 2n ＋2＝2n ＋2.因此b n ＝log 5a 2＋log 5a 4＋…＋log 5a 2n ＋2＝2＋4＋…＋2(n ＋1)＝(n ＋1)(n ＋2)．∴1b n＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）. 19．解 (1)∵2S n ＝3n ＋3，①∴当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝3＋3，∴a 1＝3.当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3.②则①－②得2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1，则a n ＝3n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2. (2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ≥2时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n .所以T 1＝b 1＝13；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n ]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n ]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n， 经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n. 20．解 (1)对于任意n ∈N *，S n ＋b n ＝n ＋132① S n ＋1＋b n ＋1＝（n ＋1）＋132② ②－①得b n ＋1＝12b n ＋14，所以b n ＋1－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －12 又由①式知，S 1＋b 1＝142，即b 1＝72.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －12是首项为b 1－12＝3，公比为12的等比数列， b n －12＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12. (2)因为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12，所以S n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＋n 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＋n 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋n 2. 因为不等式12k 12＋n －2S n≥2n －7，化简得k ≥2n －72n ，对任意n ∈N *恒成立，设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2（n ＋1）－72n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2n ＋1， 当n ≥5时，c n ＋1≤c n ，c n 为单调递减数列，当1≤n <5时，c n ＋1>c n ，c n 为单调递增数列，116＝c 4<c 5＝332，所以，n ＝5时，c n 取得最大值332，所以，要使k ≥2n －72n 对任意n ∈N *恒成立，k ≥332.21．(1)解 由y ＝x 2n ＋2＋1，得y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1.由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率k ＝2n ＋2.从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0，得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1， 故数列{x n }的通项公式x n ＝n n ＋1(n ∈N *)． (2)证明 由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2.当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）>（2n －1）2－1（2n ）＝2n －22n ＝n －1n .所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n .22．解 (1)由b n ＝1－2S n ，令n ＝1，则b 1＝1－2S 1＝1－2b 1，∴b 1＝13.又当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1，∴b n －b n －1＝(1－2S n )－(1－2S n －1)＝－2b n .因此3b n ＝b n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴数列{b n }是首项b 1＝13，公比为q ＝13的等比数列．所以b n ＝b 1q n －1＝13n .令y ＝sin πx ＝0，x ∈(0，＋∞)，得πx ＝n π(n ∈N *)，∴x ＝n (n ∈N *)，它在区间(0，＋∞)内的取值构成以1为首项，以1为公差的等差数列．于是数列{a n }的通项公式a n ＝n .(2)由(1)知，c n ＝a n ·b n ＝n3n ，则T n ＝13＋232＋333＋…＋n 3n ①所以13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n 3n ＋1② 由①－②，得23T n ＝13＋132＋…＋13n －n 3n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －n 3n ＋1，于是T n ＝34－14·3n －1－n 2·3n <34，要使a 2－2a >4T n 恒成立，则a 2－2a ≥3.解之得a ≥3或a ≤－1，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．。

一、填空题1、（2016年江苏高考）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ .2、（2015年江苏高考）数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为_________。

3、（2014年江苏高考）在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若12=a ，2682a a a +=，则6a 的值是 ▲4、（南京市2016届高三三模）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8a 6＝ ▲ ．5、（南通、扬州、泰州三市2016届高三二模）在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是 ▲ ．6、（南通市2016届高三一模）设等比数列}{n a 的前n 项的和为n S ，若15,342==S S ，则6S 的值为7、（苏锡常镇四市2016届高三一模）设数列{a n }是首项为l ，公差不为零的等差数列，S n 为 其前n 项和，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则数列{a n }的公差 为 。

8、（苏锡常镇四市市2016届高三二模）设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．9、（镇江市2016届高三一模）S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________．10、（常州市2016届高三上期末）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且1249a a +=，3456a a a a +++＝40，则7899a a a ++的值为11、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）若公比不为1的等比数列}{n a 满足13)(log 13212=⋯a a a ，等差数列}{n b 满足77a b =，则1321b b b +⋯++的值为 12、（南京、盐城市2016届高三上期末）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲13、（无锡市2016届高三上期末）对于数列{}n a ，定义数列{}n b 满足：1()n n n b a a n N *+=-∈，且1341(),1,1n n b b n N a a *+-=∈==-则1a =14、（扬州市2016届高三上期末）已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为 ▲15、（扬州中2016届高三3月质检）已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝ .二、解答题1、（2016年江苏省高考）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0TS=;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+kT t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C DD S S S +≥.2、（2014年江苏高考）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列， （1）证明：31242,2,2,2a a a a依次构成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次构成等比数列？并说明理由。

北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、选择、填空题1、（2015年北京高考）设n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A.若021a a ，则032a a B.若031a a ，则021a a C.若21a a ，则312a a a D.若01a ，则0)(3212a a a a 2、（2014年北京高考）若等差数列n a 满足7890a a a ，7100a a ，则当n ______时，n a 的前n 项和最大.3、（2013年北京高考）若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝__________；前n项和Sn ＝__________. 4、（朝阳区2015届高三一模）设S n 为等差数列的前n 项和。

若，则通项公式＝＿＿＿＿。

5、（东城区2015届高三二模）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ，则567a a a （A ）4（B ）8（C ）16（D ）646、（丰台区2015届高三一模）在等比数列}{n a 中，344a a ，22a ，则公比q 等于(A) -2 (B) 1或-2(C) 1(D)1或27、（海淀区2015届高三二模）若等比数列{}n a 满足2664a a ，3432a a ，则公比q_____；22212naaa．8、（石景山区2015届高三一模）等差数列n a 中，11,mka a km()m k ，则该数列前mk 项之和为（）A ．12mk B．2mkC ．12mk D．12mk 9、（西城区2015届高三一模）若数列a n 满足a 1 2，且对于任意的m , nN ＊，都有mnm na a a ,则3a a n前10 项的和S 10.10、（大兴区2015届高三上学期期末）已知数列n a 为等差数列，若134a a ，2410a a ，则。

专题突破练(三)[A级基础达标练]一、选择题1．(2015·威海质检)已知数列{a n}，{b n}满足a1＝b1＝3，a n＋1－a n＝b n＋1b n＝3，n∈N*，若数列{cn}满足c n＝ba n，则c2 015＝()A．92 014B．272 016C．92 015D．272 015[解析]由已知条件知{a n}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n}是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n＝3n，b n＝3n，又c n＝ba n＝33n，因此c2 015＝33×2 015＝272 015.[答案] D2．在等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于()A．290 B．300 C．580 D．600[解析]由a1＋a2＋a3＝3a2＝3得a2＝1，由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29，所以S20＝20（a1＋a20）2＝10(a2＋a19)＝300.[答案]B3．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状，a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 …………………………图3-1记A(m ，n)表示第m 行的第n 个数，则A(10，12)＝( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫1393B .⎝ ⎛⎭⎪⎫1392C .⎝ ⎛⎭⎪⎫1394D .⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 [解析] 前9行共有1＋3＋5＋…＋17＝（1＋17）×92＝81项，所以A(10，12)为数列中的第81＋12＝93项，所以a 93＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1393.[答案] A4．(2015·济宁模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52①，a 2＋a 4＝54②，得q ＝12. 代入①式，解得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ， 因此S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ·2n －2＝2n －1.[答案] D5．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a n －a 1＝S 1·S n (a 1≠0，n ∈N *)，则a 7等于( )A ．16B ．32C ．64D ．128[解析] 令n ＝1，则a 1＝1，当n ＝2时，2a 2－1＝S 2＝1＋a 2， 解得a 2＝2，当n ≥2时，由2a n －1＝S n ，① 得2a n －1－1＝S n －1，②①②两式相减，解得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1， 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 因此a n ＝2n －1.故a 7＝26＝64. [答案] C 二、填空题6．设{lg a n }成等差数列，公差d ＝lg 3，且{lg a n }的前三项和为6lg 3，则{a n }的通项公式为________．[解析] 由题意知lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＝3lg a 2＝6lg 3， ∴lg a 2＝2lg 3，又公差d ＝lg 3，∴lg a 1＝lg 3， ∴lg a n ＝lg 3＋(n －1)lg 3＝n lg 3＝lg 3n ，∴a n ＝3n . [答案] a n ＝3n7．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________．[解析] 当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23(a n －a n －1)， ∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2，∴{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2， ∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1. [答案] (－2)n －18．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________．[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n －5（n ＝1），（n ≥2）.令2n －5≤0，得n ≤52，∴当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0. ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66.[答案] 66 三、解答题9．(2015·济南调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1，数列{b n }满足b n ＝1（n ＋1）log 2a n＋n ，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝4. 由S n ＝2n ＋1得S n －1＝2n (n ≥2)， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ，n ≥2.(2)当n ＝1时，b 1＝12log 24＋1＝54，∴T 1＝54.当n ≥2时，b n ＝1（n ＋1）log 22n ＋n ＝1n （n ＋1）＋n ＝1n －1n ＋1＋n ，T n ＝54＋(12－13＋13－14＋14－15＋…＋1n －1n ＋1)＋(2＋3＋4＋…＋n)＝14＋(12－1n ＋1)＋(1＋2＋3＋4＋…＋n)＝34－1n ＋1＋n （n ＋1）2， 上式对于n ＝1也成立， ∴T n ＝34－1n ＋1＋n （n ＋1）2.10．已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值．[解] (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎨⎧q ＝12，a 1＝32，又{a n }单调递增，∴q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n . (2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1，② ∴①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n·2n ＋1＝2n ＋1－n·2n ＋1－2，∴S n ＋n·2n ＋1>50，即2n ＋1－2>50，∴2n ＋1>52， 又当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32<52， 当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64>52.故使S n ＋n·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.[B 级 能力提升练]1．(2015·日照联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为( )A .S 6a 6B .S 7a 7C .S 9a 9D .S 8a 8[解析] 由S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，得a 8>0. 由S 16＝15（a 1＋a 16）2＝15（a 9＋a 8）2<0，得a 9＋a 8<0， 所以a 9<0，所以d<0.所以数列{a n }为递减的数列．所以a 1，…，a 8为正，a 9，…，a n 为负，且S 15>S 14>…>S 1>0. 又a 1>a 2>…>a 8>0>a 9>a 10>…>a 15， 所以最大的项为S 8a 8.[答案] D2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．[解析] 由于S n ＝2n －a n ，所以S n ＋1＝2(n ＋1)－a n ＋1，后式减去前式，得S n ＋1－S n ＝2－a n ＋1＋a n ，即a n ＋1＝12a n ＋1，变形为a n ＋1－2＝12(a n －2)，则数列{a n －2}是以a 1－2为首项，12为公比的等比数列．又a 1＝2－a 1，即a 1＝1.则a n －2＝(－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.[答案] 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求证：S 12＋S 22＋…＋S n 2≤12－14n .[解] (1)∵a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)， ∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n ·S n －1，得1S n－1S n －1＝2(n ≥2)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列， ∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n .将S n ＝12n 代入a n ＝－2S n ·S n －1，得a n＝⎩⎨⎧12， （n ＝1），12n －2n 2， （n ≥2）.(2)证明：∵S n 2＝14n 2<14n （n －1）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n (n ≥2)，S 12＝14，∴当n ≥2时，S 12＋S 22＋…＋S n 2＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋…＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝12－14n ；当n ＝1时，S 12＝14＝12－14×1.综上，S 12＋S 22＋…＋S n 2≤12－14n .。